一道不等式競賽題的加強、變式及推廣

劉遠桃 張濤 陳明萬

1? 試題呈現(xiàn)

題目? 已知a，b，c>0，滿足a+b+c=1，求證：a+12a1－a+b+12b1－b+c+12c1－c≥8ab+bc+ca.

這是2017年希臘數(shù)學奧林匹克競賽題中的一道不等式證明題，文中陳老師給出了一個加強，筆者對該試題做進一步的探索，得到了該不等式的加強、變式和一般性的推廣.

2? 試題析證

析證：條件a+b+c=1是不等式證明題的經(jīng)典類型，證明此類不等式，總體思路是通過對不等式進行變換，“湊出”a+b+c=1項，或者在變換過程中進行整體代換，簡化不等式從而得到證明.即由均值不等式得a+12a1－a=［2a+（b+c）］2ab+c≥22ab+c·2ab+c=4ab+c=4ab+4ac，當且僅當2a=b+c時，等號成立，此時a=13.

同理可得b+12b1－b≥4ab+4bc，（c+1）2c1－c≥4ac+4bc，所以（a+1）2a1－a+b+12b1－b+（c+1）2c1－c≥4ab+4ac+4ab+4bc+4ac+4bc

=8ab+bc+ca，當且僅當a=b=c=13時，等號成立.

評注：該證明思路主要是利用不等式“a，b>0，a+b≥2ab”將原不等式放縮得到證明，同時也可以利用不等式“a，b>0，ab≥21a+1b”對原不等式進行放縮來證明.

3? 試題加強

加強? 已知a，b，c>0，滿足a+b+c=1，求證：a+12a1－a+b+12b1－b+c+12c1－c≤83.

證明： 先證明a+12a1－a≤43a+49，只需證明2a1－aa+12≤43a+492，化簡得3a－129a2+15a+8≥0，當00恒成立，所以a+12a1－a≤43a+49，當且僅當a=13時，等號成立.同理可得b+12b1－b≤43b+49，（c+1）2c1－c≤43c+49，所以（a+1）2a1－a+（b+1）2b1－b+（c+1）2c1－c≤43a+49+43b+49+43c+49=43a+b+c+43=83.綜上得證，當且僅當a=b=c=13時，等號成立.

加強的推廣? 已知ai>0，i=1，2，….n，μ>0，滿足∑ni=1ai=λ，求證：

∑ni=1［（n－2）ai+λ］.μaiλ－ai≤2λ2n－1μn－1n.

評注：在加強的基礎上將未知數(shù)個數(shù)從“3”推廣到“n”，條件式子的結果從“1”推廣到“λ”，不等式的結構沒有改變，證明方法與加強不等式的證明完全相同.

4? 試題變式

變式? 已知a，b，c>0，滿足a+b+c=1，求證：a+12a1－a+b+12b1－b+c+12c1－c≥6.證明：a+12a1－a+b+12b1－b+c+12c1－c=a+12a1－a2a1－a+b+12b1－b2b1－b+c+12c1－c2c1－c

=2a+b+c2ab+c2ab+c+2b+a+c2ba+c2ba+c+2c+a+b2ca+b2ca+b≥4ab+c2ab+c+4ba+c2ba+c+4ca+b2ca+b=6，當且僅當a=b=c=13時，等號成立.

評注：試題中的式子是以整式形式呈現(xiàn)的，而變式中的式子是以分式形式呈現(xiàn)的.

5? 試題推廣

推廣1? 已知a，b，c>0，μ>0，滿足a+b+c=λ，求證：（a+λ）μaλ－a+（b+λ）μbλ－b+c+λμcλ－c≥42μ（ab+bc+ca）.

推廣2? 已知ai>0，i=1，2…n，滿足∑ni=1ai=1，求證：∑ni=1n－2ai+12ai1－ai≥42n－1∑i≠jaiaj.

推廣3? 已知ai>0，i=1，2，…，n，μ>0，滿足∑ni=1ai=λ，求證：∑ni=1n－2ai+λμaiλ－ai≥4μn－1∑i≠jaiaj.

分析：在推廣2的基礎上將式子結構中的“2”推廣到“μ”，條件式子的結果“1”推廣到“λ”.下面給出推廣3的證明，推廣1、2的證明不再敘述.

證明：由均值不等式得n－2a1+λμa1λ－a1=［（n－1）a1+（a2+a3+…+an）］μa1a2+a3+…+an

≥2n－1a1a2+a3+…+an·n－1a1a2+a3+…+an·μn－1

=2μn－1a1a2+a3+…+an，

當且僅當n－1a1=a2+a3+…+an時，等號成立，此時a1=λn.同理得其他n－1個式子，所以∑ni=1［n－2ai+λ］μaiλ－ai≥4μn－1∑i≠jaiaj，當且僅當a1=a2=a3=…=an=λn時，等號成立.

參考文獻

［1］陳羅英.幾道2017年數(shù)學競賽不等式加強及推廣［J］.中學數(shù)學研究（江西師大），2017（12）：48-50.