追本溯源揚(yáng)文化，拓形變式探通法

［關(guān)鍵詞］ 追本溯源；拓形變式；教學(xué)啟示

本文源于2023年中考數(shù)學(xué)金華卷第10 題. 選擇這道題的原因有：（1） 筆者發(fā)現(xiàn)這道題的圖形很熟悉，其來自教材，屬于老圖新題，這是一種命題的趨勢.學(xué)生在解決這道題時會有一種親切感，有一種強(qiáng)烈的想要把它解答出來的期待.（2） 由這個圖形演變出來的拓展圖形會衍生出許多新的相關(guān)圖形和結(jié)論，從而出現(xiàn)各種題型變式，但是本質(zhì)上它們是相通的. （3） 經(jīng)過研究，筆者發(fā)現(xiàn)這道題還可以繼續(xù)結(jié)合其他知識進(jìn)行各種類型的改編，從而得到一些一般化的結(jié)論和新發(fā)現(xiàn).在解決這些新問題時可以用到原題所得到的模型和中間結(jié)論. 本文從此題開始，展開一系列深入探討，包括這道題的常用解法、課本來源、原形拓展、題型變式、原題改編等.

教學(xué)啟示及反思

1. 探索最佳途徑，優(yōu)化解題方法

每一個較復(fù)雜的圖形都包含著若干個基本圖形，解題時可以用到它們的性質(zhì)和判定方法，由此得到一些中間結(jié)論. 或者這個復(fù)雜圖形是若干個數(shù)學(xué)基本模型的疊加，解題時先把這些模型分解出來并運(yùn)用它們的一些基本結(jié)論進(jìn)行突破. 在這個過程中會產(chǎn)生不同方向的解題思路和方法， 即通常說的一題多解. 教師在教學(xué)過程中可以引導(dǎo)學(xué)生從多個角度思考解題途徑，獲取新的探究經(jīng)驗(yàn)，豐富解題思路和方法. 學(xué)生也可以通過分享交流而博采眾長，吸取他人的解題經(jīng)驗(yàn). 在眾多的解題方法中，教師可以通過對比分析，引導(dǎo)學(xué)生歸納出適合自己的最佳解題思路，并轉(zhuǎn)化成自己的解題方法，從而達(dá)到優(yōu)化解題過程的目的.

2. 傳承數(shù)學(xué)文化，開發(fā)項(xiàng)目學(xué)習(xí)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出，在課程內(nèi)容選擇時，要關(guān)注數(shù)學(xué)學(xué)科發(fā)展前沿與數(shù)學(xué)文化， 繼承和弘揚(yáng)中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化［1］ .這道中考題所延伸出來的從勾股定理到圖形面積關(guān)系的拓展，學(xué)生了解到數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)造的弦圖，這也是勾股定理的一種證明方法.教師可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步深入研究弦圖中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)結(jié)論、趙爽或其他數(shù)學(xué)家的貢獻(xiàn)、勾股定理的其他證明方法等.這些也可以作為項(xiàng)目化學(xué)習(xí)的一個主題，既可以讓學(xué)生了解我國古代數(shù)學(xué)的發(fā)展歷史，激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，又可以增強(qiáng)學(xué)生自主查閱文獻(xiàn)資料和整理歸納方法的綜合能bTBR475Uo7ehWzsOaDCzVw==力.學(xué)生在這樣的過程中，理解數(shù)學(xué)，應(yīng)用數(shù)學(xué)，形成和發(fā)展應(yīng)用意識、模型觀念等，提升獲取信息和資料的能力、自主學(xué)習(xí)的能力，發(fā)展學(xué)習(xí)能力、實(shí)踐能力和創(chuàng)新意識［2］ .

3. 開展主題學(xué)習(xí)，尋求方法共性

本文所呈現(xiàn)的整個研究過程可以作為一個主題式的復(fù)習(xí)流程，安排3～4個課時.首先通過一道典型的中考題，通過研究它的多種解法，獲取間接結(jié)論和歸納解題方法.接著從教材或作業(yè)中找出它的題目或圖形的原型，分析新題與原題的共性和所發(fā)生的變化.然后針對這種類型的題目進(jìn)行拓展延伸和變式練習(xí)，主要的題型可以取材于歷年的?？碱}型和中考題.在這個過程中歸納一些解題常用的基本模型和相關(guān)結(jié)論，以便在其他題目中舉一反三和靈活應(yīng)用.最后嘗試對題目進(jìn)行改編，挖掘原題沒有出現(xiàn)的新結(jié)論，或加入一些新的常用元素，適當(dāng)拓展題目的深度.整個過程可以由教師組織開展并發(fā)布任務(wù)，由學(xué)生分組完成，學(xué)生的研究成果以課件、研究小論文等形式呈現(xiàn).每個環(huán)節(jié)完成后開展課堂上的分享交流會，教師進(jìn)行歸納總結(jié).學(xué)生經(jīng)歷這個過程后的收獲遠(yuǎn)比單純完成幾道題目后的收獲要多得多.