高考數(shù)學“概率與統(tǒng)計”試題的特點及其教學啟示

羅毅 李勇

1背景

“概率與統(tǒng)計”是高中數(shù)學四大主要課程之一.而高考中“概率與統(tǒng)計”試題形式多變，考查的側(cè)重點和綜合難度都有一定的變化，部分一線教師難以把握高考復習方向[1]，因此對全國卷（全國甲卷、乙卷，新高考Ⅰ卷、Ⅱ卷）中“概率與統(tǒng)計”的相關(guān)試題進行統(tǒng)計分析，為教學實踐提供有效的建議，提醒教師重視“概率與統(tǒng)計”內(nèi)容[2].為教師開展有效的教學活動提供方向，充分發(fā)揮新高考在數(shù)學學科教育中的導向作用，以達到更好的教學效果.

2研究方法

本文對2021年和2022年全國高考數(shù)學卷（理科）中的“概率與統(tǒng)計”試題進行統(tǒng)計分析（8套共計34個題目）.考慮到不同題型所考查的內(nèi)容和重點存在差異，因此將“概率與統(tǒng)計”試題分為選填題和解答題兩大類，采用定性和定量相結(jié)合的研究方法，先對試題的命題特點進行統(tǒng)計分析，再從不同類型試卷入手，研究試題的綜合難度，結(jié)合統(tǒng)計圖表分析試題特點及試題綜合難度.

2.1命題特點分析

（1）情境領(lǐng)域：數(shù)學問題通常是以問題情境有機地展現(xiàn)出來.本文將依據(jù)新課標中情境的劃分進行統(tǒng)計（現(xiàn)實情境、數(shù)學情境、科學情境三個維度）.

（2）知識點：鑒于高考具有連續(xù)性、穩(wěn)定性等特點，本文參考2019年高考考試大綱，對“概率與統(tǒng)計”考點進行分類和編碼.

（3）數(shù)學核心素養(yǎng)：培養(yǎng)學生的數(shù)學核心素養(yǎng)，可以使他們在今后的數(shù)學學習中有更多獨到見解，從而有利于他們的身心發(fā)展.本文將參照新課標結(jié)合數(shù)學核心素養(yǎng)的劃分維度（數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算、數(shù)據(jù)分析）對2021年和2022年高考數(shù)學“概率與統(tǒng)計”試題進行統(tǒng)計分析.

2.2綜合難度分析

綜合難度分析可以把握試題的難易程度，并科學調(diào)控試題難度，從而提高命題質(zhì)量.國內(nèi)學者鮑建生［3］則根據(jù)我國數(shù)學課程的具體情況提出了五個難度影響因素的難度模型.本文將采用武小鵬等［4］基于AHP理論構(gòu)建的研究數(shù)學高考試題綜合難度模型，該模型含7個要素（背景因素、是否含參、運算水平、推理能力、知識含量、思維方向、認知水平），各要素又依據(jù)自身特點劃分為不同水平，具體如表1所示.

記第i個因素（共j個水平）的水平為aij，各因素的難度系數(shù)為：di=1N∑jnijdij（i=1，2，……，7;j=1，2，3，4），nij表示第i個因素中第j個水平的題目個數(shù)，N代表題目的總個數(shù).因此，整套試題的綜合難度系數(shù)為D=∑7i=1diki（i=1，2，……，7），其中ki為各因素在整個試題中所占的權(quán)重系數(shù)，本文參考武小鵬［1］提出的難度模型所得出的權(quán)重系數(shù)（ki=0.40，1.20，0.83，2.50，0.40，0.83，0.83）.

3數(shù)據(jù)統(tǒng)計與分析

3.1試題特點分析

（1）情境領(lǐng)域分析

通過統(tǒng)計（見表2）發(fā)現(xiàn)，試題對現(xiàn)實情境的設置最多，如2021年全國乙卷第6題：“將5名北京冬奧會志愿者分配到花樣滑冰等4個項目進行培訓，……，則不同的分配方案共有多少種？”試題情境貼近現(xiàn)實生活，與國家時事緊密相聯(lián)，培養(yǎng)學生的國家榮譽感和社會責任感，讓學生充分體會數(shù)學知識的實用性，將理論和實踐相結(jié)合.

（2）知識點分析

2021年和2022年選填題在知識點上重點考查了“古典概型”“概率”以及“用樣本估計總體”部分，其知識點含量的設計往往趨向單個知識點的考查，總體來說考查難度不大.而解答題對于“隨機抽樣”和“概率”知識點的考查最多，很少涉及“變量的相關(guān)性”和“隨機數(shù)與幾何概型”的考查；每道解答題所考查的知識點均在兩個及兩個以上，體現(xiàn)了知識點的融合性，突顯出解答題設置的綜合性.（知識點統(tǒng)計見表3.）

（3）數(shù)學核心素養(yǎng)分析

選填題著重考查學生的數(shù)學運算能力，注重數(shù)據(jù)分析能力，其命題符合考綱要求，具有實用性.解答題側(cè)重數(shù)學運算、邏輯推理以及數(shù)學建模的考查，重視學生分析問題、解決問題能力的培養(yǎng).以2022年新高考Ⅱ卷第19題為例，學生要從疾病與年齡間的關(guān)系情境中抽象出概率的數(shù)學問題，通過邏輯推理計算出患病平均年齡，并在此基礎上建立模型計算某年齡段的患病率.（數(shù)學核心素養(yǎng)統(tǒng)計見表4.）

3.2試題綜合難度分析

按照表1中不同因素的界定，對8套試卷中“概率與統(tǒng)計”試題進行分類賦值.具體如下：

例1（2022年全國甲卷第2題）某社區(qū)通過公益講座以普及社區(qū)居民的垃圾分類知識，為了解講座效果，隨機抽取10位社區(qū)居民，讓他們在講座前和講座后回答一份垃圾分類知識問卷，這10位社區(qū)居民在講座前和講座后問卷答題的正確率如圖1：

則（）.

A.講座前問卷答題的正確率的中位數(shù)小于70%

B.講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)大于85%

C.講座前問卷答題的正確率的標準差小于講座后正確率的標準差

D.講座后問卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差

分析：

該試題難度水平及賦值——生活背景2；簡單符號運算3；簡單推理1（包含三步：一是通過散點圖對數(shù)據(jù)進行排序；二是根據(jù)中位數(shù)概念找出中位數(shù)；三是根據(jù)平均數(shù)、標準差以及極差的計算公式分別計算出平均數(shù)、標準差以及極差）；無參數(shù)1；知識點含量中等2；順向思維1；運用認知水平2.

對2021年和2022年全國高考“概率與統(tǒng)計”知識單元涉及的34道試題同上進行分類和賦值，得到原始編碼數(shù)據(jù)后根據(jù)綜合難度系數(shù)公式進行計算，得到表5.

從整體來看，2021年和2022年高考數(shù)學全國卷中“概率與統(tǒng)計”試題的綜合難度系數(shù)差距不大，其中新高考Ⅰ卷“概率與統(tǒng)計”試題的綜合難度系數(shù)最高，達到13.22，甲卷、乙卷和新高考Ⅱ卷的綜合難度相差不大，難度系數(shù)在12左右.

為直觀了解2021年和2022年“概率與統(tǒng)計”試題在這7個維度上的側(cè)重程度，繪出雷達圖，如圖2.

圖2綜合難度系數(shù)雷達圖

可見，2021年和2022年甲、乙卷以及新高考Ⅰ、Ⅱ卷在推理能力、參數(shù)因素、背景因素三個維度上的考查難度差異不大，難度水平基本相當.在運算水平、知識的認知水平和思考方向三個方面，新高考Ⅰ卷“概率與統(tǒng)計”試題的難度明顯高于其他三卷，而在背景因素上又明顯低于其他三卷；在知識含量方面，乙卷“概率與統(tǒng)計”試題的難度低于其他三卷；同時四種類型的試卷都重視對運算能力的考查，對此維度的考查力度遠大于其他維度.

4啟示與建議

通過綜合統(tǒng)計和分析，發(fā)現(xiàn)這一部分的試題具有以下特征：一是問題情境多以現(xiàn)實情境為主，具有現(xiàn)實性；二是試題涵蓋的知識點廣泛，內(nèi)容豐富；三是各類型試題對學生數(shù)學核心素養(yǎng)考查的側(cè)重點不同，具有針對性；四是不同試卷的試題綜合難度相差不大，具有一致性.本文認為，隨著信息時代的到來，“概率與統(tǒng)計”的概念逐漸被人們所關(guān)注，這不僅有利于轉(zhuǎn)變學生的思維方式，也有利于培養(yǎng)學生的良好素質(zhì)，也為培養(yǎng)大量的信息技術(shù)人才打下了堅實的基礎.因此給出如下幾點建議.

（1）問題情境方面

適當?shù)膯栴}情境是檢驗數(shù)學學科核心素養(yǎng)的一個重要載體.因此在命制試題時要充分考慮學生和社會的需求以及時代背景，創(chuàng)設更加合理的問題情境，充分體現(xiàn)試題的應用性，使學生了解到，數(shù)學是從生活中產(chǎn)生的，也是在生活中得到運用的.

（2）知識點方面

單一的知識點不能夠體現(xiàn)高考試題綜合性的特點，命題可以適當增加知識點的容量或滲透其他學科知識點，從而增加試題的綜合性，幫助學生建立完整的知識框架.

（3）解題思維方面

命題時可以適當增加逆向思維的試題，如增加一些需用反證法、舉反例、逆用定理等求解的題目，這樣才能有效地提高學生的思維能力，培養(yǎng)他們的逆向思維，提高他們的解題能力.

（4）綜合難度方面

為了保證試題的價值，并發(fā)揮試題的選拔功能和導向作用，命題人要考慮各難度因素的平衡性，研究課標、回歸教材，秉持促進學生均衡且全面發(fā)展的理念，并根據(jù)不同地區(qū)對高考試題的要求，科學地去均衡各難度因素，提高試題的價值.

參考文獻：

[1]廖藝捷，朱展霖，胡典順.近五年高考概率與統(tǒng)計試題的統(tǒng)計與分析——以全國Ⅰ卷（理科）為例[J].數(shù)學通報，2021，60（2）：56-62.

[2]李亞瓊，徐文彬.高考課標卷概率統(tǒng)計試題的特點及其教學啟示——基于2011-2020年全國課標卷的分析[J].數(shù)學教育學報，2021，30（6）：13-19.

[3]鮑建生.中英兩國初中數(shù)學期望課程綜合難度的比較[J].全球教育展望，2002，31（9）：48-52.

[4]武小鵬，孔企平.基于AHP理論的數(shù)學高考試題綜合難度模型構(gòu)建與應用[J].數(shù)學教育學報，2020，29（2）：29-34.