案例討論式教學(xué)在力學(xué)課程中的探索

李十泉 孟瑋

摘?要：在土木工程專業(yè)力學(xué)課程教學(xué)中，探討了“空手劈磚”案例的不同工況及力學(xué)知識(shí)。由學(xué)生分組開展分析與討論，形成3種工況，并明確了相應(yīng)的力學(xué)模型。在不同工況下，開展了磚的結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖、內(nèi)力分析、影響因素、危險(xiǎn)截面、應(yīng)力分析和動(dòng)力分析。隨著課程的逐步推進(jìn)，學(xué)生逐步運(yùn)用所學(xué)知識(shí)開展討論，并分析了相關(guān)的力學(xué)現(xiàn)象。分析結(jié)果表明，工況3的效果最好，劈磚荷載約為608N，與相關(guān)文獻(xiàn)吻合。該討論式案例的引入調(diào)動(dòng)了學(xué)生的興趣，促進(jìn)學(xué)生的思考、討論、建模、分析和交流總結(jié)的能力，提升了課程的教學(xué)效果。

關(guān)鍵詞：討論式教學(xué)；案例教學(xué)；工況分析；力學(xué)模型；力學(xué)課程

中圖分類號(hào)：G642.0??文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

Abstract：In?the?teaching?of?mechanics?course?of?civil?engineering?specialty，different?working?conditions?and?relevant?mechanics?knowledge?of?"Cracking?Bricks?by?Empty?Hands"?were?discussed.After?analysis?and?discussion?by?students，three?kinds?of?working?conditions?were?formed，and?the?corresponding?mechanical?models?were?clarified.The?structure?diagram，internal?force?analysis，influencing?factors，dangerous?section，stress?analysis?and?dynamic?analysis?of?bricks?were?analyzed?under?different?working?conditions.The?analysis?results?show?that?working?condition?3?has?the?best?effect，and?the?splitting?load?is?about?608N，which?is?consistent?with?the?relevant?literature.The?introduction?of?the?discussion?case?aroused?students'?interest，promoted?students'?ability?of?thinking，discussion，modeling，analysis?and?communication?summary，and?improved?the?effect?of?mechanics?course.

Keywords：discussion?teaching；case?teaching；working?condition?analysis；mechanical?model；mechanics?courses

我校土木工程專業(yè)的力學(xué)課程包括理論力學(xué)、材料力學(xué)、結(jié)構(gòu)力學(xué)等，工程管理專業(yè)、土木工程（轉(zhuǎn)本）和工程管理（轉(zhuǎn)本）專業(yè)均開設(shè)工程力學(xué)課程。理論力學(xué)、材料力學(xué)、工程力學(xué)均屬“基礎(chǔ)力學(xué)”范疇。相關(guān)力學(xué)課程的教學(xué)，對(duì)學(xué)生邏輯思維、專業(yè)能力、建模分析能力和科學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)十分關(guān)鍵，也是相關(guān)專業(yè)教學(xué)中的重點(diǎn)。可基于“基礎(chǔ)力學(xué)”或“力學(xué)課程群”角度，對(duì)相關(guān)力學(xué)課程開展教學(xué)探索。

“空手劈磚”表演展現(xiàn)了技巧和力量，觀者震撼。該表演中有何力學(xué)技巧？相關(guān)力學(xué)課程的知識(shí)點(diǎn)包括：工況分析、模型建立、得到結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖、靜力分析、截面幾何性質(zhì)、應(yīng)力計(jì)算、應(yīng)力分析、強(qiáng)度理論、運(yùn)動(dòng)分析、動(dòng)力分析、沖擊荷載、動(dòng)載效應(yīng)等。

在力學(xué)課程中，由學(xué)生分組討論，引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)、思、辨、論中學(xué)習(xí)，運(yùn)用力學(xué)知識(shí)，開展分析與討論，掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，提升教學(xué)效果。本文是我校學(xué)生在工程力學(xué)課程中對(duì)該案例開展討論及課程實(shí)施的小結(jié)。

1?集體討論

若使用道具磚、劣質(zhì)磚，其強(qiáng)度過(guò)低，不進(jìn)行討論。多數(shù)表演者使用燒結(jié)普通磚［1］或蒸壓灰砂磚［2］（簡(jiǎn)稱“磚”，尺寸為240mm×115mm×53mm），其強(qiáng)度較高。雖表演者力量較大，但要表演成功，仍屬不易。

在課程教學(xué)中，以磚為分析對(duì)象，由分組后的學(xué)生，結(jié)合教學(xué)進(jìn)度，分析磚在劈磚表演中各階段的受力情況［3］、應(yīng)力分析及斷裂條件［4］，探討空手劈磚的技巧。

2?分組討論及工況分析

針對(duì)“空手劈磚”開展分析時(shí)，首先要明確不同工況及其相應(yīng)力學(xué)模型。學(xué)生討論、整理、歸納得到工況：（1）簡(jiǎn)支；（2）懸挑；（3）一端抬升再劈磚。空手劈磚實(shí)際為沖擊作用，在課程教學(xué)之初，先按靜力模型分析，后續(xù)教學(xué)中考慮動(dòng)力效應(yīng)。需要明確的是：磚為脆性，其抗拉強(qiáng)度遠(yuǎn)低于抗壓強(qiáng)度，故其最終因抗拉強(qiáng)度不足而脆裂。

分組與規(guī)則：（1）每個(gè)教學(xué)班的學(xué)生隨機(jī)分為3組，抽簽決定各自分析的工況；（2）每組輪流選派5人，每周在課上PPT匯報(bào)1次，匯報(bào)時(shí)間3分鐘；（3）其他兩組各提出1個(gè)問(wèn)題并立即回答，共2分鐘；（4）小組的課外討論不進(jìn)行限制。

在實(shí)施過(guò)程中，各小組結(jié)合各自工況建立相應(yīng)的力學(xué)模型，得到結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖、內(nèi)力圖；再明確危險(xiǎn)截面、危險(xiǎn)點(diǎn)；結(jié)合危險(xiǎn)點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，開展單元體應(yīng)力分析，明確主應(yīng)力及其方向；最終得到不同工況下磚是破壞條件和因素。

2.1?第一組：簡(jiǎn)支工況

圖1（a）中，磚置于間距為L(zhǎng)的固定面。劈磚作用力F距左側(cè)支座為a，距右側(cè)支座為c，即L=a+c。相應(yīng)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖見(jiàn)圖1（b），內(nèi)力圖見(jiàn)圖1（c）和圖1（d）。

此時(shí)，磚的下側(cè)受拉。取危險(xiǎn)截面的下邊緣點(diǎn)A處的應(yīng)力單元體，如圖1（e）。點(diǎn)A處正應(yīng)力、切應(yīng)力依次為：

σx=MWz（1）

τxy=FsSzIzb（2）

據(jù)第一強(qiáng)度理論，磚斷裂時(shí)，點(diǎn)A處：

σ1=σx2+σ2x4+τxy2σt（3）

要使主應(yīng)力σ1盡量大，可從以下考慮：

2.1.1?截面選擇

磚的抗彎截面系數(shù)W為：

W=bh26（4）

若磚橫放，W1=5.4×104mm3；若磚縱放，W2=1.2×105mm3。故，橫放時(shí)，磚更易斷。

2.1.2?彎矩和正應(yīng)力

當(dāng)且僅當(dāng)a=c=L2時(shí)，截面彎矩有最大值Mmax=FL4。據(jù)式（1）（2），有：

τxyσx=0.19（5）

將式（5）代入式（3），得：σ1=1.031σx?？梢?jiàn)，τxy對(duì)主應(yīng)力的影響遠(yuǎn)小于σx。F在跨中時(shí)，σ1最大，磚易斷。

2.2?第二組：懸挑工況

將磚一端按壓在臺(tái)面，一端懸挑，見(jiàn)圖2（a）。其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖和內(nèi)力見(jiàn)圖2（b）（c）和（d）。此時(shí)，各截面剪力相等；最大彎矩處截面為危險(xiǎn)截面。危險(xiǎn)截面的上邊緣點(diǎn)B為危險(xiǎn)點(diǎn)，其應(yīng)力見(jiàn)圖2（e）。

當(dāng)σ1達(dá)［σt］時(shí)，磚斷裂。磚橫放時(shí)，要使σ1盡可能大，彎矩應(yīng)盡量大。點(diǎn)B所在截面彎矩Mmax=FL，剪力也同時(shí)取得最大值Fs，max。此時(shí)，據(jù)式（1）（2）得σx=6Fcbh2，τxy=3Fs2bh。據(jù)式（3），因切應(yīng)力不變，故正應(yīng)力最大時(shí)（即c=L時(shí)），主應(yīng)力達(dá)最大。即選擇遠(yuǎn)端為劈磚位置，磚更易斷。

2.3?第三組：“一端抬升再劈磚”工況

磚一端擱置在固定面上，一端懸挑，并在劈磚前抬升小角度θ，見(jiàn)圖3（a）。F的作用點(diǎn)距離左側(cè)自由端距離為a，距離右側(cè)支座距離為L(zhǎng)2，支承區(qū)長(zhǎng)度為L(zhǎng)1，力學(xué)模型見(jiàn)圖3（b），L=a+L1+L2。

磚繞O點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量見(jiàn)（6）式：

J=mL23（6）

據(jù)動(dòng)量矩定理，得：

M=F（L1+L2）=Jd2θdt2=Jα（7）

式（7）兩側(cè)積分，得：

Mt=Jdθdt=Jω（8）

式（8）積分后求解得：

t=2JθM（9）

代入（8）得：

ω=2MθJ（10）

沿磚長(zhǎng)度方向，質(zhì)點(diǎn)線速度可表達(dá)為：

v=ωx（11）

式中，x為質(zhì)點(diǎn)與點(diǎn)O的距離。假設(shè)磚底面與桌面的接觸時(shí)長(zhǎng)為Δt，因此產(chǎn)生的加速度a=vΔt=ωxΔt。假設(shè)磚與桌面接觸瞬時(shí)停止繞點(diǎn)O的轉(zhuǎn)動(dòng)，受到桌面的分布支持力q，其合力Fq可近似表達(dá)為：

Fq=ma質(zhì)心=mωL2Δt（12）

桌邊接觸點(diǎn)D的彎矩為：

MD=FL2+FqL′1（13）

式中，L1′是Fq與接觸點(diǎn)D的距離。將式（12）代入式（13），得：

MD=FL2+mωLL1′2Δt（14）

據(jù)（1）式得：

Mmax=σtW（15）

當(dāng)MD達(dá)Mmax時(shí)，磚將開裂。故在L1不變時(shí)，應(yīng)增大L2。

2.4?工況3的計(jì)算與分析

忽略橫截面切應(yīng)力τxy的影響，結(jié)合規(guī)范［1］，取其抗拉強(qiáng)度允許值［σt］為2MPa，L為240mm，L1為50mm，L2為150mm；L1′近似取L1的一半，為25mm；磚質(zhì)量取2.5kg；θ取10°；Δt取0.05秒，將以上參數(shù)代入式（1）（3）（4）（6）（7），取式（14）（15）相等，得磚開裂時(shí)F約為608N。文獻(xiàn)［5］估算結(jié)果與本文的工況3相吻合。但文獻(xiàn)［5］以磚的抗壓強(qiáng)度作為強(qiáng)度驗(yàn)算的依據(jù)，明顯有誤。

3?集體分析——?jiǎng)虞d效應(yīng)

在完成分組匯報(bào)之后，課程教師引導(dǎo)班級(jí)學(xué)生總結(jié)。以上討論中，存在多處近似處理和假設(shè)，準(zhǔn)靜態(tài)分析是便于“靜力學(xué)”部分知識(shí)的運(yùn)用。但空手劈磚的過(guò)程實(shí)際是力在短時(shí)間內(nèi)沖擊荷載作用過(guò)程。在“動(dòng)荷載”部分，沖擊作用下的動(dòng)力因數(shù)［4］Kd為：

Kd=1+1+2hΔst（16）

式中，h為自由沖擊體與磚上表面間的落差；Δst為沖擊荷載作為靜荷載作用于磚上時(shí)，作用點(diǎn)的豎向線位移。

式（14）可理解為將靜荷載的作用效應(yīng)進(jìn)行了放大。基于式（16），要提高Kd，有以下途徑：（1）表演者應(yīng)盡量將手抬高，增大h；（2）表演者應(yīng)盡量將磚按緊于約束面上，減小Δst。否則，易導(dǎo)致表演失敗。

而實(shí)際上，h為自由沖擊體與磚上表面間的落差，并不是空手劈磚中的手掌高度。那其間差距如何考慮呢？有學(xué)生給出了自己的理解。

式（16）是基于自由落體質(zhì)的解答。而空手劈磚時(shí)，“手”的加速度不同于重力加速度，式（16）可修正為：

Kd=1+1+2h′Δst（17）

式中，h′為等效沖擊高度，由表演者的臨場(chǎng)發(fā)揮（發(fā)力過(guò)程中的等效加速度）決定。

4?小結(jié)

在力學(xué)課程中探索了基于案例分析的討論式教學(xué)，取得了一定的教學(xué)效果，課外競(jìng)賽成績(jī)有提升，獲得學(xué)校教務(wù)處的肯定。近年來(lái)，我校學(xué)生參加力學(xué)類競(jìng)賽的成績(jī)逐步上升，獲江蘇省力學(xué)創(chuàng)新創(chuàng)意競(jìng)賽特等獎(jiǎng)2項(xiàng)、一等獎(jiǎng)3、二等獎(jiǎng)7項(xiàng)；江蘇省周培源大學(xué)生力學(xué)競(jìng)賽個(gè)人一等獎(jiǎng)1項(xiàng)、個(gè)人二等獎(jiǎng)7項(xiàng)，團(tuán)體二等獎(jiǎng)1項(xiàng)；國(guó)際大學(xué)生工程力學(xué)競(jìng)賽（亞洲區(qū)）二等獎(jiǎng)1項(xiàng)。

本文所介紹的討論式教學(xué)案例，涉及知識(shí)點(diǎn)有靜力學(xué)、運(yùn)動(dòng)學(xué)、動(dòng)力學(xué)、作內(nèi)力圖、截面應(yīng)力分析、強(qiáng)度理論、動(dòng)荷載等，課堂實(shí)施的氣氛熱烈，但應(yīng)控制好時(shí)間。主要結(jié)論如下：

（1）在課程教學(xué)之初，提出典型案例。結(jié)合力學(xué)課程的教學(xué)過(guò)程，逐步分析影響因素及課程知識(shí)點(diǎn)，從討論中調(diào)動(dòng)了學(xué)習(xí)積極性，明確課程中所學(xué)知識(shí)的運(yùn)用。學(xué)生在學(xué)、思、辨、論中，能體驗(yàn)到理論知識(shí)的實(shí)用性。

（2）課外討論、課堂交流的案例討論式教學(xué)探索對(duì)基礎(chǔ)力學(xué)課程的學(xué)習(xí)氛圍和課堂效果有明顯提升，但其對(duì)專業(yè)能力培養(yǎng)目的標(biāo)達(dá)成度如何，有待進(jìn)一步評(píng)價(jià)。

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項(xiàng)目：南京理工大學(xué)泰州科技學(xué)院教育教學(xué)改革研究項(xiàng)目（YJG2016B12）；江蘇省青藍(lán)工程“優(yōu)秀青年骨干教師”（2022）

作者簡(jiǎn)介：李十泉（1985—?），男，漢族，江蘇如東人，碩士，副教授，主要從事工程力學(xué)的教學(xué)與研究。