用理性精神讓數(shù)學(xué)與物理適度融合

吳保玉

在新課程、新教材、新高考的“三新”背景下，“注重在數(shù)學(xué)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的交匯處設(shè)計(jì)試題”，已經(jīng)成為近年新課標(biāo)高考數(shù)學(xué)試題的創(chuàng)新特色之一，更是深度契合高考數(shù)學(xué)命題的基本指導(dǎo)思想.特別地，對(duì)數(shù)學(xué)與物理這兩個(gè)跨學(xué)科適度融合方面的嘗試與創(chuàng)新，成為眾多跨學(xué)科適度融合方面最為典型的一類基本考點(diǎn)，備受各方關(guān)注.

1 借助函數(shù)模型闡述物理現(xiàn)象問題

例1?如圖1，某炮兵從地平面A處發(fā)射一枚炮彈至地平面的另一處B，假設(shè)炮彈的初始速度為v0，發(fā)射方向與地平面所成角為α?0<α

A.?π?6

B.?π?4

C.?π?3

D.?5π?12

分析：物理現(xiàn)象與物理知識(shí)以數(shù)學(xué)公式的方式給出，剖析當(dāng)炮彈再次落地時(shí)豎直距離yB=0，即表示出對(duì)應(yīng)的時(shí)間，代入水平距離的公式，利用三角恒等變換公式加以變形與化簡(jiǎn)，結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)來(lái)確定相應(yīng)的最值，從而得以解決物理現(xiàn)象.

解析：依題意由yB=（v0sin α）t－?1?2?gt2=0，解得t=?2v0sin α?g?，

此時(shí)對(duì)應(yīng)的xB=（v0cos α）t=（v0cos α）·?2v0sin α?g?=?v20sin 2α?g?≤?v20?g?，

當(dāng)且僅當(dāng)sin 2α=1，即2α=?π?2?，亦即α=?π?4?時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)炮彈落地點(diǎn)的水平距離AB最大，最大值為?v20?g?.

故選：B.

點(diǎn)評(píng)：根據(jù)物理現(xiàn)象與物理知識(shí)的背景，通過(guò)數(shù)學(xué)公式的巧妙設(shè)置，結(jié)合函數(shù)與方程的應(yīng)用、三角函數(shù)及其應(yīng)用等來(lái)解決與物理知識(shí)相關(guān)的應(yīng)用問題，依托物理場(chǎng)景，應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí).破解的關(guān)鍵是結(jié)合數(shù)學(xué)公式與運(yùn)算，以及數(shù)學(xué)的相關(guān)知識(shí)來(lái)轉(zhuǎn)化與應(yīng)用.

2 依托物理背景構(gòu)建數(shù)學(xué)模型問題

例2?宇宙之大，粒子之微，無(wú)處不用到數(shù)學(xué).2023年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)?lì)C給了“阿秒光脈沖”，光速約為3×108 m/s，1阿秒等于10－18 s.現(xiàn)有一條50 cm的線段，第一次截去總長(zhǎng)的一半，以后每次截去剩余長(zhǎng)度的一半，至少需要截＿＿＿＿次才能使其長(zhǎng)度小于光在1阿秒內(nèi)走的距離.（參考數(shù)據(jù)：lg 5≈0.70，lg 3≈0.48.）（??）.

A.30

B.31

C.32

D.33

分析：依據(jù)物理應(yīng)用中的光速與阿秒的概念，通過(guò)挖掘問題內(nèi)涵，引入對(duì)應(yīng)的參數(shù)并建立對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，通過(guò)不等式的構(gòu)建，以及解不等式的應(yīng)用與對(duì)數(shù)運(yùn)算等，借助數(shù)學(xué)方法來(lái)分析與求解，進(jìn)而得以解決物理背景下的應(yīng)用問題.

解析：設(shè)一條50 cm的線段經(jīng)過(guò)x次截取后剩余的長(zhǎng)度為y cm，

則

y=50×?1－?1?2??x=50×??1?2??x，x∈N*.

由題意可得y<3×10－18×108×102，即為50×??1?2??x<3×10－18×108×102，

整理可得2x>?1?6?×1010，

兩邊取常用對(duì)數(shù)，可得x>?lg?1010?6??lg 2?=?10－lg 6?lg 2?=?9+lg 5－lg 3?1－lg 5?≈?9+0.70－0.48?1－0.70?≈30.7，

則x的最小值為31.故選：B.

點(diǎn)評(píng)：此類與物理背景相關(guān)的問題，關(guān)鍵在于閱讀題設(shè)條件，挖掘問題的內(nèi)涵與本質(zhì)，依托數(shù)學(xué)概念與知識(shí)來(lái)合理構(gòu)建與之對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，通過(guò)數(shù)學(xué)模型的處理和轉(zhuǎn)化，進(jìn)而解決與之對(duì)應(yīng)的物理應(yīng)用問題.

3 利用物理性質(zhì)解決解析幾何問題

例3?拋物線有一條重要性質(zhì)：從焦點(diǎn)出發(fā)的光線，經(jīng)過(guò)拋物線上的一點(diǎn)反射后，反射光線平行于拋物線的對(duì)稱軸.過(guò)拋物線C：y2=4x上的點(diǎn)P（不是原點(diǎn)）作C的切線l，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O作OQ⊥l，垂足為Q，直線PF（F為拋物線的焦點(diǎn)）與直線OQ交于點(diǎn)T，點(diǎn)A（0，2），則|TA|的取值范圍是＿＿＿＿.

分析：通過(guò)問題分析，該題是軌跡問題，涉及物理學(xué)科中的光學(xué)性質(zhì)背景.對(duì)于此類問題，題目暗示較為明顯，應(yīng)當(dāng)優(yōu)先考慮光學(xué)性質(zhì)背景下的幾何特征，從圓錐曲線的基本定義入手，回歸平面解析幾何的平面幾何本質(zhì)，通過(guò)幾何法來(lái)分析與解決問題.

解析：作出示意圖如圖2所示，l為切線.

由拋物線C：y2=4x，可得拋物線C的焦點(diǎn)F（1，0），

自F出發(fā)的光線FP經(jīng)點(diǎn)P反射后的反射光線為PH，設(shè)l在點(diǎn)P處的法線為PN，

根據(jù)光線的反射定律可知，∠FPN=∠HPN.

因?yàn)镺Q⊥l，PN⊥l，所以PN∥OQ.設(shè)直線OQ與直線PH交于點(diǎn)M，

則知

∠FPN=∠FTO，∠QMP=∠HPN.

又PH平行于x軸，可得∠QMP=∠FOT，所以∠FTO=∠FOT，則有|FT|=|OF|=1，

則知點(diǎn)T的軌跡是以點(diǎn)F為圓心，1為半徑的圓.

又|FA|=?5?，所以|TA|的取值范圍是[ 5?－1，?5?+1].

點(diǎn)評(píng)：通過(guò)物理性質(zhì)來(lái)抽象出數(shù)學(xué)本質(zhì)，進(jìn)而抓住平面解析幾何問題中的幾何本質(zhì)，以“形”的視角切入，從平面幾何直觀圖形入手加以分析，綜合平面幾何的基本性質(zhì)來(lái)推理與分析.依托平面幾何圖形的直觀性，利用數(shù)形結(jié)合來(lái)處理，成為解決平面解析幾何中一個(gè)的思維方法.

4 借助數(shù)學(xué)工具優(yōu)化物理決策問題

例4?法國(guó)數(shù)學(xué)家傅里葉用三角函數(shù)詮釋美妙音樂，代表任何周期性聲音和震動(dòng)的函數(shù)表達(dá)式都是形如y=Asin ωx的簡(jiǎn)單正弦型函數(shù)之和，這些正弦型函數(shù)各項(xiàng)的頻率是最低頻率的正整數(shù)倍（頻率是指單位時(shí)間內(nèi)完成周期性變化的次數(shù)，是描述周期運(yùn)動(dòng)頻繁程度的量），其中頻率最低的一項(xiàng)所代表的聲音稱為第一泛音，第二泛音的頻率是第一泛音的2倍，第三泛音的頻率是第一泛音的3倍……例如，某小提琴演奏時(shí)發(fā)出聲音對(duì)應(yīng)的震動(dòng)模型可以用如下函數(shù)表達(dá)：y=0.06sin 1 000πt+0.02sin 2 000πt+0.015sin 3 000πt（其中自變量t表示時(shí)間），每一項(xiàng)從左至右依次稱為第一泛音、第二泛音、第三泛音.若一個(gè)復(fù)合音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)f（x）=sin x+?1?2?sin ωx（x∈R）（從左至右依次為第一泛音、第二泛音），給出下列結(jié)論：

①f（x）的一個(gè)周期為3π；

②f（x）的圖象關(guān)于直線x=2π對(duì)稱；

③f（x）的極小值為－?3?3??4?；

④f（x）在區(qū)間[0，2π]上有2個(gè)零點(diǎn).

其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有（??）.（A）

A.1個(gè)

B.2個(gè)

C.3個(gè)

D.4個(gè)

分析：根據(jù)題設(shè)中的閱讀材料，通過(guò)物理與數(shù)學(xué)的交匯，利用閱讀材料中的信息來(lái)確定對(duì)應(yīng)函數(shù)的頻率，進(jìn)而得以確定變量ω的值，結(jié)合對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，對(duì)相應(yīng)的結(jié)論加以逐一分析，即可合理判斷與決策.

點(diǎn)評(píng)：此題以物理中的震動(dòng)與頻率相關(guān)的知識(shí)入手，以生活實(shí)際為問題背景，利用泛音的設(shè)置來(lái)創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)模型，利用三角函數(shù)來(lái)解決與之相關(guān)的判斷與決策問題.此類綜合應(yīng)用問題巧妙將物理與數(shù)學(xué)學(xué)科加以融合，將對(duì)應(yīng)的知識(shí)加以轉(zhuǎn)化與應(yīng)用，使得問題極具創(chuàng)新意識(shí)與應(yīng)用意識(shí)，有利于學(xué)科素養(yǎng)的培養(yǎng)，從而有效聯(lián)系知識(shí)與實(shí)際.

此類涉及數(shù)學(xué)與物理這兩個(gè)跨學(xué)科適度融合方面的創(chuàng)新與應(yīng)用問題，往往是依托物理背景，通過(guò)材料閱讀，挖掘題目?jī)?nèi)涵，化物理問題為數(shù)學(xué)問題，經(jīng)常是通過(guò)數(shù)學(xué)概念、定義、公式的應(yīng)用來(lái)建立起與之對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，從而轉(zhuǎn)化為相關(guān)的數(shù)學(xué)問題，利用數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)分析與求解，進(jìn)而達(dá)到破解物理及其應(yīng)用問題的目的.也就是說(shuō)，依靠思維能力對(duì)感性材料進(jìn)行抽象概括、分析綜合，以形成概念、判斷或推理的理性認(rèn)識(shí)活動(dòng)并用以尋找問題的本質(zhì)，這也正是理性精神的體現(xiàn).

因此，在日常數(shù)學(xué)教學(xué)與學(xué)習(xí)中，應(yīng)重視數(shù)學(xué)教材、學(xué)科基礎(chǔ)與知識(shí)基礎(chǔ)等，合理進(jìn)行不同學(xué)科知識(shí)之間的聯(lián)系，構(gòu)建學(xué)科之間的適度融合，用理性精神去追求真理，實(shí)事求是.另外，還要強(qiáng)調(diào)理性精神在數(shù)學(xué)基本技能與基本方法的訓(xùn)練過(guò)程中的重要作用，通過(guò)對(duì)所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)有一個(gè)系統(tǒng)的認(rèn)識(shí)，為知識(shí)交匯、學(xué)科融合的應(yīng)用與問題解決奠定基礎(chǔ).

課題信息：江蘇省教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃重點(diǎn)課題“厚植理性精神的高中數(shù)學(xué)跨學(xué)科教學(xué)研究”，立項(xiàng)編號(hào)為B/2022/03/204.