例談帕德逼近在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用

胡暢

摘要：眾所周知，用函數(shù)的泰勒展開的部分作為函數(shù)的近似表示是一種基本的、有效的方法，但有時這種方法在實際應(yīng)用時顯得不足，而帕德逼近是一種更精確的有理函數(shù)逼近，有關(guān)它的理論及其應(yīng)用成果非常豐富.另外在高考題和模擬題中，帕德逼近作為命題背景頻頻出現(xiàn)，比如2022年浙江卷，2018年全國卷Ⅲ導(dǎo)數(shù)壓軸題最后一問，了解與掌握這種逼近，能夠降低解題技巧，加快解題速度，預(yù)判解題思路.

關(guān)鍵詞：不等式；零點；函數(shù)導(dǎo)數(shù)；帕德逼近

1帕德逼近的定義及常用函數(shù)逼近表

帕德逼近來源于高等數(shù)學(xué)中的函數(shù)逼近理論，它不是高中數(shù)學(xué)課程中的學(xué)習(xí)內(nèi)容，也不在高考考查范圍內(nèi)，但由于該理論體現(xiàn)了用代數(shù)函數(shù)逼近超越函數(shù)的思想，所以經(jīng)常會成為導(dǎo)數(shù)壓軸題的背景.如果高中數(shù)學(xué)教師能夠了解該理論，就會站在更高的角度看問題，教師認(rèn)識數(shù)學(xué)問題的高度決定了學(xué)生認(rèn)識問題的高度，為了培養(yǎng)創(chuàng)新型的學(xué)生，我們應(yīng)該做研究型教師，這也是時代對教師提出的要求.

1.1帕德逼近的定義

函數(shù)f（x）在x=0的［m，n］階帕德逼近f（x）≈a0+a1x+a2x2+……+amxm1+b1x+b2x2+……+bnxn=R（x），滿足f（0）=R（0），f′（0）=R′（0），f″（0）=R″（0），……，f（m+n）（0）=R（m+n）（0）.對于給定的正整數(shù)m，n函數(shù)f（x）的［m，n］階帕德逼近是唯一的［1］.

1.2常用函數(shù)帕德逼近表

幾種常用函數(shù)帕德逼近舉例如下.

（1）f（x）=ln（1+x）在x=0的［m，n］階帕德逼近如表1所示：

（2）f（x）=lnx在x=0的［m，n］階帕德逼近如表2所示：

（3）f（x）=ex在x=0的［m，n］階帕德逼近如表3所示：

2帕德逼近在模擬題中的應(yīng)用

例1（2022年浙江金華十校11月模擬考試）已知函數(shù)f（x）=12x2+ax－（ax+1）lnx（a∈R），記f′（x）=g（x）.

（1）當(dāng)a=1時，求f（x）的最小值.

（2）若函數(shù)g（x）有三個零點x1，x2，x3，且x1

（ⅰ）求a的取值范圍；

（ⅱ）證明：x1+x3+4x1x3>3a.

解：（1）f（x）的最小值為32（過程略）.

（2）（?。゛>2（過程略）.

（ⅱ）因為g（x）=f′（x）=x－1x－alnx，由題意知0

由表2知，當(dāng)x>1時，不等式lnx>3（x2－1）x2+4x+1恒成立.

所以x3－1x3=alnx3>3a（x23－1）x23+4x3+1.

化簡，得x23+4x3+1>3ax3，兩邊同時除以x3，

得x3+1x3+4>3a.

而x1x3=1，所以x1+x3+4x1x3>3a.

點評：帕德逼近在導(dǎo)數(shù)命題中經(jīng)常作為構(gòu)造放縮的一種手段，比如該題中就是利用f（x）=lnx在x=0處[2，2]階帕德逼近函數(shù)y=3x2－3x2+4x+1，準(zhǔn)確地尋找合適的帕德逼近函數(shù)是成功的關(guān)鍵，不然會造成放縮不準(zhǔn)確，當(dāng)然在考試中該不等式需要證明.

例2（2023屆大灣區(qū)高三一模試題）已知函數(shù)f（x）=ex－1x.

（1）討論f（x）的單調(diào)性；

（2）設(shè)a，b是兩個不相等的正數(shù)，且a+lnb=b+lna，證明：a+b+lnab>2.

解：（1）（過程略）.

（2）令a－lna=b－lnb=m，則lna=a－m，且

lnb=b－m.因此，只需證a+b>1+m.

由表2知，當(dāng)x>1時，不等式lnx>2（x－1）x+1（x>1）恒成立；當(dāng)0

又g′（x）=1－1x，g（x）的極值點為x=1，則a，b必定分布在1的兩側(cè)，不妨設(shè)0

a－m=lna<2（a－1）a+1，b－m=lnb>2（b－1）b+1.

化簡，得a2－（1+m）a+2－m<0，b2－（1+m）b+2－m>0.

①②

②-①，得b2－a2－（1+m）（b－a）>0.

整理，得a+b>1+m.

點評：這道題剛出來時，在微信群引起了數(shù)學(xué)老師的廣泛討論.其實這類零點估計問題，大多都是以泰勒展開式或者帕德逼近為背景來命制的.對照常用函數(shù)帕德逼近表，我們發(fā)現(xiàn)該題中就是利用f（x）=lnx在x=0處的[1，1]階帕德逼近.通過以上示例可以看出，利用帕德逼近證明函數(shù)中的不等式可以提高解題速度，但運用該法的難點是要根據(jù)函數(shù)結(jié)構(gòu)以及要證明的結(jié)論，找準(zhǔn)合適的帕德逼近.

3帕德逼近在高考題中的應(yīng)用

高考試題中多次出現(xiàn)以高等數(shù)學(xué)為背景的試題，教師自身應(yīng)加強(qiáng)對高等數(shù)學(xué)相關(guān)背景的研究，有利于教師把握本質(zhì)，提升能力.同時，我們也要注意到，以高等數(shù)學(xué)為背景的高考試題，也都能應(yīng)用中學(xué)數(shù)學(xué)的知識和方法加以求解.因此，研究高等數(shù)學(xué)背景并不意味著要在教學(xué)中補充高等數(shù)學(xué)知識，盲目提高要求，加重學(xué)生負(fù)擔(dān)，而是應(yīng)加強(qiáng)自身研究，優(yōu)化教學(xué)，有效提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力.

例3（2018年全國高考Ⅲ卷）已知函數(shù)f（x）=（2+x+ax2）ln（x+1）－2x.

（1）若a=0，證明：當(dāng)－1

（2）若x=0是f（x）的極大值點，求a的值.

分析：這道高考題參考答案需要多次求導(dǎo)，情況比較復(fù)雜，在這里筆者就不給出題目的詳細(xì)解答，僅就題目的背景做簡要的分析.經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)，這道題也是典型的以帕德逼近為背景命制的.由表1可以看出，第（1）問源于函數(shù)f（x）=ln（x+1）在x=0處的[1，1]階帕德逼近；第（2）問源于f（x）=ln（x+1）在x=0處的[1，2]階帕德逼近函數(shù)為y=12x12+6x－x2=2x2+x－16x2.命題者在命制試題時，對分母為2階帕德逼近的二項式系數(shù)進(jìn)行設(shè)問，以此為背景，考查學(xué)生以導(dǎo)數(shù)為工具探究問題的能力.

例4（2022年浙江）已知a，b∈R，函數(shù)f（x）=e2x+lnx圖象上不同的三點（x1，f（x1）），（x2，f（x2）），（x3，f（x3）），處的切線都經(jīng)過點（a，b）.

（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（2）若a>e，證明：0

（3）若0

解：第（1）（2）問過程略.下面用帕德逼近就第（3）問右邊的不等式作簡要說明.

由（2）可知，a·2x－e2x2+lnx－1－b=0有3個實根x1，x2，x3，且0

13－m6

由y=g（t）的圖象可知，對于給定的m∈（0，1），當(dāng)b增大時，圖象g（t）下移，t1，t3均減?。环粗?，當(dāng)b減小時，圖象g（t）上移，t1，t3均增大.

先證明不等式的右邊：只需證明極限情況，此時b→m2+1，t2=t3=1，只需證t1<2m－1－m6－1.

由g（t1）=（m+1）t1－m2t12－lnt1－1－m2，化簡可以得到

m（t1－1）2=2（t1－1－lnt1）<2[JB（［]t1－1－3（t1－1）2t21+4t1+1]，解得m<2（t1+2）t21+4t1+1，從而可得t1<1+3m2+1m－2.

只需證1+3m2+1m－2

m（m－1）（m－4）（m+15）>0.因為0＜m＜1，所以待證式成立.

分析：2022年浙江高考導(dǎo)數(shù)題最后一問，是2022年所有省份高考壓軸題里最難的，解決該題主要有兩個方向.一是官方解答中的代入，換元，消元，轉(zhuǎn)化為一個復(fù)雜的不等式證明；二是極端化，然后對lnx放縮.無論用哪種方法，都需要對lnx進(jìn)行高精度的放縮.

4帕德逼近的變式訓(xùn)練

學(xué)之道在于“悟”，教之道在于“度”.但不思考不會有悟，教師在平常的教學(xué)中，除了干凈利落地給出問題的解答，還應(yīng)透徹清晰地確定問題的背景，再通過問題的背景進(jìn)行變式題的設(shè)計，這樣才能到達(dá)舉一反三的效果，才能讓學(xué)生有機(jī)會學(xué)以致用，以避免問題與方法各自相對封閉.

利用y=ex在x=0處的[1，3]階帕德逼近函數(shù)，可以設(shè)計與2018年全國Ⅲ卷類似的變式題.

變式1函數(shù)f（x）=（ax3－x+2）ex－x－2，a∈R.

（1）若a=0，證明：xf（x）≤0;

（2）若x=0是函數(shù)f（x）的極小值點，求實數(shù)a的值.

另外，也可以通過帕德逼近設(shè)計一些零點估計類的問題.在平常訓(xùn)練中，零點估計（極值點偏移）問題的解決主要依賴于對數(shù)平均值不等式［2］，但是我們可以通過帕德逼近設(shè)計一些更緊的不等式證明問題，例如利用f（x）=lnx在x=0的[2，1]階帕德逼近可設(shè)計如下變式：

變式2已知函數(shù)f（x）=x－lnx－a有兩個相異的零點x1，x2（x1

（1）求a的取值范圍；

（2）證明：x1+x2<4a+23.

利用f（x）=lnx在x=0的[1，1]階帕德逼近可設(shè)計如下變式：

變式3已知函數(shù)f（x）=x－lnx－a有兩個相異的零點x1，x2（x1

（1）求a的取值范圍；

（2）證明：x1+x2>1+a.

教師在平常的教學(xué)中要打破就題講題的教學(xué)觀，認(rèn)真研究試題，找到一類題的共性，做到“自然、簡單、優(yōu)美、統(tǒng)一”.

5教學(xué)啟示

高觀點的試題背景是命題的重要來源.很多高考試題都具有高等數(shù)學(xué)的背景，如圓錐曲線中的極點極線、曲線系方程，導(dǎo)數(shù)中的泰勒展開、洛必達(dá)法則、帕德逼近等，合理分析這些試題的背景，探尋這些試題的命題方法，可為復(fù)習(xí)備考提供一些新的生長點.另外，多數(shù)具有高觀點背景的導(dǎo)數(shù)壓軸題，由于命制時已將一般性的問題變成具體的適合高中生做的試題，因此會有較強(qiáng)的綜合性和新穎性，對于時間緊迫的考生而言會有很大壓力.然而對于優(yōu)秀考生，一旦清楚其中的背景，就可快速得出結(jié)果，也為如何書寫提供了方向.

參考文獻(xiàn)：

[1]徐利治，王仁宏.函數(shù)逼近的理論與方法[M].上海：上海科學(xué)技術(shù)出版社，1983：227-229.

[2]王海剛，陳宇軒.導(dǎo)數(shù)的秘密[M].杭州：浙江大學(xué)出版社，2020：161-162.