探究平面幾何證明思路的思維過(guò)程

【作者簡(jiǎn)介】張昆，博士，副教授，中學(xué)高級(jí)教師。主要研究方向?yàn)閿?shù)學(xué)教學(xué)論、數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)教師教育、數(shù)學(xué)教育哲學(xué)。

【摘 要】本文通過(guò)“邊想邊說(shuō)”與反思相結(jié)合的研究，發(fā)現(xiàn)在探究平面幾何證明思路時(shí)，學(xué)生的思維存在三個(gè)層次，其中思維的第二層次具有非常高的教學(xué)價(jià)值；一個(gè)班級(jí)中的學(xué)生存在著不同的認(rèn)知方式，學(xué)生個(gè)體一般以自己的優(yōu)勢(shì)認(rèn)知方式理解情境中的信息，從而賦予信息以意義。因此，在探究平面幾何證明思路時(shí)，教師應(yīng)通過(guò)教材分析與學(xué)情分析，選擇具體的思維層次的幾何證明題，平衡學(xué)生需要的認(rèn)知方式，做好教學(xué)設(shè)計(jì)及課堂實(shí)施活動(dòng)。

【關(guān)鍵詞】探究；思維過(guò)程；思維層次；平面幾何；“邊想邊說(shuō)”；反思

開(kāi)篇明義，本文要研究學(xué)生探究平面幾何證明題時(shí)的思維活動(dòng)過(guò)程。那么，什么是數(shù)學(xué)思維呢？所謂數(shù)學(xué)思維，指的是在遇到數(shù)學(xué)情境、學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)或解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，學(xué)生為了應(yīng)對(duì)其中的困境，他們的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中所發(fā)生的心理活動(dòng)。［1］這就將數(shù)學(xué)思維界定為一種狹義的個(gè)性心理活動(dòng)，依據(jù)這一數(shù)學(xué)思維內(nèi)涵，可以將數(shù)學(xué)思維過(guò)程界定為處理數(shù)學(xué)符號(hào)元素及符號(hào)元素之間互相作用的心理活動(dòng)過(guò)程。［2］數(shù)學(xué)符號(hào)元素包括數(shù)學(xué)意象、數(shù)學(xué)概念和表示具體數(shù)學(xué)內(nèi)容的語(yǔ)言（如漢語(yǔ)、英語(yǔ)等）、圖形、圖表等，數(shù)學(xué)符號(hào)元素及其互相作用是學(xué)習(xí)主體能夠調(diào)動(dòng)、調(diào)整、控制甚至臨時(shí)自行創(chuàng)造出來(lái)的。

為了研究學(xué)生探究平面幾何證明思路的思維過(guò)程，以下先討論由數(shù)學(xué)思維及思維過(guò)程的內(nèi)涵所決定的個(gè)體數(shù)學(xué)思維的三個(gè)主要層次。

一、學(xué)生探究平面幾何的思維層次

為了探究數(shù)學(xué)思維活動(dòng)操作的心理過(guò)程，首先從對(duì)思維及其結(jié)構(gòu)的譬喻展開(kāi)認(rèn)知。眾所周知，當(dāng)人們?cè)谝患?lè)器上彈奏一個(gè)音時(shí)，在這件樂(lè)器可能發(fā)出的全部聲音中，只有這唯一的一個(gè)樂(lè)鍵發(fā)出來(lái)的那個(gè)音是現(xiàn)實(shí)的。同樣，當(dāng)人在感知眼前的事物時(shí)，他規(guī)定的全部無(wú)限可能性就被限制在這唯一的存在方式上。因此，在只有這種沖動(dòng)發(fā)生作用的地方，必然存在著最高程度的限制；人在這種狀態(tài)中只不過(guò)是一個(gè)數(shù)量的統(tǒng)一體，是時(shí)間的一個(gè)實(shí)現(xiàn)了的瞬間。［3］

由這個(gè)譬喻內(nèi)容可以認(rèn)識(shí)到，大腦中存在的思維瞬間相當(dāng)于一件樂(lè)器上的一個(gè)按鍵，發(fā)動(dòng)思維活動(dòng)的某些物質(zhì)性的要素，也會(huì)組成一個(gè)結(jié)構(gòu)，我們將其簡(jiǎn)稱(chēng)為思維結(jié)構(gòu)。因此，這里要考察探究平面幾何證明思路所需要?jiǎng)佑玫乃季S結(jié)構(gòu)。由數(shù)學(xué)思維與數(shù)學(xué)思維過(guò)程這兩個(gè)概念所界定的內(nèi)涵可以認(rèn)識(shí)到，面對(duì)具體的數(shù)學(xué)問(wèn)題，學(xué)生在應(yīng)對(duì)問(wèn)題所提供的具體信息時(shí)，會(huì)啟動(dòng)思維并維持思維進(jìn)展，這是大腦作為整體結(jié)構(gòu)所支持的一種產(chǎn)生思維活動(dòng)的思維結(jié)構(gòu)。這種數(shù)學(xué)思維結(jié)構(gòu)的構(gòu)成成分，應(yīng)該存在從具體逐步到抽象的三個(gè)主要層次。

1.第一層次

第一層次，具體數(shù)學(xué)問(wèn)題中涉及的引發(fā)學(xué)生利用知識(shí)、方法等輔助思維的材料被立即激活。此時(shí)，對(duì)于探究某一具體的平面幾何證明思路，學(xué)生會(huì)審視問(wèn)題信息的特點(diǎn)、已掌握的平面幾何知識(shí)內(nèi)容（包括幾何概念、公理、定理、性質(zhì)等）、數(shù)理邏輯（外在表現(xiàn)為問(wèn)題信息中的因果關(guān)系，這種因果關(guān)系可內(nèi)化為大腦中的相關(guān)對(duì)應(yīng)物，如排序、包含、點(diǎn)數(shù)、空間等形式）［4］、所需要的證據(jù)（由幾何概念、公理、定理等已掌握的知識(shí)提供）、過(guò)去探究解題的方法與經(jīng)驗(yàn)等，這些都會(huì)對(duì)學(xué)生的探究思路起到啟發(fā)性作用，整個(gè)思維活動(dòng)及過(guò)程都受到學(xué)生個(gè)體經(jīng)驗(yàn)中的這些要素的有價(jià)值的指導(dǎo)。

學(xué)生所掌握的平面幾何知識(shí)、方法、經(jīng)驗(yàn)、符號(hào)（或語(yǔ)言）等，為解決具體的平面幾何問(wèn)題而展開(kāi)的探究證明活動(dòng)提供了啟發(fā)（如分析法與綜合法啟發(fā)證明思路），從而啟動(dòng)思維，形成思維的定向，即思維活動(dòng)的導(dǎo)向性軌跡等。這種導(dǎo)向性軌跡對(duì)于學(xué)生萌生有價(jià)值的證明思路具有非常重要的作用，也存在著學(xué)生個(gè)性數(shù)學(xué)思維的適應(yīng)性（配合外在條件信息）的應(yīng)用價(jià)值。因此，這種探究思路過(guò)程的思維是一種可觀察、可體悟的明晰的活動(dòng)過(guò)程，思維的第一層次構(gòu)成探究平面幾何證明思路的基礎(chǔ)性依靠。

2.第二層次

第二層次，相對(duì)于某個(gè)學(xué)生而言，面對(duì)平面幾何證明題的問(wèn)題信息時(shí)，在思維的第一層次的某個(gè)或某幾個(gè)思維環(huán)節(jié)，利用已掌握與積累起來(lái)的知識(shí)、方法與經(jīng)驗(yàn)等處理數(shù)學(xué)符號(hào)（如幾何圖形，表示圖形的語(yǔ)言）元素及符號(hào)元素之間所應(yīng)該構(gòu)成的關(guān)系時(shí)，難以達(dá)到具體目的，也就是依據(jù)這些元素學(xué)生無(wú)法形成清晰的思維軌跡。學(xué)生對(duì)于這道平面幾何證明題所提供的外在信息（數(shù)學(xué)符號(hào)元素之間）只能進(jìn)行外在現(xiàn)象的偶然搭配，探究有可能構(gòu)成有意義（也有可能無(wú)意義）的輪廓結(jié)構(gòu)。如此，學(xué)生處于認(rèn)識(shí)的無(wú)目標(biāo)、無(wú)順序之中。

思維的第二層次處于一種中間狀態(tài)。思維的第一層次的特點(diǎn)在于，學(xué)生能夠在充足的時(shí)間內(nèi)自己探究出至少一條具體的證明思路，即能夠比較順利地從具體證明題的題設(shè)條件過(guò)渡到題斷結(jié)論。思維的第二層次的特點(diǎn)在于，學(xué)生在探究證明題的思路時(shí)不是一帆風(fēng)順的，而是在從題設(shè)條件到題斷結(jié)論的某些環(huán)節(jié)上需要發(fā)掘隱含條件（不能通過(guò)僅觀察原問(wèn)題的信息就能一眼看出的條件），需要在某個(gè)環(huán)節(jié)中架設(shè)起橋梁才能形成清晰的思維軌跡。

思維的第二層次應(yīng)該是需要教師最為關(guān)注的地方。這是因?yàn)閷W(xué)生在教師精心的教學(xué)設(shè)計(jì)和課堂實(shí)施的啟發(fā)下，歷經(jīng)艱難的思考活動(dòng)，至少?gòu)捏w驗(yàn)上感受到，經(jīng)由自己思維力量（主體精神）的發(fā)揮，能在疑難環(huán)節(jié)上架設(shè)起證明思路所需要的橋梁。這是教師應(yīng)該十分關(guān)注的地方，因?yàn)槠矫鎺缀巫C明題的教育教學(xué)價(jià)值主要體現(xiàn)在這些疑難環(huán)節(jié)上：一方面，這些疑難環(huán)節(jié)是教師培養(yǎng)學(xué)生思維能力的優(yōu)質(zhì)的教學(xué)素材，是學(xué)生能切身理解與體會(huì)的疑難所在，學(xué)習(xí)時(shí)具有極強(qiáng)的針對(duì)性；另一方面，當(dāng)學(xué)生在教師的啟發(fā)下真真切切地突破了疑難環(huán)節(jié)，他們的學(xué)習(xí)情感就會(huì)得到極大的滿(mǎn)足，體會(huì)到思維活動(dòng)的巨大潛力，如此，在面臨新問(wèn)題時(shí)就會(huì)更集中注意力，維持思維就會(huì)更具持久性，力圖獨(dú)立完成探究活動(dòng)的任務(wù)。

3.第三層次

第三層次，有的學(xué)生可能沒(méi)有完全理解題目提供的條件或結(jié)論所代表的具體意義，因此思維活動(dòng)可能具有漫然性特點(diǎn)，對(duì)于問(wèn)題所提供的條件或結(jié)論無(wú)法觸及。這種思維可能是從條件或結(jié)論的細(xì)枝末節(jié)中找到一種似是而非的支點(diǎn)，導(dǎo)致結(jié)果可能脫離條件或結(jié)論的本質(zhì)信息，遠(yuǎn)離題設(shè)條件或題斷結(jié)論的具體現(xiàn)實(shí)情境，更偏向于學(xué)生主觀的情感、想象。因此，這種思維無(wú)法獲得需要的結(jié)果。

即使如此，教師在教學(xué)設(shè)計(jì)及課堂實(shí)施中，對(duì)于思維的第三層次，也應(yīng)該本著“取其精華、去其糟粕”的原則。在探究平面幾何證明思路時(shí)，教師在啟發(fā)學(xué)生的思維活動(dòng)中必須處理好“虛”與“實(shí)”之間的關(guān)系。教師要認(rèn)識(shí)到，思維的第三層次（思維已經(jīng)處于比較“虛”的狀態(tài)）對(duì)于發(fā)展學(xué)生思維的創(chuàng)造性具有非常重要的作用，因?yàn)樗季S的創(chuàng)造性發(fā)揮可以幫助學(xué)生萌生重要的觀念。這種比較“虛”的思維活動(dòng)雖然可能完全不顧及題目所設(shè)定的情境事實(shí)，但是在某種意義上依然存在思維對(duì)于問(wèn)題信息的現(xiàn)實(shí)的適應(yīng)性，從而引發(fā)學(xué)生對(duì)于題目所設(shè)定的現(xiàn)實(shí)產(chǎn)生一連串的思維活動(dòng)，使得探究證明思路取得實(shí)際成效，特別是為突破疑難環(huán)節(jié)時(shí)所需要的創(chuàng)造性發(fā)揮提供精神“養(yǎng)料”。教師應(yīng)該認(rèn)識(shí)到教學(xué)要幫助學(xué)生體驗(yàn)從“虛”到“實(shí)”的思維活動(dòng)轉(zhuǎn)化過(guò)程。

4.思維三個(gè)層次的關(guān)系

基于以上分析，教師在教學(xué)設(shè)計(jì)及課堂實(shí)施時(shí)，需要特別關(guān)注第二層次的思維活動(dòng)：在思維的第一層次中，即使沒(méi)有教師的教學(xué)啟發(fā)作用，學(xué)生也能按部就班或早或遲地找出證明的思路；思維的第二層次出現(xiàn)時(shí)，學(xué)生已經(jīng)完成了思維的第一層次的探究活動(dòng)并出現(xiàn)了疑難環(huán)節(jié)，因此教師需要引導(dǎo)學(xué)生突破疑難環(huán)節(jié)，將這些疑難環(huán)節(jié)轉(zhuǎn)化為優(yōu)質(zhì)的教學(xué)資源，引發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造性思考，進(jìn)一步發(fā)掘問(wèn)題中的隱含條件。學(xué)生的思維能力在第二層次“真刀實(shí)槍”的思維活動(dòng)過(guò)程中能更好地發(fā)展起來(lái)。

突破疑難環(huán)節(jié)的創(chuàng)造性思考，離不開(kāi)第三層次思維的支持。當(dāng)學(xué)生在客觀上設(shè)定的解題目標(biāo)與探究解題思路處境中的某些環(huán)節(jié)之間存在鴻溝，學(xué)生經(jīng)由不斷努力還是難以架設(shè)起橋梁時(shí)，就體會(huì)到過(guò)去習(xí)得的解題經(jīng)驗(yàn)與方法對(duì)于目前面臨的新問(wèn)題無(wú)濟(jì)于事，這就使得學(xué)生的思考活動(dòng)處于停滯狀態(tài)。此時(shí)，需要一些離問(wèn)題情境較遠(yuǎn)的自由想法，這些自由的想法中可能會(huì)有解決當(dāng)前疑難問(wèn)題的有價(jià)值的思維成果。思維的第三層次的作用就在于此。

總之，思維的三個(gè)層次具有互相作用的關(guān)系，因此，教師在教學(xué)設(shè)計(jì)及課堂實(shí)施中，應(yīng)該以思維的第一層次為基礎(chǔ)，以思維的第二層次為教學(xué)重點(diǎn)與突破口，以思維的第三層次為創(chuàng)新活動(dòng)的出發(fā)點(diǎn)，在備課時(shí)通過(guò)各個(gè)側(cè)面進(jìn)入教學(xué)活動(dòng)過(guò)程，盡可能多地找到解題途徑，仔細(xì)分析學(xué)生的思維水平與狀態(tài)，提高數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的有效性。

二、學(xué)生實(shí)際思維活動(dòng)過(guò)程

“邊想邊說(shuō)”的研究方法雖然是一個(gè)研究學(xué)生數(shù)學(xué)解題思維活動(dòng)的好方法，但這種方法也存在缺陷。因?yàn)閺膯?dòng)與維持思維活動(dòng)的本質(zhì)上看，探究平面幾何證明思路所發(fā)起的絕大部分思維活動(dòng)（特別是創(chuàng)造性想法的出現(xiàn)）是無(wú)意識(shí)的，所以盡管研究者想要學(xué)生說(shuō)出真實(shí)的思考過(guò)程，但在某些思維的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)上往往難以實(shí)現(xiàn)。此時(shí)，就需要對(duì)學(xué)生突破疑難環(huán)節(jié)的成熟的思維活動(dòng)過(guò)程進(jìn)行反思，試圖從其所經(jīng)歷的思維體驗(yàn)中追溯過(guò)去實(shí)施的思維活動(dòng)過(guò)程。

現(xiàn)舉一例來(lái)說(shuō)明“邊想邊說(shuō)”與反思相結(jié)合的方法，探究學(xué)生關(guān)于某一道平面幾何證明題思路的思維活動(dòng)過(guò)程。

例1 已知：如圖1，在[?ABCD]中，AE=CF，AE與CF相交于點(diǎn)P，連接PB。求證：∠BPA=∠BPC。

師：記AE=CF為條件式①，∠BPA=∠BPC為結(jié)論式②，那么，如何探究證明結(jié)論式②的證明思路呢？

生1：在[?ABCD]這個(gè)框架中，條件式①?zèng)]有什么特別的，結(jié)論式②說(shuō)明了線段BP是∠APC的平分線。要證明一條射線是一個(gè)角的平分線，可想到“到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角平分線上”這個(gè)定理。于是，過(guò)點(diǎn)B分別作BM⊥AE③交AE于點(diǎn)M，作BN⊥FC④交FC于點(diǎn)N（如圖2所示），現(xiàn)在證明BM=BN⑤這個(gè)過(guò)渡性的中間結(jié)論就能達(dá)到目的了。我想到證明Rt△BPMRt△BPN，但只能找到兩組對(duì)應(yīng)的條件相等，可惜這兩個(gè)條件不能判定兩個(gè)三角形全等……（以省略號(hào)表示思維的暫時(shí)中斷，下同。）

【說(shuō)明】從例子中學(xué)生“邊想邊說(shuō)”的內(nèi)容可以看到，學(xué)生目前處于思維的第一層次，即從題斷結(jié)論出發(fā)，將所要證明的結(jié)論式②轉(zhuǎn)化為證明過(guò)渡性結(jié)論式⑤。但是他遇到了第一個(gè)疑難環(huán)節(jié)，這就需要他發(fā)掘題意中的某些隱含條件來(lái)突破這個(gè)疑難環(huán)節(jié)，這道題的證明思路才能打通。

師：你想得很不錯(cuò)了。你開(kāi)頭就提出了“在[?ABCD]這個(gè)框架中”，說(shuō)明在你的意識(shí)中存在希望將條件與結(jié)論構(gòu)成整體性的心理意向。你認(rèn)為這道題的條件式①是肯定成立的，所需要證明的過(guò)渡性結(jié)論式⑤也一定成立。那么，①與⑤在[?ABCD]這個(gè)框架中可以構(gòu)成一個(gè)有意義的整體嗎？

生2：我感覺(jué)不到①與⑤如何才能構(gòu)成一個(gè)有意義的整體……

師：仔細(xì)對(duì)照?qǐng)D2，你能猜想出①②③④這些要素如何組成一個(gè)有意的輪廓嗎？

生3：我觀察圖2這個(gè)圖形，注意力逐漸集中于[?ABCD]這個(gè)框架中的條件BM⊥AE③與條件BN⊥FC④上，發(fā)現(xiàn)線段AB、線段AE和垂線段BM這三者之間沒(méi)有構(gòu)成以一種有價(jià)值的輪廓（完整圖形的結(jié)構(gòu)——筆者補(bǔ)充）。因此，我想到連接線段BE（如圖3所示），于是知道了線段BM是△AEB底邊AE上的高，因此，AE·BM=2S△BAE，而2S△BAE=[S?ABCD]⑥；同理，連接線段BF，可以得到CF·BN=2S△BCF=[S?ABCD]⑦。由等式⑥與等式⑦，知道等式AE·BM=CF·BN⑧成立，由條件式AE=CF①知過(guò)渡結(jié)論式BM=BN⑤成立，于是所要證明的結(jié)論式∠BPA=∠BPC②成立。

生4：因?yàn)棰倥c⑤應(yīng)該同時(shí)成立，現(xiàn)在我想將①與⑤集中起來(lái)構(gòu)成一個(gè)整體性條件。集中的途徑是將①與⑤中的左右兩邊的兩條線段分別進(jìn)行加減乘除運(yùn)算，可以得到四個(gè)相關(guān)線段運(yùn)算的等式，即AE+BM=CF+BN，AE-BM=CF-BN，AE·BM=CF·BN⑧，[AEBM]=[CFBN]。在這四個(gè)等式中，通過(guò)賦予其意義加以考察，由條件BM⊥AE③與條件BN⊥FC④，發(fā)現(xiàn)可以賦予等式⑧這個(gè)乘積式以三角形面積表達(dá)式的意義，其他三個(gè)等式都無(wú)法賦予意義。于是，將等式⑧兩邊都乘[12]，知等式[12]AE·BM=[12]CF·BN⑨應(yīng)該成立。［5］（后續(xù)內(nèi)容與生3類(lèi)似，不再贅述。）

【說(shuō)明】生3與生4在探究這道證明題時(shí)，使用了不同的思維方式。生3偏向于圖形直觀，由所作輔助線呈現(xiàn)的狀態(tài)直接看出可以利用三角形面積公式，而生4則偏向于運(yùn)用已知條件或證明結(jié)論之間的關(guān)系所生成的集中條件的觀念，利用運(yùn)算得到結(jié)果。

由“邊想邊說(shuō)”與反思相結(jié)合的研究方法可以發(fā)現(xiàn)，在探究平面幾何證明思路時(shí)，學(xué)生的思維存在著三個(gè)層次，其中思維的第二層次具有非常高的教學(xué)價(jià)值。與此同時(shí)，一個(gè)班級(jí)中的學(xué)生存在著不同的認(rèn)知方式，學(xué)生一般以自己的優(yōu)勢(shì)認(rèn)知方式理解情境中的信息，并賦予信息以意義。因此，在探究平面幾何證明思路時(shí)，教師應(yīng)該通過(guò)教材分析與學(xué)情分析，選擇具體的思維層次（最為重要的是思維的第二層次）的幾何證明題，平衡學(xué)生需要的認(rèn)知方式，做好教學(xué)設(shè)計(jì)及課堂實(shí)施活動(dòng)。

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（責(zé)任編輯：潘安）