貫徹新課程理念促學(xué)習(xí)能力提升

陸雨軒

數(shù)學(xué)教學(xué)既要關(guān)注知識(shí)的掌握，又要強(qiáng)調(diào)能力的提升.教學(xué)中，教師應(yīng)結(jié)合教學(xué)實(shí)際設(shè)計(jì)一些探究性活動(dòng)，讓學(xué)生在活動(dòng)中思考，在思考中深化，切實(shí)提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力.不過，在實(shí)際教學(xué)中，為了趕進(jìn)度，很多教師很少提供時(shí)間和空間讓學(xué)生自主探究，大多延續(xù)著“講授＋練習(xí)”的傳統(tǒng)模式，限制了學(xué)生發(fā)展.在教學(xué)“三角函數(shù)誘導(dǎo)公式”時(shí)，筆者以學(xué)生已有認(rèn)知為起點(diǎn)，結(jié)合教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)探究活動(dòng)，讓學(xué)生在探究中理解知識(shí)，發(fā)展數(shù)學(xué)素養(yǎng).

一、教學(xué)過程

1．回顧舊知，引入新課

情境與問題：對稱是圓的重要性質(zhì)之一，這一性質(zhì)在三角函數(shù)中有著重要的應(yīng)用.根據(jù)三角函數(shù)的定義，我們得到了公式一：sin（α+2kπ）=sinα，cos（α+2kπ）=cosα，tan（α+2kπ）=tanα，（其中k∈Z）.也就是說，若角的終邊重合，則其三角函數(shù)值相等.那么除了角的終邊重合外，是否還存在著其他比較特殊的關(guān)系呢？

師生活動(dòng)：教師讓學(xué)生獨(dú)立思考，有了前面的鋪墊，學(xué)生很快想到了“對稱”，于是教師順勢給出今天研究的主題：若角的終邊關(guān)于原點(diǎn)或坐標(biāo)軸對稱，它們的三角函數(shù)值存在怎樣的特殊關(guān)系.

設(shè)計(jì)意圖：通過創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境引導(dǎo)學(xué)生將新知與舊知建立聯(lián)系，為新知探究指引方向，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)信心.在此過程中，教師引導(dǎo)學(xué)生從整體視角思考問題，從而使學(xué)生的思維變得有序化，有利于提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng).

2．自主探究，發(fā)現(xiàn)新知

探究1如圖1，任意角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P1，角β的終邊與單位圓交于點(diǎn)P2，其中P2與P1關(guān)于原點(diǎn)對稱點(diǎn).

（1）角α和角β有什么關(guān)系？

（2）角α和角β的三角函數(shù)值有什么關(guān)系？

教師先讓學(xué)生獨(dú)立思考，然后進(jìn)行適度的引導(dǎo)，接下來呈現(xiàn)學(xué)生的思考過程：

（1）如圖1，根據(jù)圖形對稱性可知β=α+π→β=2kπ+（π+α），k∈Z.結(jié)合三角函數(shù)的定義最終確定，該問題只要研究π+α和α的關(guān)系即可.

（2）設(shè)P1（x1，y1），P2（x2，y2），因?yàn)镻1和P2關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以有x2=－x1，y2=－y1.故sinα=y1，cosα=x1，tanα=y1x1；sin（π+α）=y2，cos（π+α）=x2，tan（π+α）=y2x2，從而得到公式二：sin（π+α）=－sinα，cos（π+α）=－cosα，tan（π+α）=tanα.

這樣通過經(jīng)歷觀察、思考、交流、推導(dǎo)等過程，學(xué)生得到了角α和角β之間的關(guān)系及其所對應(yīng)三角函數(shù)值之間的關(guān)系.在此基礎(chǔ)上，教師可以進(jìn)一步讓學(xué)生思考：公式二中的角α是否對任意角都成立？由此運(yùn)用一般化思想加強(qiáng)公式的理解.

探究2如圖2、圖3， 任意角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P1，P3與P1關(guān)于x軸對稱，P4與P1關(guān)

于y軸對稱，試分析三角函數(shù)之間存在怎樣的關(guān)系？

問題給出后，教師讓學(xué)生獨(dú)立探究，有了前面的探究經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生很快得到了答案，由此自主推導(dǎo)出公式三和公式四，即sin（－α）=－sinα，cos（－α）=sinα，tan（－α）=－tanα；sin（π－α）=sinα，cos（π－α）=－cosα，tan（π－α）=－tanα.

探究3在推導(dǎo)以上公式時(shí)都是運(yùn)用的三角函數(shù)的定義，如果換一個(gè)角度，能否由公式二和公式三推導(dǎo)出公式四呢？

設(shè)計(jì)意圖：教師預(yù)留時(shí)間讓學(xué)生推導(dǎo)驗(yàn)證，探尋公式間的聯(lián)系，為公式的理解與記憶提供幫助.

探究4以上公式有何共同特征嗎？

設(shè)計(jì)意圖：通過經(jīng)歷觀察、討論、歸納等活動(dòng)，讓學(xué)生得到“函數(shù)名不變，符號(hào)看象限”這一共同特征，為公式的理解與應(yīng)用提供便利.

3．運(yùn)用新知，提升素養(yǎng)

例1求下列三角函數(shù)值.（1）sin8π3；（2）tan（－2040°）.

師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立解答，然后呈現(xiàn)解答過程：對于問題（1），sin8π3=sin（2π+2π3）=sin2π3=sin（π－π3）=sinπ3=32；問題（2）可以變形為tan（－2040°）=－tan2040°=－tan（6×360°－120°）=－tan（－120°）=tan120°=tan（180°－60°）=－tan60°=－3.

從教師呈現(xiàn)解題過程后，指導(dǎo)學(xué)生歸納求三角函數(shù)值的一般步驟.（如圖4）

變式求下列三角函數(shù)值.（1）cos225°；（2）sin（－16π3）.

設(shè)計(jì)意圖：通過對例1的探究，求三角函數(shù)值的一般步驟已經(jīng)形成，在此基礎(chǔ)上，通過變式練習(xí)加強(qiáng)對求三角函數(shù)值的一般步驟的理解，提升學(xué)生解題技能.同時(shí)，通過應(yīng)用讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)，求未知角的三角函數(shù)值其實(shí)質(zhì)就是通過誘導(dǎo)公式將其等價(jià)轉(zhuǎn)化為熟悉的銳角，這樣認(rèn)清問題本質(zhì)，即可迎刃而解.

例2化簡cos（180°+α）sin（α+360°）tan（－α－180°）cos（－180°+α）.

師生活動(dòng)：學(xué)生思考可發(fā)現(xiàn)，對于cos（180°+α）和sin（α+360°），可直接應(yīng)用公式化簡，即cos（180°+α）=－cosα，sin（α+360°）=sinα，而tan（－α－180°）和cos（－180°+α）不能直接用公式化簡，需進(jìn)一步轉(zhuǎn)化，如tan（－α－180°）=tan［－（180°+α）］=－tan（180°+α）=－tanα，cos（－180°+α）=cos［－（180°－α）］=cos（180°－α）=－cosα，這樣通過變形逐漸向公式轉(zhuǎn)化，問題迎刃而解.問題獲解后，教師啟發(fā)學(xué)生對解題過程進(jìn)行歸納總結(jié)，形成解題的一般思路，體會(huì)整體思想的應(yīng)用，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng).

變式化簡：（1）sin（－α－180°）cos（－α）sin（－α+180°）；

（2）cos3（－α）sin（2π+α）tan3（－α－π）.

設(shè)計(jì)意圖：通過適度練習(xí)進(jìn)一步鞏固誘導(dǎo)公式，幫助學(xué)生積累豐富的解題經(jīng)驗(yàn)，提升學(xué)生解題技能.

4．課堂小結(jié)，提煉方法

課堂小結(jié)是課堂教學(xué)的重要組成部分，該環(huán)節(jié)教師應(yīng)將主動(dòng)權(quán)交給學(xué)生，先讓學(xué)生獨(dú)立歸納，然后進(jìn)行組內(nèi)交流，接下來呈現(xiàn)各組交流成果，最后對學(xué)生交流結(jié)果進(jìn)行歸納總結(jié)，形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖.

設(shè)計(jì)意圖：教學(xué)中，教師提供時(shí)間和空間讓學(xué)生對本課內(nèi)容進(jìn)行歸納總結(jié)，在深化相關(guān)知識(shí)理解的同時(shí)，提煉研究問題的思想方法，歸納解決問題的一般步驟，建構(gòu)個(gè)體完善的知識(shí)體系.

5．分層作業(yè)，提升能力

在“雙減”政策的推動(dòng)下，教師基于基本學(xué)情設(shè)計(jì)分層作業(yè)，提供時(shí)間讓學(xué)生對所學(xué)內(nèi)容進(jìn)行反思回顧，以此確保“減負(fù)增效”教學(xué)目標(biāo)的順利落實(shí).課末，教師提出這樣的問題：若給定角的終邊關(guān)于直線y=x對稱，那么它們的三角函數(shù)值有什么關(guān)系？

設(shè)計(jì)意圖：作業(yè)作為課堂教學(xué)的延續(xù)，是幫助學(xué)生鞏固本課所學(xué)知識(shí)，檢測教學(xué)效果的重要途徑.教師在設(shè)計(jì)作業(yè)時(shí)要避免簡單的“一刀切”，切實(shí)從教學(xué)實(shí)際出發(fā)，設(shè)計(jì)符合本班實(shí)際學(xué)情的作業(yè).課后思考題的設(shè)計(jì)，是本課內(nèi)容的一個(gè)延伸和拓展，啟發(fā)學(xué)生從整體的角度去思考問題，建構(gòu)知識(shí)體系，提升數(shù)學(xué)思維能力.

二、教學(xué)思考

1．認(rèn)真研究教材，準(zhǔn)確把握教材設(shè)計(jì)意圖

在本課教學(xué)中，認(rèn)真研究教材不難發(fā)現(xiàn)，教材中突出了單位圓的作用，利用圓的對稱性來研究三角函數(shù)的對稱性.基于此，教師以對稱性為主線，引導(dǎo)學(xué)生分別探究兩個(gè)角的終邊關(guān)于原點(diǎn)對稱、關(guān)于坐標(biāo)軸對稱會(huì)得到怎樣的關(guān)系，由此自然得到相應(yīng)的誘導(dǎo)公式.這樣利用圓的對稱性研究三角函數(shù)的對稱性，使誘導(dǎo)公式變得更加直觀化、形象化，有利于學(xué)生理解和記憶.

2．創(chuàng)設(shè)有效情境，激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)探究積極性

高中數(shù)學(xué)是比較抽象且復(fù)雜的，教師在教學(xué)中應(yīng)重視創(chuàng)設(shè)有效的教學(xué)情境，進(jìn)而將抽象的、復(fù)雜的知識(shí)向直觀化、簡單化轉(zhuǎn)化，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)積極性.如在推導(dǎo)公式二時(shí)，通過創(chuàng)設(shè)情境引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究性學(xué)習(xí)，這樣不僅提高了課堂效率，而且促進(jìn)了學(xué)生自主探究能力的發(fā)展和提升.

3．鼓勵(lì)合作交流，培養(yǎng)學(xué)生自主探究能力

本章涉及的公式眾多，若不能認(rèn)清其本質(zhì)，僅靠死記硬背，將很難到達(dá)預(yù)期效果.因此，在實(shí)際教學(xué)中，教師應(yīng)結(jié)合教學(xué)實(shí)際創(chuàng)設(shè)一些探究性活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)生成過程，以此促進(jìn)知識(shí)的理解，培養(yǎng)學(xué)生自主探究能力.

4．滲透數(shù)學(xué)思想，提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)教學(xué)是精髓，其貫穿于數(shù)學(xué)教學(xué)的始終.例如在本課教學(xué)中，滲透了數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化化歸、類比歸納、特殊與一般等思想方法.在實(shí)際教學(xué)中，教師要有意識(shí)地進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法的滲透，以此揭示數(shù)學(xué)的本質(zhì)，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).