思維導圖在初中數(shù)學函數(shù)解題教學中的應用

■福州市第十五中學 鄭雪麗

思維導圖是一種圖形化思維工具，通過關鍵詞、顏色和圖形展現(xiàn)信息的層次結構和相互關系，有助于提高記憶和理解能力。在初中數(shù)學函數(shù)的教學中，解題不僅要求學生掌握基礎概念和計算技巧，而且要求他們能夠理解函數(shù)之間的關系以及其在實際問題中的應用。思維導圖的引入，旨在幫助學生構建數(shù)學概念之間的連接，促進深層次理解，并在此基礎上提高解題效率。然而，將思維導圖應用于數(shù)學函數(shù)解題教學過程中，存在一定的挑戰(zhàn)，特別是在教師的技能熟練度和學生的接受度方面。因此，探索有效的應用策略，對于提升思維導圖在數(shù)學函數(shù)教學中的實際效用具有重要意義。

一、思維導圖在初中數(shù)學函數(shù)解題教學中的應用價值

（一）有利于加強學生概念理解和信息整合能力

在初中數(shù)學函數(shù)解題教學中，思維導圖的價值在于加強學生對數(shù)學概念的理解。通過將函數(shù)的定義、性質、圖象和應用等核心內容以圖示形式呈現(xiàn)，思維導圖幫助學生直觀地捕捉數(shù)學概念的結構和內在聯(lián)系。這種圖形化的信息組織方式不僅提升了學生理解概念的深度，而且擴展了他們對知識的廣度。通過思維導圖，這些信息能被有效地整合在一張圖中，幫助學生建立起各個知識點之間的聯(lián)系。這種視覺化的整合方式使得學生在掌握單一知識點的同時，也能夠形成對數(shù)學函數(shù)整體的把握。

（二）有利于提升學生學習積極性和培養(yǎng)創(chuàng)新思維

傳統(tǒng)的數(shù)學學習方式可能因其抽象和枯燥的特性而使學生感到挫敗。相比之下，思維導圖以其多彩、動態(tài)和可互動的特性，能夠激發(fā)學生的學習熱情。它引導學生以更主動的方式探索和建立知識之間的聯(lián)系。這種主動的學習態(tài)度對于提升學生的學習效果至關重要。例如：通過思維導圖的應用，學生可以更加主動地參與到函數(shù)的學習中，尋找不同函數(shù)之間的聯(lián)系和差異，從而在有趣的探索過程中加深對數(shù)學的理解。此外，思維導圖的應用還有助于培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維。在解決數(shù)學函數(shù)問題時，不但要邏輯嚴密的推理，更要創(chuàng)新的視角來尋找解題的突破口。思維導圖允許學生自由添加元素和連接，鼓勵他們在發(fā)散思維和集中思維之間找到平衡，激發(fā)解題時的創(chuàng)新靈感。例如：學生可以在探索不同類型函數(shù)的共性和個性時，通過思維導圖進行創(chuàng)新的思考，從而在解決數(shù)學問題時有了新穎的解決方案。

二、思維導圖在初中數(shù)學函數(shù)解題教學中的應用策略

（一）構建數(shù)學思維導圖，鞏固數(shù)學知識

在初中數(shù)學函數(shù)解題教學中，為鞏固數(shù)學知識，教師可以通過視覺化工具輔助學生掌握復雜的數(shù)學概念和解題技巧。為此，教師要向學生介紹思維導圖的基本概念和構建方法。例如：在探索二次函數(shù)時，學生可以圍繞函數(shù)的核心概念（如定義、圖象、性質等）展開，將相關的數(shù)學公式、圖形特點及其應用場景等信息整合到導圖中，如圖1 所示。在這個過程中，教師不斷提供反饋和指導，幫助學生在正確理解數(shù)學概念的基礎上，有效運用思維導圖來組織和記憶知識點。

圖1 二次函數(shù)思維導圖

此外，教師可以組織基于思維導圖的互動課堂活動，以二次函數(shù)為例，讓學生小組合作探究以下數(shù)學問題：探究二次函數(shù)y=ax2+bx+c（其中a≠0）的圖象特征和頂點坐標的求法。

解題步驟：

1.理解基本概念：首先，小組成員共同討論二次函數(shù)的基本形式和一般特征，理解a、b、c這些參數(shù)對圖象的影響。

2.圖象繪制：運用所學知識，手工或使用計算工具繪制二次函數(shù)圖象，觀察不同參數(shù)值下圖象的變化。

3.頂點坐標探究：通過公式x=-—推導頂點的橫坐標，進而計算頂點的縱坐標。

4.實例應用：選擇具體的二次函數(shù)，如y=2x2-4x+1，運用以上步驟確定其圖象和頂點坐標。

5.思維導圖制作：在思維導圖中展示二次函數(shù)的定義、圖象變化規(guī)律、頂點坐標求法及實例應用，確保所有重要信息被清晰記錄。

6.小組分享：每個小組展示他們的思維導圖和解題過程，相互學習、討論和提出改進建議。

通過這種方式，學生在合作探究的過程中不僅能夠深入理解二次函數(shù)的核心概念，而且能夠學會如何用思維導圖有效地組織和呈現(xiàn)數(shù)學知識，從而提升他們的數(shù)學思維能力和團隊協(xié)作能力。有效的數(shù)學思維導圖還需要教師定期更新和優(yōu)化，以適應教學進度和學生的理解發(fā)展。隨著教學的深入，可以在思維導圖的適當部分，添加二次函數(shù)在不同領域的應用。例如：指出在建筑學中，二次函數(shù)用于設計拱橋的弧線，這需要考慮到橋的跨度和高度，以確定最佳的拋物線形狀；在物理學中，二次函數(shù)用于計算投射物的最高點，這涉及初速度和加速度的關系；在經(jīng)濟學中，二次函數(shù)可以描述成本與產(chǎn)量之間的關系，分析最大利潤點。

（二）優(yōu)化數(shù)學思維導圖設計，增強學生學習能力

為增強學生學習能力，優(yōu)化思維導圖設計，教師可以引導學生運用并創(chuàng)新思維導圖，以促進其發(fā)散性思維和解題技能的發(fā)展。應用思維導圖時，首要策略之一是豐富教學資源。具體而言，教師可以建立一個包含豐富思維導圖模板和實例的資源庫，這個庫應涵蓋思維導圖模板和實例。提供解題策略和案例的導圖，幫助學生理解如何應用這些函數(shù)解決實際問題，同時要設計思維導圖教學活動方案。例如：在教授二次函數(shù)時，教師可以在線繪制函數(shù)圖象，標注頂點、對稱軸，而學生則可以添加他們的解題步驟或問題解答。為了更有效地在初中數(shù)學函數(shù)解題教學中應用思維導圖，具體案例如下：

已知一次函數(shù)y=3x+2，反比例函數(shù)y=kx（k≠0）在第一象限內的圖象交于點B，且B 的橫坐標為1。同時，通過點A（一次函數(shù)與y 軸的交點）作AC⊥y軸，交反比例函數(shù)y=kx（k≠0）的圖象于點C，如圖2所示。

圖2 函數(shù)圖象

此時，思維導圖的中心為解決兩個問題：求出反比例函數(shù)的表達式和計算三角形ABC的面積。

問題：通過讀題，你能找到哪些已知條件？

預設：一次函數(shù)y=3x+2，與反比例函數(shù)y=kx（k≠0）在第一象限內的圖象交于點B，且B的橫坐標為1，AC⊥y軸。

追問1：如何求反比例函數(shù)的表達式？

預設：求出點B的坐標，進而求得反比例函數(shù)的表達式。

追問2：如何求點B的表達式？

預設：點B是一次函數(shù)y=3x+2上一點，并且已知B的橫坐標為1，即可求出點B的坐標。

追問3：如何求△ABC的面積？

預設：求出AC的長以及點B到AC的距離，利用三角形的面積公式可以求出。

追問4：如何求AC的長以及點B到AC的距離？

預設：根據(jù)AC⊥y 軸，能夠得到點A 的坐標.知道反比例函數(shù)的解析式和點C 的縱坐標，進而求出點C 的坐標，就能得到AC 的長度以及點B 到AC 的距離，最后求出面積。

本案例設計應專注于直接提升學生的學習體驗和解題技能，教師引導學生通過案例研究，通過探討一次函數(shù)和二次函數(shù)的區(qū)別，讓學生通過繪制思維導圖來比較和對比這兩種函數(shù)的性質和應用。

（三）應用數(shù)學思維導圖，促進學生核心素養(yǎng)提升

為了提升學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)，教師需要在初中數(shù)學函數(shù)解題教學中特別強調思維導圖的應用，以確保思維導圖能夠有效地幫助學生提升在數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算和數(shù)據(jù)分析等方面的能力。在數(shù)學抽象方面，教師可以引導學生使用思維導圖來整理和理解數(shù)學函數(shù)的基本概念和性質。例如：在教授二次函數(shù)的基本概念時，教師可以引導學生使用思維導圖來整理二次函數(shù)的定義、公式、性質等。如思維導圖中心是“二次函數(shù)”，分支包括“標準形式”“圖象特征”“頂點坐標”等，幫助學生從具體實例中抽象出通用規(guī)律。在邏輯推理方面，教師可以通過思維導圖展示二次函數(shù)概念之間的邏輯聯(lián)系，如公式推導、性質證明等。思維導圖可以清晰地展示從“定義”到“性質”再到“應用”的邏輯路徑，幫助學生理解和運用邏輯推理。如圖3 所示。在數(shù)學建模方面，在解決實際問題時，教師可以引導學生利用思維導圖來構建數(shù)學模型。例如：可以通過思維導圖幫助學生識別和表示實際問題中的關鍵變量和它們的函數(shù)關系。在直觀想象方面，思維導圖中可以包含二次函數(shù)的圖象和關鍵點（如頂點），并使用不同顏色或符號來區(qū)分不同類型的信息，這樣的視覺化表達有助于學生直觀理解函數(shù)的圖象特性。在數(shù)學運算方面，教師可以指導學生使用思維導圖整理和概括解決二次函數(shù)問題時的計算步驟和方法，如公式變換、方程求解等運算步驟。在數(shù)據(jù)分析方面，如在分析二次函數(shù)的實際應用時，如物理運動、市場分析等，教師則可以引導學生使用思維導圖來分析和解釋數(shù)據(jù)。例如：通過思維導圖展示如何根據(jù)給定數(shù)據(jù)確定函數(shù)模型，以及如何解釋這些數(shù)據(jù)。

圖3 二次函數(shù)教學流程

此外，為了確保思維導圖的有效使用，教師還應定期對學生的思維導圖進行評估和反饋。教師在評估學生的思維導圖時，首先應關注其內容的準確性和完整性。例如：在評價一個關于二次函數(shù)的思維導圖時，教師可以檢查是否包含了二次函數(shù)的基本定義、公式、性質、圖象特征及應用實例等關鍵要素。此外，教師還需檢查信息的邏輯組織是否清晰，比如是否合理地展示了從定義到性質再到應用的邏輯關系。同時，教師應肯定學生在思維導圖設計上的創(chuàng)新和獨到之處。例如：如果學生在思維導圖中運用了創(chuàng)意的圖形、顏色或符號來區(qū)分不同類型的信息，或者能夠將復雜的數(shù)學概念通過簡潔的圖形或圖表形式表達，這些都是值得表揚的創(chuàng)新之處。教師的肯定不僅能激勵學生繼續(xù)在思維導圖的應用上進行探索和創(chuàng)新，而且能幫助他們建立自信，進一步提升解題能力和學習動力。通過這種評估和反饋，教師既能確保思維導圖工具被正確且高效地應用在數(shù)學學習中，又能促進學生數(shù)學核心素養(yǎng)的發(fā)展。

三、結語

綜上所述，思維導圖作為一種強大的視覺工具，幫助學生更清晰地理解和記憶復雜的數(shù)學概念。教師在教學過程中的導圖構建，輔助了學生掌握復雜的數(shù)學概念和解題技巧的創(chuàng)新設計；對思維導圖的繪制，促進了學生發(fā)散性思維和解題技能的發(fā)展；對學習步驟的精心調整，為學生構建了一個更加高效和系統(tǒng)的學習環(huán)境。這種教學方法的應用不僅提升了課堂的互動性和學生的學習動力，而且為培養(yǎng)學生的綜合思維能力和未來學術成長打下了堅實的基礎。隨著教育技術的不斷進步，這種以學生為中心的教學策略將繼續(xù)引領教育創(chuàng)新，為學生的全面發(fā)展提供支持。