在數(shù)學(xué)解題中得法、明理、悟道、激趣

【摘 要】 數(shù)學(xué)解題除了內(nèi)化數(shù)學(xué)知識、發(fā)展思維能力、積累活動經(jīng)驗外，其重要的價值在于通過解題研究，得數(shù)學(xué)之法、明數(shù)學(xué)之理、悟數(shù)學(xué)之道、激數(shù)學(xué)之趣，即掌握數(shù)學(xué)的策略與方法，認(rèn)識數(shù)學(xué)的規(guī)律與原理，把握數(shù)學(xué)的思想與本質(zhì)，增強對數(shù)學(xué)探究的興趣．

【關(guān)鍵詞】 數(shù)學(xué)解題;得法;明理;悟道;激趣

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究，數(shù)學(xué)教育和教學(xué)，沒有解題萬萬不能，但僅有解題遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠［1］．?dāng)?shù)學(xué)解題的過程是思考方向從茫然到明朗、分析思路從模糊到清晰、解題方法從復(fù)雜到簡捷的過程．這個過程除了內(nèi)化數(shù)學(xué)知識、發(fā)展思維能力、積累活動經(jīng)驗外，更重要的是在解題中得數(shù)學(xué)之法、明數(shù)學(xué)之理、悟數(shù)學(xué)之道、激數(shù)學(xué)之趣，這正是數(shù)學(xué)解題的價值．本文以一道矩形翻折問題的思路探尋過程為例，談?wù)勅绾我龑?dǎo)學(xué)生在數(shù)學(xué)解題中得法、明理、悟道與激趣．

1 真題呈現(xiàn)及數(shù)據(jù)分析

真題呈現(xiàn)

如圖1，BD是矩形ABCD的對角線，1＜BCAB＜3，點E，F(xiàn)分別在邊AD，BC上，把△ABE和△CDF分別沿直線BE，DF折疊，使點A，C分別落在對角線BD上的點G，H處，連結(jié)FG．

（1）求證：BH=DG；

（2）若AB=6，AD=8，求線段FG的長；

（3）若FG∥CD，求BDAB的值．

數(shù)據(jù)分析

該題是九年級數(shù)學(xué)測試卷中的一道題，作為幾何壓軸題安排在試卷的第23題位置（全卷共24題）．筆者所教班級的37名學(xué)生中，第（1）（2）兩小題基本能正確作答，但第（3）小題完全正確的僅有3人，占比為8%．那么，第（3）小題正確率為何如此之低？這引起了筆者的關(guān)注與思考．

2 思路探索的心路歷程

筆者嘗試對試題第（3）題的思路與方法進(jìn)行了探尋與研究，經(jīng)歷了“撥得云開見日出，守得云開見月明”“山重水復(fù)疑無路，柳暗花明又一村”“問渠哪得清如許，為有源頭活水來”“刪繁就簡三秋樹，領(lǐng)異標(biāo)新二月花”“不畏浮云遮望眼，自緣身在最高層”的5個過程．

2.1 撥得云開見日出，守得云開見月明

根據(jù)波利亞的解題策略，從條件與結(jié)論兩個方面對問題進(jìn)行分析．從條件看，一是作為圖形基石的“矩形ABCD”有何作用？二是“圖形翻折”的本質(zhì)是軸對稱，可得到對應(yīng)線段相等、對應(yīng)角相等，而連結(jié)對應(yīng)點的線段被“折痕”垂直平分是“圖形翻折”的常規(guī)思路，該問題中這樣的線段要不要出現(xiàn)？三是條件“FG∥CD”在解題中的作用何在？四是圖形中的幾對直角三角形相似如何合理利用？從結(jié)論來看，求BDAB的值即尋找線段BD，AB間的關(guān)系．圖中有直角三角形、相似三角形，是用勾股定理還是三角形相似得線段關(guān)系？五是由于沒有給出某些線段的長度，必須要引進(jìn)參數(shù)，那么哪些量可作為參數(shù)？引進(jìn)幾個參數(shù)？這一系列疑問有如蔽日云霧，需要解題者慢慢撥開．不失一般性，令A(yù)B=CD=1（以下均如此）．

方法一 設(shè)BD=x，問題轉(zhuǎn)化為尋找相等關(guān)系建立關(guān)于x的方程．由折疊知：BG=AB=1．HG=BG+DH-BD=2-x．一方面，易證△BGF∽△BDC，得BGBD=GFDC，即1x=GF1，有GF=1x；另一方面，由△FGH∽△BGF有FGBG=HGFG，即GF2=HG·BG．故1x2=（2-x）·1．至此思路變得明朗起來，正所謂“撥得云開見日出”．

將所列方程整理得x3-2x2+1=0．系數(shù)和為0的方程必有一根為1，故湊含有（x-1）的因式，如x3-x2-（x2-1）=0，從而有（x-1）（x2-x-1）=0．因為x-1≠0，所以x2-x-1=0，解得x=1±52．因為x>0，所以x=5+12．故BDAB=x1=5+12．

顯然，要正確解出方程，除了適當(dāng)?shù)牟呗耘c方法外，更需要毅力與堅守，否則會功虧一簣．這大概就是“守得云開見月明”吧．但方程系數(shù)和為0必有一根為1、湊項法等知識與方法超出初中生的認(rèn)知范圍，這顯然不是命題者的意圖．

2．2 山重水復(fù)疑無路，柳暗花明又一村

“方法一”所得的方程是一元三次方程，解法為初中學(xué)生力所難及．若改變參數(shù)，情況如何呢？

方法二 設(shè)DG=BH=x．由折疊知：BG=DH=1，所以BD=BH+DH=1+x．一方面，由△BGF∽△BDC有GFDC=BGBD，即GF1=11+x，所以FG=11+x；另一方面，由△FGH∽△BGF有FGBG=HGFG，即GF2=HG·BG，所以1（1+x）2=（1-x）·1．

方程整理得x3+x2-x=0．由于x≠0，原方程轉(zhuǎn)化為一元二次方程x2+x-1=0，解得x=-1±52．因為x>0，所以x=5-12，此時BD=1+x=5+12．故BDAB=5+12．

如果說“方法一”是“山重水復(fù)疑無路”，那么“方法二”的方程容易轉(zhuǎn)化為熟悉的一元二次方程，達(dá)到了“柳暗花明又一村”的效果．但需要兩次三角形相似得到方程，而且所列方程仍為三次方程，還是有超標(biāo)之嫌．

2.3 問渠哪得清如許，為有源頭活水來

俗話說，無“源”則無“流”，“源”正方能“流”清．?dāng)?shù)學(xué)解題同樣需要追本溯源，只有這樣才能讓問題解決從或然走向必然、數(shù)學(xué)思維從已來走向未來．這里的“源”就是數(shù)學(xué)的本質(zhì)，“流”就是解決問題的技能、方法與策略．那么，該問題的數(shù)學(xué)本質(zhì)是什么呢？注意到試題的核心條件是“翻折”和“GF∥CD”．“翻折”的本質(zhì)是軸對稱，可得FD平分∠BDC，結(jié)合GF∥CD得到GF=DG．這里的“角平分線+平行=等腰三角形”是常見的基本圖形，抓住這個數(shù)學(xué)本質(zhì)，問題迎刃而解．

方法三 設(shè)BD=x，則HG=2-x，DG=x-1．由GF∥CD及FD平分∠BDC可得∠GDF=∠GFD，故GF=DG=x-1．易證△FGH∽△BGF，所以FGBG=HGFG，即x-11=2-xx-1，整理得x2-x-1=0（以下同方法一）．

“方法一”和“方法三”都是將BD設(shè)為參數(shù)，但“方法三”抓住了問題本質(zhì)，充分利用“平行+角分線”的基本圖形，只要一對相似三角形，還避免了三次方程，屬于初中學(xué)生應(yīng)該掌握的基本方法．由此可見：方法的難易并不取決于參數(shù)的選擇，而在于是否抓住了數(shù)學(xué)的本質(zhì)．這正應(yīng)驗了南宋詩人、哲學(xué)家朱熹所言：問渠哪得清如許，為有源頭活水來．這里的基本圖形就是源頭活水．

2.4 刪繁就簡三秋樹，領(lǐng)異標(biāo)新二月花

上述方法都運用了直角三角形相似．進(jìn)一步思考：能否另辟蹊徑，讓思維更加簡潔明快呢？經(jīng)過探索與嘗試，發(fā)現(xiàn)還有其他思路．

方法四 設(shè)BD=x．由“方法三”有GF=DG=x-1．在Rt△BFG中，sin∠GBF=FGBG，在Rt△BCD中，sin∠CBD=CDBD，所以FGBG=CDBD，即x-11=1x．整理得x2-x-1=0（以下同方法一）．

方法五 設(shè)BH=DG=x．則BD=x+1．由“方法三”有GF=DG=x．S△BFG=12BG·FH=12BF·FG，即12×1·FH=12BF·x，所以FH=BF·x①；S△BFD=12BF·CD=12BD·FH，即12BF·1=12（x+1）·FH，所以BF=（x+1）·FH②．將①代入②有：BF=（x+1）·BF·x，所以x（x+1）=1，整理得x2+x-1=0（以下同方法二）．

“方法四”“方法五”分別從銳角三角函數(shù)和三角形面積兩個角度尋找線段關(guān)系．“方法四”所列方程簡約明了，并能迅速轉(zhuǎn)化為一元二次方程，讓人有痛快淋漓之感．“方法五”從三角形的面積角度出發(fā)，分別在兩個三角形中，用不同方式表示同一個三角形面積從而得到兩個等式．看似未知量較多，但通過等量代換、代數(shù)約簡，最后只剩下一個未知量．其獨特的構(gòu)思、新穎的形式給人帶來心理的愉悅，正所謂“刪繁就簡三秋樹，領(lǐng)異標(biāo)新二月花”．當(dāng)然，這些方法的獲得并非一蹴而就，而是經(jīng)歷多次嘗試后，“吹盡狂沙”“洗盡鉛華”后的“滿滿干貨”．

2.5 不畏浮云遮望眼，自緣身在最高層

解題的最高層次是從“解數(shù)學(xué)題目”到“問題研究”．如對問題進(jìn)行質(zhì)疑與反思，讓問題理解更加透徹；跳出具體問題，基于高觀點審視試題，尋找問題的共性特征與一般規(guī)律；充分挖掘試題的潛在研究價值，從而達(dá)到“不畏浮云遮望眼，自緣身在最高層”的最高境界．

一是對問題的條件與結(jié)論進(jìn)行質(zhì)疑．條件為何添加“1＜BCAB＜3”的限制？事實上，若BCAB=3，則∠ABD=60°，此時點G，H重合；若BCAB>3，則點G在線段BH上（與點H不重合），GF不可能與CD平行．同樣，若BCAB=1，直觀發(fā)現(xiàn)GF也不能與CD平行．

二是基于高觀點研究共性特征與一般規(guī)律．如將條件弱化，將“矩形ABCD”改為“ABCD”后結(jié)論如何呢？此時原題變?yōu)椋?/p>

如圖2，BD是ABCD（∠ABC＜90°）的對角線，點E，F(xiàn)

分別在邊AD，BC上，把△ABE和△CDF分別沿直線BE，DF折疊，使點A，C分別落在對角線BD上的點G，H處，連結(jié)FG．若FG∥CD，能否求BDAB的值呢？

同樣，不失一般性，令A(yù)B=CD=1，設(shè)BD=x．由折疊知：BG=AB=1，則DG=BD-BG=x-1．由GF∥CD及FD平分∠BDC可得∠GDF=∠GFD，故GF=DG=x-1．易證△BGF∽△BDC，所以BGBD=GFDC，即1x=x-11，整理得x2-x-1=0，解得x=1±52．因為x>0，所以x=5+12，即BD=5+12，故BDAB=5+12．這說明，試題第（3）題中的四邊形ABCD只要是平行四邊形即可，不需要“矩形”的強條件．

三是充分挖掘試題的潛在價值．如再特殊化，將“ABCD”改為“菱形ABCD”．由于菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)，所以BDAB的值仍為5+12．此外，還有何新發(fā)現(xiàn)呢？

如圖3，BD是菱形ABCD（∠ABC＜90°）的對角線，點E，F(xiàn)分別在邊AD，BC上，把△ABE和△CDF分別沿直線BE，DF折疊，使點A，C分別落在對角線BD上的點G，H處，連結(jié)FG．若FG∥CD，求∠ABC的大?。?/p>

為了更清楚地說明問題，將△BDC從原圖中分離出來．如圖4，連結(jié)CH．若AB=1，則BD=5+12，所以BH=BD-DH=5+12-1=5-12，在△BHC與△BCD中，BHBC=5-121=5-12，BCBD=15+12=5-12，所以BHBC=BCBD．又因為∠B為公共角，所以△BHC∽△BCD．所以∠BCH=∠D=∠B．設(shè)∠BCH=∠D=α，則∠DCH=∠DHC=2α，所以∠BCD=3α．在△BCD中，α+3α+α=180°，所以α=36°．所以∠ABC=2α=72°．

把“ABCD”改為“菱形ABCD”后，滿足GF∥CD的圖形出現(xiàn)了頂角分別為108°和36°的兩種等腰三角形，即“黃金三角形”．該圖形的美妙之處在于：延長FH必經(jīng)過點A，延長EG必經(jīng)過點C，連結(jié)并延長CH與AB相交于點M，連結(jié)并延長AG與CD相交于點N（如圖5（1）所示），將△BHM，△DEG剪下，分別拼到△PFC與△QCN位置（如圖5（2）所示）可得到“五角星”．顯然，變化后的試題比原題具有更濃的數(shù)學(xué)味，還具有讓人陶醉的美學(xué)價值．至此，試題在原題基礎(chǔ)上有了跳躍式的發(fā)展，發(fā)揮了應(yīng)有的學(xué)科育人價值．

3 數(shù)學(xué)解題的價值探析

解題的目的之一是“建構(gòu)以概念為基石，以思想方法為紐帶，以揭示對象蘊涵的不變性、規(guī)律性為中心，探索組成對象的諸要素之間內(nèi)在的、必然的聯(lián)系，由此幫助學(xué)生積累經(jīng)驗、拓展思維和學(xué)會學(xué)習(xí)”［2］．從上述思路探索的心路歷程發(fā)現(xiàn)，問題的解決經(jīng)歷了方向逐漸明朗、思路逐步清晰、方法漸次優(yōu)化的過程．在這個過程中，解題者除了內(nèi)化數(shù)學(xué)知識、發(fā)展思維能力、積累活動經(jīng)驗外，還實現(xiàn)了“得數(shù)學(xué)之法、明數(shù)學(xué)之理、悟數(shù)學(xué)之道、激數(shù)學(xué)之趣”的價值．

3.1 在解題中得數(shù)學(xué)之法

“數(shù)學(xué)之法”即數(shù)學(xué)的策略與方法．解題關(guān)鍵在于“得法”，“得法”則心明．如本題中的條件、結(jié)論如何思考？一是抓住“翻折圖形的軸對稱性”本質(zhì)，得到對應(yīng)線段相等、對應(yīng)角相等、對應(yīng)點的連線被對稱軸垂直平分．二是將“線段平行”與“角平分線”結(jié)合得到等腰三角形．三是將“求兩線段的比值”轉(zhuǎn)化為尋找線段之間的數(shù)量關(guān)系，由于直接求比值困難，故運用設(shè)未知數(shù)、列方程的間接方法．這里的“不失一般性，令A(yù)B為1”不影響結(jié)果．四是初中幾何中的線段關(guān)系來源主要有勾股定理、三角形相似、銳角三角函數(shù)、三角形的面積表示等．

“方法一”與“方法二”都用了兩次三角形相似，且所列方程均為三次方程，不僅過程復(fù)雜，而且明顯超出初中生的認(rèn)知能力，這是學(xué)生得分之低的原因之一．而“方法三”到“方法五”不僅容易理解，而且簡明、快捷，關(guān)鍵是抓住了“線段平行+角平分線=等腰三角形”這個基本圖形．因此，解題是否成功、方法是否簡捷取決于是否“得法”．另外，數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗也是解題成功的關(guān)鍵．問題解決時要激活已有的策略與方法經(jīng)驗，問題解決后要反思與歸納，積累新的策略與方法經(jīng)驗．從更高層次上說，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要從“解數(shù)學(xué)題”到“數(shù)學(xué)研究”，掌握數(shù)學(xué)研究的一般方法，如研究試題的前世、今生與未來：試題有什么、要得到什么、如何分析、問題從哪里來、往哪里去．

3.2 在解題中明數(shù)學(xué)之理

“數(shù)學(xué)之理”即數(shù)學(xué)的規(guī)律與原理．?dāng)?shù)學(xué)是講理的學(xué)科．?dāng)?shù)學(xué)學(xué)習(xí)不僅要知其然，還要知其所以然，更要知其何以所以然，數(shù)學(xué)解題的一個重要功能就是明數(shù)學(xué)之理．如本題除了幾何直觀與代數(shù)運算之外，還需要寫出必要的推理過程，每一步都要有依據(jù)．以“方法三”為例．為什么當(dāng)BD=x時，HG=2-x？是因為由翻折得BG=AB=1，DH=CD．而四邊形ABCD為矩形，所以CD=AB=1=DH．所以HG=BG+DH-BD=1+1-x=2-x．這些看似簡單的過程，都必須基于數(shù)學(xué)概念與定理的邏輯推理．經(jīng)歷這樣的過程，不僅能夠得出正確結(jié)論，內(nèi)化數(shù)學(xué)知識，更重要的是明晰數(shù)學(xué)原理，這是數(shù)學(xué)解題的價值之一．

3.3 在解題中悟數(shù)學(xué)之道

“數(shù)學(xué)之道”即數(shù)學(xué)的思想與本質(zhì)，包括數(shù)學(xué)的“通性通法”與內(nèi)在聯(lián)系．“數(shù)學(xué)之法”是外顯的，“數(shù)學(xué)之道”是內(nèi)隱的，數(shù)學(xué)解題要以外顯的“法”悟內(nèi)隱的“道”，“當(dāng)諸多解題方法紛至沓來之時，一定要梳理、反思、歸納其背后的共性與共融”［1］．一方面解決問題要抓住數(shù)學(xué)本質(zhì)，另一方面要在解題中感悟數(shù)學(xué)本質(zhì)．以該題方法為例．幾種方法分別運用了“直角三角形相似”“銳角三角函數(shù)”和“面積法”，事實上，這三種方法是相通的：銳角三角函數(shù)源于直角三角形邊的比，本質(zhì)上就是直角三角形相似，凡可用直角三角形相似解決的問題一般都可用銳角三角函數(shù)解決；初中要得到三角形面積一般需要有高，同一三角形面積的幾種不同表示方式得到的“線段積相等”也都可以通過直角三角形相似得到．由此可見，三種方法在本質(zhì)上具有一致性．由這種本質(zhì)一致性可得到一系列解題策略與方法．“數(shù)學(xué)的發(fā)展就是在一步步提高通性通法的層次，拓展通性通法的適用范圍和領(lǐng)域，直至發(fā)明新的通法，因此數(shù)學(xué)教學(xué)不要片面追求‘特技特法”［3］而要引導(dǎo)學(xué)生掌握“通性通法”，把握數(shù)學(xué)的內(nèi)在聯(lián)系，真正達(dá)到“入寶山而不空返”的效果．

3.4 在解題中激數(shù)學(xué)之趣

什么是學(xué)科育人？一方面，弘揚主旋律、傳播正能量毫無疑問屬于學(xué)科育人．另一方面，營造出意蘊悠然的磁場，散發(fā)出引人入勝的氣息，令孩子們流連忘返、興趣盎然、欲罷不能，此乃數(shù)學(xué)教師的責(zé)任擔(dān)當(dāng)．《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》提出了要讓學(xué)生“對數(shù)學(xué)具有好奇心和求知欲，了解數(shù)學(xué)的價值，欣賞數(shù)學(xué)美，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣”［4］的數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)．“數(shù)學(xué)之趣”即讓學(xué)生感受“數(shù)學(xué)好玩”，從而激發(fā)數(shù)學(xué)探究興趣．如引導(dǎo)學(xué)生通過探究與思考找到問題解決的思路，發(fā)現(xiàn)獨特、簡捷的方法，哪怕這個過程是艱難的、曲折的，但學(xué)生從中享受到成功的快樂，獲得了愉悅的心理體驗，從而對數(shù)學(xué)產(chǎn)生更加濃厚的興趣，形成了刻苦鉆研的意志品質(zhì)．這也是學(xué)科育人的重要方面．

本題呈現(xiàn)的五種方法依次從兩對三角形相似到一對三角形相似，從“三角形相似法”到“銳角三角函數(shù)法”再到“三角形面積法”得到線段間的數(shù)量關(guān)系，思路與方法不斷優(yōu)化；所列方程從“難解”的一元三次方程到容易轉(zhuǎn)化為一元二次方程的三次方程，再到直接列出一元二次方程，讓解題者體驗到數(shù)學(xué)解題的過程也是不斷追求簡約美的過程．同時還發(fā)現(xiàn)，“直角三角形相似”“銳角三角函數(shù)”和“面積法”等方法在本質(zhì)上是一致的，讓人們感受到數(shù)學(xué)內(nèi)在的統(tǒng)一美．“方法五”中的“面積法”看上去過程比較復(fù)雜，但結(jié)論一眼洞穿．將“平行四邊形”改為菱形后得到美麗的黃金三角形，從而通過剪拼還能得到漂亮的“五角星”，讓人們領(lǐng)略到了數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的和諧美．通過對問題進(jìn)行質(zhì)疑與反思，發(fā)現(xiàn)原結(jié)論在條件弱化后仍成立，運用了從特殊到一般與變中不變的思想，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思想的本質(zhì)美……這些數(shù)學(xué)的美讓解題者獲得心理上的愉悅感，從而反過來激發(fā)解題者對數(shù)學(xué)探究的興趣，這正是學(xué)科育人的具體體現(xiàn)．

4 結(jié)束語

解題是數(shù)學(xué)教與學(xué)的一種重要手段．得乎其上，取乎其中．?dāng)?shù)學(xué)解題的“得法”“明理”“悟道”“激趣”四者中，“法”其下，“趣”其上．鞏固數(shù)學(xué)知識、掌握解題方法是數(shù)學(xué)解題的基本功能．但數(shù)學(xué)解題重在明理、貴在悟道，只有理解其中的數(shù)學(xué)原理，感悟問題的數(shù)學(xué)本質(zhì)，才能真正發(fā)揮數(shù)學(xué)解題的應(yīng)有作用．更為重要的是，如果能像玩游戲一樣玩解題，并體驗其中的樂趣而樂此不疲，那就達(dá)到了數(shù)學(xué)解題的最高境界．

參考文獻(xiàn)

［1］鄭瑄，沈吉兒．也談“好的例題教學(xué)是照亮學(xué)生解題的燈塔”［J］．?dāng)?shù)學(xué)通報，2020，59（08）：40-45．

［2］王紅權(quán)．思維教學(xué)：發(fā)揮數(shù)學(xué)解題教學(xué)的過程價值［J］．中學(xué)教研（數(shù)學(xué)），2023（07）：18-22．

［3］陸正海．從教到考 再談通性通法的教學(xué)［J］．?dāng)?shù)學(xué)通報，2013，52（04）：49-56．

［4］中華人民共和國教育部．義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)：2022年版［M］．北京：北京師范大學(xué)出版社，2022：11．

作者簡介 裘秀琴（1981—）女，浙江寧波人，中小學(xué)高級教師；主要從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)、解題與命題研究．