基于結(jié)構(gòu)視域下的高中數(shù)學(xué)教材的深度理解

王峰 李啟梅

當(dāng)下，大單元教學(xué)開展得如火如荼，但教研活動(dòng)交流表明不少教師對大單元教學(xué)認(rèn)識模糊，做不到對每節(jié)課都有大單元理念的滲透，充其量在一章開始時(shí)向?qū)W生介紹一下本章內(nèi)容產(chǎn)生的背景、價(jià)值以及與其他章節(jié)的聯(lián)系，之后在一節(jié)節(jié)具體的內(nèi)容教學(xué)時(shí)也只能是就事論事了，這樣一來，教學(xué)的知識點(diǎn)依然是孤零零的，知識之間的聯(lián)系缺少，這與“大單元教學(xué)理念”不一致，顯然是“穿新鞋走老路”，那么如何處理教材才能真正落實(shí)“大單元教學(xué)”呢？我們認(rèn)為大單元教學(xué)理念的“大”的意思是整體把握教材之義，打通這一單元內(nèi)部知識的內(nèi)在聯(lián)系，以盤活知識，達(dá)到靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識處理問題的目的.

最近，看到史寧中教授的一篇文章《學(xué)數(shù)學(xué)要大量做題嗎？》，文中指出：學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)最重要的是什么呢？史教授給學(xué)生的建議有兩個(gè)：一個(gè)是要有興趣，你在學(xué)習(xí)的過程中，特別是克服了困難過程中，你感到樂趣這是很重要的，因?yàn)榕d趣是學(xué)習(xí)的最根本動(dòng)力；還有一個(gè)就是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)要會思考，尤其是理性思維，這樣才適宜學(xué)數(shù)學(xué).

由此看出，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣至關(guān)重要，有了興趣才能做到深入學(xué)習(xí)并堅(jiān)持下去，那么學(xué)習(xí)興趣如何培養(yǎng)？這也是數(shù)學(xué)教師需要解決但又感到力不從心的事情，通過多年的教學(xué)實(shí)踐及研究得知，教師只要將數(shù)學(xué)教材講得通俗易懂，學(xué)生易接受，易入心，這樣一來，學(xué)生就感到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)輕松自如，學(xué)習(xí)興趣就會慢慢養(yǎng)成.

最近，高考各科命題考查重點(diǎn)公布，關(guān)于數(shù)學(xué)學(xué)科命題有這樣一句話：“努力破除復(fù)習(xí)備考中題海戰(zhàn)術(shù)和套路訓(xùn)練的影響.”加之，取消考試大綱、能力立意轉(zhuǎn)向?yàn)椤八仞B(yǎng)立意”、反對機(jī)械刷題.什么是機(jī)械刷題？我們認(rèn)為是考生不注重教材知識的深度理解與掌握，解題時(shí)不是靠靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解題，而是依靠不理解的解題流程而大量盲目地反復(fù)做.面對如何理解教育部考試中心的這些做法以及如何引導(dǎo)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，作為教師，我們該何去何從，對此，我們認(rèn)為要想讓自己的學(xué)生在考場上做到“以不變應(yīng)萬變”，唯有“抓住教材”才是正道，因?yàn)榻滩膬?nèi)容是學(xué)科素養(yǎng)之源，數(shù)學(xué)能力之根，皮之不存，毛將焉附？故重視教材研究是一線教師平時(shí)教研的當(dāng)務(wù)之急，不可懈怠！

一、特殊的“規(guī)定”也能體現(xiàn)“大單元”

在數(shù)學(xué)教材中，“規(guī)定”比比皆是，對于為何要單獨(dú)“規(guī)定”這些數(shù)學(xué)規(guī)則，教師要做到心知肚明. 隨著課程改革的深入，教師們逐漸意識到，對于“規(guī)定性內(nèi)容”的教學(xué)，即使讓學(xué)生接受學(xué)習(xí)，也要讓接受變得“有意義”.這就要求教師要學(xué)會創(chuàng)造性地使用教材，將教材中的“規(guī)定”那冰冷的美麗變成火熱的思考，以讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的豐富內(nèi)涵，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

案例1關(guān)于規(guī)定“零向量方向是任意的”的理解.因?yàn)榱阆蛄?的始點(diǎn)與終點(diǎn)重合，所以它沒有確定的方向，即零向量0是無方向而言的，然而向量是既有大小又有方向的量，

這樣它又必須有方向，但其方向客觀又不存在，因此有必要人為地規(guī)定零向量0的方向.圖1究竟為何要規(guī)定“零向量0的方向是任意的”？根據(jù)向量的加法，知OA+AB=OB，如圖1所示，當(dāng)點(diǎn)A越來越接近點(diǎn)O時(shí)，向量OA的方向與向量OB方向一致，一旦點(diǎn)A與點(diǎn)O重合，此時(shí)OA=0，可以認(rèn)為0的方向沿著向量OA的方向，也就說，零向量0的方向可以隨著向量OA的方向變化而變化，因?yàn)橄蛄縊A的方向可以任意，故規(guī)定零向量0的方向是任意的，不是這主觀臆斷的結(jié)果.”其實(shí)，定義零向量0就是為了運(yùn)算的需要而產(chǎn)生的，而通過向量的加法運(yùn)算得到零向量0方向的任意性，就將零向量0自然融入到向量的加法運(yùn)算之中，而不是一個(gè)獨(dú)立的個(gè)體，這無形中體現(xiàn)了大單元的“大”思想.正因?yàn)槿绱?，?guī)定“零向量0與任意向量平行”就顯得顯得是多么得自然.這一點(diǎn)也足以說明了“零向量0的方向是任意的”的合理性.

由于高中數(shù)學(xué)概念的定義不僅要講究形式，還要突出其本質(zhì)，這就使得有些概念中的特殊對象極易拒之門外，從而造成反映數(shù)學(xué)概念本質(zhì)屬性的定義帶有片面性.但數(shù)學(xué)講究體系結(jié)構(gòu)的和諧性、完整性以及運(yùn)算法則的封閉性，此時(shí)有必要對特殊情況作一單獨(dú)規(guī)定，以對定義的不足作一補(bǔ)充和完善，所以數(shù)學(xué)中的規(guī)定并不是無病的呻吟，而是一種強(qiáng)烈的呼喚，它不僅是必要的，而且是合理的，它對數(shù)學(xué)的和諧發(fā)展具有重要的作用.當(dāng)然，“規(guī)定”的內(nèi)容絕對不能套用相關(guān)概念等本質(zhì)內(nèi)涵標(biāo)準(zhǔn)去衡量.因?yàn)橐?guī)定的內(nèi)容肯定不符合概念的一般性定義的理解，否則怎么還需要作特殊規(guī)定呢？其實(shí)這些“規(guī)定性內(nèi)容”就是數(shù)學(xué)概念中的特殊對象的定義，它們?nèi)詫俑拍畹亩x范疇，是不可或缺的，理應(yīng)受到重視.

二、拋出的“定義”也能體現(xiàn)大單元

受教材知識體系的約束，有些數(shù)學(xué)概念的定義產(chǎn)生過程教材不能一時(shí)向?qū)W生展示出來，故教材往往直接拋出的，教師如果不加以認(rèn)真研究，就不清楚這個(gè)概念定義的真實(shí)原因，只好照本宣科，弄得學(xué)生迷惑不解，只好死記硬背，雖然能機(jī)械套用定義解題，但學(xué)生心里上往往不爽，特別是善于思考的學(xué)生，會糾結(jié)原因的，當(dāng)問及教師時(shí)，教師可能也不清楚原因，就會搪塞學(xué)生：“前人規(guī)定好的，有什么好理解的，記住會應(yīng)用即可.”教師的如此回答，雖然也能打發(fā)走學(xué)生，但學(xué)生內(nèi)心卻不一定完全接受，顯然，教師沒有從根本上解決學(xué)生的問題，怎能激其學(xué)生的興趣？實(shí)際上，數(shù)學(xué)中的每一個(gè)概念并不是孤立存在的，而是在大單元下與其他知識和諧共生的結(jié)果，是系統(tǒng)化的結(jié)果，有了這個(gè)意識，就不難發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的每個(gè)概念的定義產(chǎn)生就能找到其如此定義的原因，也許這個(gè)原因在后續(xù)學(xué)習(xí)中，雖然暫時(shí)不能向?qū)W生介紹，但這個(gè)話要點(diǎn)到，讓學(xué)生明白定義是可以理解的，等到學(xué)了后續(xù)知識之后，教師再做補(bǔ)償性說明，這體現(xiàn)了前后連貫的邏輯性，學(xué)生就豁然開朗了，解除了心中的疑團(tuán)，明白了，自然就有了興趣，同時(shí)也就感受到大單元理念的“大”.

案例2在平面向量的“減法定義”的學(xué)習(xí)中，人教版第11頁定義如下：“向量加上的相反向量，叫做與的差，即－=+（－），求兩個(gè)向量差的運(yùn)算叫做向量的減法.”關(guān)于向量減法的定義，教學(xué)中不少教師運(yùn)用類比實(shí)數(shù)的減法去理解，那么總感覺不能解釋明白，別說學(xué)生不能接受，作為教師能接受嗎？畢竟向量運(yùn)算與實(shí)數(shù)運(yùn)算是兩類不同的事物，怎能作一個(gè)簡單類比呢？那么，該如何解釋此定義的合理性呢？如果直接告訴學(xué)生，機(jī)械記住，大單元教學(xué)理念體現(xiàn)在何處呢？為此，筆者經(jīng)過深思細(xì)悟，發(fā)現(xiàn)這個(gè)定義也是有道理的，并不是不可理喻的.不過，合理性還需從后續(xù)知識中加以驗(yàn)證，教師至少要知道這一點(diǎn)，以后再向?qū)W生說明，這樣一來，學(xué)生就明白了知識的前后聯(lián)系.譬如說，在數(shù)量積的運(yùn)算中，由數(shù)量積的分配律與數(shù)乘運(yùn)算的結(jié)合律知，·［+（－）］=·+·（－）=·+［－1（·）］，根據(jù)實(shí)數(shù)的減法法則：加上一個(gè)負(fù)數(shù)，等于減去一個(gè)正數(shù)，于是得·［+（－）］=·－（·），受次啟發(fā)，如果將·［+（－）］改寫為·（－），直接運(yùn)用數(shù)量積的分配律，得到·（－）=·－（·），多么簡潔！又如，平面向量減法運(yùn)算的坐標(biāo)表示，設(shè)=x1+y1，=x2+y2，則－=－x2+（－y2），+（－）=（x1+y1）+［－x2+（－y2）］=［x1+（－x2）］+［y1+（－y2）］，根據(jù)實(shí)數(shù)的減法法則：加上一個(gè)負(fù)數(shù)，等于減去一個(gè)正數(shù)，知［x1+（－x2）］+［y1+（－y2）］=（x1－x2）+（y1－y2），受此啟發(fā)，將+（－）改寫為－，則+（－）=－=（x1+y1）－（x2+y2）=（x1－x2）+（y1－y2），從而，又一次驗(yàn)證了向量減法的合理性.

由此可知，教材中有的數(shù)學(xué)概念的定義直接拋出，并不等于不講道理，作為教師應(yīng)該從數(shù)學(xué)系統(tǒng)的高度去認(rèn)識與把握，讓學(xué)生感受到每一個(gè)定義都是大家庭中的一員，并且是有機(jī)的整體，不可或缺，只有這樣，學(xué)生才能做到知識間的融會貫通.

三、冰冷的“數(shù)學(xué)符號”也能體現(xiàn)大單元

用數(shù)學(xué)符號呈現(xiàn)數(shù)學(xué)內(nèi)容簡潔、準(zhǔn)確，但抽象，令學(xué)生難以理解，給人以冰冷的感覺，于是誤認(rèn)為數(shù)學(xué)符號都是前人機(jī)械規(guī)定的結(jié)果，沒有什么好理解的，其實(shí)不然.實(shí)際上，數(shù)學(xué)中每一個(gè)數(shù)學(xué)符號都不是空穴來風(fēng)，每一個(gè)數(shù)學(xué)符號的背后往往都有一曲曲感人的故事，是前人從數(shù)學(xué)系統(tǒng)的角度經(jīng)過反復(fù)思考的結(jié)果，是數(shù)學(xué)智慧的結(jié)晶，意味深長，不可小視.

案例3平面向量數(shù)量積的概念，教材利用力做功直接引出數(shù)量積定義“·=||||cos<，>”.在此定義中，運(yùn)算符號“·”具有乘法的意義嗎？顯然不具有實(shí)數(shù)乘法運(yùn)算的意義，那么為什么這個(gè)概念定義時(shí)用運(yùn)算法則“·”呢？對此，教學(xué)時(shí)，教師需要向?qū)W生講清楚其來龍去脈，但無論在中數(shù)期刊上，還是公開課上，關(guān)于數(shù)量積運(yùn)算符號“·”的引入，幾乎都是照本宣科，讓人覺得這個(gè)定義的無理，而沒有真正感受到使用“·”的真正意圖.對此，筆者深感困惑，經(jīng)過一段時(shí)間的思考，終于弄清楚了原因，實(shí)際上由力與位移通過某種運(yùn)算法則產(chǎn)生的標(biāo)量功W，我們不妨記為W=⊕=||||cosθ，其中θ為矢量力與位移的夾角，按照這個(gè)定義受啟發(fā)，得到⊕=||||cosθ不難可得到運(yùn)算律：⊕=⊕，（λ）⊕=λ（⊕），⊕（⊕）=⊕⊕⊕，顯然關(guān)于⊕=||||cosθ的運(yùn)算律與實(shí)數(shù)乘法的運(yùn)算律類似，況且⊕=||||cosθ中等號右邊的三部分式子之間都是實(shí)數(shù)乘法運(yùn)算，基于此認(rèn)識我們不妨借用實(shí)數(shù)的乘法運(yùn)算符號“·”可表達(dá)⊕=||||cosθ中的運(yùn)算法則，即·=||||cosθ，這樣一來，就減少了數(shù)學(xué)符號，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的整體把握與簡潔美.教學(xué)中，筆者采用“倒序的手法”介紹數(shù)量積的運(yùn)算符號形成過程，彰顯了數(shù)學(xué)中一個(gè)小小的數(shù)學(xué)符號可能蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)的整體化思想，而不僅僅是一個(gè)孤零零的符號，所以教學(xué)時(shí)要透過現(xiàn)象看本質(zhì)，讓學(xué)生感受到教材的內(nèi)在力量.

四、簡單的“運(yùn)算法則”也能體現(xiàn)大單元

大單元教學(xué)的內(nèi)容更強(qiáng)調(diào)宏觀，更加注重教學(xué)內(nèi)容之間的聯(lián)系，這樣有助于學(xué)生建立知識體系，有助于學(xué)生對教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行結(jié)構(gòu)化的掌握.數(shù)學(xué)運(yùn)算是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“重頭戲”，提升運(yùn)算素養(yǎng)的關(guān)鍵就是弄清楚運(yùn)算法則的原理及來龍去脈，特別是一些運(yùn)算法則之間存在內(nèi)在邏輯聯(lián)系，因?yàn)樗鼈冞@種關(guān)系是隱形的，不容易被大家覺察到，所以教學(xué)時(shí)就公式講公式現(xiàn)象普遍，沒有體現(xiàn)大單元的教學(xué)理念，運(yùn)算也只能機(jī)械套用公式操作，數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)也就無從談起.

案例4新教材第二冊第一章內(nèi)容是平面向量，教材在學(xué)習(xí)完平面向量知識之后，接著談?wù)勂矫嫦蛄康膽?yīng)用，其中余弦定理的證明就是平面向量應(yīng)用的一個(gè)方面，當(dāng)然，運(yùn)用平面向量知識推導(dǎo)出余弦定理并不難，難的是如何想到了去運(yùn)用平面向量去切入推導(dǎo)余弦定理的，對此，大家可能思考的少，因?yàn)檫@需要深度思考才能明白其中的緣由，否則，只能照本宣科了.筆者認(rèn)為，余弦定理是反映三角形邊角之間關(guān)系的一個(gè)定理，教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)該使余弦定理來得自然而不生硬，所以教學(xué)時(shí)可以引導(dǎo)學(xué)生回憶三角形邊角有哪些關(guān)系？學(xué)生回答的結(jié)果無非是如下幾個(gè)方面：三角形三邊任何兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊；三角形的內(nèi)角和是180°；直角三角形的勾股定理以及銳角三角函數(shù).接著教師可追問：一般三角形的邊角之間的關(guān)系存在等量關(guān)系嗎？教學(xué)表明，請學(xué)生回答的結(jié)果是沒有的，于是，教師繼續(xù)追問：剛剛學(xué)過的平面向量中有嗎？學(xué)生可能還回答沒有，此時(shí)，看來該是教師該出手的時(shí)候了，于是筆者寫到：在ΔABC中，有AB+BC=AC這個(gè)結(jié)論吧？針對向量等式“AB+BC=AC”，不少教師認(rèn)為這僅僅是三角形加法法則而已，而沒有認(rèn)識到其背后隱藏的豐富內(nèi)涵——三角形邊角關(guān)系，其實(shí)，它是三角形邊角關(guān)系的向量表示，教學(xué)時(shí)，我們要透過現(xiàn)象看出本質(zhì)，因?yàn)槠矫嫦蛄康摹叭切渭臃ǚ▌t”的運(yùn)算符號“+”并不是實(shí)數(shù)中加法運(yùn)算符號的意義，而是這種運(yùn)算法則運(yùn)算律與實(shí)數(shù)的加法運(yùn)算律一致，故將平面向量中的這種“首尾相連”的運(yùn)算用“+”表示，由此看出，平面向量的加法法則符號“+”的含義不僅有“模長”的運(yùn)算，還有“向量方向夾角”的運(yùn)算，而“向量方向夾角”的表示實(shí)際上就是“三角形角的大小”表示問題，故在ΔABC中，等式AB+BC=AC就是反應(yīng)三角形邊角的等量關(guān)系式，明白了這一點(diǎn)，從AB+BC=AC入手，將其兩邊平方，就不能得到b2=a2+c2－2accosB，顯然，這樣獲取的余弦定理，學(xué)生感到親切自然，深深感受到平面向量的價(jià)值非凡.

由此看出，看似一個(gè)大家熟知的余弦定理，教學(xué)時(shí)如何體現(xiàn)大單元的教學(xué)理念，需要我們認(rèn)真?zhèn)湔n，整體把握教材，仔細(xì)推敲每一個(gè)數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)所在，不能被表面的現(xiàn)象所迷惑，要透過表面的現(xiàn)象看到本質(zhì)的東西，如本例我們?nèi)绻麖摹癆B+BC=AC”看到其反映的三角形的邊角關(guān)系，那么教學(xué)時(shí)由此引入余弦定理，就能充分體現(xiàn)了大單元的教學(xué)思想.

五、熟悉的“數(shù)學(xué)公式”也蘊(yùn)含著大單元思想

數(shù)學(xué)公式是聯(lián)系題目條件與求解目標(biāo)的橋梁，它們不僅是數(shù)學(xué)運(yùn)算的依據(jù)，而且也是能幫助我們把握運(yùn)算的方向，所以在求解時(shí)究竟選用哪個(gè)公式進(jìn)行運(yùn)算，關(guān)鍵是要清楚每個(gè)公式的適用范圍和功能，這一點(diǎn)至關(guān)重要.當(dāng)然，一個(gè)問題的運(yùn)算可能有不同的公式運(yùn)算都可以，但往往有繁簡之別，值得注意的是，數(shù)學(xué)公式之間也存在著千絲萬縷的聯(lián)系，清楚它們的區(qū)別與聯(lián)系也是大單元教學(xué)的要求，所以在運(yùn)算求解時(shí)，不是數(shù)學(xué)公式記憶的問題，而是公式選擇的問題，同樣一個(gè)問題，如果選擇恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)公式，運(yùn)算就事半功倍，否則事半功倍.

案例5在余弦定理的教學(xué)中，教材給出了兩種形式a2=b2+c2－2bccosA，cosA=b2+c2－a22bc，于是教學(xué)中，教師往往就告訴學(xué)生利用余弦定理可解決兩類問題：知道三角形的兩邊及其夾角求第三邊；知道三角形的三邊可求三角形的任意內(nèi)角.實(shí)際上，告訴學(xué)生兩大功能是不科學(xué)的，削弱了余弦定理的求解功能，不妨以a2=b2+c2－2bccosA為例加以說明，這個(gè)公式有四個(gè)元素：a、b、c、A，顯然，根據(jù)此公式可“知三求一”，具體來說有四種情況：①知道a，b，c，求A；②知道a，b，C，求c；③知道a，b，A，求c；④知道a，c，A，求b.

其中①②兩個(gè)類型是教材給出的兩大功能，而③④是知道三角形的兩邊及其中一邊的夾角，求第三邊的問題，而這類問題是下節(jié)課由正弦定理要解決的問題，但在學(xué)習(xí)余弦定理的時(shí)候引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)出來此功能，在學(xué)習(xí)正弦定理的時(shí)候，再解決③④類型的問題，學(xué)生就潛意識到正弦定理解決的問題，余弦定理也能解決，反之余弦定理解決的問題，正弦定理也能解決，這樣一來，學(xué)生在解三角形時(shí)就可根據(jù)題目條件靈活選擇哪個(gè)公式解決，同時(shí)也說明了正弦定理與余弦定理存在著聯(lián)系，而不是水火不相容的，教師指出余弦定理與正弦定理可以互證，有興趣的同學(xué)可不妨試一試.

從這個(gè)案例可知，雖然教材內(nèi)容是一節(jié)一節(jié)的，有先后順序，但節(jié)與節(jié)之間可能存在密切的關(guān)系，教學(xué)時(shí)我們可根據(jù)實(shí)際情況，將不同節(jié)之間的知識進(jìn)行串通，讓數(shù)學(xué)知識真正成為一個(gè)單元，而不是孤立存在的.

總之， 大單元教學(xué)并不是空洞的理念，而是教學(xué)設(shè)計(jì)中要將教材中每一個(gè)數(shù)學(xué)知識點(diǎn)融入到相應(yīng)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)體系中去，這樣才體現(xiàn)出“大單元”的思想，為此，教師在備課時(shí)必須要有深度，事實(shí)上，大單元教學(xué)就是深度教學(xué)的一種有力體現(xiàn).