幾何符號(hào)語(yǔ)言訓(xùn)練初探

耿征

摘要：《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》要求訓(xùn)練學(xué)生合情推理和演繹推理的能力，而這兩種能力主要體現(xiàn)在幾何符號(hào)語(yǔ)言的表達(dá)上.幾何符號(hào)語(yǔ)言作為數(shù)學(xué)語(yǔ)言的重要分支，在幾何學(xué)中既是幾何知識(shí)的載體，又是學(xué)生邏輯推理的重要體現(xiàn)，可以說(shuō)幾何的學(xué)習(xí)離不開(kāi)對(duì)幾何語(yǔ)言的理解與掌握.在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，所有幾何知識(shí)的學(xué)習(xí)都涉及符號(hào)語(yǔ)言的訓(xùn)練和表達(dá).可見(jiàn)，提高幾何符號(hào)語(yǔ)言的表達(dá)能力至關(guān)重要.

關(guān)鍵詞：幾何；符號(hào)語(yǔ)言；訓(xùn)練策略

中圖分類號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2024）11-0023-03

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出，學(xué)生要會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)和描述現(xiàn)實(shí)世界.在這種理念的指導(dǎo)下，筆者先對(duì)兩個(gè)案例進(jìn)行分析，指出學(xué)生學(xué)習(xí)幾何符號(hào)語(yǔ)言存在的困難，再針對(duì)困難從宏觀和微觀兩個(gè)方面給出解決策略.

1 案例分析

例1如圖1，在△ABC中，∠ACB=90°，AE是角平分線，CD是高，AE、CD相交于點(diǎn)F.求證：∠CFE=∠CEF.

證明因?yàn)椤螦CB=90°，所以∠CEF+∠1=90°（直角三角形兩銳角互余）.因?yàn)镃D是△ABC的高，所以∠AFD+∠2=90°（直角三角形兩銳角互余）.因?yàn)锳E平分∠CAB，所以∠1=∠2=12∠CAB（角平分線的定義），所以∠CEF=∠AFD（等角的余角相等）.因?yàn)椤螦FD=∠CFE（對(duì)頂角相等），所以∠CFE=∠CEF（等量代換）.

在此證明過(guò)程中，像“因?yàn)椤螦CB=90°，所以∠CEF+∠1=90°（直角三角形兩銳角互余）”、“因?yàn)锳E平分∠CAB，所以∠1=∠2=12∠CAB（角平分線的定義）”、“∠CEF+∠1=90°，∠AFD+∠2=90°，∠1=∠2，所以∠CEF=∠AFD（等角的余角相等）”這些符號(hào)語(yǔ)言的描述，是相關(guān)結(jié)論最基本的描述，但對(duì)于“因?yàn)锳E平分∠CAB，所以∠1=∠2=12∠CAB（角平分線的定義），所以∠CEF=∠AFD（等角的余角相等）”，有的學(xué)生都說(shuō)不出來(lái)，這說(shuō)明學(xué)生不理解角平分線的定義，因此無(wú)法有條理地寫出證明過(guò)程.

由此可以看出，在證明幾何命題時(shí)，學(xué)生需根據(jù)已知條件和所證結(jié)論選擇合適的幾何定理作為推理的依據(jù)，并將幾何定理或概念用符號(hào)語(yǔ)言表示出來(lái)，這是學(xué)生學(xué)習(xí)幾何符號(hào)語(yǔ)言的第一個(gè)困難.

例2如圖2，在四邊形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，M、N分別是AC、BD的中點(diǎn)，連接BM，DM，MN.求證：MN⊥BD.

解析根據(jù)已知條件∠ABD=∠ADC=90°，易得△ABD和△ADC都是直角三角形.根據(jù)圖形結(jié)構(gòu)特征，BD是△ABD的斜邊，AC是△ABC的斜邊.又因?yàn)镸、N分別是AC、BD的中點(diǎn)，根據(jù)直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)可得BM=AM=MC，DM=AM=MC，所以BM=DM，即△BMD是等腰三角形.由等腰三角形“三線合一”性質(zhì)可知MN⊥BD.

顯然，本題主要考查直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)和等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)，這是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》規(guī)定的最基礎(chǔ)最核心的內(nèi)容，是學(xué)生必須掌握的基礎(chǔ)知識(shí).從圖形方面來(lái)看，本題涉及直角三角形和等腰三角形，這學(xué)生最常見(jiàn)的基本圖形.學(xué)生見(jiàn)到這個(gè)圖形很多遍了，但是仍然存在困難，不知道該如何下手.為什么會(huì)這樣呢？筆者認(rèn)為，符號(hào)語(yǔ)言的學(xué)習(xí)，歸根結(jié)底就是對(duì)每個(gè)定理的符號(hào)語(yǔ)言的學(xué)習(xí).符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)能力的訓(xùn)練，本質(zhì)上是對(duì)文字語(yǔ)言的理解，就是用圖形和符號(hào)理解幾何命題.而符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)的本質(zhì)，就是圖形和符號(hào)的聯(lián)想，即由圖形想到相應(yīng)的符號(hào)語(yǔ)言.由此可以看出，學(xué)生缺少文字語(yǔ)言和圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言之間的互相轉(zhuǎn)化的能力，是幾何符號(hào)語(yǔ)言學(xué)習(xí)的第二個(gè)困難，是影響學(xué)生幾何推理能力的關(guān)鍵.

2 解決策略

2.1 從宏觀方面而言，需建構(gòu)知識(shí)體系

學(xué)生對(duì)幾何圖形的認(rèn)識(shí)，是一個(gè)由簡(jiǎn)單到復(fù)雜的過(guò)程.先是認(rèn)識(shí)點(diǎn)、線，再到形、體；先是每種圖形的定義、表示方法，再到每種圖形的性質(zhì)和判定；先是孤立學(xué)習(xí)每個(gè)圖形，再到圖形之間的聯(lián)系和結(jié)合.

2.1.1 建立圖形體系

對(duì)于點(diǎn)而言，初中階段僅僅認(rèn)識(shí)其表示方法；對(duì)于線而言，包括直線、射線和線段，根據(jù)直線的位置關(guān)系，有相交線和平行線兩種，而相交線又會(huì)產(chǎn)生角；對(duì)于形而言，初中階段主要研究三角形、四邊形和圓三種圖形，如圖3所示.

2.1.2 建立圖形性質(zhì)和判定體系

以四邊形為例，初中階段主要從旋轉(zhuǎn)角度研究特殊的四邊形，包括平行四邊形、矩形、菱形、正方形，而每一種圖形的性質(zhì)和判定研究的過(guò)程又很相似，具體見(jiàn)表1和圖4.

2.2 從微觀上而言，需建立不同語(yǔ)言相互轉(zhuǎn)化的橋梁

數(shù)學(xué)語(yǔ)言包括文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言.在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，所有的數(shù)學(xué)問(wèn)題基本是通過(guò)這三種語(yǔ)言來(lái)描述的，許多數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決也是依靠數(shù)學(xué)語(yǔ)言之間的轉(zhuǎn)換實(shí)現(xiàn)的[1].

2.2.1 明確每個(gè)命題的本質(zhì)——條件和結(jié)論

在學(xué)習(xí)“三角形內(nèi)角和定理”時(shí)，教師可提出問(wèn)題：你能將其改寫為“如果…，那么…”的形式嗎？學(xué)生思考并回答：如果一個(gè)圖形是三角形，那么它的三個(gè)內(nèi)角的和是180°.教師總結(jié)，此命題的條件就是“一個(gè)三角形”，結(jié)論就是“三個(gè)內(nèi)角的是180°”.教師由此引導(dǎo)根據(jù)條件畫出幾何圖形，并根據(jù)條件和結(jié)論，用符號(hào)語(yǔ)言描述這個(gè)命題，然后利用所學(xué)知識(shí)進(jìn)行證明.學(xué)生完成后，教師總結(jié)，得到三角形內(nèi)角和定理，如表2所示.

每個(gè)命題都是由條件和結(jié)論組成的，而這也正是每個(gè)命題的本質(zhì)，明確了條件和結(jié)論，學(xué)生就不會(huì)再出現(xiàn)條件和結(jié)論分離的情況.因此，每個(gè)命題的學(xué)習(xí)，都需先引導(dǎo)學(xué)生明確條件和結(jié)論.

2.2.2 有意識(shí)強(qiáng)化三種語(yǔ)言之間的聯(lián)系

對(duì)于每一個(gè)命題，文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言是不可分割的.在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師需有意識(shí)引導(dǎo)學(xué)生強(qiáng)化三種語(yǔ)言之間的相互轉(zhuǎn)化.

例3如圖5，在△ABC中，AC=5，BC=4，AB的垂直平分線DE分別交AB、AC于點(diǎn)E、D.求△BCD的周長(zhǎng).

解析根據(jù)已知條件可知DE是線段AB的垂直平分線，由線段垂直平分線的性質(zhì)可知DA=DB.從而△BCD的周長(zhǎng)為BC+CD+DB=BC+CD+AD=BC+AC=9.

顯然，本題主要考查線段垂直平分線的性質(zhì)，即線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.解決本題的關(guān)鍵是實(shí)現(xiàn)文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言之間的相互轉(zhuǎn)化，從而建立已知條件與所求結(jié)論之間的邏輯關(guān)系，為問(wèn)題解決創(chuàng)造條件.在解決本題時(shí)，教師可引導(dǎo)學(xué)生在圖5中標(biāo)注已知條件中的垂直平分線，并根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)表達(dá)推理過(guò)程.即“因?yàn)镋D垂直平分AB，所以DA=DB”.顯然，當(dāng)學(xué)生在圖形中標(biāo)注垂直平分線時(shí)，就自然能夠?qū)懗鱿鄳?yīng)的符號(hào)語(yǔ)言.

因此，對(duì)學(xué)生而言，每一道幾何命題都是強(qiáng)化訓(xùn)練的一次機(jī)會(huì).每遇到一個(gè)問(wèn)題，教師都要引導(dǎo)學(xué)生借助關(guān)鍵詞找到相應(yīng)的圖形.這樣就能夠?qū)⑽淖终Z(yǔ)言、圖形語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言緊緊聯(lián)系在一起.

3 結(jié)束語(yǔ)

在日常教學(xué)中，有意識(shí)地從宏觀方面構(gòu)建幾何圖形體系，從微觀方面關(guān)注每個(gè)定理三種語(yǔ)言之間的轉(zhuǎn)化，可以有效提高學(xué)生幾何符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)能力，從而提高學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，提升學(xué)生的幾何推理能力.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 郭鑫培，閆瑞敏.“玩轉(zhuǎn)”數(shù)學(xué)語(yǔ)言 解題不再困難[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2022（15）：89-91.

［責(zé)任編輯：李璟］