循序漸進(jìn)的教學(xué)方式是提升數(shù)學(xué)思維的有效路徑

［ 關(guān)鍵詞 ］ 數(shù)學(xué)思維；循序漸進(jìn)；教學(xué)策略

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》在“四基與四能”的基礎(chǔ)上提出了“三會(huì)”要求，即會(huì)觀察、會(huì)思考、會(huì)表達(dá).毫無疑問，思維能力的發(fā)展是形成“三會(huì)”的關(guān)鍵，亦是核心素養(yǎng)的具體體現(xiàn).根據(jù)數(shù)學(xué)思維的抽象性、長(zhǎng)期性與社會(huì)性特征，教師應(yīng)有規(guī)劃地做好長(zhǎng)期準(zhǔn)備，循序漸進(jìn)地實(shí)施“長(zhǎng)度”與“深度”教學(xué)，讓學(xué)生的思維經(jīng)歷一個(gè)拾級(jí)而上的發(fā)展過程.

由淺入深，搭建思維腳手架

從學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展特征出發(fā)，思維發(fā)展需經(jīng)歷一個(gè)由淺入深的過程.新知教學(xué)時(shí)，教師若直接將教材結(jié)論呈現(xiàn)給學(xué)生，只會(huì)增加學(xué)生的困擾，形成機(jī)械性的記憶，根本談不上數(shù)學(xué)思想方法的提煉或思維的發(fā)展等.因此，新知教學(xué)應(yīng)從學(xué)生的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，結(jié)合教學(xué)內(nèi)容的特點(diǎn)逐層遞進(jìn)地啟發(fā)學(xué)生的思維，讓學(xué)生做到知其然且知其所以然，獲得知識(shí)本質(zhì).

案例1 “ 一次函數(shù)的圖象”的教學(xué)

1. 揭示概念本質(zhì)

為了有效啟發(fā)學(xué)生的思維，讓學(xué)生從本質(zhì)上掌握一次函數(shù)的圖象，筆者在教學(xué)前曾思考過這樣一個(gè)問題：一次函數(shù)的圖象究竟是從哪里來的，它對(duì)學(xué)生的思維發(fā)展具有怎樣的幫助？

經(jīng)實(shí)踐與探索，筆者發(fā)現(xiàn)要解決這個(gè)問題需從三個(gè)“時(shí)間窗口節(jié)點(diǎn)”循序漸進(jìn)地去剖析.

第一個(gè)節(jié)點(diǎn)——數(shù)軸

在這個(gè)節(jié)點(diǎn)上，教師首先要帶領(lǐng)學(xué)生深刻理解數(shù)軸上任意點(diǎn)與實(shí)數(shù)建立“一一對(duì)應(yīng)”的關(guān)系. 簡(jiǎn)言之，就是學(xué)生的思維所處的層面為：只要看到數(shù)軸上的某一點(diǎn)，就能立即明白它所對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)，同樣地，看到一個(gè)實(shí)數(shù)就能在大腦中立即閃現(xiàn)出它在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn).也就是點(diǎn)與數(shù)之間互相依存，不離不棄.

第二個(gè)節(jié)點(diǎn)—— 平面直角坐標(biāo)系

該節(jié)點(diǎn)，教師的主要任務(wù)是帶領(lǐng)學(xué)生理解平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的“任意點(diǎn)對(duì)應(yīng)一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)”，即同樣建立“一一對(duì)應(yīng)”的關(guān)系，進(jìn)一步深化對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的認(rèn)識(shí).從學(xué)生思維的角度來看，就是要達(dá)到這樣一個(gè)水平：當(dāng)看到平面上的某一點(diǎn)，立即能意識(shí)到該點(diǎn)對(duì)應(yīng)著一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)，同樣地，看到一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)，立即想到它在平面直角坐標(biāo)系中所對(duì)應(yīng)的某一點(diǎn).也就是一對(duì)數(shù)與一個(gè)點(diǎn)之間為形影不離的關(guān)系.

第 三個(gè)節(jié)點(diǎn)—— 一次函數(shù)的圖象

本節(jié)課的主要任務(wù)是幫助學(xué)生突破原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)，揭示函數(shù)的本質(zhì)，在繼續(xù)滲透數(shù)形結(jié)合思想的基礎(chǔ)上對(duì)函數(shù)圖象形成深刻理解. 那么，函數(shù)的本質(zhì)究竟是什么？該如何讓學(xué)生更好地理解函數(shù)的本質(zhì)？

首先來分析函數(shù)的概念：概念中提到“對(duì)于x 的每一個(gè)值，都有唯一的一個(gè)y 值與它對(duì)應(yīng)”，簡(jiǎn)言之就是“一個(gè)x 對(duì)應(yīng)一個(gè)y”，結(jié)合之前對(duì)“數(shù)軸”與“平面直角坐標(biāo)系”的認(rèn)識(shí)，不難理解函數(shù)的本質(zhì)就是“某種對(duì)應(yīng)關(guān)系下所獲得的一對(duì)又一對(duì)的有序?qū)崝?shù)對(duì)”.

綜上可知，一次函數(shù)圖象的教學(xué)并非是孤立的一個(gè)知識(shí)點(diǎn)的教學(xué)，而是一個(gè)有“長(zhǎng)度”，基于“三個(gè)時(shí)間窗口節(jié)點(diǎn)”的教學(xué)，教學(xué)內(nèi)容由淺入深、逐層遞進(jìn).從這個(gè)層面上來看，教師在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)保持宏觀意識(shí)，需從知識(shí)的整體體系出發(fā)，帶領(lǐng)學(xué)生感知知識(shí)的發(fā)生發(fā)展需要經(jīng)歷一個(gè)循序漸進(jìn)的歷程，只有找出新知的發(fā)生地，并關(guān)注到中間發(fā)生了怎樣的演變，才能從真正意義上揭示知識(shí)的本質(zhì).

2. 提煉數(shù)學(xué)思想方法

三個(gè)節(jié)點(diǎn)的教學(xué)，凸顯了新知教學(xué)的“長(zhǎng)度”.想要促進(jìn)思維的成長(zhǎng)，光有“長(zhǎng)度”還不夠，還要有“深度”，尤其是數(shù)學(xué)思想方法的提煉能讓學(xué)生達(dá)到“ 以一通百” 的能力.

一次函數(shù)圖象的教學(xué)，可以用一張結(jié)構(gòu)圖（圖1） 說明以上三個(gè)節(jié)點(diǎn)知識(shí)間的關(guān)系，為提煉數(shù)學(xué)思想方法奠定基礎(chǔ).數(shù)形結(jié)合思想是聯(lián)系“數(shù)”與“形”的紐帶，若缺失了這個(gè)紐帶，不論做多大的努力，都無法將“數(shù)”與“形”連接到一起， 即使強(qiáng)行應(yīng)用也只能是隔靴搔癢.

本節(jié)課教學(xué)，若教師一味地強(qiáng)調(diào)列表、描點(diǎn)、連線的方法，而不帶領(lǐng)學(xué)生去追根溯源，學(xué)生也僅是掌握了一種畫函數(shù)圖象的基本技能，思想意識(shí)層面則處于停滯狀態(tài)，更談不上促進(jìn)數(shù)學(xué)思維的發(fā)展與數(shù)形結(jié)合思想的提煉了.

筆者曾訪談過部分學(xué)生對(duì)一次函數(shù)圖象的理解，不少學(xué)生認(rèn)為一次函數(shù)圖象的本質(zhì)就是通過兩點(diǎn)連接而成的直線，也有學(xué)生認(rèn)為直線上存在很多個(gè)點(diǎn)，但沒有學(xué)生認(rèn)為每個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì).出現(xiàn)這種認(rèn)識(shí)的關(guān)鍵在于教師只帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷了畫圖過程，卻沒有帶領(lǐng)學(xué)生去了解知識(shí)的背景與發(fā)生源頭.

草蛇灰線，伏脈千里.想要讓學(xué)生掌握一次函數(shù)的本質(zhì)與蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，教師首先要熟悉整體的知識(shí)結(jié)構(gòu)，做好打“持久戰(zhàn)”的準(zhǔn)備，在遇到相應(yīng)知識(shí)點(diǎn)時(shí)能帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行融會(huì)貫通；其次教學(xué)實(shí)踐應(yīng)循序漸進(jìn)地推進(jìn)，不斷深化學(xué)生對(duì)知識(shí)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，讓思維在時(shí)間的長(zhǎng)河中不斷積累、沉淀、提升.

由易到難，以生活啟發(fā)思維

新課改背景下，素質(zhì)教育是改革的方向.陶行知先生的“生活教育理論”對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)施具有重要的指導(dǎo)意義.該理論強(qiáng)調(diào)：教育源自生活，又反過來促進(jìn)生活的發(fā)展，因此教育教學(xué)應(yīng)從學(xué)生的生活實(shí)際出發(fā)，讓學(xué)生結(jié)合生活提煉知識(shí).

案例2 “二次函數(shù)”的教學(xué)

例1：如圖2，此為一座拱橋，橋洞呈拋物線形狀.當(dāng)拋物線的頂端與水面的距離正好2 米時(shí)，水面的寬度是4米，若水面下降了1米，那么水面的寬度會(huì)增加多少米？

學(xué)生首次看到問題，一個(gè)個(gè)抓耳撓腮，無從下手.面對(duì)學(xué)生無奈的表情，筆者覺得又好氣又好笑.為了讓學(xué)生能自主解題，筆者研究了學(xué)生的認(rèn)知水平，結(jié)合學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”設(shè)計(jì)了一系列問題串，以低起點(diǎn)、小步子的方式啟發(fā)學(xué)生的思維，逐漸將學(xué)生的思維從“未知”推向“已知”，實(shí)現(xiàn)解題.

問題串：①通過審題，你們得到了哪些已知條件？②本題需要解決什么問題？③題中哪里是代表水面寬度線段的端點(diǎn)？④想要求水下降后水面增加的寬度， 需要知道哪些條件？⑤如何獲得這些條件？⑥先求什么數(shù)據(jù)？⑦如何求？

由淺入深的七個(gè)問題，將學(xué)生的思維從已知逐漸帶入未知.交流發(fā)現(xiàn)，學(xué)生能順利地回答前四個(gè)問題，到問題⑤出現(xiàn)了卡殼.為了幫助學(xué)生突破思維阻礙，筆者在此處再次降低教學(xué)起點(diǎn)，結(jié)合教學(xué)內(nèi)容與學(xué)生的認(rèn)知，用新的問題為學(xué)生搭建思維的“腳手架”.

例2：如圖3，若一個(gè)涵洞的截面形狀為拋物線形，經(jīng)測(cè)量，水面的寬度AB 為4米，拋物線的頂點(diǎn)O與水面之間有1米的距離.根據(jù)這些條件是否能推導(dǎo)出點(diǎn)A 與點(diǎn)B 的坐標(biāo)？結(jié)合圖中的直角坐標(biāo)系，是否能獲得拋物線的函數(shù)解析式？若水面再下降1 米，水面的寬度會(huì)增加多少？

例2 對(duì)學(xué)生而言，比較容易理解.隨著此題的解決，學(xué)生終于明確了解例１的關(guān)鍵點(diǎn)：既然二次函數(shù)的圖象為拋物線，就可以從建立直角坐標(biāo)系的角度去分析問題，本題將拋物線的頂點(diǎn)定為直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，將該拋物線的對(duì)稱軸作為直角坐標(biāo)系的y 軸即可.

為了鞏固學(xué)生對(duì)這種解題技巧的理解與應(yīng)用，教師可結(jié)合以上問題設(shè)計(jì)出變式拓展題，讓學(xué)生的思維隨著問題的難度加深拾級(jí)而上.

變式：已知一座拱橋橋洞為拋物線形狀，一般情況下，橋洞中水面寬度是20米，水面與洞頂?shù)木嚯x為4米，橋下的水深為2米，為了保證來往船只的通行，橋下的水面寬度必須大于或等于16米.為了不影響船只的正常通行，橋下的水深不得超過多少米？

有了以上探究基礎(chǔ)，大部分學(xué)生能順利完成解題.

此案例以“低起點(diǎn)、小步子”的問題串啟發(fā)學(xué)生的思維，讓學(xué)生將二次函數(shù)知識(shí)與生活中的實(shí)例聯(lián)系起來進(jìn)行思考，意在幫助學(xué)生從具體情境中學(xué)會(huì)建立二次函數(shù)模型，并應(yīng)用模型解決實(shí)際問題.當(dāng)學(xué)生的思維出現(xiàn)卡殼時(shí)，教師并沒有急于呈現(xiàn)答案，而是通過另一個(gè)實(shí)際問題來點(diǎn)撥學(xué)生的思維，從真正意義上凸顯了學(xué)生在課堂中的主體地位與教師的引導(dǎo)作用.隨著變式拓展的應(yīng)用，學(xué)生的思維從真正意義上實(shí)現(xiàn)了從低到高的跨越.

由特殊到一般，讓思維自然過渡

華羅庚認(rèn)為：解題遇障礙時(shí)，可先往后退，一直退到能看清楚的位置，當(dāng)看透了，鉆深了，而后再往前解題，會(huì)有意想不到的效果.這句話告訴我們，當(dāng)遇到一些棘手的問題時(shí)，可以從“特殊化”的角度來分析，即應(yīng)用特例法先“退”，當(dāng)有了一定眉目后，再將問題進(jìn)行一般化的分析，并在此過程中積累經(jīng)驗(yàn)， 為探尋一般的解題方法奠定基礎(chǔ).

案 例3 “多邊形對(duì)角線的條數(shù)”的教學(xué)

參考兩位教師不同的教學(xué)手法，體會(huì)教學(xué)方法對(duì)學(xué)生思維自然過渡的重要性.

方法一

教師一上來就提出：眾所周知，三角形不存在對(duì)角線，四邊形對(duì)角線的數(shù)量為兩條，那么五邊形的對(duì)角線有幾條呢？

問題一出，反應(yīng)靈敏的學(xué)生立即在草稿紙上畫圖研究，但還是有相當(dāng)多的學(xué)生沒進(jìn)入狀態(tài).反應(yīng)快的學(xué)生立即給出“5 條”的結(jié)論，教師順勢(shì)就提出問題：“你們能猜想出n 邊形對(duì)角線的數(shù)量嗎？”（學(xué)生沉默）

師：現(xiàn)在請(qǐng)大家想象一下，如果從一個(gè)多邊形的其中一個(gè)頂點(diǎn)開始畫對(duì)角線，是不是除了它本身與相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)無法連接外，其他各個(gè)頂點(diǎn)都能連接？

學(xué)生云里霧里、似懂非懂. 但教師自認(rèn)為講得很清楚，因此繼續(xù)往下說：n 邊形存在n 個(gè)頂點(diǎn)，若從n 個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)畫對(duì)角線，就可以連“n（n-3） ”次，對(duì)吧？但是，每條對(duì)角線都重復(fù)了一次，對(duì)不對(duì)？由此我們可以得出一個(gè)結(jié)論，那就是n 邊形的對(duì)角線數(shù)量一共是n（n -3）/2 條.

方法二

依然從三角形的對(duì)角線出發(fā)，教師分別提問三角形、四邊形、五邊形分別有幾條對(duì)角線.對(duì)于五邊形的對(duì)角線數(shù)量，在學(xué)生給出答案后，教師要求學(xué)生說一說5 條對(duì)角線的由來.學(xué)生一致表示是畫圖后數(shù)出來的結(jié)論.

師：非常好！大家覺得老師接下來會(huì)提出什么問題呢？

生（眾）：六邊形的對(duì)角線有幾條？

生1：探索完六邊形，估計(jì)就要問n 邊形的對(duì)角線有幾條了.

師：太棒了！你們都能當(dāng)教師啦.（學(xué)生笑） 看來大家都很清楚接下來要探索什么問題.請(qǐng)大家嘗試解決以上兩個(gè)問題.

此時(shí)課堂氛圍非常愉悅，學(xué)生主動(dòng)進(jìn)入畫圖、獨(dú)立思考與小組合作學(xué)習(xí)的狀態(tài)，最后各組分別派了一名代表呈現(xiàn)討論結(jié)果.

組1：我們組經(jīng)過交流，一致認(rèn)為六邊形的對(duì)角線為9條，n 邊形的對(duì)角線為n（n -3）/2 條.

各組紛紛表示同意，教師讓其中一個(gè)小組代表跟大家展示一下結(jié)論得來的過程.

生2：第一步，在草稿紙上隨意畫一個(gè)六邊形， 并連接出它的對(duì)角線， 通過數(shù)一數(shù)的方式， 獲得9 條的結(jié)論；第二步，畫出七邊形的對(duì)角線， 數(shù)出14 條對(duì)角線；第三步， 將四、五、六、七邊形的對(duì)角線數(shù)量寫在草稿紙上， 分別是2，5，9，14，分析這幾個(gè)數(shù)字的規(guī)律后發(fā)現(xiàn)5=2+3，9=2+3+4，14=2+3+4+5；第四步，猜想八邊形的對(duì)角線為2+3+4+5+6=20條，經(jīng)畫圖驗(yàn)證，發(fā)現(xiàn)是正確的；第五步，根據(jù)以上規(guī)律獲得結(jié)論n 邊形的對(duì)角線為n（n -3）/2 條.

生3：如圖4，若以多邊形的頂點(diǎn)A1為出發(fā)點(diǎn)，與A1相連的對(duì)角線有“n-3”條，那么以n 個(gè)頂點(diǎn)為出發(fā)點(diǎn)，就可以連出n （n-3） 條對(duì)角線，此時(shí)每條對(duì)角線都連了兩次，由此可確定n 邊形的對(duì)角線為n（n -3）/2 條.

對(duì)比這兩位教師的教學(xué)方式不難發(fā)現(xiàn)， 第一種教學(xué)方法， 學(xué)生一直處于懵懂的狀態(tài)， 根本談不上思維的發(fā)展. 而第二種教學(xué)方法， 教師的說教并不多， 以學(xué)生的獨(dú)立思考、合作探究為主. 此過程學(xué)生不僅深化了對(duì)知識(shí)的理解，還親歷了從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用， 體會(huì)了猜想、驗(yàn)證、歸納的過程. 這不僅僅是一個(gè)簡(jiǎn)短的教學(xué)片段， 更凸顯了一般性的研究過程， 對(duì)學(xué)生來說是一種能力的提升.

總之，“一口吃不成個(gè)胖子”，思維發(fā)展亦如此，踏踏實(shí)實(shí)地邁好每一步才是實(shí)現(xiàn)思維發(fā)展的關(guān)鍵.教師在思想上應(yīng)充分認(rèn)識(shí)到循序漸進(jìn)的教學(xué)方式是提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維的有效路徑，在行動(dòng)上應(yīng)通過適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方式啟發(fā)學(xué)生的思維，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).