數(shù)學(xué)章節(jié)復(fù)習(xí)發(fā)展學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題能力的策略

葉新和 王春梅

［摘要］ 發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科發(fā)現(xiàn)問題的能力是中小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的一貫要求，數(shù)學(xué)章節(jié)復(fù)習(xí)能有效發(fā)展學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題的能力。本文以“分式”章節(jié)復(fù)習(xí)為例，介紹創(chuàng)設(shè)情境策略、外顯錯(cuò)誤策略、生成問題策略、形成落差策略、對(duì)立信息策略等發(fā)現(xiàn)問題的有效策略。

［關(guān)鍵詞］ 數(shù)學(xué)章節(jié)復(fù)習(xí)；發(fā)現(xiàn)問題能力；教學(xué)策略

一、數(shù)學(xué)章節(jié)復(fù)習(xí)用于發(fā)現(xiàn)問題能力與培養(yǎng)現(xiàn)狀

從課程標(biāo)準(zhǔn)來看，“發(fā)現(xiàn)問題能力”的要求一以貫之。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》中相關(guān)表述，均在“總目標(biāo)”中明確要求發(fā)展學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)與方法發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問題的能力。關(guān)于發(fā)現(xiàn)問題能力的地位與作用，實(shí)驗(yàn)版高中課程標(biāo)準(zhǔn)在總目標(biāo)部分提出“提高提出、分析和解決問題的能力”；修訂版高中課程標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)一步明確提出了“發(fā)現(xiàn)問題能力”及培養(yǎng)“四能”。這就使得“數(shù)學(xué)問題”在課程中處于更加突出的地位。問題解決，通過“四能”在能力培養(yǎng)的層次上做了“全程化”的要求，這是高中數(shù)學(xué)課程目標(biāo)以數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向的新要求。

當(dāng)前，章節(jié)復(fù)習(xí)用于發(fā)現(xiàn)問題能力培養(yǎng)的現(xiàn)狀不容樂觀。在中國(guó)知網(wǎng)中依次選擇“學(xué)術(shù)期刊”“高級(jí)檢索”，在“主題”上輸入“發(fā)現(xiàn)問題”“復(fù)習(xí)”，“來源類別”選擇“學(xué)術(shù)期刊”進(jìn)行搜索，共得到64條搜索結(jié)果，其中只有兩篇文章的啟迪意義相對(duì)較高，然而兩文均沒有給出可用于發(fā)展學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題能力的具有推廣價(jià)值的教學(xué)策略。

就初中階段數(shù)學(xué)教材而言，通常學(xué)生每學(xué)期要學(xué)習(xí)4-6章內(nèi)容，如果通過章節(jié)復(fù)習(xí)形成發(fā)展學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題能力的有效策略，對(duì)于落實(shí)課程標(biāo)準(zhǔn)的要求頗有價(jià)值。下面，基于蘇科版初中數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)第10章“分式”這部分內(nèi)容，以其復(fù)習(xí)課部分教學(xué)片段為例，介紹筆者的研究認(rèn)識(shí)，供讀者參考。

二、數(shù)學(xué)章節(jié)復(fù)習(xí)發(fā)展學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題能力的策略

就“分式”的復(fù)習(xí)而言，用于發(fā)展學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題能力的策略有創(chuàng)設(shè)情境策略、外顯錯(cuò)誤策略、生成問題策略、形成落差策略和對(duì)立信息策略等。

（一）創(chuàng)設(shè)情境策略

創(chuàng)設(shè)合適的問題情境，將問題隱含在生活情境、數(shù)學(xué)情境或者其他學(xué)科情境中。面對(duì)結(jié)構(gòu)不良、信息不全的學(xué)習(xí)任務(wù)，學(xué)生便會(huì)發(fā)現(xiàn)問題。

【教學(xué)片段1】對(duì)于式子，你有何想法？

【剖析】此處僅僅提供式子，其他信息沒有提供，屬于試題結(jié)構(gòu)不良。由于跟平常任務(wù)不一樣，很多學(xué)生會(huì)一臉困惑，無所適從，也有的會(huì)提出疑惑：老師，你想讓我們干什么？這意味著學(xué)生已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了問題。

【說明】在學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題的基礎(chǔ)上，教師可略作提示，鼓勵(lì)學(xué)生提出一些問題。比如：（1）當(dāng)x為何值時(shí)，分式有意義？分式值為0？（2）a=-2時(shí)，= ；（3）如果方程=4無解，求a的值。也

有學(xué)生試圖加以判斷，如：（4）當(dāng)x=1時(shí)，分式無意義；（5）當(dāng)a=-2x時(shí)，分式值為0；等等（為保持原汁原味，未作修改）。這樣，“分式”一章的知識(shí)梳理便可有效展開，可謂一舉多得。

（二）外顯錯(cuò)誤策略

當(dāng)忽視前提條件或者不能挖掘出隱含條件時(shí)，以及由于思維定式的原因，學(xué)生常常會(huì)形成錯(cuò)誤判斷。教師適時(shí)識(shí)別外顯錯(cuò)誤看法，可以有效發(fā)展學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題的能力。

【教學(xué)片段2】對(duì)于試題“如果關(guān)于x的方程=

1的解是正數(shù)，那么a的取值范圍是 ”，老師對(duì)小明的答案“a＜-1”打了“×”。請(qǐng)你說明為什么老師會(huì)判錯(cuò)。

【剖析】可以從隱含條件角度來分析：“方式方程的解為正數(shù)”隱含著分式方程有解，即相應(yīng)整式方程的根不是增根，故要滿足條件“x-1≠0”。也可以從前提條件角度來分析：如果分式無意義便不存在分式

方程，更談不上“分式方程解為正數(shù)”，為此，首先要有“x-1≠0”。故而，正確答案：a＜-1且a≠-2。

【教學(xué)片段3】對(duì)于下題：化簡(jiǎn)÷（x-），再從

-1、0、1、2中選擇一個(gè)你認(rèn)為合適的數(shù)，作為x的值代入求值。

小明的解答過程為：

÷（x-）=÷x-÷=-·x=

-x=1。當(dāng)x=1時(shí)，原式=0-1-1=-2。

請(qǐng)判斷他的解答是否正確。如不正確，指出其中的錯(cuò)誤，并給出正確解答。

【剖析】小明的解答不正確，其中有3處錯(cuò)誤：（1）除

法對(duì)于加減運(yùn)算沒有分配率，第一步解答不正確；（2）分

數(shù)線具有括號(hào)作用，第三步解答不正確；（3）“x不可以取1”的限制條件比較隱蔽，可以通過找出顯性分母x、（x+1）和隱含分母（x2-1）來發(fā)現(xiàn)問題。為加深理解，此時(shí)可以讓學(xué)生再代入除式（x-）試算其結(jié)果。

正確解答：÷（x-）=÷=·=。當(dāng)x=2時(shí)，原式=。

【說明】學(xué)生在學(xué)習(xí)“分式”時(shí)出現(xiàn)的錯(cuò)誤較多，外顯錯(cuò)誤能夠有效發(fā)展學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題的能力；同時(shí)，由于以他人出錯(cuò)的形式進(jìn)行展示，也能較好地激發(fā)學(xué)生自己尋找錯(cuò)誤的興趣，提升學(xué)習(xí)的成就感。

（三）生成問題策略

“問題可以是自己的疑惑，可以是自己的困難，也可以是自己的發(fā)現(xiàn)”，引導(dǎo)學(xué)生將解決問題過程中產(chǎn)生想法（疑惑、困難、發(fā)現(xiàn)等）盡可能地以新問題的形式呈現(xiàn)出來，有助于發(fā)展學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題的能力，同時(shí)也讓學(xué)生的思維向縱深展開。

【教學(xué)片段4】（從新角度認(rèn)識(shí)分式方程無解）

（1）x分別取-1、0、1、2.5時(shí)，求+的值。

追問1：對(duì)此，你有何想法？說說看。

（2）計(jì)算+。

追問2：+的值可能為一個(gè)不是1的數(shù)比

如4嗎？為什么？

（3）解方程+=4。

追問3：比較追問2和問題（3），你有何想法？說說看。

（4）如果不解方程+=4，你能直接判斷方程解的情況嗎？

追問4：對(duì)此，你有何想法？

（5）你能用新思路解方程=-1嗎？

【剖析】追問1、追問3、追問4聚焦“你有何想法”，不斷激發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題的能力。解答完問題（1）后容易產(chǎn)生的想法如下：（只要分式有意義）不管x取何值，分式+的值總為1。在解答完追問2和問題（3）后

容易產(chǎn)生的想法如下：這兩者之間會(huì)不會(huì)有一定的內(nèi)在聯(lián)系？能不能先計(jì)算（或化簡(jiǎn)）分式方程等號(hào)左邊，再根據(jù)所得結(jié)果直接判斷分式方程無解？而解答完問題（4）后容易產(chǎn)生的想法如下：通過對(duì)分式方程等號(hào)兩邊進(jìn)行運(yùn)算（或化簡(jiǎn)）來解方程挺有意思的；可以用分式運(yùn)算的方法來說明分式方程是否無解；可以根據(jù)分式方程的具體特征選擇不同方法（分式運(yùn)算或者去分母）來解分式方程等。

【說明】“分式方程無解”是此章節(jié)的一大難點(diǎn)，片段4擬巧妙突破，以此發(fā)展學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題的能力。

（四）形成落差策略

布置解答要求略高于學(xué)生實(shí)際知識(shí)水平的任務(wù)，就完成任務(wù)所需的數(shù)學(xué)“四基”“四能”，學(xué)生實(shí)際掌握的“四基”“四能”與之存在一定的落差。這樣，學(xué)生難以完成任務(wù)，自然能發(fā)現(xiàn)問題。

【教學(xué)片段5】（教學(xué)片段4追問5）如果關(guān)于x的方程=m-有解，那么m的值為 ，此時(shí)方程的解為 。

【剖析】由教學(xué)片段4可知：只有當(dāng)m=1時(shí)，=m-才有解?！扒蠓绞椒匠痰慕狻背Ｒ娝悸啡缦拢喝?/p>

分母得x-1=（x-2）+1。此時(shí)，無論得到0=0還是得到0x=0，由于學(xué)生欠缺相關(guān)知識(shí)會(huì)無所適從，從而發(fā)現(xiàn)問題。其實(shí)，根據(jù)方程根的定義可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)x取任意實(shí)數(shù)時(shí)，方程0x=0都成立，從而方程0x=0的解為一切實(shí)數(shù)。也可以根據(jù)0乘以任何實(shí)數(shù)都等于0，得x為任意實(shí)數(shù)。注意到x=2是方程增根，因此x為不等于2的一切實(shí)數(shù)。故而，答案：1，x為不等于2的一切實(shí)數(shù)。

【說明】就本題的解答思路而言，有兩處知識(shí)落差。一處是解方程“0x=0”，學(xué)生僅接觸過一元一次方程，沒有接觸過“0x=0”這樣的方程。另一處是方程的解為“不等于2的一切實(shí)數(shù)”，方程解的個(gè)數(shù)為一個(gè)或者方程無解，學(xué)生容易理解，但從未接觸過解為無數(shù)個(gè)的情形，對(duì)此學(xué)生不容易理解與接受。有效對(duì)策是，抓住方程解的定義及0的性質(zhì)（0乘以任何數(shù)都等于0）來理解。在此基礎(chǔ)上，還要注意到前提條件（或者隱含條件）的限制（即使教師對(duì)此也是容易忽視的），如此才能得到正確答案。教學(xué)片段5如果借助方式運(yùn)算來解答，也會(huì)因?yàn)榇嬖谥R(shí)落差而形成問題，讀者可自行分析。

（五）對(duì)立信息策略

在學(xué)習(xí)任務(wù)中有意識(shí)提供一些相互沖突甚至矛盾的信息，促使學(xué)生在完成任務(wù)的過程中發(fā)現(xiàn)問題?；蛘?，針對(duì)學(xué)生頭腦中已有的不夠全面、不夠深刻的看法，通過任務(wù)有意識(shí)地呈現(xiàn)一些不一致的信息，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題。

【教學(xué)片段6】（1）如果解關(guān)于x的方程=+時(shí)出現(xiàn)增根，那么增根是 。

（2）如果解關(guān)于x的方程=-時(shí)出現(xiàn)增根，那么增根一定是（ ）。

A.0或2 B.2 C.1 D.0

【剖析】?jī)深}均讓學(xué)生先猜測(cè)再解答。第（1）題，學(xué)生往往認(rèn)為“增根有2個(gè)”“增根是0與2”，當(dāng)解方程后發(fā)現(xiàn)所得結(jié)果“增根只有1個(gè)”“x=0是增根”，并非自己最初的想法（第一次意識(shí)到信息有沖突），便會(huì)自行糾正錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)。

對(duì)于第（2）題，可能有學(xué)生機(jī)械遷移第（1）題的結(jié)論，認(rèn)為“增根有1個(gè)”“增根是0”，認(rèn)為應(yīng)該選D，然而，可能其他學(xué)生并不贊同該看法，因而難以準(zhǔn)確判斷。此時(shí)，學(xué)生之間形成信息沖突，師生共同解決第（2）題。分式方程去分母得到方程（a-2）x=-8。由于增根是相應(yīng)整式方程的根，并使得分式分母值為0，從而“增根可能是2，也可能是0”。這就需要討論：（1）將x=2代入得a=-2；（2）將x=0代入得0（a-2）=-8。對(duì)此，學(xué)生不知該如何處理。根據(jù)方程根的定義，此時(shí)找不到符合條件a的值。然而，實(shí)數(shù)a是存在的（如果a不存在，方程便不存在，便談不上方程有增根），信息之間有矛盾，說明x≠0。最終學(xué)生發(fā)現(xiàn)，一開始的猜測(cè)并不正確，應(yīng)該是“增根為2”，正確答案選B。

【說明】教學(xué)片段6解決問題中數(shù)次出現(xiàn)了信息對(duì)立，在給學(xué)生留下深刻印象的同時(shí)，也能夠較好地發(fā)展其發(fā)現(xiàn)問題的能力。

［本文系江蘇省規(guī)劃課題“發(fā)展中學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科發(fā)現(xiàn)問題能力的實(shí)踐研究”（項(xiàng)目編號(hào)：E-c/2015/21）和江蘇省規(guī)劃課題“基于深度學(xué)習(xí)提升初中生數(shù)學(xué)‘四能的實(shí)踐研究”（項(xiàng)目編號(hào)：SJMJ/2022/15）階段性研究成果］

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葉新和? ?江蘇省泰州醫(yī)藥高新區(qū)（高港區(qū)）教育局，江蘇省特級(jí)教師，正高級(jí)教師。

王春梅? ?江蘇宿遷沭陽如東實(shí)驗(yàn)學(xué)校，江蘇省特級(jí)教師，正高級(jí)教師。