淺談數(shù)學分析思想在高中數(shù)學解題中的應用

作者簡介：楊軍智（1982～），男，漢族，甘肅莊浪人，甘肅省莊浪縣第一中學，研究方向：高中數(shù)學教學。

摘 要：在新時代教育中，愈發(fā)重視對學生數(shù)學思維的培養(yǎng)，引導學生了解并掌握數(shù)學分析思想，讓學生將視野拓寬，用更加巧妙的方法去解答習題，不僅能夠提高學生的解題能力，同時還能夠加深學生對數(shù)學知識的理解，以達到“教是為了不教”的目的，意義重大。文章即在參考相關文獻資料的基礎上，結(jié)合個人教學經(jīng)驗，來說一說數(shù)學分析思想在高中數(shù)學解題中的應用，圍繞函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類與整合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、正向與逆向分析思想等多點數(shù)學分析思想，來分析高中數(shù)學解題能力培養(yǎng)的具體措施和建議，拋磚引玉，以供參考。

關鍵詞：高中數(shù)學；解題教學；數(shù)學分析思想；應用與建議

中圖分類號：G633.6

文獻標識碼：A

文章編號：1673-8918（2024）21-0090-04

高中數(shù)學課程知識點廣泛，且題型復雜多變，給學生造成非常大的學習壓力，數(shù)學成為大多數(shù)學生眼中第一難學的課程。在過去，以題海戰(zhàn)術(shù)的形式來培養(yǎng)學生，讓學生經(jīng)過大量做題來獲得固化的、淺顯的做題經(jīng)驗，進而提升學生的數(shù)學解題能力，這樣的培養(yǎng)方式是不當?shù)?，在新時期教學中，應重點對學生的解題思維進行訓練，引導學生了解有用的數(shù)學分析思想和常規(guī)的數(shù)學習題模型，持續(xù)提高學生對題型、數(shù)字的敏感程度。學生如果具備較強的函數(shù)思維，去觀察、分析、總結(jié)數(shù)學分析思想在不同題型中的應用，收獲數(shù)學解題的經(jīng)驗教訓，就能夠用更便捷、更清晰的方式去解答數(shù)學習題，就會發(fā)現(xiàn)數(shù)學學習會是一件簡單而高效的事情。

一、 傳統(tǒng)高中數(shù)學解題能力培養(yǎng)之弊端

傳統(tǒng)高中數(shù)學解題能力培養(yǎng)中，常常采用題海戰(zhàn)術(shù)的方式，讓學生經(jīng)過大量做題來獲得固化的、淺顯的做題經(jīng)驗，未能向?qū)W生滲透數(shù)學分析思想，或者數(shù)學分析思想教育較少，不足以讓學生形成系統(tǒng)化的理解和應用。這樣的教學方式雖然有一定作用，但也是低效的，久而久之，會給學生帶來一定的學習負擔，學生對數(shù)學模型、數(shù)學思想的認識也會越來越模糊，對習題類型、習題數(shù)字的敏感度也會越來越低，數(shù)學知識和習題在學生腦海中猶如“一團漿糊”。新時代教育強調(diào)用更加巧妙、更加靈活的方法展開，強調(diào)對學生解題思維路徑的訓練，教給學生學習技能以及分析方法，遠比教導學生某一個知識、某一個解法更加重要，以更好地實現(xiàn)“教是為了不教”的教學目的。

二、 數(shù)學分析思想培養(yǎng)之必要性

（一）有利于增強學生的數(shù)學基礎

數(shù)學分析思想是一套系統(tǒng)化的工具，通過這個工具，將繁復、抽象的數(shù)學習題進行梳理和總結(jié)，讓學生看到高中數(shù)學知識和習題雖然是繁復的，但是知識和習題卻是有規(guī)律的。如果學生掌握了數(shù)學分析方法，就可以運用另一種方法、從另一個角度去觀察和分析習題，對各類數(shù)學模型也會產(chǎn)生更加深刻和全面的認識，更深入地理解一個數(shù)學知識所關聯(lián)的模型是什么，用來解決什么問題，一個數(shù)學知識所關聯(lián)的習題有哪些形式，可以用什么方法解決，于是逐漸增強學生的數(shù)學基礎。

例如習題：已知x，y，z均為正實數(shù)，求證x2+xy+y2+x2+xz+z2+y2+yz+z2＞32（x+y+z）。觀察此題后，題干顯示信息較為復雜，但敏銳地觀察后發(fā)現(xiàn)，這一個不等式和“三角形兩邊之和大于第三邊”這一定理有相似之處，再通過構(gòu)建三角形，利用幾何的方法去解答，無形中增強了學生的數(shù)學知識理解能力，提高了學生將數(shù)學知識串聯(lián)在一起的能力，也意味著學生數(shù)學基礎得到增強。

（二）有利于拓展學生的創(chuàng)新能力

數(shù)學分析思想的本質(zhì)，就是尋找知識和習題的內(nèi)涵，再用更加便捷、更加貼合數(shù)學常規(guī)模型的方式去解答。因此，學生學習數(shù)學分析思想，學會用數(shù)學分析思想去解答習題，必將對學生的思維能力進行拓展，學生對一個問題的認識和分析角度也將更加多樣，能夠從問題的內(nèi)涵與特點入手進行解答，對一些復雜的習題，具有打破常規(guī)的思維能力。久而久之，學生的創(chuàng)新思維能力會得到很好的培養(yǎng)，思維更加靈活、更有創(chuàng)造性。

（三）有助于提升學生解題能力

思想是一種行之有效并且非常常見的解題技巧，讓學生能夠掌握數(shù)學知識的相關解題思路和解題技巧，有條不紊地去解題，對數(shù)學知識有更加深入的理解。因此可以說，數(shù)學分析思想在解題中的應用，必然能夠有效提升學生的解題能力，將一些復雜的習題用簡單的方法進行解答，學生在解題的時候會更加得心應手，解題思路更透徹，解題方法更優(yōu)秀，讓數(shù)學學習變得更加輕松、更加高效。

三、 高中數(shù)學解題中數(shù)學分析思想的應用途徑

高中數(shù)學分析思想大致分為知識性與思維性兩種，知識性則包括函數(shù)思想、方程思想等，思維性包括數(shù)形結(jié)合、分類討論等。

（一）函數(shù)與方程思想

函數(shù)與方程不僅是知識點，同時也是一種優(yōu)秀的解題思路，因為函數(shù)與方程知識點的本質(zhì)的特點，就是建立代數(shù)與變量關系，因此，對高中數(shù)學習題，可利用函數(shù)與方程思想，先將其他各類問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)或方程問題，拋開所研究對象的非數(shù)學特征，抓住其數(shù)學特征，建立各變量之間固有的函數(shù)或方程關系；再用函數(shù)或方程方法去解決這一問題，最終得出結(jié)果。函數(shù)與方程思想的應用，常見于高中數(shù)學解析幾何、數(shù)列、不等式、平面向量等知識點中。

例如，在解析幾何中函數(shù)與方程思想的運用。高中數(shù)學解析幾何中，從大方向上無非就是幾何法和代數(shù)法兩個方向，幾何法是通過題中給出的幾何條件，用圖像的性質(zhì)去求證。而代數(shù)法則指的是設計變量，建立目標函數(shù)，選用合適的公式表達幾何等量關系，將變量代入相對應的函數(shù)或方程中，建立代數(shù)與變量關系，然后再化簡消元，最終得出答案。

習題：已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），四點 P1（1，1），P2（0，1），P3-1，32，P41，32中恰有三點在橢圓C上，請問：（1）求C的方程；（2）設直線l不經(jīng)過P2點且與C相交于A，B兩點，若直線P2A與直線P2B的斜率的和為-1，證明l過定點。

解答：分析此習題，第一問較為簡單，根據(jù)橢圓的對稱性，判斷出P1不在橢圓上，而P2，P3，P4點則在橢圓上，然后將數(shù)值代入橢圓方程即可求出a2，b2的值，即可得方程。第二問比較復雜，運用函數(shù)與方程思想，設出直線l的方程并與橢圓方程聯(lián)立，設斜率為k1與k2，然后根據(jù)根與系數(shù)的關系列出k1+k2的表達式，再設l：y=kx+m（m不等于1），將l代入橢圓方程之中，得到k與m的代數(shù)與變量關系，再代入直線方程中，并在推理、計算中消去變量，即可求得定點。

（二）數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合思想可以說是多個數(shù)學分析思想中最常見的一個，學生從小學階段開始就接觸數(shù)形結(jié)合思想，顧名思義其指的是將“數(shù)”和“形”兩個要素緊密結(jié)合在一起，可運用于知識學習或者習題演練中。在高中數(shù)學解題中運用數(shù)形結(jié)合思想，則指的是，對一些數(shù)字比較多、數(shù)量關系比較復雜的習題，嘗試用更加便捷、直觀的圖形來表達出來，以觀察圖形的方式，來解答這一道習題。數(shù)形結(jié)合思想常見于函數(shù)、不等式、向量等知識點中，常常在小題中出現(xiàn)。

例如，在函數(shù)中運用數(shù)形結(jié)合思想。常常根據(jù)函數(shù)的特點，畫出函數(shù)的圖像，再通過觀察法，觀察該函數(shù)的軌跡，不需要進行復雜的計算，就解答出答案。

習題：函數(shù)f（x）=｜x-2｜-lnx在定義域內(nèi)有（? ）個零點。

A.0B.1C.2D.3

解答：觀察到這是一個復合式子，那么運用數(shù)形結(jié)合法，將函數(shù)f（x）=｜x-2｜-lnx分解為函數(shù) f1（x）=｜x-2｜與f2（x）=lnx，要求得原函數(shù)的零點，也就是函數(shù)f1（x）與f2（x）的交點。因此，判斷出原函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），畫出簡單的函數(shù)圖像，如圖所示，可以觀察到，函數(shù)f1（x）與f2（x）在定義域內(nèi)有兩個交點，因此，原函數(shù)在定義域內(nèi)有兩個零點，選擇C。

（三）分類與整合思想

數(shù)學分類與整合思想，指一些數(shù)學模型是較為常見的，是需要學生掌握并記憶的，對這些模型進行分類整理，了解其框架與特點，要求學生看到一個習題，就能夠了解這一個習題體現(xiàn)的是什么知識模型，要運用什么方法去解答它。如此一來，學生的解題能力會得到大大增強，解題思路也會更加清晰。數(shù)學分類與整合思想，常見的數(shù)學模型有同構(gòu)函數(shù)模型、三角形最值模型、解析幾何極值模型、解析幾何最值模型等。

例如，在“排列組合”知識點中，有著多種多樣的模型，各有各的特點，也分別有相應的解題技巧，學生必須掌握排列組合的多種模型，才能有的放矢地進行計算和解答。

習題：有3名男生，4名女生，按不同要求，請問有多少種排列方式？

（1）5人排成一排

（2）排成前后兩排，前排3人，后排4人

（3）排成一排，甲不站排頭也不站排尾

（4）排成一排，女生站在一起

（5）排成一排，男女互不相鄰

解答：分析此習題，分別對應常見的“排列組合”知識點中的具體模型，都有著相應解法。（1）為“直接排列”模型，按公式計算即可；（2）為“前后分排”模型，前排3人，后排4人，再將兩步驟的方式數(shù)相乘即可；（3）為“特殊先排”模型，就是將特殊的元素先排，剩下的再排，將前后兩步驟的方式數(shù)相乘；（4）為“相鄰排列”模型，常用“捆綁法”；（5）為“不相鄰排列”模型，常用“插空法”。

（四）化歸與轉(zhuǎn)化思想

化歸與轉(zhuǎn)化思想，即指的是在解題的時候，運用某種有效的手段，將復雜的題型轉(zhuǎn)化為簡單的題型。其包括：①將未知的題型轉(zhuǎn)化為已知的題型；②將多元問題化歸到低元問題上；③將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題；④將高次方程問題轉(zhuǎn)化為低次方程問題等，從而用簡單的方法去進行解答。當然，化歸與轉(zhuǎn)化思想說起來簡單，但做起來卻難，它是對演繹證明、運算推理、模式構(gòu)建等理性思維能力的綜合應用。

例如，將未知的習題轉(zhuǎn)化為已知的習題類型，再運用熟悉的方法去解答。

習題：已知P（x），Q（x）是兩個實系數(shù)多項式，且對所有實數(shù)x，都滿足恒等式P［Q（x）］=Q［P（x）］，若方程P（x）=Q（x）無實數(shù)根，證明方程P［P（x）］=Q［Q（x）］也無實數(shù)根。

解答：針對這一道題，看起來較為復雜，不妨將其轉(zhuǎn)化為函數(shù)與圖像類習題，要證明方程 P［P（x）］=Q［Q（x）］無實數(shù)根，只需要證明 P［P（x）］-Q［Q（x）］＞0即可，轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題或者函數(shù)圖像問題。

那么不妨設F（x）=P（x）-Q（x）＞0，

再根據(jù)P［Q（x）］=Q［P（x）］，

可得P［P（x）］-Q［Q（x）］

=P［P（x）］-Q［P（x）］+P［Q（x）］-Q［Q（x）］

=｛P［P（x）］-Q［P（x）］｝+｛P［Q（x）］-Q［Q（x）］｝＞0，

因此，P［P（x）］=Q［Q（x）］無實數(shù)根。

（五）正向與逆向分析思想

1. 正向分析思想

所謂正向分析思想，即指的是從正向的角度，逐步進行推演，利用題干中給出的關鍵要素，分析哪些要素是有聯(lián)系的，再根據(jù)常規(guī)的解題程序，去逐步進行解決。正向分析思維也是高中數(shù)學解題中最為常見的，符合思維中對數(shù)學知識的認知過程。

習題：若正數(shù)a，b滿足1a+1b=1，那么請問：1a-1+9b-1的最小值為多少？

解答：此題為求最值類問題，題干中給出的信息并不復雜，在解答的時候，首先根據(jù)已知的a＞0，b＞0，且1a+1b=1，得出a＞1，b＞1。隨后，觀察到a和b之間具有必然關系，可以通過消元的方式去解答，根據(jù)1a+1b=1，變形為a-1=1b-1，再化為1a-1+9b-1=1a-1+9（a-1），再通過化簡計算后得出其最小值為6。

2. 逆向分析思想

所謂逆向分析思想，顧名思義即引導學生從反方向進行思考的一種思維路徑，引導學生嘗試著從題干中需要的結(jié)果來進行推導，逐步推導到起初的要素中。培養(yǎng)學生逆向思維，有助于提高學生的數(shù)學水平和思維水平，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力。

習題：若橢圓x22+y2=k2（k＞0）與連接A（1，2），B（3，4）兩點的線段沒有公共點，求k的取值范圍。

解答：對此題，題干讀起來似乎很“扭曲”，我們可以從結(jié)論入手，先求線段AB與橢圓有公共點的情況，求出k的取值范圍，于是也就得出線段AB與橢圓在沒有公共點的情況下，k的取值范圍。過程為先通過將線段AB的方程與橢圓聯(lián)立，消去y，整理出k與x的變量關系，再根據(jù)x的定義域，解得k的取值范圍，即有公共點情況的k的取值范圍，在該范圍之外的范圍，就是沒有共同點情況的k的取值范圍。

四、 結(jié)論

綜上所述，新時代教育對高中數(shù)學教學提出了更高的要求和期望，要致力于教導學生深層數(shù)學基礎，而不再浮于表面，在數(shù)學解題技巧培養(yǎng)方面，則要重視對學生數(shù)學分析思想的教導。學生數(shù)學分析思想的形成，會讓學生倍加受益，不僅能夠夯實學生的數(shù)學基礎，同時也能提升學生的數(shù)學解題能力，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維能力等綜合素質(zhì)。文章圍繞高中數(shù)學教學中常見的函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類與整合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、正向與逆向分析思想等進行了說明，并舉例佐證，希望能對高中數(shù)學教師有參考價值。

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