小學(xué)數(shù)學(xué)大單元下培養(yǎng)學(xué)生系統(tǒng)思維的路徑探尋

王靈勇

摘? ?要：大單元下的復(fù)習(xí)課一個鮮明特點是引導(dǎo)學(xué)生將點狀知識歸類成線，構(gòu)建系統(tǒng)化的知識結(jié)構(gòu)，在綜合解決問題的時候能從整體出發(fā)，排除干擾、看到本質(zhì)，提取關(guān)鍵信息幫助解決問題?；诖髥卧虒W(xué)，培養(yǎng)學(xué)生系統(tǒng)思維可以有效地實現(xiàn)這一目的，從而形成數(shù)學(xué)視野和大格局。以“圓的整理與復(fù)習(xí)”為例，基于大概念視角構(gòu)筑互聯(lián)互通的學(xué)習(xí)單元，拓展學(xué)生應(yīng)用能力，提升學(xué)生核心素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；系統(tǒng)思維；單元復(fù)習(xí)；整體建構(gòu)

中圖分類號：G623.5? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A? ? 文章編號：1009-010X（2024）07-0047-05

復(fù)習(xí)課教學(xué)設(shè)計時教師不應(yīng)該將重心放在追求練習(xí)設(shè)計編排的如何獨具匠心，而應(yīng)該重視的是學(xué)生的參與狀態(tài)、思維方式以及學(xué)生思維能力的提升，關(guān)注學(xué)生由學(xué)會到會學(xué)的認(rèn)知過程。那么如何將整個單元的知識進(jìn)行組合幫助學(xué)生建立互聯(lián)互通的結(jié)構(gòu)化思維？在數(shù)學(xué)單元復(fù)習(xí)教學(xué)活動中如何建構(gòu)以互聯(lián)互通的結(jié)構(gòu)化思維為核心的教學(xué)策略？現(xiàn)以六年級上冊“圓的整理與復(fù)習(xí)”一課教學(xué)為例，進(jìn)行教學(xué)實踐與思考。

一、精研單元知識，搭建復(fù)習(xí)框架

特級教師俞正強說過，“復(fù)習(xí)課的目標(biāo)在于知多、記少、明新?！边@話猶如醍醐灌頂，使人聽后豁然開朗。教師在復(fù)習(xí)時不僅要將知識要點落實，還要系統(tǒng)地將點狀知識歸類成線，還要重視學(xué)科結(jié)構(gòu)的建構(gòu)。

（一）教材整理，內(nèi)容厘定

學(xué)生在之前的學(xué)習(xí)中，研究的都是直線圖形，而現(xiàn)在研究曲線圖形運用的思想、方法與以前比，是一種變化與提升，對學(xué)生而言就是一種跨越。

本單元共安排了4個學(xué)習(xí)內(nèi)容：圓的認(rèn)識、圓的周長、圓的面積、扇形。4個學(xué)習(xí)內(nèi)容遵循由淺入深、螺旋上升的邏輯順序。學(xué)生不僅需要掌握圓的特征等基礎(chǔ)性內(nèi)容，還需要在探索的過程中領(lǐng)悟“化曲為直”“等積變換”“極限”等數(shù)學(xué)核心思想，提升數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力。

（二）目標(biāo)定位，結(jié)構(gòu)設(shè)定

大部分教師在教學(xué)復(fù)習(xí)課時關(guān)注知識、關(guān)注結(jié)果，課堂上讓學(xué)生“練習(xí)→校對→再練習(xí)→再校對”的機械重復(fù)。然而為了使學(xué)生熟練解題，考出更好成績，教師需準(zhǔn)確定位教學(xué)目標(biāo)，重新調(diào)整課堂結(jié)構(gòu)，滲透“結(jié)構(gòu)化思維”思想，顛覆學(xué)生對于復(fù)習(xí)課就是做練習(xí)的認(rèn)識。于是制定以下教學(xué)目標(biāo)（圖1）：

為了更好地落實目標(biāo)，激發(fā)學(xué)生的自主性，引發(fā)學(xué)生激烈的思維振蕩?；趯滩牡睦斫?，設(shè)置如下課堂結(jié)構(gòu)（圖2）：

（三）有所取舍，凸顯思維

復(fù)習(xí)需要全面掃視、不留盲區(qū)，應(yīng)根據(jù)知識特點及學(xué)生需求，將復(fù)習(xí)內(nèi)容進(jìn)行梳理，如果教師面面俱到，不會取舍，重點不突出，最后留給學(xué)生的痕跡也不會深刻。如圓的特性可一筆帶過，而對于圓特征之間的關(guān)系以及與圓相關(guān)的實際問題，由于信息呈現(xiàn)的方式靈活多變，問題錯綜復(fù)雜，需重點分析比較，進(jìn)一步深入理解。這樣的內(nèi)容安排，顯然符合學(xué)生的客觀學(xué)情，復(fù)習(xí)課內(nèi)容的詳略有致，將有利于復(fù)習(xí)活動突出重點、切中要害、提高達(dá)成度，最終目的培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光看問題、想問題、解決問題。

二、基于結(jié)構(gòu)思維，形成連續(xù)演繹

“結(jié)構(gòu)思維”具有整體性、關(guān)聯(lián)性、層次結(jié)構(gòu)性、動態(tài)平衡性等特征，強調(diào)通過整體與對象、整體與部分、整體與發(fā)展的相互作用過程來認(rèn)識和把握整單元的數(shù)學(xué)知識。如何用這樣的系統(tǒng)思維著眼“圓”知識鏈、能力鏈的形成與生長，讓學(xué)生從“散狀學(xué)習(xí)”不斷走向“結(jié)構(gòu)學(xué)習(xí)”。筆者著力從“梳理交流、溝通求聯(lián)、好題推薦”的學(xué)習(xí)路徑打通學(xué)生復(fù)習(xí)的通道。

（一）整體架構(gòu)，縱向梳理

“圓”這一單元的知識（包括特征、周長、面積等）比較多，又與圓環(huán)、外方內(nèi)圓、內(nèi)方外圓、扇形……等圖形有著千絲萬縷的關(guān)系。為了幫助學(xué)生系統(tǒng)地建構(gòu)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，課前布置給學(xué)生任務(wù)，按照自己的理解方式，對“圓”的知識進(jìn)行整理和復(fù)習(xí)。學(xué)生主動搜索知識儲備，羅列出了許多方法：思維導(dǎo)圖法、列表法、樹狀法、列舉法、網(wǎng)狀法、畫圖法等。

1.小組交流

師：課前，大家已經(jīng)根據(jù)“復(fù)習(xí)導(dǎo)學(xué)單”對“圓”的內(nèi)容系統(tǒng)地進(jìn)行了回顧整理。先請四人小組交流：你的任務(wù)單是用什么方法梳理的？你梳理的亮點又在哪兒？

2.全班分享

師：我們一起來欣賞一下XXX同學(xué)的作品，他是用什么方法梳理的，他梳理最大的亮點是什么？

生1：畫圖法梳理。把整單元的知識通過畫圖的方法羅列出來，讓我們非常清楚地看出本單元學(xué)了哪些知識。

生2：畫思維導(dǎo)圖的方法。構(gòu)建了圓整個單元知識的框架。每一版塊的知識都畫得非常清楚。

生3：他也是用畫思維導(dǎo)圖的方法，我非常欣賞他有自己的理解：扇形、圓環(huán)、扇環(huán)、內(nèi)方外圓、外方內(nèi)圓都是圓的衍生圖形。這些圖形其實都是有關(guān)系的。

課中選取部分有代表性的作品進(jìn)行展示，讓學(xué)生欣賞、評價、交流梳理的亮點。讓學(xué)生在交流中相互矯正、相互補充、相互借鑒，讓學(xué)生在頭腦中形成完整的知識體系。學(xué)生運用系統(tǒng)的思維主動對圓的知識進(jìn)行內(nèi)化、組合、編碼、構(gòu)建并提取，個性化的展示交流激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)了學(xué)生整理復(fù)習(xí)的能力，從而大大提高了復(fù)習(xí)的效率。

3.形成網(wǎng)絡(luò)圖

學(xué)生從系統(tǒng)的角度去把握知識邏輯順序，關(guān)注教材編寫：要想計算圓周長、面積，必須先認(rèn)識圓的特征。學(xué)生在“存異——求同——優(yōu)化”的梳理過程中，理解了圓的本質(zhì)“一中同長”，并且構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)（圖3）。教師根據(jù)學(xué)生匯報反饋交流，形成知識網(wǎng)絡(luò)圖。這樣的系統(tǒng)思維著眼圓的知識鏈、能力鏈的形成與生長，讓學(xué)生從“散狀學(xué)習(xí)”不斷走向“結(jié)構(gòu)學(xué)習(xí)”。

（二）溝通求聯(lián)，橫向比較

面對一個圓，我們研究特征、計算和綜合運用。教師要引導(dǎo)學(xué)生運用“結(jié)構(gòu)思維”的方式，從一個單元的角度，將分散的知識集中呈現(xiàn)，并橫向比較。教學(xué)設(shè)計了任務(wù)二，課前讓學(xué)生填寫一張表格，讓學(xué)生通過每一行已知的信息，解決出其他信息。并讓學(xué)生仔細(xì)觀察說說發(fā)現(xiàn)。

1.概念比較

環(huán)節(jié)1：先獨立完成表格（見下表）說說有什么發(fā)現(xiàn)？

師：通過填表，我們知道周長和面積都是12.56，我們可以說這個圓的周長和面積相等，行嗎？為什么？

生1：一個指的是面積，另一個是指周長，是兩個不同的概念，不能比較。

師：仔細(xì)觀察上面表格，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生1：半徑越大，周長越大；半徑越大，面積也越大。同一個圓中半徑是直徑的一半，周長是半徑的2π倍，是直徑的π倍。不同的圓，周長之比等于半徑之比等于直徑之比，面積之比是半徑之比的平方。

生2：上面同學(xué)說的這些規(guī)律，我們在解決問題時可以靈活得運用，比如，告訴我們兩圓的半徑之比，我可以根據(jù)面積比和半徑比之間的關(guān)系來解決問題，這樣比較方便。

通過填表，讓學(xué)生加深了圓的特性等概念的理解，辨清了它們之間的關(guān)系，逐步構(gòu)建四者之間的模型，深化認(rèn)識。

2.規(guī)律運用

環(huán)節(jié)2：運用規(guī)律解決問題

師：請計算下圖的兩道題（圖4），你能用多種方法計算嗎？比較一下，哪一種方法更簡便？

第1題，有兩種做法，一種是先求出半徑再計算面積。另一種是運用第一題的發(fā)現(xiàn)，半徑之比和面積之比的關(guān)系來解決。學(xué)生發(fā)現(xiàn)“要想求面積必須告訴半徑”這種方法并不簡單，運用填表格時發(fā)現(xiàn)的規(guī)律：半徑之比和面積之比的關(guān)系。學(xué)生通過橫向比較、發(fā)現(xiàn)規(guī)律、運用規(guī)律，大大提高了學(xué)生解決問題的能力。

第2題難度最大。學(xué)生掌握得還是不錯的。也有兩種解題方法，一種是假設(shè)法，假設(shè)圓的半徑為1，再進(jìn)行計算。另一種是通比法，大正方形、圓、小正方形的面積比。

在復(fù)習(xí)時，教師引導(dǎo)學(xué)生探究這兩個問題，打破了學(xué)生思維固有的局限性，運用規(guī)律產(chǎn)生新的認(rèn)知，拓寬學(xué)生的認(rèn)知視角，培養(yǎng)學(xué)生靈活選擇方法解決問題的能力。

（三）好題推薦，串連成片

關(guān)于圓的知識，新授課時學(xué)生已經(jīng)做過很多練習(xí)，復(fù)習(xí)課時再讓學(xué)生機械地做題，對于大部分學(xué)生來說“食之無味”，課堂參與度不高，課堂氣氛不會活躍。所以設(shè)計“好題推薦”這一任務(wù)，讓學(xué)生通過回憶給同伴推薦好題，并要求寫出推薦的理由。

1.比較周長和面積

師：同學(xué)們，關(guān)于圓的知識，你碰見過哪些好題呢？請你來推薦一道吧！說說你推薦的理由以及解答方法。

生1：我推薦這道題（圖5）的理由是計算周長的時候，不要忘記里面兩條圓周長的一半。計算面積就是一個長方形面積減一個圓面積。

師：大家還能不能“觸類旁通”，根據(jù)這位同學(xué)推薦的題目，你還想到了哪些類似的題？

生2：我想到了操場跑道的面積和周長（圖6）。周長是一樣的，面積則是長方形加一個圓面積。

生3：我想到了一個半圓在里面，一個半圓在外面（圖6）。周長是一樣的，面積則是長方形加一個圓面積。

對于圓這一單元習(xí)題學(xué)生見過很多，但是由一道題想到一串題，并且找出這些題目的相同點和不同點卻是學(xué)生的弱項，針對這一薄弱的問題，我們設(shè)計“好題推薦”這一任務(wù)，讓學(xué)生由一道題想到一類題。激活學(xué)生的知識儲備，促進(jìn)思維和能力的拓展。

2.細(xì)致分析尋找方法

生1：同學(xué)們，求出圖7中陰影部分的面積，你會嗎？

生2：有一些不規(guī)則的陰影部分我們該怎么思考？

生3：能不能通過割補把不規(guī)則的圖形變成規(guī)則的圖形？

生1：我推薦的理由就是這幾題都可以運用“割補”的方法，把不規(guī)則的圖形“轉(zhuǎn)化”成規(guī)則圖形來計算。

3.整體入手解決問題

圖8也是來自學(xué)生推薦的題目，對于空間觀念不強的學(xué)生來說，難以找到分析的突破口。如果學(xué)生還在思考：要求圓面積必須要知道半徑；要求圓環(huán)面積必須要告訴大圓半徑和小圓半徑。只追求固定模式，就很難尋找到解決問題的方法。此時，需要學(xué)生換個角度來思考，第一個圖形把r2=10cm2看作一個整體，后面兩個圖形R2-r2=10cm2看作一個整體，從整體思考問題入手，學(xué)生解決問題將會更加順利。

復(fù)習(xí)中，“好題推薦”這一環(huán)節(jié)的設(shè)計對學(xué)生來說富有挑戰(zhàn)性。看似復(fù)雜的題目，其實運用割補法、移一移、轉(zhuǎn)化、整體等思想方法，復(fù)雜的問題就變得簡單了。

三、拓展提升應(yīng)用，挖掘思維深度

數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課通過一些具有針對性、綜合性、開放性的拓展性習(xí)題，能更好地提升和完善學(xué)生的應(yīng)用能力，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升。

（一）變式練習(xí)，萬變不離其宗

相似性的題組，通常可用“一題多變”的方式進(jìn)行變式教學(xué)，這種教學(xué)模式，把解決一個問題，轉(zhuǎn)化為解決一類問題，遏制“題海戰(zhàn)術(shù)”，開拓學(xué)生解題思路，培養(yǎng)學(xué)生的探索意識，達(dá)到舉一反三、觸類旁通的目的，例如下題（圖9）：

對于方中圓和圓中方的問題，學(xué)生如果僅憑記憶來學(xué)習(xí)，一旦遺忘，就無從解決。因此，解決問題模型的建立，可以使機械的學(xué)習(xí)變得更有效果。結(jié)合課堂微視頻，讓學(xué)生進(jìn)一步探究方圓方、圓中圓、捆圓等問題，規(guī)律就顯而易見。

探究時，重點解決第二個圖形的分解。學(xué)生討論之后，利用微視頻“捆圓的周長與面積”，掌握“曲直分界點”的重要性，再利用組合圖形面積的計算方法解決問題。同時，在應(yīng)用部分，增加了正六邊形，正三角形的捆圓周長計算，讓學(xué)生找到解決問題的一般規(guī)律，化抽象為直觀，建立解決捆圓問題的模型。

（二）課外拓展，培養(yǎng)創(chuàng)新能力

知識方法的運用能力體現(xiàn)在生活中的問題解決中，而思維方式更體現(xiàn)在對于全新知識的自主學(xué)習(xí)上，教師應(yīng)該給予學(xué)生這樣的機會，讓他們?nèi)L試觸碰一些相關(guān)聯(lián)的新知識，體會思維方式的價值。

破鏡重圓數(shù)學(xué)小研究（課外）片斷。下圖（圖10）是一個圓的其中一部分，你能還原整個圓嗎？你想到了哪些方法？

學(xué)生圍靈活運用圓的特征從不同角度展開思考：折一折、畫一畫、估一估、拼一拼等，把一個殘缺的圓變得圓滿了（圖11）。

對于小學(xué)六年級的復(fù)習(xí)教學(xué)，我們需要從更深、更遠(yuǎn)的角度來重新思考和定位，我們教給學(xué)生的不僅僅是解題技巧，而更應(yīng)該是一種對當(dāng)下及未來都具重要意義的思維方式。運用“結(jié)構(gòu)思維”重塑小學(xué)數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課教學(xué)設(shè)計，能激活學(xué)生學(xué)習(xí)的“眾多生長”，真正實現(xiàn)學(xué)習(xí)的過程從薄到厚、再從厚到薄，最終做到厚積薄發(fā)。