借助思維導(dǎo)圖將思維“可視化”，探尋解題軌跡

楊東 陳霞 鄒蘊(yùn)博 陳洲健

用思維導(dǎo)圖將思維過程可視化，可以更好地幫助我們尋找解題突破口，也能夠更好地梳理問題解決的內(nèi)置思路.這里，筆者以2023年全國甲卷第21題為例，呈現(xiàn)如何借助思維導(dǎo)圖來更好地探索問題的解決.

題目?已知f（x）=ax－?sin x?cos3x?，x∈?0，?π?2??.

（1）當(dāng)a=8時，討論f（x）的單調(diào)性；

（2）若f（x）

1 第（1）問解法分析

這個題目的問法很常規(guī)，但是函數(shù)的形式非常復(fù)雜，其分母出現(xiàn)了三次的余弦函數(shù)，因此在處理的時候首先需要嘗試直接求導(dǎo)，可以得到f′（x）=8－?cos2x+3sin2x?cos4x?，這個結(jié)構(gòu)顯得非常復(fù)雜！于是需要觀察分析導(dǎo)函數(shù)的結(jié)構(gòu)，充分抓住目標(biāo)：研究導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間?0，?π?2??上的正負(fù)號來處理結(jié)構(gòu)變形.這里，我們提供兩種變形思路.一方面，若注意到導(dǎo)函數(shù)中全部是正余弦函數(shù)的二次形式，[JP+1]結(jié)合sin2x + cos2x=1，可以考慮全部化簡為cos2x來討論.另一方面，如果比較熟悉與正切函數(shù)有關(guān)的公式tan2x+1=?1?cos2x?，

那么也可以嘗試將解析式處理成正切的形式.

下面的思維導(dǎo)圖（圖1）給出了面對這一結(jié)構(gòu)的思考過程，從而得到相應(yīng)的解題過程.掃碼看具體解題過程.

上述兩種方法的核心其實都是將三角函數(shù)化為同名，然后進(jìn)行換元處理（解答中鑒于篇幅所限，省略了換元的過程）.兩種處理方式都是抓住sin x，cos x和tan x之間的關(guān)系來化簡.其中，對于將cos x化為tan x的方式看起來似乎平時很少用到，但是稍后我們會看到，在第（2）問的一些分析中，這種化簡途徑也是非常有啟發(fā)意義的.

借助思維導(dǎo)圖，我們可以看到這個題目的思維過程是線性結(jié)構(gòu)的，算是一個比較常規(guī)的基本形式.但是在每一個步驟上，特別是在結(jié)構(gòu)分析過程中，思維導(dǎo)圖會讓我們將注意力集中在當(dāng)下需要處理的問題和結(jié)構(gòu)形式上，從而聯(lián)想到可以借助三角變形來解決繁瑣式子的變形.這種“思維可視化”過程可以讓我們更清晰地感受到如何一步一步想到解決問題的思路，也為我們解決數(shù)學(xué)問題提供了經(jīng)驗的歸納.

2 第（2）問解法分析

2.1 探索a的范圍分析

首先辨別清楚這個問題的類型：恒成立求參數(shù)取值范圍.因此，這里可以激活相應(yīng)的方法：直接求導(dǎo)討論；參變分離；必要性策略探路.這幾種方法都涉及將思維過程主要分解為兩個部分：即找到a的臨界值；證明這個值恰好是我們需要的.下面就分這兩部分結(jié)合思維導(dǎo)圖（圖2）探索a的范圍.

如圖2所示的思維導(dǎo)圖，展示了通過直接求導(dǎo)討論、參變分離和半分參放縮來尋找a的臨界值的過程.

在分析1中，設(shè)g（x）=sin 2x-f（x），那么問題轉(zhuǎn)化為尋找g（x）的最小值.一方面可以通過直接求導(dǎo)，并借助類似第（1）問的方法將cos2x換元，把函數(shù)變成一個我們更為熟悉的三次函數(shù)，由此自然而然地將a在3兩側(cè)進(jìn)行分類；另一方面，直接分析函數(shù)的端點，可以發(fā)現(xiàn)函數(shù)g（x）在x=0處的函數(shù)值為0，要保證函數(shù)恒為正數(shù)，就需要函數(shù)g（x）在x=0處的導(dǎo)數(shù)g′（x）≥0，由此得到a≤3.這樣得到的必要條件a≤3還需要進(jìn)一步加以證明.

在分析2中，通過直接分離參數(shù)，得到a

在分析3中，通過半分參，得axx－?x3?6?來放縮.對于tan x>x，可以得到k（x）=sin 2x+tan x+tan3x>2x－?（2x）3?6?+x+x3=3x－?x3?3?，發(fā)現(xiàn)這里得到了一個遞減的函數(shù)，注意到在x趨近于?π?2?的時候，tan x趨向正無窮大，而函數(shù)k（x）卻是單調(diào)遞減的，這時x3項不再是一個“微不足道的影響”了，會導(dǎo)致我們得到錯誤的邊界.于是考慮用tan x>x+?x3?3?來處理，這樣可以得到k（x）>3x，這就是我們需要的a的分界點.這種方法在這里顯得比較困難，需要熟悉泰勒展開式，同時需要記住tan x展開到x3的形式.這也告訴我們，在不太熟悉的情況下，高等數(shù)學(xué)的方法并不一定就可以更快捷更方便地解決問題！掌握分析函數(shù)的基本方法，才是找到問題突破口的關(guān)鍵.

綜上，通過思維的可視化呈現(xiàn)，幫助我們找到了a的分界點，但是這里得到的都是必要性條件，因此還需要進(jìn)一步分析充分性證明的方法.

2.2 證明充分性分析

由上述分析可知，a≤3是該問題的一個必要條件.這樣問題就轉(zhuǎn)化為：當(dāng)a≤3時，證明對x∈?0，?π?2??，都有f（x）

從思維導(dǎo)圖中可以看到，通過主元法將問題轉(zhuǎn)化為單變量的不等式恒成立問題.這里給出了兩種分析思路：直接討論函數(shù)的最值；直接對函數(shù)進(jìn)行放縮處理得到最值.

分析1中，再次用到了第（1）中的整體思想，可以看到整個過程非常清晰明了.這也體現(xiàn)了解決第（1）問的方法在第（2）問中的應(yīng)用.分析2中，考慮能否直接將函數(shù)通過放縮得到結(jié)果，這一步其實很難想到.因為從必要性分析中我們已經(jīng)看到，使用泰勒展開將函數(shù)線性化處理的時候，需要將sin 2x和tan x都展開到x3項，tan3x保留x項，這個操作首先需要對泰勒展開的結(jié)論很熟悉，其次要探索性地放縮處理，只有這樣才能找到合適的放縮方向.

2.3 解法呈現(xiàn)

通過上面的分析，我們發(fā)現(xiàn)最優(yōu)的解法其實就是直接分析構(gòu)造函數(shù)后的端點，利用最基本的函數(shù)求導(dǎo)分析方法來解答.下面的解答過程中，充分性的證明是最簡潔的處理方式.

解：先證a≤3的必要性（反證）.

令g（x）=sin 2x－f（x）=sin 2x+?sin x?cos3x?－ax，x∈?0，?π?2??，則g′（x）=2cos 2x+?cos2x+3sin2x?cos4x?－a.

若a>3，則g′（0）=3－a<0，g′?[SX（]π[]3[SX）]?＞0，

且g′（x）在區(qū)間?0，?π?2??上是連續(xù)的，因此存在x0∈?0，?π?2??，使得對x∈（0，x0），都有g(shù)′（x）<0.所以g（x）在區(qū)間（0，x0）上單調(diào)遞減，則g（x0）

下面證明：當(dāng)a≤3時，f（x）

因為a≤3，且x∈?0，?π?2??，所以sin 2x+?sin x?cos3x?－ax≥sin 2x+?sin x?cos3x?－3x.設(shè)G（x）=sin 2x+?sin x?cos3x?－3x，x∈?0，?π?2??.

證法1：G′（x）=2cos 2x+?cos2x+3sin2x?cos4x?－3=?4cos6x－5cos4x－2cos2x+3?cos4x?，分母cos4x恒為正，對于分子中的代數(shù)式，令t=cos2x∈（0，1），H（t）=4t3－5t2－2t+3，t∈（0，1），則H′（t）=2（6t+1）（t－1）.因為t∈（0，1），所以H′（t）< 0恒成立.因此H（t）在區(qū)間（0，1）上為單調(diào)減函數(shù)，則H（t）>H（1）=0.所以對x∈?0，?π?2??，G′（x）＞0，從而G（x）在區(qū)間?0，?π?2??上單調(diào)遞增.所以對?x∈?0，?π?2??，G（x）>G（0）=0.證畢.

證法2：略.（掃碼看具體過程.）

3 總結(jié)

從上文的分析過程可以看出，在分析復(fù)雜的函數(shù)的時候，借助思維導(dǎo)圖可以幫我們更清晰地理解題目的內(nèi)在聯(lián)系，從而找到相應(yīng)的突破口，由此更好地鍛煉邏輯推理能力.一些高等數(shù)學(xué)的知識雖然可以幫助我們處理問題，但是如果對其核心知識掌握不熟練的話，反而可能弄巧成拙，讓問題變得更加復(fù)雜.