相鄰三項(xiàng)線性遞推關(guān)系數(shù)列通項(xiàng)的簡(jiǎn)便求法

尚萍

摘要：熟練掌握數(shù)列通項(xiàng)公式的求解是高考以及各類考試的基本要求.在高中階段，相鄰三項(xiàng)線性遞推關(guān)系數(shù)列通項(xiàng)公式的求解是一個(gè)難點(diǎn)，需要構(gòu)造相鄰兩項(xiàng)的差為特殊數(shù)列進(jìn)行求解，具有一定的難度.本文中在常規(guī)解法的基礎(chǔ)上，用特征方程法快速準(zhǔn)確地求解通項(xiàng)公式，大大縮短了求解時(shí)間.

關(guān)鍵詞：遞推數(shù)列；特征方程；通項(xiàng)公式

1一個(gè)實(shí)例及解法

例1已知數(shù)列{an}滿足a1=1，a2=2，且an+1=2an+3an－1（n≥2，n∈N+）．求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

解法1：常規(guī)解法.

因?yàn)閍n+1=2an+3an－1（n≥2，n∈N+），

所以an+1+an=3（an+an－1）（n≥2）.

又因?yàn)閍2+a1=3，

所以{an+1+an}是以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列．

所以an+1+an=3×3n－1=3n，從而

an+13n+1+13·an3n=13.

進(jìn)一步，an+13n+1－14=－13an3n－14.

又因?yàn)閍13－14=112，

所以數(shù)列an3n－14是首項(xiàng)為112，公比為－13的等比數(shù)列.

故an3n－14=112×－13n－1.

所以an=3n－（－1）n4.

解法2：特征方程法.

設(shè)an+1－x1an=x2（an－x1an－1），與an+1=2an+3an－1比較系數(shù)，得

x1+x2=2，x1x2=－3.

由韋達(dá)定理可知，x1，x2是方程x2－2x－3=0的兩根-1和3.

取x1=－1，x2=3，有an+1+an=3（an+an－1）.又因?yàn)閍2+a1=3，所以{an+1+an}是以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，所以an+1+an=3×3n－1=3n.

取x1=3，x2=－1，有an+1－3an=－（an－3an－1）.又因?yàn)閍2－3a1=－1，所以{an+1－3an}是以-1為首項(xiàng)，-1為公比的等比數(shù)列，則an+1－3an=（－1）×（－1）n－1=（－1）n.

于是有an+1+an=3n，an+1－3an=（－1）n，由方程組解法可知an是（－1）n和3n的線性組合.

因此，設(shè)an=c1·（－1）n+c2·3n.

又因?yàn)閍1=1，a2=2，代入方程解得c1=-14，c2=14.

所以an=3n－（－1）n4.

2利用特征方程法解題的步驟

由例1解法2的解析可以看出，特征方程法是將相鄰兩項(xiàng)的線性組合構(gòu)造成等比數(shù)列[1]，而對(duì)應(yīng)的系數(shù)剛好是題目中相鄰三項(xiàng)線性遞推關(guān)系數(shù)列的特征方程的根，通過(guò)解特征方程可以直接寫(xiě)出最終an的表達(dá)形式，再根據(jù)數(shù)列中的任意兩項(xiàng)，求出線性組合的系數(shù)，最終得到數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式[2].因此可以將解題過(guò)程簡(jiǎn)化為以下三個(gè)步驟：

（1）寫(xiě)出特征方程并求出兩根x1，x2；

（2）設(shè)an=c1·xn1+c2·xn2；

（3）將a1，a2的值代入求出系數(shù)c1，c2，進(jìn)而寫(xiě)出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

例2已知數(shù)列{an}滿足a1=a2=2，且an+1=3an+4an－1（n≥2，n∈N+）．求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

解析：特征方程法.

由題可知，數(shù)列的特征方程為x2－3x－4=0，解方程得x1=4，x2=－1.

因此，設(shè)an=c1·（－1）n+c2·4n，將a1=a2=2代入，解得c1=－65，c2=15.

所以an=4n－6·（－1）n5.

由例2的解析[3]可以看出，利用特征方程法解決此類問(wèn)題具有簡(jiǎn)潔快速的明顯優(yōu)勢(shì)，同時(shí)在解題過(guò)程中不容易出現(xiàn)錯(cuò)誤，非常適合高中階段的學(xué)生學(xué)習(xí)和理解.

3特征方程法應(yīng)用中的問(wèn)題及對(duì)策

利用特征方程法求解這類問(wèn)題，關(guān)鍵是構(gòu)造特征方程.對(duì)于形如an+2=aan+1+ban（a，b為常數(shù)）的遞推數(shù)列，它的特征方程是x2=ax+b，即x2－ax－b=0.

另外，既然是二次方程就可能存在兩個(gè)相等的根和無(wú)實(shí)根的情形，下面對(duì)這兩種情形進(jìn)行探究.

例3已知數(shù)列{an}滿足a1=1，a2=2，且an+1=6an－9an－1（n≥2，n∈N+）．求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

對(duì)于此題，首先用特征方程法求解.由題可知，數(shù)列的特征方程為x2－6x+9=0，解得x1=x2=3.因此設(shè)an=c1·3n+c2·3n，將a1=1，a2=2代入，得3c1+3c2=1，9c1+9c2=2，無(wú)解.

因此，例3無(wú)法用特征方程法快速求出通項(xiàng)公式.下面繼續(xù)用構(gòu)造等差數(shù)列的方法重新求解，探求新思路[2].

解析：常規(guī)解法.

因?yàn)閍n+1=6an－9an－1（n≥2，n∈N+），

所以an+1－3an=3（an－3an－1）（n≥2）.

又因?yàn)閍2－3a1=－1，

所以{an+1－3an}是首項(xiàng)為-1，公比為3的等比數(shù)列．

所以an+1－3an=（－1）×3n－1，從而an+13n+1－an3n=－19.又因?yàn)閍131=13，所以數(shù)列an3n是首項(xiàng)為13，公差為－19的等差數(shù)列.

所以an3n=13+（n－1）·－19=4-n9.

故an=（4-n）3n9.

由例3可以看出，當(dāng)特征方程有兩個(gè)相等的根時(shí)，無(wú)法用特征方程法求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，此時(shí)需要構(gòu)造一個(gè)新的等差數(shù)列，求出這個(gè)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是An+B的形式，進(jìn)而求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=（An+B）·xn.

例4已知數(shù)列{an}滿足a1=1，a2=2，且an+1=an－an－1（n≥2，n∈N+）．求a2024.

解析：由題可知，數(shù)列的特征方程為x2－x+1=0，此方程無(wú)實(shí)數(shù)根.

由a1=1，a2=2，an+1=an－an－1分別計(jì)算可得

a3=1，a4=－1，a5=－2，

a6=－1，a7=1，a8=2，……

所以{an}是周期為6的周期數(shù)列，又

2024÷6=337……2，

所以a2024=a2=2.

由例4可以看出，當(dāng)特征方程無(wú)實(shí)數(shù)根時(shí)，數(shù)列{an}是一個(gè)周期數(shù)列[2].這一結(jié)論具有普遍性，在這里省略證明.

4特征方程法的解法總結(jié)

根據(jù)例2～例4的解答過(guò)程可以將相鄰三項(xiàng)線性遞推關(guān)系數(shù)列通項(xiàng)公式的求解歸納如下：

（Ⅰ）當(dāng)特征方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根時(shí)

（1）寫(xiě)出特征方程并求出兩根x1，x2;

（2）設(shè)an=c1·（x1）n+c2·（x2）n;

（3）將a1，a2的值代入，求出系數(shù)c1，c2，進(jìn)而寫(xiě)出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

（Ⅱ）當(dāng)特征方程有兩個(gè)相等的實(shí)根時(shí)

（1）寫(xiě)出特征方程并求出根x;

（2）設(shè)an=（An+B）·xn;

（3）將a1，a2的值代入，求出系數(shù)A，B，進(jìn)而寫(xiě)出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

（Ⅲ）當(dāng)特征方程無(wú)實(shí)數(shù)根時(shí)

分別計(jì)算前幾項(xiàng)的值，判斷數(shù)列{an}的周期性，進(jìn)而求出{an}的通項(xiàng)公式.

參考文獻(xiàn)：

[1]盧海英.相鄰三項(xiàng)線性遞推數(shù)列的解法[J].中學(xué)生數(shù)學(xué)，2019（15）：9，8.

[2]黎真.特征方程法求數(shù)列通項(xiàng)[J].數(shù)理天地（高中版），2022（21）：19-22，28.

[3]王益洲，李燕.常見(jiàn)構(gòu)造數(shù)列法的探究[J].數(shù)理化解題研究，2023（21）：2-4.

課題信息：2022年陜西省教育科學(xué)規(guī)劃課題“基于核心素養(yǎng)的高中數(shù)學(xué)教育與‘立德樹(shù)人的實(shí)踐研究”，課題批準(zhǔn)號(hào)為SGH22Y0140.