拾級(jí)而上重本質(zhì)，開拓進(jìn)取升素養(yǎng)

熊洪智 劉勇 劉科蘭

2023年全國數(shù)學(xué)新高考Ⅱ卷順應(yīng)高考命題改革，以素養(yǎng)為導(dǎo)向，通過創(chuàng)設(shè)多樣命題情境，突出對數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的考查，充分發(fā)揮數(shù)學(xué)學(xué)科在人才選拔中的重要作用.

1深化基礎(chǔ)考查，指向關(guān)鍵能力

《中國高考評(píng)價(jià)體系》指出，高考以能力為重、知識(shí)為基，關(guān)鍵能力是高考重要的考核目標(biāo)，也是測試和評(píng)價(jià)的核心指標(biāo)和因素.數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力是指進(jìn)入更高層次的學(xué)習(xí)者，在面對數(shù)學(xué)學(xué)科相關(guān)的生活實(shí)踐或?qū)W習(xí)探索問題情境時(shí)，能有效地提出問題、認(rèn)識(shí)問題、分析問題和解決問題所必須具備的能力.《中國高考評(píng)價(jià)體系》闡述了適合高考評(píng)價(jià)規(guī)律的三個(gè)方面關(guān)鍵能力群：以認(rèn)識(shí)世界為核心的知識(shí)能力群、[JP+1]以解決實(shí)際問題為核心的實(shí)踐操作能力群和涵蓋了各種關(guān)鍵思維能力的思維認(rèn)知能力群.在2023年全國數(shù)學(xué)新高考Ⅱ卷中，主要考查邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力、空間想象能力、應(yīng)用實(shí)踐能力和創(chuàng)新能力5項(xiàng)數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力.

1.1邏輯思維能力

例1（第11題）若函數(shù)f（x）=alnx+bx+cx2（a≠0）既有極大值也有極小值，則（）.

A.bc>0

B.ab>0

C.b2+8ac>0

D.ac<0

評(píng)析：本題將導(dǎo)數(shù)與方程相結(jié)合，重點(diǎn)考查邏輯推理能力和化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，本題各選項(xiàng)之間有一定關(guān)聯(lián)，可以由已知條件，經(jīng)過分析與轉(zhuǎn)化，通過一個(gè)思路來判斷4個(gè)結(jié)論是否正確.對于函數(shù)極值問題的研究，主要轉(zhuǎn)化為其導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)存在性問題，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為方程根的分布問題，特別地，教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生理解“函數(shù)的極值點(diǎn)——導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)——相應(yīng)方程的根——導(dǎo)函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)”這四者的關(guān)系及其應(yīng)用.

1.2運(yùn)算求解能力

例2（第8題）記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若S4=－5，S6=21S2，則S8=（）.

A.120

B.85

C.－85

D.－120

評(píng)析：本題源自人教A版選擇性必修第二冊第37頁例9，例9是對數(shù)列Sn，S2n－Sn，S3n－S2n性質(zhì)的證明，考查等比數(shù)列的求和公式及其性質(zhì)，著重考查運(yùn)算求解和邏輯思維能力.滲透了整體思想、方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，同時(shí)考查邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng).

1.3空間想象能力

例3（第9題）已知圓錐的頂點(diǎn)為P，底面圓心為O，AB為底面直徑，∠APB=120°，PA=2，點(diǎn)C在底面圓周上，且二面角P-AC-O為45°，則（）.

A.該圓錐的體積為π

B.該圓錐的側(cè)面積為43π

C.AC=22

D.△PAC的面積為3

評(píng)析：本題以圓錐為載體，綜合考查二面角、圓錐的體積和側(cè)面積等知識(shí).通過二面角P-AC-O為45°可以確定點(diǎn)C在底面圓周上的位置，根據(jù)圓錐的母線長為2可以求得圓錐的高和底面圓的半徑，為后續(xù)的判斷奠定基礎(chǔ).本題全面考查基礎(chǔ)，四個(gè)選項(xiàng)設(shè)問逐次遞進(jìn)，各選項(xiàng)分別考查圓錐的不同性質(zhì)，互相聯(lián)系，突出對基礎(chǔ)知識(shí)和基本概念的深入理解和靈活掌握.考查學(xué)生轉(zhuǎn)化思想和空間想象能力.

1.4應(yīng)用實(shí)踐能力

例4（第19題）某研究小組經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)有明顯差異，經(jīng)過大量調(diào)查，得到如下的患病者和未患病者該指標(biāo)的頻率分布直方圖（如圖1）：

利用該指標(biāo)制定一個(gè)檢測標(biāo)準(zhǔn)，需要確定臨界值c，將該指標(biāo)大于c的人判定為陽性，小于或等于c的人判定為陰性.此檢測標(biāo)準(zhǔn)的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為p（c）；誤診率是將未患病者判定為陽性的概率，記為q（c）.假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率.

（1）當(dāng)漏診率p（c）=0.5％時(shí)，求臨界值c和誤診率q（c）；

（2）設(shè)函數(shù)f（c）=p（c）+q（c），當(dāng)c∈［95，105］時(shí)，求f（c）的解析式，并求f（c）在區(qū)間［95，105］的最小值.

評(píng)析：試題以疾病的檢測為背景進(jìn)行設(shè)計(jì)，既有現(xiàn)實(shí)意義，也能很好地體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科的應(yīng)用價(jià)值.

第（1）問本質(zhì)上是考查百分位數(shù)的運(yùn)用，屬于新教材新增內(nèi)容，百分位數(shù)的引入，需要我們更進(jìn)一步理解頻率分別直方圖中面積的含義；第（2）問要確定一個(gè)使得誤診率和漏診率之和盡量低的臨界值c，需要計(jì)算相應(yīng)的矩形面積之和，最終結(jié)合分段函數(shù)的單調(diào)性計(jì)算最值.本題立意新穎，突出對學(xué)生應(yīng)用實(shí)踐能力和邏輯思維能力的考查.

1.5創(chuàng)新能力

例5（第12題）在信道內(nèi)傳輸0，1信號(hào)，信號(hào)的傳輸相互獨(dú)立.發(fā)送0時(shí)，收到1的概率為α（0<α<1），收到0的概率為1－α；發(fā)送1時(shí)，收到0的概率為β（0<β<1），收到1的概率為1－β.考慮兩種傳輸方案：單次傳輸和三次傳輸.單次傳輸是指每個(gè)信號(hào)只發(fā)送1次，三次傳輸是指每個(gè)信號(hào)重復(fù)發(fā)送3次.收到的信號(hào)需要譯碼，譯碼規(guī)則如下：單次傳輸時(shí)，收到的信號(hào)即為譯碼；三次傳輸時(shí)，收到的信號(hào)中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼（例如，若依次收到1，0，1，則譯碼為1）.

A.采用單次傳輸方案，若依次發(fā)送1，0，1，則依次收到l，0，1的概率為（1－α）（1－β）2

B.采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則依次收到1，0，1的概率為β（1－β）2

C.采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則譯碼為1的概率為β（1－β）2+（1－β）3

D.當(dāng)0<α<0.5時(shí)，若發(fā)送0，則采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為0的概率

評(píng)析：本題源自人教A版選擇性必修第三冊第51頁例6，以信號(hào)傳輸為情境考查二項(xiàng)分布及其應(yīng)用.試題設(shè)計(jì)了單次傳輸和三次傳輸兩種傳輸方式，考查學(xué)生利用概率加法公式及乘法公式求概率的能力及對新概念、新知識(shí)的理解和探究能力，考查分析問題和解決問題能力及創(chuàng)新應(yīng)用能力.

2突出主干知識(shí)，構(gòu)建完整體系

2023年全國數(shù)學(xué)新高考Ⅱ卷試題突出對六大主干知識(shí)的考查.如考查數(shù)列的題目有第8題、第18題；考查三角函數(shù)和解三角形的題目有第7，16，17題；考查立體幾何的題目有第9，14，20題；考查概率統(tǒng)計(jì)的題目有第3，12，19題；考查解析幾何的題目有第5，10，15，21題；考查函數(shù)知識(shí)的題目有第4，6，11，22題.因此，在復(fù)習(xí)備考中要關(guān)注主干知識(shí)，引領(lǐng)學(xué)生積累六大主干知識(shí)基本的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，形成完整的知識(shí)體系.

全面考查基礎(chǔ)，并不是平均用力，而是突出考查支撐中學(xué)數(shù)學(xué)的核心知識(shí).從表1可以看出，近四年全國數(shù)學(xué)新高考Ⅱ卷中都突出對六大主干知識(shí)的考查，力圖讓學(xué)生構(gòu)建完整的基礎(chǔ)知識(shí)體系，為將來發(fā)展奠定良好的基礎(chǔ).

3倡導(dǎo)通性通法，實(shí)現(xiàn)精準(zhǔn)選拔

2023年新高考Ⅱ卷試題的求解入口寬、思路多樣，體現(xiàn)通性通法，真實(shí)反映考生的基礎(chǔ)理解水平，“反刷題”“反套路”，抑制“秒殺”，不提倡一知半解所謂的“高觀點(diǎn)”.不同的理解水平在解題時(shí)間和準(zhǔn)確性上的差異可以有效區(qū)分考生.

例6（第20題）如圖2，三棱錐A-BCD中，DA=DB=DC，BD⊥CD，∠ADB=∠ADC=60°，E為BC的中點(diǎn).

（1）證明：BC⊥DA；

（2）點(diǎn)F滿足EF=DA，求二面角D-AB-F的正弦值.

評(píng)析：

本題以三棱錐這一常見的空間幾何體為載體，第（1）問考查異面直線垂直的證明，可以利用“線面垂直線線垂直”，關(guān)鍵是直線與平面垂直的判定及直線與平面垂直的定義的應(yīng)用，還可以用向量運(yùn)算（數(shù)量積等于零）來證明（見解析）；第（2）問考查二面角的計(jì)算，可以采用坐標(biāo)法、綜合法和基底法求解，不同的解題方法能夠反映學(xué)生對立體幾何問題中通性通法的掌握情況.

4落實(shí)“四翼”考查，助力“雙減”落實(shí)

2023年新高考Ⅱ卷緊扣中國高考評(píng)價(jià)體系對“四翼”考查的要求，試題注重考查學(xué)生對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的理解和掌握，重視教考銜接.

（1）注重基礎(chǔ)性要求

試卷在選擇題、填空題中全面考查復(fù)數(shù)、集合、平面向量、三角函數(shù)、排列組合、幾何體體積等基礎(chǔ)知識(shí).在解答題中也深入考查基礎(chǔ)，強(qiáng)調(diào)學(xué)生對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基本思想方法的靈活運(yùn)用.

（2）彰顯綜合性要求

試題在體現(xiàn)基礎(chǔ)性的同時(shí)也重視對綜合性的考查，要求考生能運(yùn)用所學(xué)知識(shí)將復(fù)雜的問題情境進(jìn)行分解，合理選擇解題方法加以解決，充分體現(xiàn)高考命題從知識(shí)立意、能力立意到素養(yǎng)立意的轉(zhuǎn)變.高考數(shù)學(xué)試題的綜合性一方面是數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)部各個(gè)主題的綜合，另一方面是數(shù)學(xué)學(xué)科和其他學(xué)科的交匯融合.

例7（第22題）（Ⅰ）證明：當(dāng)0

（Ⅱ）已知函數(shù)f（x）=cosax－ln（1－x2），若x=0是f（x）的極大值點(diǎn)，求a的取值范圍.

評(píng)析：本題第（1）問起點(diǎn)低，只需通過作差構(gòu)造函數(shù)，并借助導(dǎo)數(shù)的工具作用判斷新函數(shù)的單調(diào)性，即可求解；試題第（2）問涉及的概念和性質(zhì)很基本，但是考查很深入，為考生解答問題提供了廣闊的發(fā)揮空間.本題命題角度新穎，淡化考試技巧，仍考查通性通法，但是對考生的邏輯推理素養(yǎng)和分析解決問題能力要求較高，較好地體現(xiàn)了試題的選拔功能.

（3）凸顯應(yīng)用性要求

數(shù)學(xué)源自生活、生產(chǎn)實(shí)踐，歸宿于解決實(shí)際問題.在應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)、思想和方法解決實(shí)際問題的過程中發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng)，引導(dǎo)學(xué)生重視數(shù)學(xué)應(yīng)用，增強(qiáng)學(xué)以致用的意識(shí).

例8（第3題）某學(xué)校為了解學(xué)生參加體育運(yùn)動(dòng)的情況，用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法作抽樣調(diào)查，擬從初中部和高中部兩層共抽取60名學(xué)生，已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學(xué)生，則不同的抽樣結(jié)果共有（）.

A.C45400·C15200種

B.C20400·C40200種

C.C30400·C30200種

D.C40400·C20200種

評(píng)析：本題以單選題的形式考查分層隨機(jī)抽樣及排列組合的內(nèi)容，以學(xué)校了解學(xué)生參加體育運(yùn)動(dòng)的情況為命題背景，取材于學(xué)生生活中的實(shí)際問題，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算與數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，通過問題的解決引導(dǎo)學(xué)生對數(shù)學(xué)產(chǎn)生濃厚的學(xué)習(xí)興趣，并積極應(yīng)用數(shù)學(xué)研究實(shí)際問題.

（4）體現(xiàn)創(chuàng)新性要求

試題的靈活性和答案的開放性，體現(xiàn)了新高考從重點(diǎn)考查知識(shí)技能到重點(diǎn)考查思維能力的轉(zhuǎn)變，表明數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)從灌輸知識(shí)、重復(fù)練習(xí)到培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的轉(zhuǎn)變，開放性試題不僅考查學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)思維理解和解決問題的能力，還考查學(xué)生的核心素養(yǎng)及創(chuàng)新能力.

例9（第15題）已知直線l：x－my+1=0與⊙C：（x－1）2+y2=4交于A，B兩點(diǎn)，寫出滿足“△ABC面積為85”的m的一個(gè)值＿＿＿＿.

評(píng)析：本題是一道開放題，在體現(xiàn)開放性的同時(shí)考查學(xué)生思維的有序性.在內(nèi)容方面，綜合考查直線和圓的位置關(guān)系、點(diǎn)到直線的距離公式、圓的內(nèi)接三角形性質(zhì)等，屬于在知識(shí)點(diǎn)的交匯處命題，體現(xiàn)了新高考命題的創(chuàng)新性要求.

5教學(xué)建議

針對2023年新高考Ⅱ卷數(shù)學(xué)試題“綜合性強(qiáng)，能力要求高，解題方法活”這些新特點(diǎn)，在高三復(fù)習(xí)教學(xué)中，教師要堅(jiān)持把能力培養(yǎng)作為首要任務(wù)，通過教學(xué)方式和方法的創(chuàng)新，改變機(jī)械刷題與套路訓(xùn)練模式，提升學(xué)生的核心素養(yǎng).

（1）夯實(shí)基礎(chǔ)知識(shí)，回歸教材本質(zhì)

本套試卷注重對基礎(chǔ)知識(shí)和基本能力的考查，試卷第1，2，3，4，7，13，14題皆為基礎(chǔ)題；本套試卷充分體現(xiàn)了考教結(jié)合，如第7，8，10，12，17，18，22（1）題均源自教材而高于教材.因此，在高三復(fù)習(xí)備考中我們應(yīng)注重基礎(chǔ)，回歸教材，注重“依標(biāo)靠本”，切忌盲目、隨意擴(kuò)展知識(shí)內(nèi)容.當(dāng)然，立足教材并不是對教材內(nèi)容的簡單重復(fù)，而是對教材內(nèi)容進(jìn)行二次重構(gòu)，特別是對教材中的一些典型問題，圍繞主干知識(shí)，深入挖掘教材例題、習(xí)題的價(jià)值，通過一題多解、一題多變、多題一解等高階思維活動(dòng)，剖析問題的數(shù)學(xué)本質(zhì)，幫助學(xué)生夯實(shí)基礎(chǔ)，提升解決問題的能力.

（2）關(guān)注知識(shí)生成，強(qiáng)調(diào)融會(huì)貫通

在復(fù)習(xí)備考中要引導(dǎo)學(xué)生明確知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過程，揭示知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，幫助學(xué)生構(gòu)建完整的知識(shí)體系，關(guān)注不同知識(shí)之間的聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生整合各個(gè)知識(shí)點(diǎn)，形成完整的學(xué)科知識(shí)框架和思想方法體系，促進(jìn)知識(shí)間的融會(huì)貫通.

（3）注重思想滲透，促進(jìn)素養(yǎng)達(dá)成

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)學(xué)科的精髓，是數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要內(nèi)容之一.本套試卷注重對數(shù)學(xué)思想方法的考查.比如，第5，9，16，19，20題都體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想方法在解決問題中的優(yōu)越性；第11，21，22題體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化的思想方法；第8，18，22題體現(xiàn)了分類討論的思想方法.因此，在復(fù)習(xí)備考中，要注意數(shù)學(xué)思想方法的滲透，充分挖掘由數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)所體現(xiàn)出來的數(shù)學(xué)思想方法，平常可以專門設(shè)置習(xí)題訓(xùn)練，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)實(shí)際題目內(nèi)容選擇不同的數(shù)學(xué)思想方法，使其靈活使用數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)與方程、特殊與一般、轉(zhuǎn)化、正難則反等多種數(shù)學(xué)思想方法，幫助他們積累更多的解題經(jīng)驗(yàn)，提升數(shù)學(xué)解題能力和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

（4）重視思維培養(yǎng)，提升關(guān)鍵能力

學(xué)生在面對綜合性較強(qiáng)的問題與新穎、較為復(fù)雜的情境時(shí)，需要具有一定的探究能力與創(chuàng)新精神，以及較好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和優(yōu)秀的思維品質(zhì).在復(fù)習(xí)課中，要擯棄傳統(tǒng)的“教師滿堂灌—學(xué)生記筆記—課后題海戰(zhàn)術(shù)”的復(fù)習(xí)模式，在課堂上采用回歸教材例習(xí)題、引導(dǎo)學(xué)生自主編題、學(xué)生說題、繪制思維導(dǎo)圖等方式提升課堂效率，促進(jìn)學(xué)生將知識(shí)和方法內(nèi)化為自身的知識(shí)結(jié)構(gòu)，鞏固所學(xué)知識(shí)，強(qiáng)化數(shù)學(xué)思維，為綜合能力的提升奠定基礎(chǔ).