“相交線與平行線”要點(diǎn)精析

楊文金

要學(xué)好“相交線與平行線”，就 要掌握住其要點(diǎn).請(qǐng)看楊老師給我 們帶來的要點(diǎn)精析。

要點(diǎn)一：垂線

如果兩條相交直線所成的四個(gè)角中的任意一個(gè)角是直角，那么這兩條直線互相垂直.其中一條直線叫作另一條直線的垂線，交點(diǎn)叫作垂足.

注意事項(xiàng)：（1）兩線段垂直，兩射線垂直，線段與射線垂直，均是指它們所在的直線互相垂直.

（2）在同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直.

（3）兩條直線互相垂直，則它們所形成的四個(gè)角均為直角.

（4）在同一平面內(nèi)，如果一條直線與兩條平行線中的一條直線垂直，那么這條直線也與另一條直線垂直.

（5）連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短.

（6）垂線是一條直線，而垂線段是一條線段.

例1（2023年雅安）如圖1，AB//CD，AC丄BC于點(diǎn)C.若∠1=65°，則∠2的大小為（ ?）

A.65°

B.25°

C.35°

D.45°

分析：先根據(jù)“兩直線平行，同旁內(nèi)角 互補(bǔ)”可得∠ACD的度數(shù)，再根據(jù)垂直的定義可得∠ACB=90°，然后根據(jù)∠2=LCD-∠ACB即可得出答案.

解：因?yàn)锳B∥CD，L1=65°，所以人ACD= 180°-65°=115°.

因?yàn)锳C丄BC，所以°ACB=90°，2=∠ACD-∠ACB=115 -90° =25°。故選B.

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行線的性質(zhì)以及垂 線的定義，熟知“兩直線平行，同旁內(nèi)角互 補(bǔ)”是解本題的關(guān)鍵.

要點(diǎn)二：相交線形成的角

兩個(gè)角有一條公共邊，它們的另一邊互 為反向延長(zhǎng)線，具有這種位置關(guān)系的兩個(gè) 角，互為鄰補(bǔ)角.兩個(gè)角有一個(gè)公共頂點(diǎn)，并 且一個(gè)角的兩邊分別是另一個(gè)角的兩邊的 反向延長(zhǎng)線，具有這種位置關(guān)系的兩個(gè)角， 互為對(duì)頂角.

兩條直線被第三條直線所截，構(gòu)成八個(gè) 角，我們看那些沒有公共頂點(diǎn)的兩個(gè)角的關(guān) 系.兩個(gè)角在截線的同旁，且分別在被截兩 條直線同側(cè)，具有這種位置關(guān)系的一對(duì)角 叫作同位角.如下頁圖2中的∠1和∠5.

兩個(gè)角分別在截線的兩 側(cè)，且夾在兩條被截直線之 間，具有這種位置關(guān)系的一對(duì) 角叫作內(nèi)錯(cuò)角.如圖2中的∠3 和∠5.

兩個(gè)角在截線的同旁，且在兩條被截直 線之間，具有這種位置關(guān)系的一對(duì)角叫作同 旁內(nèi)角.如圖2中的人3和人6.

注意事項(xiàng)：

（1）對(duì)頂角是成對(duì)出現(xiàn)的，對(duì)頂角是具 有特殊位置關(guān)系的兩個(gè)角.

（2）如果人a與人β是對(duì)頂角，那么一定 有∠a=∠β；如果∠a=∠β，那么∠a與∠β不一定是對(duì)頂角.

（3）如果人a與人β互為鄰補(bǔ)角，那么一 定有∠a+∠β=180°；如果∠a+∠β=180°，那么∠a與∠β不一定是鄰補(bǔ)角.

（4）兩直線相交形成的四個(gè)角中，每一 個(gè)角的鄰補(bǔ)角有兩個(gè)，其對(duì)頂角只有一個(gè).

（5）兩條直線被第三條直線所截而形成 的八個(gè)角中，有四對(duì)同位角，兩對(duì)內(nèi)錯(cuò)角，兩 對(duì)同旁內(nèi)角.

例2（2023年湘西） 已知直線a∥b，將一塊直 角三角尺按如圖3所示的 方式擺放.若∠1=40°，則 ∠2的大小是（ ?）.

A.40°

B.50°

C.14°

D.15°

分析：由a/∥b，人1=40°，得3=40°，進(jìn) 而得到∠2的大小.

解：因?yàn)閍∥b，人1=40°，所以人3=人1= 40°.因?yàn)槿?+人2=180°，所以人2=180-40°=140°.故選C.

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查平行線的性質(zhì)和鄰 補(bǔ)角的性質(zhì)，掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

要點(diǎn)三：平行線

在同一平面內(nèi)，不重合且不相交的兩條 直線叫作平行線，平行用符號(hào)“∥”表示.

判斷同一平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系 時(shí)，可以根據(jù)它們的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)來確定：

①有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，兩條直線相交； ②無公共點(diǎn)，兩條直線平行；

③有兩個(gè)或兩個(gè)以上公共點(diǎn)，兩條直線 重合.

注意事項(xiàng)：

（1）經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直 線與這條直線平行.

（2）如果兩條直線都與第三條直線平 行，那么這兩條直線也互相平行.

（3）兩直線平行，同位角相等，內(nèi)錯(cuò)角相 等，同旁內(nèi)角互補(bǔ).

（4）兩條直線被第三條直線所截，如果 同位角相等，那么這兩條直線平行；兩條直 線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯(cuò)角相等，那 么這兩條直線平行；兩條直線被第三條直線 所截，如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么這兩條直線平行.

例3（2023年煙臺(tái)）一桿古秤在稱物時(shí)的 狀態(tài)如圖4所示，已知 ∠1=102°，則∠2的大小為________

分析：根據(jù)“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相 等”即可求解.

解：如圖4所示，依題意，知AB∥DC，故∠2=∠BCD。因?yàn)椤螧CD+∠1=180°，∠1=102°，所以∠BCD=180-∠1=78°，故∠2=78°.

故應(yīng)填“78°”.

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行線的性質(zhì)，熟練 掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.