數(shù)形結合思想應用于初中數(shù)學解題中的相關思考

周敏

【摘要】數(shù)形結合思想是指將數(shù)學問題與圖形相結合，通過圖形的特點和性質來解決數(shù)學問題的思維方式.本文旨在探討深度學習視角下數(shù)形結合思想在初中數(shù)學解題中的應用.首先介紹了數(shù)形結合思想的定義和特點，并強調其在數(shù)學解題中的優(yōu)勢和作用.然后在一個具體例題中詳細講解了如何運用數(shù)形結合思想進行解題.接著對比了傳統(tǒng)解題方法和數(shù)形結合思想的差異和優(yōu)劣點.進一步設計了一組相關習題，并分析了學生在解題過程中的表現(xiàn)和策略，以及數(shù)形結合思想對解題的優(yōu)勢和幫助.通過研究發(fā)現(xiàn)，數(shù)形結合思想能夠提高學生的空間思維能力、知識的綜合運用能力，培養(yǎng)他們的圖形觀察和推理能力，有助于加深對數(shù)學問題的理解和應用.

【關鍵詞】數(shù)形結合思想；初中數(shù)學；深度學習

數(shù)形結合思想是一種將數(shù)學與圖形相結合的解題方法，通過運用圖形的特點和性質來解決數(shù)學問題.在初中數(shù)學教學中，數(shù)形結合思想被認為是培養(yǎng)學生空間思維能力、提高解題技巧的重要策略.然而，目前對于深度學習視角下數(shù)形結合思想在初中數(shù)學解題中的應用仍缺乏系統(tǒng)性的研究.

1 數(shù)形結合思想在初中數(shù)學解題中的應用

1.1 數(shù)形結合思想的定義和特點

數(shù)形結合思想是初中數(shù)學非常重要的一種解題方法，是通過將數(shù)學問題與圖形相結合，利用圖形的特點和性質來解決數(shù)學問題的一種思維方式.其核心思想是通過將抽象的數(shù)學語言與直觀的圖形相結合，通過觀察和分析圖形，根據(jù)問題的特點，將代數(shù)問題借助于圖形解決，或者將幾何圖形中的關系量化轉化成代數(shù)關系，再根據(jù)圖形的形狀、特點、位置、數(shù)量、關系等特征，將數(shù)學問題轉化為圖形的屬性或將幾何屬性轉化為代數(shù)運算，從而達到以形助數(shù)，以數(shù)解形的作用，進而達到使抽象的問題具體化，復雜的問題簡單化，更易于理解、解決數(shù)學問題的目的［1］.

數(shù)形結合思想具有以下特點：一是綜合性.數(shù)形結合思想能夠將數(shù)學的不同內容融合在一起，通過幾何圖形的視覺化表達，幫助學生理解和應用數(shù)學知識.二是直觀性.圖形是直觀可見的，通過觀察圖形可以直接感知到其形狀、大小以及相互關系，有助于學生對數(shù)學問題的理解和思考，把抽象的問題具體化.三是模型化.數(shù)形結合思想將數(shù)學問題抽象成幾何模型，通過數(shù)學模型的建立和分析，可以更清晰地展示數(shù)學問題的本質和解題方法，提高學生的數(shù)學應用能力.四是思維的靈活性.通過數(shù)形結合，學生可以從不同角度考慮問題，既可以從數(shù)學概念出發(fā)，也可以從圖形出發(fā)，從而更全面地理解問題.

1.2 數(shù)形結合思想在數(shù)學解題中的優(yōu)勢和作用

數(shù)形結合思想在初中數(shù)學解題中具有以下優(yōu)勢和作用.一是激發(fā)興趣.數(shù)形結合思想通過以圖形為媒介，能夠使抽象的數(shù)學問題更具有形象性，激發(fā)學生的學習興趣和好奇心.學生可以通過觀察、分析和推理，將抽象的數(shù)學概念和問題轉化為直觀且可視化的形式，使學習變得更加生動有趣.二是提高空間思維和想象能力.數(shù)形結合思想要求學生從圖形的角度去考慮問題，培養(yǎng)了學生的空間思維能力和幾何直觀感知能力.通過觀察和操作圖形，學生可以培養(yǎng)對幾何形狀、屬性和關系的敏感性，提升他們在處理空間問題時的思維靈活性和幾何直覺.三是增強問題解決能力.數(shù)形結合思想通過將數(shù)學問題轉化為圖形進行分析和推理，能夠鍛煉學生解決問題的能力和邏輯思維能力.學生需要觀察圖形的特點、關系和規(guī)律，并運用數(shù)學知識進行分析和解決問題.這種思維方式培養(yǎng)了學生的邏輯推理能力、創(chuàng)造性思維能力和靈活思維能力，使他們能夠更有效地解決數(shù)學問題［2］.四是深入理解數(shù)學知識，提高解題效率.數(shù)形結合思想能夠幫助學生從圖形的視角去理解數(shù)學知識，或者從數(shù)的方面去解釋圖形，促進學生對數(shù)學知識的深入理解和應用.通過觀察圖形的特點和關系，學生可以感受到數(shù)學的運用和意義，提高對數(shù)學原理和規(guī)律的把握和理解程度.

2 數(shù)形結合思想在初中數(shù)學中的實踐

2.1 數(shù)形結合思想在幾何中的運用

例1 如圖1所示，在正△ABC中，邊AB、BC、CA分別有點D、E、F，且滿足DE⊥BC，EF⊥AC，F(xiàn)D⊥AB，求點D在AB上的位置.

解析 根據(jù)題目給出的條件，我們要求點D在邊AB上的位置.這里涉及線段關系，需要運用數(shù)形結合思想來解題.

先假設符合條件的點D、E、F已經作出，再利用已知條件，尋找線段與線段之間的數(shù)量關系，列出含有待求量的等式（方程），以求其解.

解 設AB=1，AD=x.

由于△ABC為正三角形，且DE⊥BC，EF⊥AC，F(xiàn)D⊥AB，根據(jù)直角三角形，30°角所對直角邊等于斜邊一半的定理，我們可以得到以下數(shù)量關系：

AF=2x，CF=1－2x，CE=2CF=2－4x，BE=1－CE=4x－1，BD=2BE=8x－2，

而AD+BD=AB，即x+（8x－2）=1.解這個方程可以得到x=13，即點D位于AB邊上的13分點處.

通過解這個方程，我們可以得到AD的值，并進一步計算出BD的長度，最終確定點D位于AB邊上的具體位置.

小結 通過該例題的講解，我們可以看到數(shù)形結合思想的應用在解決復雜問題時具有很大的幫助.通過將幾何圖形和數(shù)量關系相結合，我們能夠更清晰地理解題目的條件和要求，從而運用適當?shù)耐茖Ш陀嬎惴椒▉斫鉀Q問題.在初中數(shù)學教材中，通過類似的例題和練習題，可以幫助學生深入理解數(shù)形結合思想的應用，以數(shù)解形，并提高他們的解題能力和空間思維能力.在解決幾何問題時，通過將幾何中的形的關系轉化為數(shù)的關系，可以更加直觀地理解和解決問題.

2.2 數(shù)形結合思想在解決代數(shù)問題中的應用

在很多代數(shù)問題中，比如一些含有字母的絕對值的運算，公式的恒等變形，不等式的解的問題，圖形與坐標，函數(shù)與方程組，函數(shù)與不等式等函數(shù)問題，我們經常會利用數(shù)軸、幾何圖形、圖像等與數(shù)或點的坐標相結合來解決數(shù)學問題，從而形成數(shù)形結合思想.通過圖形或者圖像，我們可以直觀地看到數(shù)的變化趨勢、數(shù)的性質以及不等式的解集等，從而通過數(shù)形結合思想解決此類問題.

例2 文具店、書店、服裝店依次坐落在一條東西走向的大街上，文具店在書店的西邊30m處，服裝店在書店的東邊80m處，小明從書店出來沿街先向西走了20m，接著又向東走了100m（見圖2），則小明此時的位置在（? ）

（A）文具店處? （B）書店東100m處

（C）服裝店處 ?（D）文具店東100m處

解析 將這條東西走向的大街視為數(shù)軸，以書店作為原點，并規(guī)定正東方向為正方向.每單位長度表示10m.根據(jù)題目描述，文具店位于書店西邊30m處，服裝店位于書店東邊80m處.我們可以根據(jù)這些信息在數(shù)軸上標出文具店和服裝店的位置.根據(jù)小明從書店起始位置開始，先向西走了20m，再向東走了100m的過程，我們可以在數(shù)軸上找到小明此時的位置.由于小明從書店（起點）向西走了20m，所以他現(xiàn)在的位置應該是書店的位置減去20m.由于小明又向東走了100m，所以他的位置應該在書店向西走了20m的位置加上100m.將書店的位置設為原點，并根據(jù)數(shù)軸上的正、負和單位長度代表的距離來表示文具店和服裝店的位置.根據(jù)計算，文具店的位置可以表示為-30，服裝店的位置可以表示為+80，小明此時的位置可以用+80來表示，因此根據(jù)數(shù)形結合思想對數(shù)軸上的位置關系進行分析，可以確定小明此時的位置在服裝店處，故選C.

小結 在給出的習題中，通過畫數(shù)軸將文具店、書店和服裝店的位置表示出來，將問題轉化為數(shù)軸上點的位置關系.通過數(shù)形結合思想，將實際情境轉化為數(shù)軸上的點的位置，學生通過圖形的展示和數(shù)學模型的建立，更容易理解問題和進行推理.在這個習題中，學生可以通過觀察數(shù)軸上的位置關系和加減運算的規(guī)律，確定小明此時的位置在服裝店處.數(shù)形結合思想的應用使得抽象的數(shù)學問題具有更直觀的形象性，激發(fā)學生對數(shù)學問題的興趣和主動思考能力.通過解題過程，學生不僅掌握了具體問題的解法，還培養(yǎng)了幾何形象思維和數(shù)學建模能力，提升了數(shù)學問題的解決能力和數(shù)學思維水平［3］.

因此，數(shù)形結合思想在解決很多代數(shù)問題，比如代數(shù)中不等式求解問題，函數(shù)增減性，交點，最值，大小比較，圖形與坐標等問題，以及一些公式的證明問題中運用非常廣泛，直觀地幫助學生從形的角度解決了數(shù)的問題，幫助我們更好地理解代數(shù)問題的本質，提供了一種簡便的解題方法.將抽象的數(shù)學問題和直觀的圖形結合起來，使我們更好地理解和解決數(shù)學問題.

2.3 對比使用傳統(tǒng)解題方法和數(shù)形結合思想的差異和優(yōu)劣點

傳統(tǒng)解題方法和數(shù)形結合思想在初中數(shù)學解題中，存在著一些差異和各自的優(yōu)劣點.

傳統(tǒng)解題方法主要依賴于代數(shù)運算和符號表示，強調邏輯推理和符號運算的過程.通過列方程、列不等式、化簡、代數(shù)計算等步驟來解決數(shù)學問題.該方法在一些抽象的運算與計算題目中具有一定優(yōu)勢，更加側重于數(shù)學公式和規(guī)則的運用.然而，在幾何圖形的分析證明和應用問題中可能略顯不足，較難從直觀角度入手進行解題.

與傳統(tǒng)解題方法相比，數(shù)形結合思想更加注重圖形的觀察和分析，將問題轉化為圖形的特征和關系進行推導和求解.通過圖形的直觀表達，能夠激發(fā)學生的空間思維能力和直觀感知能力.數(shù)形結合思想在許多問題中具有較大優(yōu)勢，能夠提供更多的直觀解釋和啟示.數(shù)形結合思想能夠更清晰地展現(xiàn)幾何的性質、關系、規(guī)律，使得問題的解答更加直觀、具體和易于理解.然而，數(shù)形結合思想也存在一些局限性.對于一些復雜的數(shù)學問題，可能需要較高的空間直觀能力和幾何推理能力才能運用數(shù)形結合思想進行解題.

3 數(shù)形結合思想在習題中的應用與效果

3.1 設計一組相關習題，要求學生運用數(shù)形結合思想解題

這組習題的設計旨在培養(yǎng)學生將數(shù)學問題與幾何圖形相結合的能力，并通過具體的例題來引導學生運用數(shù)形結合思想解題.通過反復練習和實踐，學生能夠逐漸掌握數(shù)形結合思想的應用技巧，提高解題的準確性和效率.

例3 在平面直角坐標系中，已知A（2，3），B（-1，3），C（0，5），若△CAB與△DBA全等（見圖3），求點D的坐標.

解析 此題需要根據(jù)題意建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼担谄矫嬷苯亲鴺讼抵忻璩鳇cA，點B，點C，并連接AB，AC，BC，得到△ABC，再根據(jù)三角形全等的判定定理——邊邊邊定理，在坐標系中畫出與之全等的圖形，因為AB邊確定，根據(jù)全等三角形對應邊高相等，可以得到與△CAB全等的△DAB有三個，進而求出點D的坐標有三個.

小結 數(shù)形結合思想在習題中的應用，能夠幫助學生更直觀地理解數(shù)學問題，并利用幾何圖形的特征和關系進行推導和計算.通過設計相關習題，要求學生運用數(shù)形結合思想解決問題，可以鍛煉他們的觀察和推理能力，提高解題的整體水平.另外，借助于圖形與坐標，函數(shù)圖象等解決數(shù)學問題，可以更直觀地展示函數(shù)的性質和變化規(guī)律，便于學生理解和掌握.因此，教師在教學中應適時引入能夠運用數(shù)形結合思想的習題，激發(fā)學生的學習興趣，并有效培養(yǎng)他們運用代數(shù)知識與幾何知識的綜合思維能力.

3.2 學生習題表現(xiàn)和解題策略

學生在習題表現(xiàn)和解題策略上的差異是個體之間的正?，F(xiàn)象.有些學生可能能夠迅速理解和解決數(shù)形結合問題，準確地應用數(shù)學知識和幾何規(guī)律.另一些學生可能需要更多時間和練習，以提升他們的數(shù)形結合能力和解題技巧.還有一些學生可能遇到困難，難以將數(shù)學概念和幾何形狀相結合，解釋和應用數(shù)學規(guī)律.

有些學生可能善于使用圖形分析和推理，通過觀察幾何形狀的特征和關系來解決問題.另一些學生可能更傾向于代數(shù)思維，將幾何問題轉化為代數(shù)方程或表達式進行求解.還有一些學生可能采用試錯法或反復嘗試不同方法，以找到正確的解決途徑.教師在教學中應關注學生的習題表現(xiàn)和解題策略，以便更好地指導和支持學生.這可以通過觀察學生的作業(yè)、與學生的交流或小組討論等方式來了解學生的習題表現(xiàn)和解題思路.針對學生的差異性，教師可以根據(jù)學生的需求進行個別輔導和指導，提供適當?shù)慕虒W資源和策略，以幫助學生更好地理解和應用數(shù)形結合的知識和技巧.

3.3 數(shù)形結合思想在解題過程中的優(yōu)勢和幫助

數(shù)形結合思想在解題過程中具有許多優(yōu)勢和幫助.第一，可視化問題解決.數(shù)形結合思想能夠幫助學生將抽象的數(shù)學概念與具體的圖形相聯(lián)系，使問題更加可視化.通過可視化，學生能夠更直觀地觀察、分析和理解問題，從而提高解題的準確性和效率.第二，創(chuàng)造性思維培養(yǎng).數(shù)形結合思想鼓勵學生發(fā)展創(chuàng)造性思維，從不同角度思考問題，并嘗試找到不同的解決方法.學生可以嘗試各種組合、變換和創(chuàng)新，以通過自己的探索來解決問題.第三，綜合能力提升.數(shù)形結合思想讓學生綜合運用數(shù)學知識，使代數(shù)知識與幾何知識融會貫通，從而提升他們的綜合解題能力.學生需要將數(shù)學知識轉化為幾何圖形或圖像，然后利用這些圖形或圖像來進行分析、推理和解答問題.第四，規(guī)律發(fā)現(xiàn)和應用.通過數(shù)形結合思想，學生能夠更容易地發(fā)現(xiàn)數(shù)學問題中的規(guī)律和關系，并將其應用到其他類似的情境中.例如，通過觀察幾何圖形的對稱性、比例關系或角度關系，學生可以推斷出數(shù)學規(guī)律，然后將這些規(guī)律應用到其他幾何問題中.第五，擴展解題思路.數(shù)形結合思想能夠幫助學生擴展他們的解題思路.它能夠鼓勵學生嘗試不同的方法和策略，以求得更全面和深入的解決方案.通過數(shù)形結合，學生可以突破傳統(tǒng)的解題思維模式，從多個角度思考問題，找到更多的解決途徑.

4 結語

綜上所述，通過深度學習視角下數(shù)形結合思想在初中數(shù)學解題中的應用研究，我們可以得出以下結論：數(shù)形結合思想是一種有效的解題方法，能夠幫助學生提升空間思維能力和解題技巧.在初中數(shù)學教材中實踐數(shù)形結合思想可以豐富教學內容，提高學生的學習興趣和理解能力.數(shù)形結合思想在解題過程中能夠促進學生對數(shù)學知識的深入理解，并培養(yǎng)他們的觀察和推理能力.然而，在實踐中仍需注意教學方法的靈活運用和個性化教學的重要性.未來研究可以進一步探索數(shù)形結合思想在其他數(shù)學領域中的應用，并結合創(chuàng)新教育技術共同推動數(shù)學教學的發(fā)展.

參考文獻：

［1］香欽源.數(shù)形結合思想在初中數(shù)學解題中的應用［J］.數(shù)理天地：初中版，2023（17）：20-21.

［2］崔文東.數(shù)形結合思想在初中數(shù)學解題中的應用研究［J］.數(shù)理天地：初中版，2023（13）：33-34.

［3］周建榮.數(shù)形結合在初中數(shù)學教學中的運用［J］.信息周刊，2022（5）：55-57.