一道雙曲線中兩三角形面積比值問題的探究與推廣

李桂蘭

廣東省中小學教師信息技術應用能力提升工程2.0專項科研課題《基于GeoGebra的高中數學可視化教學實踐研究》（課題編號：TSGCKT2023232）的成果.

本文對一道雙曲線中兩三角形面積比值為定值問題進行探究，發(fā)現(xiàn)該問題實質是直線過定點問題，并且可以推廣到一般情形，研究中使用GeoGebra軟件探究，通過計算驗證又得到圓錐曲線的一些一般性結論.

1? 試題呈現(xiàn)

（2022南京六校高三聯(lián)合試題）已知雙曲線Γ：x2a2－y2b2=1（a>0，b>0）的焦距為4，且雙曲線Γ過點P2，33.

（1）求雙曲線Γ的方程;

（2）過雙曲線Γ的左焦點F分別作斜率為k1，k2的兩直線l1與l2，直線l1交雙曲線Γ于A，B兩點，直線l2交雙曲線Γ于C，D兩點，設M，N分別為AB與CD的中點，若k1·k2=－1，試求ΔOMN（O為坐標原點）與ΔFMN的面積之比.

本題以直線與雙曲線的位置關系為載體，有機融合了定點、斜率積、面積比等問題，對數學運算、邏輯推理等核心素養(yǎng)有較高的考核要求，檢驗了學生分析問題與解決問題的能力，符合新高考理念.試題第（1）問考查雙曲線方程的求法，屬于基礎知識.由c=2以及過點P2，33，不難求得雙曲線Γ的方程為x23－y2=1.第（2）問設計巧妙，背景豐富，結論優(yōu)美.條件中涉及的點、線位置關系繁多，具有一定的綜合性.本文重點探究第（2）問.

2? 解法分析

解法1：由題知F（－2，0），則直線l1的方程為y=k1（x+2），又ba=33，故k1≠±33.

設點Ax1，y1，Bx2，y2，聯(lián)立y=k1（x+2），

x23－y2=1，

整理得1－3k21x2－12k21x－12k21－3=0，則x1+x2=12k211－3k21，且Δ>0，故y1+y2=k1x1+x2+4=4k11－3k21，即M6k211－3k21，2k11－3k21，由k1·k2=－1，則k2=－1k1，故N6k21－3，－2k1k21－3.記點O、F到直線MN的距離分別為d1，d2，當6k211－3k21=6k21－3，即k1=±1時，直線MN的方程為x=－3，則d1=3，d2=1，故SΔOMNSΔFMN=12|MN|d112|MN|d2=3.當k1≠±1時，kMN=2k11－3k21－－2k1k21－36k211－3k21－6k21－3=－2k13k21－1，直線MN的方程為y－2k11－3k21=－2k13k21－1x－6k211－3k21，故ΔOMN與ΔFMN的面積之比為3.SΔOMNSΔFMN=d1d2=12k313k21－11－3k21+2k11－3k214k13k21－1+12k313k21－11－3k21+2k11－3k21=12k31+2k1×3k21－14k11－3k21+12k31+2k1×3k21－1=18k31－6k16k31－2k1=3.

評析：注意到ΔOMN和ΔOMN有一條公共的底邊MN，因此將兩三角形面積之比轉化為兩三角形的公共底邊MN上的高之比.該解法思路自然直接，但無法從解答過程看出為什么面積之比為定值.

解法2：由解法1可知，當k1=±1時，直線MN的方程為x=－3，過點（－3，0）.

當k1≠±1時，直線MN的方程為y－2k11－3k21=－2k13k21－1x－6k211－3k21.

令y=0，得x=3k21－11－3k21+6k211－3k21=－3，故直線MN恒過點E（－3，0），則SΔOMNSΔFMN=12yM－yN·|OE|12yM－yN·|FE|=|OE||FE|=3.

評析：從解法2可以看出，由于直線MN過定點E（－3，0），且E，F(xiàn)，O三點共線，從而面積比可利用相似比進行轉換，SΔOMNSΔFMN=d1d2=|OE||FE|=3為定值，顯然面積比的定值由MN過定點引申而出，本題的實質為定點問題.

3? 縱向探究

利用解法2，我們很容易將例題進行推廣到一般情況.

引理? 已知雙曲線Γ：x2a2－y2b2=1（a>0，b>0），過雙曲線Γ的左焦點F分別作斜率為k1，k2的兩直線l1與l2，直線l1交雙曲線Γ于A，B兩點，直線l2交雙曲線Γ于C，D兩點，設M，N分別為AB與CD的中點，若k1·k2=－1，則直線MN過定點a2ca2－b2，0，ΔOMN（O為坐標原點）與ΔFMN的面積之比為a2－b2b2.

再進一步思考，若將焦點改為x軸上任意一點，k1·k2的數值改為非零常數，得到如下一般性結論.

命題1? 已知雙曲線Γ：x2a2－y2b2=1（a>0，b>0），過x軸上一點T（t，0）分別作斜率為k1，k2的兩直線l1與l2，直線l1交雙曲線Γ于A，B兩點，直線l2交雙曲線Γ于C，D兩點，設M，N分別為AB與CD的中點，若k1·k2=λ，則直線MN過定點λta2λa2+b2，0.

引理及命題1證明方式與解法二一致，本文不在贅述.

4? 橫向探究

基于圓錐曲線知識體系的統(tǒng)一性，筆者將探究背景的載體進一步推廣到雙曲線與拋物線，可得到如下結論.

命題2? 已知橢圓Γ：x2a2+y2b2=1（a>0，b>0），過x軸上一點T（t，0）分別作斜率為k1，k2的兩直線l1與l2，直線l1交橢圓Γ于A，B兩點，直線l2交橢圓Γ于C，D兩點，設M，N分別為AB與CD的中點，若k1·k2=λ，則直線MN過定點λta2λa2－b2，0.

命題3? 已知拋物線Γ：y2=2px（p>0），過點T（t，0）分別作斜率為k1，k2的兩直線l1與l2，直線l1交拋物線Γ于A，B兩點，直線l2交拋物線Γ于C，D兩點，設M，N分別為AB與CD的中點，若k1.k2=λ，則直線MN過定點t－pλ，0.

證明：設直線l1的方程為x=my+t，點Ax1，y1，Bx2，y2，聯(lián)立x=my+t，

y2=2px，

整理得y2－2pmy－2pt=0，則y1+y2=2pm，且Δ>0，故x1+x2=my1+y2+2t=2pm2+2t，即Mpm2+t，pm，設直線l2的方程為x=m′y+t，由k1·k2=λ，則1m·m′=λ，即m′=1λm，故Npλ2m2+t，pλm.當pm2+t=pλ2m2+t，即m2=1|λ|時，直線MN斜率不存在，直線l1，l2關于x軸對稱，此時λ<0，故直線MN的方程為x=t－pλ.當m2≠1|λ|時，kMN=pm－pλmpm2+t－pλ2m2+t=m－1λmm2－1λ2m2

=λmλm2－1λm2－1λm2+1=λmλm2+1，直線MN的方程為y－pm=λmλm2+1x－pm2－t.當y=0時，x=－pλm2+1λ+pm2+t=t－pλ，故直線MN過定點t－pλ，0.

5? 逆向探究

如果將條件和結論進行互換，是否也能成立呢？筆者通過GeoGebra軟件探究，得到以下結論.

命題4? 已知橢圓Γ：x2a2+y2b2=1（a>0，b>0），過點T（t，0）分別作斜率為k1，k2的兩直線l1與l2，直線l1交橢圓Γ于A，B兩點，直線l2交橢圓Γ于C，D兩點，設M，N分別為AB與CD的中點，若直線MN過定點λta2λa2－b2，0（λ≠0），則有k1k2=λ.

證明：設直線l1的方程為y=k1（x－t），點Ax1，y1，Bx2，y2，

聯(lián)立y=k1（x－t），

x2a2+y2b2=1， 整理得b2+a2k21x2+2a2k1nx+a2n2－b2=0，則x1+x2=2a2k21tb2+a2k21，xM=a2k21tb2+a2k21，點M也是直線MN與直線l1的交點，故聯(lián)立y=k1（x－t），

y=kx－λta2λa2－b2， 可得x=－k1t+kλta2λa2－b2k－k1，即－k1t+kλta2λa2－b2k－k1=a2k21tb2+a2k21，整理化簡得kλta2λa2－b2a2－a2tkk21－tb2k1+kλta2b2λa2－b2=0.

同理kλta2λa2－b2a2－a2tkk22－tb2k2+kλta2b2λa2－b2=0，故k1，k2為方程kλta2λa2－b2a2－a2tkx2－tb2x+kλta2b2λa2－b2=0的兩根，即k1k2=kλta2b2λa2－b2kλta2λa2－b2a2－a2tk=λta2b2λta2a2－a2tλa2－b2=λta2b2a2tb2=λ.

命題5? 已知雙曲線Γ：x2a2－y2b2=1（a>0，b>0），過點T（t，0）分別作斜率為k1，k2的兩直線l1與l2，直線l1交雙曲線Γ于A，B兩點，直線l2交雙曲線Γ于C，D兩點，設M，N分別為AB與CD的中點，若直線MN過定點λta2λa2+b2，0（λ≠0），則k1k2=λ.

命題6? 已知拋物線Γ：y2=2px（p>0），過點T（t，0）分別作斜率為k1，k2的兩直線l1與l2，直線l1交拋物線Γ于A，B兩點，直線l2交拋物線Γ于C，D兩點，設M，N分別為AB與CD的中點，若直線MN過定點t－pλ，0（λ≠0），則k1k2=λ.

6? 結語

一道出色的考題通常具有深刻的內涵，我們可以將這樣的題目視為知識和技能的成長機會，引導學生深入探究其核心，從多個角度思考問題，擴展他們的思維邊界.正如數學家波利亞所說：“解決數學問題僅僅是一半，更重要的是解題后的回顧.”回顧即解題的反思，它代表了整個解題過程的再次思考、重新發(fā)現(xiàn)以及再創(chuàng)造的過程.教師應該引導學生積極進行解題反思，通過題目的延伸、變形，以及對問題本質的深入探究，從而提升學生的解題思維能力.這個過程有助于培養(yǎng)學生的批判性思維和創(chuàng)新能力，使他們更好地應對各種學術和現(xiàn)實生活中的挑戰(zhàn).

參考文獻

［1］ 金保源.一道解析幾何定點問題的解法探究與推廣［J］.數理化解題研究.2023（22）：6-9.

［2］ 陳偉流.厘清背景 明晰本源 培養(yǎng)思維品質一以圓維曲線中一類動圓過雙定點問題為例［J］.中學數學研究（華南師大）.2023（09）：17-19.