例談求解平面向量問題的幾種基本策略

高翠

平面向量具有“數(shù)”與“形”的雙重特點，是數(shù)形結合的“橋梁”，它既可以將幾何問題代數(shù)化，也可以將代數(shù)問題幾何化．抽象的代數(shù)思維、形象的幾何圖形，被向量這一重要紐帶結合到了一起.這為解決相關平面向量問題提供了更為廣闊的空間．本文從“數(shù)”和“形”兩大方面通過分析、提煉平面向量的幾種解題策略，為學生指明解題方向、優(yōu)化解題過程、提高解題效率，供讀者參考．

1．平面向量問題的基底化

圖1

基底化關鍵就是根據平面向量的基本定理選好基向量，如果在平面上能夠找到一組向量，其模和夾角都能確定或者部分確定，則該平面內向量的基本運算都可以通過這一組基底來實現(xiàn)．

例1? 在直角三角形ABC中，∠C=π2，AC=3，取點D，E，使得BD=2DA，AB=3BE，那么CD·CA+CE·CA=（? ）.

A．－6? B．6

C．－3? D．3

解析：如圖1所示，CD=CA+AD=CA+13·AB=CA+13（CB－CA）=23CA+13CB，所以CD·CA=（23CA+13CB）·CA=23CA2=6．

同理CE=CB+BE=CB+13AB=CB+13（CB－CA）=43CB-13CA，則CE·CA=（43CB－13CA）·CA=－3，故CD·CA+CE·CA=3，故選D．

評注：將平面向量表示成一組基底的線性組合，也是向量數(shù)量積的基本策略．本題中雖然不知道|CB|，但由于有垂直關系，所以結果與|CB|無關．

2．平面向量問題的坐標化

由于平面向量既具有代數(shù)的特征，又具有幾何的特征，故很多向量題，通過巧妙建立平面直角坐標系，構建代數(shù)與幾何聯(lián)系的橋梁，實現(xiàn)以形思數(shù)，以數(shù)解形．這是平面向量問題的坐標意識，體現(xiàn)了化歸與轉化的思想．

圖2

例2? 如圖2，等邊△ABC的邊長為2，頂點B，C分別在x軸非負半軸，y軸非負半軸上移動，M為AB的中點，則OA·OM的最大值為??? ?．

解析：如圖2，設∠CBO=θ，則在Rt△CBO中，CB=2，OB=2cosθ，OC=2sinθ，即B（2cosθ，0），∠ACO=∠BCO+∠ACB=（90°－θ）+60°=150°－θ，則∠ACy=30°+θ，故xA=2sin（30°+θ）=cosθ+3sinθ，yA=yC+2cos（30°+θ）=2sinθ+2cos（30°+θ）=sinθ+3cosθ，從而可以得出A點的坐標A（cosθ+3sinθ，sinθ+3cosθ），又M為AB的中點，所以M（32cosθ+32sinθ，12sinθ+32cosθ），則OA·OM=3cos2θ+33sinθcosθ+2sin2θ=2+cos2θ+33sinθcosθ

=52+332sin2θ+12cos2θ=52+7sin（2θ+φ），其中φ為銳角，且tanφ=39，所以OA·OM的最大值為52+7．

評注：凡是點的運動引起了角度的變化，或者動點在圓弧上運動，均可引入角度參數(shù)，將角度作為自變量，通過函數(shù)思想來解決向量數(shù)量積的最值問題和范圍問題．

3．平面向量問題的共線化

向量的共線化方法就是利用平面上三點共線的向量表示法，即將同一個平面向量通過兩種不同的方式表示成同一組基底的線性關系，由于基底相同，則其表示法是唯一的，便可得到基底的系數(shù)對應相等．三點共線的關系可以用平面向量基本定理表示，即OA=λOB+（1－λ）OC，同一向量與不同的三點共線有兩種表示形式；或者是一個用OA=λOB+（1－λ）OC，另一個用AB=μAC，最終都表示成同一組基底的形式．

圖3

例3? 如圖3，在梯形ABCD中，AB//DC，AB=2DC，BE=3EC，AF=2FD，AE與BF交于點O，則 AO=（? ?）.

A．37AB+47BC? B．47AB+37BC

C．45AB+35BC? D．27AB+37BC

解析：如圖3，因為AE=AB+BE=AB+34BC，又A，O，E三點共線，設AO=λAE=λ（AB+34·BC）=λAB+3λ4BC，因為AD=AB+BC+CD=AB+BC－12AB=12AB+BC，所以AF=23AD=23（12AB+BC）=13AB+23BC，又B，O，F(xiàn)三點共線，則存在實數(shù)μ使得AO=μAF+（1－μ）AB=μ（13AB+23BC）+（1－μ）AB=（1－2μ3）AB+2μ3BC，由于向量AO在基底{AB，AC}的表示下結果是唯一的，于是λAB+3λ4BC=（1－2μ3）AB+2μ3BC，所以λ=1－2μ3，

3λ4=2μ3， 解得λ=47，

μ=914， 所以AO=47AB+37BC，故選B．

評注：對于圖形中的交點問題，一般不少于兩種選擇，一是A，O，E三點共線，利用共線向量定理得出AO=λAE，再將AE用基底{AB，AC}表示；二是B，O，F(xiàn)三點共線，利用平面向量基本定理得AO=μAF+（1－μ）AB，根據表示的唯一性，即可突破問題的瓶頸．

4．平面向量問題的數(shù)量化

所謂數(shù)量化策略，是指在解決由基底表示的向量的系數(shù)問題時，把題目中的等式兩邊施加恰當?shù)臄?shù)量積運算，使向量運算轉化為純數(shù)量運算的方法．通過數(shù)量化后可只關注圖形的幾何特征，利用解三角形的方法把向量運算完全代數(shù)化．

例4? 已知△ABC的一個內角A=π3，O為△ABC所在平面上一點，且滿足|OA|=|OB|=|OC|，設AO=mAB+nAC，則m+n的最大值為（? ）.

A．23? B．1? C．43? D．2

圖4

解析：如圖4所示，過點O作OD⊥AB，易知AD=DB，在△AOD中，ADAO=cos∠OAD，所以AO=AB2cos∠OAD，

則AO·AB=|AO|·|AB|cos∠OAD=12|AB|2=12c2，

同理AO·AC=12b2，又AB·AO=mAB2+nAB·AC=mc2+12nbc，

AC·AO=mAC·AB+nAC2=12mbc+nb2，

所以12c2=mc2+12nbc，

12b2=12mbc+nb2， 化簡得m=23－b3c，

n=23－c3b， 即m+n=43－13（bc+cb）≤23，當且僅當b=c時等號成立，故選A．

評注：對于形如AO=mAB+nAC的結構，如果AO，AB，AC的模或者夾角已知，或者部分條件已知，則將向量數(shù)量化是一種有效的策略．當然，在問題的處理過程中會出現(xiàn)一些參數(shù)，這要看問題指向的目標，如果是求最值或者是求范圍，這些參數(shù)正好可以作為函數(shù)的自變量，如果是求值，則自然要消去這些參數(shù)．

5．平面向量問題的特殊化

所謂特殊化策略，就是把問題轉化為特殊形式，通過對特殊形式的研究，去獲取或探尋解決原問題的思路與方法．

例5? 若向量，，滿足||=4，||=22，與的夾角為π4，且（－）·（－）=－1，則|－|的最大值為????? ?．

解析：設=（x，y），=（4，0），由于與的夾角為π4，所以=（2，2），由（－）·（－）=－1（x－4，y）·（x－2，y－2）=－1（x－3）2+（y－1）2=1，|－|=（x－4）2+y2可看成是圓（x－3）2+（y－1）2=1上任意一點與點（4，0）之間的距離，所以|－|max=（4－3）2+（0－1）2+1=2+1．

評注：本題中a與b向量不僅模是確定的，夾角也是確定的，所以這兩個向量已經相對固定，從而可以特殊處理．特殊化后再坐標化在向量運算中可以實現(xiàn)簡化的目的．若||=1，則可設=（1，0）或=（0，1）或=（cosθ，sinθ）等等，以簡化運算．

6．平面向量問題的圖形化

所謂向量的圖形化方法，就是利用圖形的幾何特征，將要解決的向量問題體現(xiàn)在圖形的某種特征上．如向量的模即為兩點之間的距離，當相應的兩點在某個特別的圖形上運動時，距離就有了一定的范圍，這樣距離的最值或范圍就易于解決．

例6? 已知，是平面內兩個互相垂直的單位向量，若向量滿足（－）·（－）=0，則||的最大值為（? ?）.

A．1? B．2? C．2? D．22

圖5

解析：如圖5所示，設OA=，OB=，OC=，因為，是兩個互相垂直的單位向量，所以△ABO為直角三角形，且|OA|=|OB|=1，|AB|=2，

又因為－與－也是兩個互相垂直的向量，

且CA=OA－OC=－，CB=OB－OC=－，

所以O，A，C，B四點共圓，故點C在圓上運動，則0≤||≤2，

所以||max=2，故選C．

評注：向量中的垂直大多可以與直角三角形的外接圓建立聯(lián)系，所以，以OA，OB為直角邊構造直角三角形，則O，A，B三點在以AB為直徑的圓上，再通過直觀的圖形使解題簡單化．

7．平面向量問題的重構化

在解一些數(shù)學問題時，如果能夠重構數(shù)學問題的已知條件，將它建成另一個模型，使之成為一個全新的問題，那么就可以用全新問題的模型來解題．

例7? 已知||=1，|2+|=2，則|5－4b|的取值范圍是??? ?．

解析：令2+=，則=－2，所以|5－4|=|5－4+8|=|13－4|，又|13||－4|||≤|13－4|≤13||+4||，因為||=1，||=|2+|=2，所以5≤|5－4|≤21，故|5－4|的取值范圍是［5，21］．

評注：由于向量與2+的模已知，所以擬用向量與2+表示向量5－4，顯然直接表示有困難，于是聯(lián)想重構向量基底，令2a+=，用與表示5－4，再利用絕對值三角不等式，使問題迎刃而解．

綜上，平面向量的求解策略還有很多，本文例析的只是一些常用的基本方法，是學生學習過程中必須掌握的．經過以上分析可知，平面向量基本定理是在向量知識體系中占有核心地位的定理，通過平面向量基本定理的輻射作用，在求解平面向量問題時，要樹立“基底意識”與“坐標意識”．因此，我們在把向量的思想與方法傳授給學生時，不能夠只浮于解題之上，而忽略對向量思想與方法的理解．