逆向思維在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

裴必達(dá)

【摘要】初中階段學(xué)生需要掌握豐富的數(shù)學(xué)理論知識(shí)，并形成完善的數(shù)學(xué)思維，只有這樣才能夠保障在做題中的正確率.逆向思維是學(xué)生解答數(shù)學(xué)問題常用的一種思維，其主要是反向借助數(shù)學(xué)規(guī)律來進(jìn)行思考，進(jìn)而快速找出正確答案.研究發(fā)現(xiàn)，逆向思維能夠幫助學(xué)生深度理解數(shù)學(xué)內(nèi)涵，還可以促進(jìn)學(xué)生樹立學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心.

【關(guān)鍵詞】解題思路；逆向思維；初中數(shù)學(xué)

學(xué)生在解答初中數(shù)學(xué)問題時(shí)，只有選擇最優(yōu)的解題思路才能夠提高解題效率以及解題正確率[1].逆向思維又被稱之為反向數(shù)學(xué)思維，其能夠培養(yǎng)學(xué)生形成發(fā)散式思維，通過采用與傳統(tǒng)正向思維相反的方式進(jìn)行推理來快速找出正確答案，這要求學(xué)生已經(jīng)掌握了基本的數(shù)學(xué)知識(shí)，且能夠?qū)?shù)學(xué)知識(shí)形成深刻認(rèn)知[2-5].

1 逆向思維在初中數(shù)學(xué)題目中的多樣化解題思路

1.1 逆向證明

例1 請(qǐng)大家證明2是一個(gè)無理數(shù).

解題思路 很多初中學(xué)生只是將2是無理數(shù)這一數(shù)學(xué)知識(shí)記在了腦中，卻不知道如何證明這一知識(shí).一般情況下，初中學(xué)生會(huì)采用正向思維來進(jìn)行思考，然而這一條路是行不通的.根據(jù)所學(xué)內(nèi)容，任一有理數(shù)均能夠通過分?jǐn)?shù)體現(xiàn)出來，并且每一個(gè)分式也能夠通過分母、分子互為質(zhì)數(shù)的方式體現(xiàn).因此，當(dāng)我們需要證明2是一個(gè)無理數(shù)時(shí)，就能夠使用逆向證明的方式，先假設(shè)2是一個(gè)有理數(shù)，最終分析發(fā)現(xiàn)這是一個(gè)矛盾的結(jié)論.

解析過程 先逆向假設(shè)2是一個(gè)有理數(shù)，這就會(huì)存在兩個(gè)自然數(shù)a與b，并能夠使2=a/b.

根據(jù)所學(xué)知識(shí)可知，a和b應(yīng)當(dāng)互為質(zhì)數(shù)，因此當(dāng)我們對(duì)上面這一式子進(jìn)行平方后能夠得到2=a2/b2，將左右兩邊調(diào)整一下能夠得出a2=2b2.

由于a2是一個(gè)偶數(shù)，我們可進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)，a也應(yīng)該是一個(gè)偶數(shù).因此這就應(yīng)當(dāng)有一自然數(shù)c，能夠得出a=2c.將這一式子中的2c替換到上一式子中的a，我們能夠得出2c2=2b2，化簡(jiǎn)后可以得出4c2=2b2.

將左右兩邊都除2后能夠得到2c2=b2.

進(jìn)而得出b2是一個(gè)偶數(shù)，且b也必然是一個(gè)偶數(shù).然而在前面的證明中發(fā)現(xiàn)a是一個(gè)偶數(shù)，最初假設(shè)時(shí)a和b應(yīng)當(dāng)互為質(zhì)數(shù)，這就與假設(shè)不符，因此2是一個(gè)有理數(shù)的假設(shè)是錯(cuò)誤的，這意味著，2應(yīng)當(dāng)是一個(gè)無理數(shù).

1.2 逆向推導(dǎo)

例2 請(qǐng)大家采用簡(jiǎn)便方式來計(jì)算55125492的數(shù)值.

解題思路 在看到上面這一算式時(shí)，學(xué)生可采用過去所學(xué)的平方差公式進(jìn)行計(jì)算：（a+b）（a－b）=a2－b2.當(dāng)使用逆向思維進(jìn)行推導(dǎo)時(shí)就能夠快速得出正確答案：通過觀察能夠發(fā)現(xiàn)，當(dāng)我們將（a+b）（a－b）=a2－b2這一個(gè)式子反過來后就能夠得到a2－b2=（a+b）（a－b）.換句話說，當(dāng)需要計(jì)算兩個(gè)數(shù)的平方差時(shí)，相當(dāng)于計(jì)算這兩個(gè)數(shù)之差與這兩個(gè)之和的乘積.即55125492就能夠轉(zhuǎn)變?yōu)榍蠼猓?51+549）（551－549）的積.

解析過程 5512-5492=（551+549）（551－549）=2200.

1.3 逆向分析

例3 假設(shè)存在m，n兩個(gè)正數(shù)，且二者不相等，請(qǐng)證明m3+n3>m2n+mn2成立.

題目分析 在拿到這一題目后可以發(fā)現(xiàn)，若我們直接根據(jù)已知信息來進(jìn)行證明，則解題過程會(huì)十分繁瑣復(fù)雜.但若借助逆向思維來進(jìn)行反向證明，則可以直接從問題的結(jié)論出發(fā)進(jìn)行逆推，這樣就可以快速理清解題思路.此外，大多數(shù)初中學(xué)生在看到不等式左邊的m3+n3時(shí)，就能夠根據(jù)所學(xué)知識(shí)想到如下公式：x3+y3=（x+y）（x2－xy+y2），并有效借助這一公式進(jìn)行解答.

題目解析 當(dāng)我們將不等式的左右兩邊都分解后，能夠得出等式：m3+n3=（m+n）（m2－mn+n2），m2n+mn2=mn（m+n），由此能夠發(fā)現(xiàn)，要想證明問題的結(jié)論，就需要進(jìn)一步證明（m+n）（m2－mn+n2）>mn（m+n）.由于轉(zhuǎn)變后的不等式左右兩側(cè)均含有m+n，且由于已知條件可發(fā)現(xiàn)m，n均為正數(shù)，那么m+n>0，因此我們只要能夠證明m2－mn+n2>mn就行.當(dāng)我們把m2－mn+n2>mn的右側(cè)移至左邊時(shí)就變?yōu)榱薽2－2mn+n2>0，合并即發(fā)現(xiàn)（m－n）2>0.且由已知條件可發(fā)現(xiàn)m，n均為正數(shù)，且二者不相等，因此（m－n）2>0成立.

2 應(yīng)用逆向思維解答不同類型數(shù)學(xué)問題

2.1 解答否定性命題

例4 已知ΔABC的內(nèi)角是∠A、∠B、∠C.請(qǐng)證明：∠A、∠B、∠C三個(gè)內(nèi)角無法存在兩個(gè)角是直角.

題目分析 在上述問題中出現(xiàn)了“無法”字眼，類似問題中若出現(xiàn)“不能”“沒有”等否定性詞匯，則說明其屬于否定性命題.對(duì)于這一類問題，如果學(xué)生直接運(yùn)用已知條件進(jìn)行證明，則需要對(duì)所有可能性進(jìn)行論證，整個(gè)過程十分繁瑣.若使用逆向思維進(jìn)行證明，則會(huì)大大提高解題效率.

題目解析 如果∠A、∠B、∠C三個(gè)內(nèi)角中有兩個(gè)角都是直角，那么我們可假設(shè)∠A=90°，∠B=90°，就會(huì)有∠A+∠B+∠C>180°，然而這一推導(dǎo)出的結(jié)論和三角形內(nèi)角和為180°的數(shù)學(xué)知識(shí)矛盾.因此∠A=90°，∠B=90°這一假設(shè)是錯(cuò)誤的，由此能夠證明∠A、∠B、∠C三個(gè)內(nèi)角無法存在兩個(gè)角是直角.

2.2 解答存在性命題

例5 過O點(diǎn)繪制出七條直線，請(qǐng)大家證明：相鄰的以O(shè)為頂點(diǎn)的直線所成夾角內(nèi)一定會(huì)有一個(gè)角的度數(shù)小于26°.

題目分析當(dāng)數(shù)學(xué)問題中出現(xiàn)“會(huì)有”“存在”等字眼時(shí)，可以借助逆向思維假設(shè)一定沒有.已知條件中說過O點(diǎn)的直線有7條，那么其相鄰直線能夠形成的夾角的數(shù)量為14個(gè)，且這些夾角度數(shù)相加后為360°，運(yùn)用逆向思維進(jìn)行思考，如果這些夾角的度數(shù)都大于26°；那么判斷360°與這些角的度數(shù)相加后的總值大小即可.

題目解析 我們可以將O作為頂點(diǎn)，那么相鄰直線能夠構(gòu)成14個(gè)夾角，且這些夾角正好能構(gòu)成一個(gè)周角，如果14個(gè)角的度數(shù)都不小于26°，那么14個(gè)角的度數(shù)的總和就需要不小于14×26°=364°.上述結(jié)論與周角的度數(shù)始終為360°矛盾，由此能夠證明以O(shè)作為頂點(diǎn)的14個(gè)夾角中一定會(huì)有一個(gè)角的度數(shù)小于26°.

參考文獻(xiàn)：

[1]鐘志偉.初中數(shù)學(xué)教學(xué)逆向思維應(yīng)用探究[J].中國多媒體與網(wǎng)絡(luò)教學(xué)學(xué)報(bào)（下旬刊），2023（08）：171-173.

[2]黎春.探究初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中逆向思維的應(yīng)用[J].數(shù)理天地（初中版），2023（15）：47-49.

[3]夏云云.初中數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生逆向思維能力的培養(yǎng)[J].基礎(chǔ)教育論壇，2023（15）：95-96.