基于數(shù)學(xué)命題方式，實(shí)現(xiàn)問題價(jià)值提升

李玲

數(shù)學(xué)試題的命題，是數(shù)學(xué)教學(xué)過程中一項(xiàng)重要而又嚴(yán)謹(jǐn)?shù)墓ぷ?，在一定程度上體現(xiàn)數(shù)學(xué)教師與教研員等對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、數(shù)學(xué)思想方法等的提煉程度，以及自身所具備的一定數(shù)學(xué)專業(yè)水平等，具有一定的技術(shù)與技巧.這往往也在一定程度上展示數(shù)學(xué)教師與教研員等的一項(xiàng)基本能力與水平.

數(shù)學(xué)試題的命題，往往是一個(gè)反復(fù)琢磨、不斷修改的復(fù)雜過程.而這些典型的數(shù)學(xué)試題，特別是高考真題、競賽題、模擬題等優(yōu)秀的試題，往往都不是憑空生造出來的，可能是依托某種問題情境或借助某個(gè)核心概念，也可能是源于相應(yīng)的經(jīng)典問題等，巧妙通過合理改編、創(chuàng)新包裝、巧妙拓展、知識(shí)構(gòu)建等多種形式來創(chuàng)設(shè)，或新舊結(jié)合，或喬裝打扮，或移花接木，或推倒重建等，手段翻新，創(chuàng)新應(yīng)用，再進(jìn)一步加以合理的修改與完善，才有平時(shí)見到的高質(zhì)量的數(shù)學(xué)試題.

本文以模擬題中的一些典型試題為例，結(jié)合數(shù)學(xué)命題的幾種常見方式，如合理改編、創(chuàng)新包裝、巧妙構(gòu)建等，并結(jié)合實(shí)例剖析數(shù)學(xué)實(shí)際命題的一些操作方法與技巧策略，拋磚引玉.

1合理改編

根據(jù)已有的試題（教材的例習(xí)題、高考真題等），結(jié)合教學(xué)的需要與學(xué)生的實(shí)際情況等，從挖掘問題背景、融合數(shù)學(xué)知識(shí)，提煉思想方法，優(yōu)化解題策略、展示問題價(jià)值等層面入手，合理加以改編，借助試題背景的觀察、知識(shí)點(diǎn)的延伸以及變式的推廣等方式，深化對相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)的理解與掌握，拓展良好的數(shù)學(xué)思想方法與解題技巧策略.

合理改編的題源往往是教材的典型例（習(xí)）題、往屆的高考真題以及以往比較典型的高考模擬題等.這些問題都是數(shù)學(xué)專家、數(shù)學(xué)教師等智慧的結(jié)晶以及勞動(dòng)成果的展示.

例1（2024屆山東省濟(jì)南市高三上學(xué)期開學(xué)摸底考試·16）若函數(shù)f（x）=|（1－x2）（x2+ax+b）|－c（c≠0）的圖象關(guān)于直線x=－2對稱，且f（x）有且僅有4個(gè)零點(diǎn)，則a+b+c的值為＿＿＿＿.

（答案：39.）

以上高考模擬題改編自2013年高考數(shù)學(xué)全國新課標(biāo)Ⅰ卷中的試題，在高考真題的基礎(chǔ)上進(jìn)一步構(gòu)造絕對值的問題場景，同時(shí)引入第三個(gè)參數(shù)變量，并巧妙融入函數(shù)的零點(diǎn)，進(jìn)而借助三個(gè)參數(shù)變量的和式的值來創(chuàng)設(shè)與應(yīng)用.

鏈接高考（2013年新課標(biāo)Ⅰ卷理科·16）若函數(shù)f（x）=（1－x2）（x2+ax+b）的圖象關(guān)于直線x=－2對稱，則f（x）的最大值為＿＿＿＿.（答案：16.）

以一道高考真題的熟悉場景，巧妙與其他相關(guān)的函數(shù)知識(shí)加以交匯，從“雙變量”的函數(shù)應(yīng)用問題改編成以上“三變量”的函數(shù)綜合問題，很好實(shí)現(xiàn)對數(shù)學(xué)“四基”的把握情況與數(shù)學(xué)能力的全面考查，是一道非常不錯(cuò)的改編題，值得很好深入研究、細(xì)細(xì)品鑒.

當(dāng)然，基于原問題，還可以從不同思維視角與研究層面加以進(jìn)一步的改編，實(shí)現(xiàn)變式應(yīng)用與拓展.

變式1若函數(shù)f（x）=|（1－x2）（x2+ax+b）|－c的圖象關(guān)于直線x=－2對稱，且f（x）有且僅有4個(gè)零點(diǎn)，則a+b+c的值為＿＿＿＿.（答案：23或39.）

變式2若函數(shù)f（x）=|（1－x2）（x2+ax+b）|－c的圖象關(guān)于直線x=－2對稱，且f（x）有且僅有7個(gè)零點(diǎn)，則a+b+c的值為＿＿＿＿.（答案：32.）

變式3若函數(shù)f（x）=（a2－x2）（x2+bx+c）（a≠0，c>0）的圖象關(guān)于直線x=－2對稱，則1a2+1b+1c的最小值為＿＿＿＿.

答案：38.

借助問題的合理改編，回歸數(shù)學(xué)本質(zhì)，立足數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，巧妙引領(lǐng)并指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)與學(xué)習(xí)，進(jìn)而充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、數(shù)學(xué)思想方法以及數(shù)學(xué)能力等方面的有機(jī)聯(lián)系.而此數(shù)學(xué)命題的改編，也充分說明教學(xué)與學(xué)習(xí)離不開數(shù)學(xué)教材與課程標(biāo)準(zhǔn)要求，考查知識(shí)、方法與能力的試題都源于教材（往年高考真題）意料之外，植于教材（往年高考真題）情理之中，高于教材（往年高考真題）能力之上.

2創(chuàng)新包裝

對考生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)能力等方面的考查，往往是基于數(shù)學(xué)試題來達(dá)到目的.而在具體數(shù)學(xué)命題時(shí)，有時(shí)對核心考點(diǎn)的考查是直接展示，而有時(shí)對核心考點(diǎn)的考查是通過創(chuàng)新包裝來實(shí)現(xiàn)的.

而對于創(chuàng)新包裝的數(shù)學(xué)試題，就要全面剖析題設(shè)條件，挖掘題目的條件與內(nèi)涵，直擊核心考點(diǎn)的本質(zhì)，撕開創(chuàng)新的“包裝”外表，直達(dá)核心知識(shí)，進(jìn)而利用相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)來分析與應(yīng)用，得以分析與解決問題.

例2〔2023屆河南省TOP二十名校高三猜題大聯(lián)考（二）〕在銳角三角形ABC中，a，b，c分別是△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊，G是△ABC的重心，若BG·AG=0，則cosC的取值范圍是（）.

A.63，1

B.0，45

C.45，63

D.45，1

解析：依題，設(shè)D為AB邊上的中點(diǎn)，如圖1所示.由BG·AG=0，可得AG⊥BG，

利用直角三角形的性質(zhì)，可得DG=12AB=12c.

又△ABC的重心為G，結(jié)合三角形的重心性質(zhì)，可得CD=3DG=32c.

由CD=12（CA+CB），即2CD=CA+CB，可得4CD2=CA2+CB2+2CA·CB，即9c2=b2+a2+2abcosC.

利用余弦定理，可得c2=b2+a2－2abcosC，則有b2+a2+2abcosC=9b2+9a2－18abcosC，

整理可得cosC=25ab+ba>0，則C為銳角.

又由余弦定理，可得c2=b2+a2－2abcosC=b2+a2－2×25（b2+a2）=15（b2+a2），即a2+b2=5c2.

因?yàn)椤鰽BC為銳角三角形，所以cosA>0，cosB>0，則有b2+c2>a2，a2+c2>b2，亦即5b2+a2+b2>5a2，5a2+a2+b2>5b2，

解得63

構(gòu)造雙勾函數(shù)f（x）=x+1x（其中x>0），則函數(shù)f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增.

而63

點(diǎn)評(píng)：該題以三角形為載體，結(jié)合三角形的基本性質(zhì)以及平面向量的數(shù)量積等創(chuàng)設(shè)，包裝創(chuàng)新新穎，而實(shí)質(zhì)是考查解三角形與函數(shù)的應(yīng)用等.如何從創(chuàng)新包裝場景上逐步展開，合理構(gòu)建涉及三角形內(nèi)角的函數(shù)值的表達(dá)式，進(jìn)而借助函數(shù)的基本性質(zhì)來分析相應(yīng)的取值范圍問題.與創(chuàng)新包裝形式來設(shè)置命題，交匯融合知識(shí)，進(jìn)而開拓?cái)?shù)學(xué)品質(zhì)，鞏固數(shù)學(xué)“四基”與創(chuàng)新應(yīng)用.

借助創(chuàng)新形式或創(chuàng)新包裝的一些數(shù)學(xué)試題，融入更多的創(chuàng)新意識(shí)與創(chuàng)新應(yīng)用，有時(shí)還增加相應(yīng)的閱讀理解等方面的知識(shí)，令人耳目一新，更能考查考生的綜合能力.

3巧妙構(gòu)建

源于應(yīng)用情境的構(gòu)建、問題背景的創(chuàng)設(shè)等是數(shù)學(xué)命題的一個(gè)重要設(shè)置模式，綜合數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)應(yīng)用，展示數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，對數(shù)學(xué)問題的了解與認(rèn)識(shí)、處理與解決等過程中經(jīng)常用到的一種技巧與方法.

特別是一些基于數(shù)學(xué)文化、現(xiàn)實(shí)生活等應(yīng)用場景創(chuàng)設(shè)問題，要從問題場景中合理且巧妙構(gòu)建對應(yīng)的數(shù)學(xué)知識(shí)，利用數(shù)學(xué)的語言（包括數(shù)學(xué)定義與數(shù)學(xué)公式等）來表達(dá)，進(jìn)而結(jié)合相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)來分析與解決對應(yīng)的數(shù)學(xué)問題.

例3古希臘數(shù)學(xué)家特埃特圖斯（Theaetetus，約公元前417—公元前369年）利用如圖2所示的直角三角形構(gòu)造無理數(shù)2，3，5……已知AB=BC=CD=1，AB⊥BC，AC⊥CD.

（1）求cos∠DAB的值；答案：23－66.

（2）證明：AD·BC+AB·CD≥BD·AC.（略）

點(diǎn)評(píng)：基于數(shù)學(xué)文化的應(yīng)用場景，借助數(shù)學(xué)建模，巧妙構(gòu)建解三角形問題，是解決該問題的關(guān)鍵所在.在解決此類涉及數(shù)學(xué)文化、現(xiàn)實(shí)生活等應(yīng)用場景問題時(shí)，正確閱讀理解，挖掘問題內(nèi)涵，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，開拓?cái)?shù)學(xué)思維，綜合數(shù)學(xué)知識(shí)，進(jìn)而處理應(yīng)用等.

巧妙創(chuàng)設(shè)或構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，要加以合理引導(dǎo)與知識(shí)過渡.在這一過程中，合理引導(dǎo)考生建立起與問題相吻合的數(shù)學(xué)模型，綜合數(shù)學(xué)概念的掌握、數(shù)學(xué)知識(shí)的理解以及數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用來達(dá)到目的，實(shí)現(xiàn)考核與區(qū)分的目的.

在實(shí)際數(shù)學(xué)命題時(shí)，命題有法，又無定法，不是一成不變的.而在實(shí)際教學(xué)與學(xué)習(xí)過程中，不斷提高數(shù)學(xué)試題的命題水平是數(shù)學(xué)教師與教研員所追求的目標(biāo)之一，需要在日常教學(xué)與解題研究過程中不斷積累各方面的素材，開拓知識(shí)面，理解更多的知識(shí)，構(gòu)筑一個(gè)更寬廣的知識(shí)基礎(chǔ)，同時(shí)用心琢磨高考真題、教材例題（或習(xí)題）、?？荚囶}等相應(yīng)好題的命制思路，不停反思，不斷實(shí)踐，不斷修改，不斷反饋，逐步提升.