修正-聯(lián)合正則化的沖擊載荷識(shí)別與響應(yīng)重構(gòu)

殷紅，石詠荷，彭珍瑞，王增輝

(1.蘭州交通大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，甘肅 蘭州 730070；2.西安交通大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，陜西 西安 710049)

在工程領(lǐng)域內(nèi)，許多結(jié)構(gòu)在服役期間會(huì)不可避免地受到外部沖擊載荷的作用[1-3]，這將嚴(yán)重影響結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定和安全性能，甚至引發(fā)重大工程事故.為此，需要對(duì)工程結(jié)構(gòu)進(jìn)行健康監(jiān)測(cè)，其關(guān)鍵是監(jiān)測(cè)結(jié)構(gòu)外部載荷及動(dòng)力學(xué)響應(yīng)[4-6].實(shí)際上，由于結(jié)構(gòu)復(fù)雜或現(xiàn)場(chǎng)安裝條件的限制，無(wú)法獲得較完備的測(cè)量數(shù)據(jù)，并且外部沖擊載荷具有稀疏性[7]，往往難以直接精確測(cè)量.重構(gòu)沖擊載荷及未安裝或無(wú)法安裝傳感器位置處的響應(yīng)具有重要意義[8-10].

目前，結(jié)構(gòu)響應(yīng)重構(gòu)技術(shù)主要有以下3 類方法：模態(tài)分析類方法[11-13]、傳遞矩陣類方法[14-16]及濾波類方法[17-19].其中，傳遞矩陣類和濾波類方法是目前應(yīng)用最廣泛的響應(yīng)重構(gòu)方法.Ribeiro 等[14]最先給出傳遞率矩陣的概念.Law等[15]提出基于頻域廣義傳遞率的結(jié)構(gòu)響應(yīng)重構(gòu)方法，通過(guò)7 層平面框架驗(yàn)證了方法的精度.毛羚等[16]結(jié)合響應(yīng)重構(gòu)和遺傳算法進(jìn)行結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別，利用少數(shù)測(cè)量響應(yīng)重構(gòu)了目標(biāo)位置響應(yīng).此外，卡爾曼濾波(Kalman filter,KF)算法能夠考慮結(jié)構(gòu)系統(tǒng)和測(cè)量中的不確定性.張笑華等[17]基于KF 提出結(jié)構(gòu)多類型響應(yīng)重構(gòu)的方法，對(duì)不同類型傳感器的位置進(jìn)行優(yōu)化，用于響應(yīng)重構(gòu).Zhang 等[18]提出用于結(jié)構(gòu)響應(yīng)優(yōu)化重構(gòu)的KF 自適應(yīng)模態(tài)選擇方法.KF 能夠取得最優(yōu)估計(jì)，但忽略了工程中常見的有色噪聲，難以保證重構(gòu)結(jié)果的可靠性.粒子濾波(particle filter,PF)算法能夠彌補(bǔ)這一空缺，史鵬程等[19]提出2 步結(jié)構(gòu)響應(yīng)重構(gòu)方法，在一步重構(gòu)基礎(chǔ)上引入PF 方法，考慮了有色噪聲的影響.上述方法均需要在外部載荷已知的前提下重構(gòu)，但外部沖擊載荷往往難以直接獲得，在工程應(yīng)用中綜合考慮外載荷識(shí)別與響應(yīng)重構(gòu)顯得十分重要.目前，針對(duì)載荷識(shí)別的正則化方法主要有L2 正則化[20]和L1 正則化[21].前者即Tikhonov 正則化，根據(jù)最小化原理識(shí)別沖擊載荷，能夠滿足光滑度要求，但正則化參數(shù)選取困難且L2 解通常是非稀疏的，在載荷的非加載區(qū)域振蕩較大.L1 正則化能夠保留解的稀疏特征，但光滑度較差，且噪聲較大時(shí)會(huì)降低識(shí)別結(jié)果的穩(wěn)定性，甚至造成識(shí)別錯(cuò)誤.

針對(duì)上述問(wèn)題，本文采用單類型傳感器及小樣本的測(cè)量信息，提出基于修正-聯(lián)合正則化的沖擊載荷識(shí)別與結(jié)構(gòu)響應(yīng)重構(gòu)方法，旨在克服響應(yīng)重構(gòu)中沖擊載荷的識(shí)別振蕩、光滑度較差及識(shí)別精度易受噪聲干擾等問(wèn)題.推導(dǎo)結(jié)構(gòu)沖擊載荷及動(dòng)態(tài)響應(yīng)的重構(gòu)方程.探究新型的修正-聯(lián)合正則化方法并用于沖擊載荷的求解，以提高沖擊載荷峰值的識(shí)別精度與非加載區(qū)域識(shí)別結(jié)果的穩(wěn)定性.利用傳遞矩陣法和PF 算法重構(gòu)結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)響應(yīng)，通過(guò)某動(dòng)車輪對(duì)數(shù)值算例和外伸梁試驗(yàn)驗(yàn)證了所提方法的有效性.

1 載荷識(shí)別及響應(yīng)重構(gòu)模型

結(jié)構(gòu)在外部載荷作用下的運(yùn)動(dòng)方程可以表示為

式中：α、β為瑞利阻尼比例系數(shù)，分別具有s-1和s 的量綱.

1.1 載荷反演

通過(guò)定義 z(t)，將式(1)表示為連續(xù)時(shí)間的狀態(tài)空間形式[16]：

下標(biāo)c 表示連續(xù)時(shí)間系統(tǒng).輸出響應(yīng)為

式中：Cac、Cve和 Cdi分別為加速度、速度和位移的映射矩陣，與輸出數(shù)據(jù)類型相關(guān).

根據(jù)式(1)、(4)，可得

式中：f(k)、y(k)和 z(k)分別為離散后的外載荷向量、觀測(cè)向量和狀態(tài)向量；k 為觀測(cè)時(shí)刻，k=0,1,···,N；下標(biāo)d 表示離散時(shí)間系統(tǒng)；Ad和 Bd分別為離散后狀態(tài)矩陣和外載荷輸入矩陣；Cd和Dd分別為離散后輸出矩陣和直接傳輸矩陣.

將狀態(tài)向量代入觀測(cè)向量，可得

假設(shè)初始條件 z(0)=0，f(0)=0，式(7)簡(jiǎn)化為

式中：f為外載荷，f=[f(1),f(2),···,f(N)]T；Y 為響應(yīng)，Y=[y(1),y(2),···,y(N)]T；H為傳遞矩陣，

式(8)為響應(yīng)傳遞方程.測(cè)量位置的響應(yīng)傳遞方程可以表示為

式中：Ym和 Hm分別為測(cè)量位置的響應(yīng)和傳遞矩陣.

依據(jù)式(10)可得外載荷f 的解，即載荷反演的數(shù)學(xué)模型，表示為

1.2 響應(yīng)重構(gòu)

1.2.1 傳遞矩陣法 傳遞矩陣的結(jié)構(gòu)響應(yīng)重構(gòu)方法[16]的基本思想是通過(guò)建立測(cè)量位置處響應(yīng)與待重構(gòu)位置響應(yīng)間的傳遞函數(shù)，重構(gòu)目標(biāo)位置處的動(dòng)態(tài)響應(yīng).響應(yīng)重構(gòu)方程可以表示為

式中：Yr和 Hr分別為結(jié)構(gòu)待重構(gòu)位置的響應(yīng)和傳遞矩陣.

基于傳遞矩陣的結(jié)構(gòu)響應(yīng)重構(gòu)方法可能會(huì)因?yàn)橄到y(tǒng)模型誤差而導(dǎo)致重構(gòu)精度大幅下降，PF 算法能夠很好地處理系統(tǒng)模型誤差及有色噪聲，因此引入PF 方法進(jìn)行結(jié)構(gòu)響應(yīng)重構(gòu).

1.2.2 粒子濾波法 基于PF 算法類結(jié)構(gòu)響應(yīng)重構(gòu)方法[19,22]的核心思想是將系統(tǒng)狀態(tài)的后驗(yàn)概率密度函數(shù)由含有權(quán)重的離散隨機(jī)采樣點(diǎn)表征，根據(jù)貝葉斯準(zhǔn)則進(jìn)行加權(quán)和遞歸，獲取系統(tǒng)狀態(tài)估計(jì)向量，將系統(tǒng)狀態(tài)估計(jì)向量用于結(jié)構(gòu)響應(yīng)重構(gòu).PF 算法的原理見文獻(xiàn)[22]，本文不作贅述.

引入模態(tài)坐標(biāo)q，通過(guò) z(t)=Φq(t)模態(tài)坐標(biāo)變換，將結(jié)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)方程轉(zhuǎn)換到模態(tài)坐標(biāo)系下，具體表示為

式中：ξ為阻尼矩陣，ω0為模態(tài)頻率矩陣，Φ為位移振型矩陣，L 為外部載荷的映射矩陣，u 為模態(tài)坐標(biāo)系下的外部載荷向量.

將式(13)轉(zhuǎn)化為狀態(tài)空間模型并離散化：

式中：uk、yk和 zk分別為離散后的外載荷向量、觀測(cè)向量和狀態(tài)向量；A、B 分別為系統(tǒng)離散后的狀態(tài)矩陣和外載荷輸入矩陣；C、D 分別為觀測(cè)輸出矩陣和直接傳輸矩陣；wk為系統(tǒng)的過(guò)程噪聲，以考慮模型不確定性所帶來(lái)的誤差；vk為傳感器的測(cè)量噪聲.各矩陣具體表示為

當(dāng)觀測(cè)類別為速度和加速度時(shí)，C 和D 為

結(jié)構(gòu)待重構(gòu)位置的響應(yīng)重構(gòu)方程為

式中：Yr為待重構(gòu)位置的響應(yīng)；Cr、Dr分別為矩陣C 和D 的子矩陣，分別表示待重構(gòu)位置的觀測(cè)輸出矩陣和直接傳輸矩陣；zPF為利用PF 算法估計(jì)的系統(tǒng)狀態(tài)向量.

2 沖擊載荷識(shí)別

2.1 傳統(tǒng)正則化方法

2.1.1 Tikhonov 正則化 載荷 f 的最小二乘解可寫為

式中：上標(biāo)T 表示共軛轉(zhuǎn)置.當(dāng) Hm的奇異值趨于零或其條件數(shù)太大時(shí)，該問(wèn)題屬于不適定問(wèn)題[23].引入L2 正則化(Tikhonov 正則化)方法，獲得穩(wěn)定解.實(shí)際測(cè)量響應(yīng)含有噪聲，定義該噪聲引起的誤差e 為

Tikhonov 正則化方法可以描述為最優(yōu)化問(wèn)題：

式中：λ ＞0為正則化參數(shù)，‖·‖2為L(zhǎng)2 范數(shù).為了使e 最小，Tikhonov 給出目標(biāo)函數(shù)：

從式（21）可以看出，正則化方法本質(zhì)上是帶有懲罰項(xiàng)或約束項(xiàng)的最小二乘方法[24].以載荷f 為自變量對(duì)函數(shù)J 求導(dǎo)，并令 dJ/df=0，可得e 最小所對(duì)應(yīng)的外載荷，表示為

式中：I 為單位矩陣，fL2為Tikhonov 正則化的載荷識(shí)別結(jié)果.對(duì) Hm進(jìn)行奇異值分解：

式中：Hm為p×N的矩陣，U=[u1,u2,···,up]和V=[v1,v2,···,vN]分別為左、右奇異值矩陣；Σ=diag [σ1,σ2,···,σN]為奇異值矩陣，奇異值 σi越小，對(duì)應(yīng)的 ui和 vi中元素正負(fù)符號(hào)的變化越多[25].

基于奇異值分解的正則化解可以表示為

Tikhonov 正則化能否有效求解反問(wèn)題的關(guān)鍵在于正則化參數(shù) λ的選取，本文采用GCV(generalized cross-validation)準(zhǔn)則確定正則化參數(shù) λ.GCV 函數(shù)最小化所對(duì)應(yīng)的 λ為所選取的正則化參數(shù).GCV 函數(shù)的具體表達(dá)式[26]為

2.1.2 L1 正則化 為了充分考慮沖擊載荷的稀疏性，建立L1 正則化載荷識(shí)別模型[27].對(duì)于稀疏正則化，基于無(wú)約束凸優(yōu)化的系統(tǒng)模型可以表示為

式中：λ ＞0為正則化參數(shù).

L1 正則化求解未知荷載，即凸優(yōu)化問(wèn)題的求解，可以采用梯度法[28]、內(nèi)點(diǎn)法[29]和迭代閾值收縮算法[30]等進(jìn)行求解，本文采用常用的截?cái)嗯ｎD內(nèi)點(diǎn)法求解.稀疏正則化對(duì)正則化參數(shù)不敏感[27]，正則化參數(shù)在 [0.001λmax，0.1λmax]內(nèi)均可求得較準(zhǔn)確的稀疏正則化解，本文參考文獻(xiàn)[27]設(shè)置正則化參數(shù) λ=0.01λmax，λmax表示為

2.2 修正-聯(lián)合正則化方法

當(dāng)外部載荷類型為沖擊載荷時(shí)，采用L2 正則化方法能夠保證加載區(qū)域載荷識(shí)別的光滑度，但會(huì)出現(xiàn)非加載區(qū)域的識(shí)別振蕩問(wèn)題，且振蕩較明顯.L1 正則化方法保留了解的稀疏特征，但識(shí)別結(jié)果的光滑度較差且易受噪聲干擾，在噪聲較大時(shí)甚至難以識(shí)別.

為了提高載荷識(shí)別的精度，提出新型的修正-聯(lián)合(updating-combination)正則化方法，即Luc 正則化，用以沖擊載荷的識(shí)別.該方法基于傳統(tǒng)L2 與L1 正則化，具體的計(jì)算過(guò)程可以歸納為“修正-聯(lián)合”的步驟，即修正步與聯(lián)合步.先引入小波變換閾值法[31]對(duì)測(cè)量數(shù)據(jù)進(jìn)行降噪預(yù)處理，以獲得降噪后的響應(yīng) Yde.現(xiàn)有已知點(diǎn)測(cè)量響應(yīng) Ym、小波降噪后測(cè)量響應(yīng) Yde、L2 正則化識(shí)別的載荷 fL2及L1 正則化識(shí)別的載荷 fL1.采用 fL2重構(gòu)已知測(cè)量點(diǎn)處的響應(yīng)：

式中：YL2為L(zhǎng)2 正則化識(shí)別結(jié)果計(jì)算的響應(yīng)(下述簡(jiǎn)稱L2 識(shí)別計(jì)算響應(yīng)).計(jì)算 Yde與 YL2的差值 Ye：

式中：fe為差值載荷.

fe的求解可以表示為

差值載荷較小不需要考慮振蕩問(wèn)題，僅滿足其光滑性即可，故采用L2 正則化方法求解 fe.一步修正載荷可以表示為

式中：fLu為修正后的沖擊載荷.引入a、b 判斷式（31）的符號(hào)，表示為

式中：a 為各時(shí)刻差值載荷之和；k 為觀測(cè)時(shí)刻，k=1,2,···,N ；bj為測(cè)量位置j 處的絕對(duì)值響應(yīng)差值之和；為去噪后測(cè)量位置j 處的響應(yīng)；為測(cè)量位置j 處的L2 識(shí)別計(jì)算響應(yīng)；上標(biāo) j表示可測(cè)量位置，可測(cè)量位置共有n 個(gè).

載荷的具體識(shí)別情況如圖1 所示.圖中，實(shí)線為理論真實(shí)載荷，虛線為L(zhǎng)2 正則化識(shí)別載荷，分別有以下4 種識(shí)別情況.a ＞0表示載荷方向?yàn)檎?，反之則為負(fù).當(dāng)多數(shù) b ＞0時(shí)，說(shuō)明L2 正則化方法所識(shí)別的載荷偏小，則式(31)取正號(hào)，故一步修正載荷為 fLu=fL2+fe，反之則取負(fù)號(hào).

圖1 載荷識(shí)別情況Fig.1 Load identification cases

目前已完成載荷的修正步工作，可以滿足沖擊載荷峰值的識(shí)別，但是非加載區(qū)的載荷存在振蕩情況，故引入載荷聯(lián)合步.在修正后載荷結(jié)果的基礎(chǔ)上聯(lián)合L1 正則化方法，融入非加載區(qū)域識(shí)別穩(wěn)定的優(yōu)勢(shì)，保留待重構(gòu)載荷的稀疏特征.采用式(33)、(34)求解最終的沖擊載荷識(shí)別結(jié)果.

當(dāng)沖擊載荷方向?yàn)檎?，?a ＞0時(shí)，

當(dāng)沖擊載荷方向?yàn)樨?fù)，即 a ＜0時(shí)，

式中：fLuc(k)為修正-聯(lián)合沖擊載荷，const 為常數(shù).

在聯(lián)合步中，對(duì)L1 正則化方法的載荷識(shí)別結(jié)果 fL1(k)進(jìn)行判斷，以設(shè)置的const 常數(shù)為判斷標(biāo)準(zhǔn).當(dāng)沖擊載荷方向?yàn)檎龝r(shí)，若 fL1(k)≥const，則說(shuō)明此處為載荷加載區(qū)，令 fLuc(k)為一步修正載荷fLu(k)；若 fL1(k)＜const，則說(shuō)明此處為載荷非加載區(qū)，令 fLuc(k)=0.同理，當(dāng)沖擊載荷方向?yàn)樨?fù)時(shí)，可以依據(jù)是否為加載區(qū)進(jìn)行判斷.通常依據(jù)常數(shù)const 的取值判斷是否為加載區(qū)，若 fL1(k)≠0則說(shuō)明有載荷加載，若 fL1(k)=0則說(shuō)明無(wú)加載，但由于獲得的數(shù)據(jù)含有一定的誤差，可能導(dǎo)致L1 正則化方法所識(shí)別的非加載區(qū)載荷有偏差，影響常數(shù)const 的取值.具體的const 取值需要以真實(shí)載荷及L1 正則化方法非加載區(qū)域的識(shí)別載荷為依據(jù)進(jìn)行選取，使其盡可能避免非加載區(qū)域的波動(dòng).不同載荷和噪聲水平下的const 取值不同，當(dāng)噪聲較小時(shí)，0 ＜ const ＜ 1.0；當(dāng)噪聲增大時(shí)，為了減小載荷振蕩，const 的取值可以適當(dāng)增加.

具體來(lái)說(shuō)，Luc 正則化方法如下.對(duì)傳統(tǒng)L2 正則化解進(jìn)行修正，聯(lián)合L1 正則化解的稀疏性優(yōu)勢(shì)，使其能夠在滿足沖擊載荷識(shí)別結(jié)果光滑度的基礎(chǔ)上，提高沖擊載荷的識(shí)別精度與魯棒性，保證沖擊載荷非加載區(qū)域識(shí)別結(jié)果趨于穩(wěn)定.

3 結(jié)構(gòu)響應(yīng)重構(gòu)

基于修正-聯(lián)合正則化方法的沖擊載荷識(shí)別與結(jié)構(gòu)響應(yīng)重構(gòu)方法的具體流程如圖2 所示.在獲得結(jié)構(gòu)測(cè)量響應(yīng)后，引入小波變換閾值法對(duì)測(cè)量響應(yīng)進(jìn)行降噪處理.構(gòu)建測(cè)量位置處的傳遞矩陣Hm及待重構(gòu)位置處的傳遞矩陣Hr.利用去噪后響應(yīng)、傳遞矩陣及提出的Luc 正則化方法，對(duì)結(jié)構(gòu)外部的沖擊載荷進(jìn)行識(shí)別，具體的Luc 正則化方法分為“載荷修正”與“載荷聯(lián)合”2 個(gè)步驟.利用Luc 沖擊載荷識(shí)別結(jié)果，結(jié)合傳遞矩陣法與PF 算法，分別對(duì)待重構(gòu)位置處的動(dòng)態(tài)響應(yīng)進(jìn)行計(jì)算，對(duì)比2 種方法的重構(gòu)效果.

圖2 載荷識(shí)別與響應(yīng)重構(gòu)的流程圖Fig.2 Flow chart for load identification and response reconstruction

利用傳遞矩陣法計(jì)算待重構(gòu)響應(yīng)，可以表示為

式中：Yrc為傳遞矩陣重構(gòu)結(jié)果.

利用PF 算法計(jì)算待重構(gòu)響應(yīng)，可以表示為

式中：Yrp為粒子濾波重構(gòu)結(jié)果.

評(píng)估載荷誤差的指標(biāo)為

式中：fre為外載荷識(shí)別結(jié)果，ftrue為真實(shí)載荷.

評(píng)估響應(yīng)誤差的指標(biāo)為

式中：Yre為重構(gòu)響應(yīng)，Ytrue為真實(shí)響應(yīng).

4 算例分析

4.1 數(shù)值算例

高速列車輪對(duì)作為列車的關(guān)鍵部件，其動(dòng)力學(xué)特性直接關(guān)系到列車的行車穩(wěn)定與安全，對(duì)其重要位置的響應(yīng)進(jìn)行重構(gòu)顯得尤為重要.以CRH2 型動(dòng)車組非動(dòng)力輪對(duì)為研究對(duì)象，模擬整個(gè)響應(yīng)的重構(gòu)流程，輪對(duì)的有限元模型如圖3 所示.車輪密度為8500 kg/m3，彈性模量為212 GPa，泊松比為0.264.車軸密度為7 850 kg/m3，彈性模量為206 GPa，泊松比為0.281.由于軌道線路及復(fù)雜運(yùn)行工況極易對(duì)輪對(duì)產(chǎn)生沖擊載荷[32]，在輪對(duì)踏面處模擬施加列車所承受的沖擊載荷.

圖3 輪對(duì)的有限元模型Fig.3 Finite element model of wheelset

軸頸用來(lái)安裝滾動(dòng)軸承，承擔(dān)車輛質(zhì)量，并傳遞各個(gè)方向上的靜、動(dòng)載荷，軸頸的動(dòng)態(tài)響應(yīng)對(duì)輪對(duì)動(dòng)力學(xué)分析十分重要.利用A、B 和C 節(jié)點(diǎn)的垂向加速度響應(yīng)來(lái)識(shí)別沖擊載荷f，重構(gòu)軸頸上D 和E 節(jié)點(diǎn)處的垂向速度vD和vE、D 和E 節(jié)點(diǎn)處的加速度響應(yīng)aD、aE.在結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)領(lǐng)域，各階模態(tài)響應(yīng)按響應(yīng)因子來(lái)表征其重要性，各階模態(tài)的響應(yīng)因子1/(2k-1)2隨著階數(shù)k 的增大而減少[33]，模態(tài)階數(shù)越低，響應(yīng)因子越大，該階模態(tài)對(duì)于結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)信息越重要.通常情況下，低階模態(tài)包含結(jié)構(gòu)的主要信息，反映結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)行為.工程上一般僅關(guān)心低階模態(tài)，且通常選擇4～8 階模態(tài)作為感興趣模態(tài).將該輪對(duì)劃分為31 778 個(gè)節(jié)點(diǎn)、11 596 個(gè)單元，開展模態(tài)分析，獲取前8 階的彈性模態(tài)頻率分別為89.22、102.84、103.02、167.88、168.64、274.97、308.03 和309.29 Hz.在響應(yīng)數(shù)據(jù)中添加噪聲，以模擬真實(shí)測(cè)量響應(yīng)，具體表示為

式中：Ym為含噪的測(cè)量響應(yīng)，Ycal為計(jì)算響應(yīng)，Rnoise為正態(tài)隨機(jī)噪聲，std(·)為標(biāo)準(zhǔn)差，α為表示噪聲水平的噪聲因子.

載荷識(shí)別問(wèn)題是否適定，須引入Picard 條件[34]進(jìn)行判斷，即隨著奇異值個(gè)數(shù)i 的增加，系數(shù)的減小速度比奇異值σi更快.若滿足Picard 條件，則判定為適定問(wèn)題，否則為不適定問(wèn)題.如圖4 所示為當(dāng)噪聲因子為0.10，即噪聲水平為10%時(shí)測(cè)量響應(yīng)的Picard 圖.可以看出，該問(wèn)題不滿足Picard 條件，即載荷識(shí)別問(wèn)題為不適定問(wèn)題.求解不適定問(wèn)題的普遍方法是將不適定問(wèn)題替換為對(duì)擾動(dòng)不太敏感的“附近”的適定問(wèn)題[34]，以與原不適定問(wèn)題相“鄰近”的適定問(wèn)題的解去逼近原問(wèn)題的解，稱為正則化方法.為了解決逆問(wèn)題的不適定性，獲得穩(wěn)定解，引入該方法.

圖4 Picard 圖Fig.4 Picard diagram

如圖5 所示為當(dāng)噪聲因子為0.10 時(shí)測(cè)量響應(yīng)的GCV 函數(shù)圖.可知，正則化參數(shù)λ 為1.02×10-7.分別采用L2、L1 和Luc 正則化方法進(jìn)行載荷識(shí)別，經(jīng)反復(fù)試驗(yàn)，取const 常數(shù)為0.5，識(shí)別結(jié)果如圖6 所示.可以看出，利用L2 正則化方法識(shí)別的載荷在峰值位置處精度不高，在非加載區(qū)振蕩較大.利用L1 正則化方法識(shí)別的載荷在非加載區(qū)識(shí)別效果穩(wěn)定，但不能保證沖擊載荷識(shí)別的光滑性.利用Luc 正則化方法識(shí)別的載荷在峰值處和非加載區(qū)均能夠較好地?cái)M合真實(shí)載荷.

圖5 GCV 函數(shù)圖Fig.5 GCV function diagram

圖6 不同正則化方法下的沖擊載荷識(shí)別結(jié)果Fig.6 Impact load identification results by different regularization methods

為了驗(yàn)證所提Luc 正則化方法的有效性，計(jì)算3 種方法沖擊載荷的識(shí)別誤差，L2、L1 和Luc 正則化的誤差分別為17.69%、23.42%和3.23%.Luc 正則化的誤差明顯小于其他2 種正則化方法，表明本文方法能夠獲得較好的沖擊載荷識(shí)別結(jié)果.探究不同噪聲等級(jí)下沖擊載荷的識(shí)別情況，分別加入噪聲因子為0.03、0.05、0.10 及0.30 的測(cè)量噪聲.不同噪聲等級(jí)下3 種沖擊載荷識(shí)別方法獨(dú)立運(yùn)行10 次，計(jì)算誤差均值的結(jié)果如表1 所示.經(jīng)反復(fù)試驗(yàn)確定，當(dāng)噪聲因子為0.03、0.05、0.10 時(shí)const 取0.5，當(dāng)噪聲因子為0.30 時(shí)const 取2.由表1 可以看出，Luc 正則化方法對(duì)沖擊載荷的識(shí)別精度更高，在不同等級(jí)噪聲的干擾下，Luc 正則化均能表現(xiàn)出良好的識(shí)別精度，表明所提方法具有較強(qiáng)的魯棒性.

表1 不同噪聲下的載荷識(shí)別誤差Tab.1 Load recognition errors under different noises%

利用Luc 正則化的沖擊載荷結(jié)果，重構(gòu)D 和E 節(jié)點(diǎn)響應(yīng)，分別采用傳遞矩陣法與粒子濾波法進(jìn)行重構(gòu).如圖7 所示為10%的噪聲干擾下，輪對(duì)軸頸D 和E 節(jié)點(diǎn)的真實(shí)響應(yīng)與傳遞矩陣法重構(gòu)響應(yīng)的對(duì)比圖.圖中，vD、aD分別為D 節(jié)點(diǎn)的速度和加速度，vE、aE分別為E 節(jié)點(diǎn)的速度和加速度.從圖7 可以看出，速度和加速度的重構(gòu)值都與結(jié)果的真實(shí)值具有良好的一致性.

圖7 D、E 節(jié)點(diǎn)的響應(yīng)重構(gòu)結(jié)果Fig.7 Response reconstruction results of D and E nodes

為了對(duì)比L1、L2 及Luc 正則化獲得的沖擊載荷用于結(jié)構(gòu)響應(yīng)重構(gòu)的差別，基于傳遞矩陣法分別對(duì)圖3 輪對(duì)軸頸D 和E 節(jié)點(diǎn)的響應(yīng)進(jìn)行重構(gòu)，計(jì)算重構(gòu)結(jié)果的誤差，結(jié)果如圖8 所示.可以看出，采用Luc 正則化方法獲得的重構(gòu)精度最高，重構(gòu)結(jié)果的誤差明顯小于其他2 種正則化方法.

圖8 不同正則化方法的響應(yīng)重構(gòu)誤差Fig.8 Response reconstruction errors by different regularization methods

假設(shè)數(shù)值算例的模型準(zhǔn)確，且加入的噪聲為高斯白噪聲，在重構(gòu)過(guò)程中不考慮結(jié)構(gòu)模型誤差及有色噪聲的影響.基于粒子濾波法與傳遞矩陣法的重構(gòu)誤差如表2 所示，誤差均小于11%，而所提Luc 正則化方法識(shí)別出的沖擊載荷結(jié)果用于結(jié)構(gòu)響應(yīng)重構(gòu)的誤差明顯小于其他2 種正則化方法.

表2 不同重構(gòu)方法下的重構(gòu)誤差Tab.2 Reconstruction errors by different methods%

4.2 試驗(yàn)驗(yàn)證

為了驗(yàn)證本文方法在工程實(shí)際中的可行性與適用性，根據(jù)結(jié)構(gòu)力學(xué)，將數(shù)值算例中的高速列車輪對(duì)簡(jiǎn)化等效為兩端都伸出支座的外伸梁.搭建相應(yīng)的外伸梁試驗(yàn)臺(tái)，對(duì)所提方法進(jìn)行試驗(yàn)驗(yàn)證.外伸梁試驗(yàn)結(jié)構(gòu)如圖9(a)所示.該外伸梁尺寸為2 000 mm×200 mm×10 mm，將其劃分為20 個(gè)單元、21 個(gè)節(jié)點(diǎn)，只考慮Y 方向的自由度，外伸梁第2 節(jié)點(diǎn)為固定端，第20 節(jié)點(diǎn)為簡(jiǎn)支端，具體的測(cè)點(diǎn)布置及固定方式如圖9(b)所示.在第9 節(jié)點(diǎn)Y 方向施加一錘擊激勵(lì)，測(cè)量第5、11 和14 節(jié)點(diǎn)的Y 方向加速度信號(hào)，用于外部沖擊載荷識(shí)別與第8、17 節(jié)點(diǎn)Y 方向加速度響應(yīng)a8、a17的重構(gòu).采集第8、17 節(jié)點(diǎn)的Y 方向加速度信號(hào)，與重構(gòu)信號(hào)進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證所提方法的有效性.

圖9 外伸梁Fig.9 Extending beam

測(cè)試系統(tǒng)框架如圖10 所示，試驗(yàn)測(cè)得該外伸梁結(jié)構(gòu)的前4 階模態(tài)頻率分別為7.82、28.12、60.86 和106.13 Hz.經(jīng)反復(fù)試驗(yàn)，外伸梁算例中參數(shù)const 取0.4.

圖10 外伸梁模態(tài)試驗(yàn)的框架圖Fig.10 Framework diagram of modal test on extending beam

引入Picard 條件判斷問(wèn)題的適定性，如圖11所示為實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)的Picard 圖.可以看出，該問(wèn)題不滿足Picard 條件，引入正則化方法處理.如圖12 所示為測(cè)量響應(yīng)的GCV 函數(shù)圖，正則化參數(shù) λ為0.38.

圖11 Picard 圖Fig.11 Picard diagram

圖12 GCV 函數(shù)圖Fig.12 GCV function diagram

分別采用L2 正則化、L1 正則化及本文的Luc 正則化方法對(duì)外部沖擊載荷進(jìn)行識(shí)別，如圖13所示為沖擊載荷識(shí)別結(jié)果.可以看出，與L2 和L1 正則化方法相比，本文的Luc 正則化方法無(wú)論是在載荷峰值位置還是非加載區(qū)域位置，均能較好地吻合實(shí)測(cè)載荷.

圖13 不同正則化方法下的沖擊載荷識(shí)別結(jié)果Fig.13 Impact load identification results by different regularization methods

為了驗(yàn)證所提Luc 正則化方法的有效性，計(jì)算并對(duì)比利用3 種方法進(jìn)行沖擊載荷識(shí)別的誤差.L2 正則化的誤差為31.72%，L1 正則化的誤差為24.55%，Luc 正則化的誤差為13.11%.本文的Luc 正則化方法用于載荷識(shí)別的誤差更小，表明該方法對(duì)于沖擊載荷的識(shí)別精度較高.利用Luc 正則化方法識(shí)別的沖擊載荷，結(jié)合傳遞矩陣法、粒子濾波法重構(gòu)外伸梁第8 和第17 節(jié)點(diǎn)響應(yīng)，與測(cè)量響應(yīng)進(jìn)行對(duì)比.時(shí)程擬合曲線如圖14所示.圖中，a8、a17分別為第8、17 節(jié)點(diǎn)的垂向加速度.從圖14 可以看出，利用傳遞矩陣法和粒子濾波法重構(gòu)的響應(yīng)均能與結(jié)構(gòu)真實(shí)響應(yīng)保持良好的一致性，說(shuō)明利用這2 種方法都能描述結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)響應(yīng)的時(shí)間歷程.

圖14 響應(yīng)重構(gòu)結(jié)果Fig.14 Results of response reconstruction

為了對(duì)比傳遞矩陣與PF 算法下3 種正則化方法用于響應(yīng)重構(gòu)的效果，分別對(duì)外伸梁的第8、17 節(jié)點(diǎn)的加速度進(jìn)行重構(gòu)，重構(gòu)響應(yīng)與測(cè)量響應(yīng)的誤差如表3 所示.

表3 不同正則化方法下的重構(gòu)誤差對(duì)比Tab.3 Comparison of reconstruction errors under different regularization methods %

從表3 可以看出，將Luc 正則化引入基于傳遞矩陣的響應(yīng)重構(gòu)方法時(shí)，響應(yīng)的重構(gòu)精度較低.原因是試驗(yàn)算例存在模型誤差，即重構(gòu)算法與試驗(yàn)系統(tǒng)采集算法間的機(jī)制差異，利用引入的PF 算法，能夠有效地降低結(jié)構(gòu)模型誤差及有色噪聲的影響，較傳遞矩陣法具有更高的響應(yīng)重構(gòu)精度，但存在部分算法機(jī)制的差異.在試驗(yàn)研究中有2 種算法機(jī)制：一種是DASP 軟件內(nèi)部的模態(tài)分析算法，用于獲得結(jié)構(gòu)的加速度響應(yīng)；一種是結(jié)合模態(tài)試驗(yàn)與狀態(tài)空間模型的算法，用于獲得結(jié)構(gòu)的理論加速度響應(yīng).利用狀態(tài)空間模型得到的加速度響應(yīng)不能與實(shí)測(cè)加速度響應(yīng)完全擬合，狀態(tài)空間模型存在建模誤差.綜上，模型誤差與載荷識(shí)別精度共同影響最終的響應(yīng)重構(gòu)結(jié)果.整體而言，存在模型誤差時(shí)，采用Luc 正則化與PF 算法進(jìn)行沖擊載荷識(shí)別與結(jié)構(gòu)響應(yīng)重構(gòu)，能夠獲得更高精度的沖擊載荷識(shí)別結(jié)果與響應(yīng)重構(gòu)結(jié)果.

假設(shè)模型準(zhǔn)確，在傳遞矩陣方法下將重構(gòu)響應(yīng)與理論真實(shí)響應(yīng)進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果如表4 所示.由表4 可以看出，Luc 正則化重構(gòu)響應(yīng)的誤差均小于L2 正則化與L1 正則化方法重構(gòu)響應(yīng)的誤差.在不考慮模型誤差的情況下，響應(yīng)重構(gòu)精度與載荷識(shí)別精度正相關(guān).

表4 不考慮模型誤差下不同正則化方法的重構(gòu)誤差對(duì)比Tab.4 Comparison of reconstruction errors by different regularization methods without considering model errors %

5 結(jié) 論

(1)利用本文所提Luc 正則化方法對(duì)Tikhonov正則化解進(jìn)行修正，能夠在滿足載荷識(shí)別結(jié)果光滑的同時(shí)，提高沖擊載荷峰值的識(shí)別精度.引入L1正則化中一范數(shù)項(xiàng)的稀疏性優(yōu)勢(shì)，對(duì)修正解進(jìn)行聯(lián)合優(yōu)化，保留了沖擊載荷非加載區(qū)域的稀疏特征.

(2)所提正則化方法在30%的噪聲情況下，仍可以獲得較好的沖擊載荷識(shí)別結(jié)果，具有良好的抗噪性.修正-聯(lián)合正則化方法可以看作是2 種傳統(tǒng)正則化的推廣和改進(jìn)版本.

(3)與傳遞矩陣法相比，粒子濾波算法能夠考慮模型誤差及算法間的不確定性，獲得更高精度的重構(gòu)響應(yīng).