數(shù)山探路悟法理學(xué)海駕舟求真知

吳景峰

1新題呈現(xiàn)

2023年高中數(shù)學(xué)命題比賽中，筆者受華南師范大學(xué)吳康教授將2022年新高考Ⅰ卷第22題拓展到四個交點(diǎn)情形的啟發(fā)，通過對高考原題進(jìn)行改編，命制了如下一道導(dǎo)數(shù)壓軸題.

已知函數(shù)f（x）=axex－b和函數(shù)＿＿＿＿有相同的最大值.請在以下的函數(shù)①g（x）=axlnx－b，②g（x）=lnxax－b，③g（x）=lnx+ax－b中，恰當(dāng)?shù)剡x擇其中一個函數(shù)，把相應(yīng)序號填寫到橫線中，并完成下列問題.（注意：只填寫一個序號.）

（1）求a;

（2）證明：存在實(shí)數(shù)b，使函數(shù)y=f（x），y=g（x）共有4個不同的零點(diǎn)，由小到大排序分別記為x1，x2，x3，x4，則x1+x4>2x2x3.

本題的題源是2022年新高考Ⅰ卷第22題，主要涉及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的綜合性應(yīng)用、函數(shù)與方程、基本不等式等知識，研究了函數(shù)的最值、零點(diǎn)等問題，考查了數(shù)形結(jié)合、分類與整合、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想及邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).

2命制過程

2022年新高考導(dǎo)數(shù)壓軸題頗有新意，以零點(diǎn)構(gòu)成等差數(shù)列的新穎方式設(shè)問，考查創(chuàng)新思維.筆者發(fā)現(xiàn)類似的試題不常見，于是在此基礎(chǔ)上對指數(shù)函數(shù)及對數(shù)函數(shù)的常見組合函數(shù)作進(jìn)一步探究，改編出此題及一些變式訓(xùn)練題.

命制過程主要是發(fā)掘出題源中的同構(gòu)關(guān)系，從而類比聯(lián)想到其他的常見函數(shù)，包括“和、差、商、積”型函數(shù)，如①f（x）=ex±x與g（x）=x±lnx，②f（x）=exx與g（x）=xlnx，③f（x）=xex與g（x）=lnxx，④f（x）=xex與g（x）=xlnx.

疑問：同樣具備同構(gòu)關(guān)系的函數(shù)是否也有類似性質(zhì)？于是在探究的過程中確定了命題方向，同時總結(jié)了改編命制試題的三個步驟，本次命題即按如下三步進(jìn)行.

2.1類比推廣，初步改編

對題源的結(jié)論進(jìn)行推廣后，再通過類比，改變條件得到新結(jié)論，從而對題源進(jìn)行改編.由此命制的第一稿試題如下：

已知函數(shù)f（x）=axex和g（x）=lnxax有相同的最大值.（1）求a;（2）證明：存在實(shí)數(shù)b，使直線y=b與兩條曲線y=f（x）和y=g（x）共有三個不同的交點(diǎn)，并且從左到右的三個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等比數(shù)列.

說明：最初的改編稿，類比原題，對于接觸過原題的學(xué)生沒有太大新意，于是作進(jìn)一步改編.

2.2探究加工，深度改編

在初步改編的基礎(chǔ)上，對試題作進(jìn)一步探究，深挖出試題的本質(zhì)，深度加工試題的條件和結(jié)論.由此命制的第二稿試題如下：

已知函數(shù)f（x）=axex－b和g（x）=lnxax－b有相同的最大值.（1）求a;（2）證明：存在實(shí)數(shù)b，使函數(shù)y=f（x）有2個零點(diǎn)，記為x1，x2且x1

說明：把題目作更深一步拓展，但結(jié)論不夠優(yōu)美簡潔，于是作進(jìn)一步優(yōu)化.

第三稿試題如下：

已知函數(shù)f（x）=axex－b和g（x）=lnxax－b有相同的最大值.（1）求a;（2）證明：存在實(shí)數(shù)b，使函數(shù)y=f（x），y=g（x）共有4個不同的零點(diǎn)，由小到大排序分別記為x1，x2，x3，x4，則x1x4=x2x3.

說明：題目基本定稿，下一步是拓展試題的寬度，嘗試加入一些新元素.

2.3構(gòu)建情境，創(chuàng)新改編

高考數(shù)學(xué)情境包括多種情境，如學(xué)習(xí)再現(xiàn)情境、學(xué)習(xí)關(guān)聯(lián)情境、綜合聯(lián)想情境、拓展遷移情境及模型識別情境等[1]，在命題時，可以構(gòu)建適當(dāng)?shù)那榫?，把問題嵌入其中.本文的最終稿試題即在此啟發(fā)下命制出來.

說明：在第三稿試題的基礎(chǔ)上，以“結(jié)構(gòu)不良試題”形式引進(jìn)其他常見函數(shù)，構(gòu)建模型識別情境，并對結(jié)論作進(jìn)一步改編，得到前文的最終試題.

3試題分析與解答

3.1第（1）問的分析與解答

通過分析，第（1）問的思維導(dǎo)圖如圖1.

本題第（1）問的解答過程如下：

橫線填②.f（x）定義域?yàn)镽，f′（x）=a（1－x）ex.若a≤0，則在（－∞，1）上f′（x）<0，在（1，+∞）上f′（x）>0，所以f（x）有最小值無最大值，故a>0.可知，當(dāng)x∈（－∞，1）時f′（x）>0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增;當(dāng)x∈（1，+∞）時f′（x）<0，f（x）單調(diào)遞減.故f（x）的最大值為ae－b.

g（x）定義域?yàn)椋?，+∞），g′（x）=1－lnxax2.當(dāng)x∈（0，e）時g′（x）>0，g（x）在（0，e）上單調(diào)遞增;當(dāng)x∈（e，+∞）時g′（x）<0，g（x）在（e，+∞）上單調(diào)遞減.故g（x）最大值為1ae－b.所以ae－b=1ae－b，解得a=1.

點(diǎn)評：此問知識點(diǎn)源于人教A版數(shù)學(xué)新教材選擇性必修第二冊第五章5.3節(jié)，解法較常規(guī).

3.2第（2）問的分析與解答

第（2）問，先結(jié)合方程與根的知識，如圖2分析零點(diǎn)個數(shù)問題；再聯(lián)想基本不等式將問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，

即證明x1x4=x2x3，可得如圖3所示的思維導(dǎo)圖.

由上分析，本題第（2）問有三種證明方法，解答過程可掃碼查看.

4試題測試數(shù)據(jù)與分析

本題用在高三的周測進(jìn)行測試，該校生源屬中等水平.試題滿分12分，該測試題平均分1.44，難度系數(shù)0.12，區(qū)分度0.1，由于周測套題的難度較大，能做到本題的學(xué)生較少.學(xué)生出現(xiàn)的問題主要有：①運(yùn)算基礎(chǔ)不扎實(shí)，如第（1）問帶參求導(dǎo)出錯、忽略定義域的限制等.②解題不夠嚴(yán)謹(jǐn).如第（2）問的四個零點(diǎn)，只考慮了其中一種而忽略了另一種；又如直接寫出a=1，沒有過程.③轉(zhuǎn)化能力不強(qiáng)，沒把零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化出來，導(dǎo)致找不到解題方向.因此，暴露了學(xué)生思維和運(yùn)算等方面存在的問題.

5反饋練習(xí)

由于得分情況并不理想，因此在反饋練習(xí)中，可給學(xué)生搭建支架，讓學(xué)生“跳一跳，夠著桃”.

練習(xí)1（山東省淮坊市2023屆高三10月模擬試題第11題改編）已知函數(shù)f（x）=ex+x－2和g（x）=lnx+x－2的零點(diǎn)分別為x1，x2.

（1）證明：x1+x2=2;

（2）證明：x1lnx2+x2lnx1<0;

（3）證明：x1x2

（4）證明：x2lnx2－x1lnx1<2.

練習(xí)2（深圳部分學(xué)校2023屆高三年級9月份大聯(lián)考數(shù)學(xué)第22題）已知a>0，函數(shù)f（x）=xex－a，g（x）=xlnx－a.

（1）證明：函數(shù)f（x），g（x）都恰有一個零點(diǎn);

（2）設(shè)函數(shù)f（x）的零點(diǎn)為x1，g（x）的零點(diǎn)為x2，證明x1x2=a.

練習(xí)3已知函數(shù)f（x）=ex－a（x－2）2，a>0，f′（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù).

（1）討論f（x）的單調(diào)性，設(shè)f′（x）的最小值為m，并求證：m≤e2;

（2）若f（x）有三個零點(diǎn)，求a的取值范圍.

說明：三道習(xí)題層層遞進(jìn)，適合學(xué)后反饋練習(xí).

6試題的變式推廣

在學(xué)生學(xué)有余力的情況下，教師可引導(dǎo)學(xué)生對其他常見函數(shù)作進(jìn)一步探究，從而把本試題進(jìn)一步變式推廣，得到如下結(jié)論.

結(jié)論1函數(shù)f（x）=ex+x－b和g（x）=lnx+x-b

有：（1）二者具有同構(gòu)關(guān)系f（lnx）=g（x），g（ex）=f（x）;（2）函數(shù)y=f（x），y=g（x）共有兩個不同的零點(diǎn)，記為x1，x2，且x1+x2=b.

結(jié)論2函數(shù)f（x）=[SX（]ex[]x[SX）]-b和g（x）=[SX（]x[]lnx[SX）]-b有：（1）符合結(jié)論1的同構(gòu)關(guān)系，且二者右支有相同的最小值;（2）若函數(shù)y=f（x），y=g（x）共有三個不同的零點(diǎn)，由小到大記為x1，x2，x3，則x22=x1x3;（3）若函數(shù)y=f（x），y=g（x）共有四個不同的零點(diǎn)，由小到大記為x1，x2，x3，x4，則x1x4=x2x3.

結(jié)論3函數(shù)f（x）=xex-b和g（x）=xlnx-b有：（1）符合結(jié)論1的同構(gòu)關(guān)系，且二者有相同的最小值;（2）若函數(shù)y=f（x），y=g（x）共有兩個不同零點(diǎn)，記為x1，x2，則x1x2=b;（3）若函數(shù)y=f（x），y=g（x）共有四個不同零點(diǎn)，由小到大記為x1，x2，x3，x4，則x1x3=x2x4=b.

說明：這些素材，可結(jié)合前文中改編命制試題的三步驟，命制新的試題，也可給學(xué)生探究.

7結(jié)束語

我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾說：“出題比做題更難，題目要出得妙，出得好，要測得出水平.”命題是一次由內(nèi)而外的工作，是一個將解題引向深人的研究過程.本次命題比賽，除了享受過程，筆者體驗(yàn)了一回“確定考查目標(biāo)、選擇恰當(dāng)背景、構(gòu)造試題雛形、打磨形成試題”的過程[2]，更重要的是發(fā)現(xiàn)自身不足.今后，筆者將以命制出富有創(chuàng)新、讓師生津津樂道的新題為目標(biāo)不斷學(xué)習(xí)，繼續(xù)努力.

參考文獻(xiàn)：

[1]柯躍海.高考數(shù)學(xué)試題情境的創(chuàng)設(shè)實(shí)踐[J].中國考試，2020（6）：1-9.

[2]李志敏.如何設(shè)置恰當(dāng)背景編造數(shù)學(xué)新題[J].數(shù)學(xué)通訊，2020（10）：54-56，60.