結(jié)合地域特色的高等數(shù)學(xué)教學(xué)案例

摘?要：近年來，結(jié)合地域特色進(jìn)行教學(xué)設(shè)計的想法逐漸興起，但專門針對高等數(shù)學(xué)課程的此類研究很少。本文討論了結(jié)合地域特色進(jìn)行高等數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計的意義及優(yōu)勢。結(jié)合高等數(shù)學(xué)中的函數(shù)、極限、導(dǎo)數(shù)、定積分和解析幾何給出了帶有天津特色的具體題目。最后結(jié)合所給案例進(jìn)一步分析了地域特色對教學(xué)效果的促進(jìn)作用，并給出了本文案例設(shè)計思想在其他省市的拓展思路。

關(guān)鍵詞：高等數(shù)學(xué)；地域特色；教學(xué)案例

高等數(shù)學(xué)是一門理論性較強的課程，其教學(xué)內(nèi)容是實際問題高度提煉后的結(jié)果，為了更好地實現(xiàn)育人效果，本文以天津市為例，給出結(jié)合地域特色設(shè)計高等數(shù)學(xué)案例的方法，以此拉近學(xué)生距離，理論聯(lián)系實際的過程更加順暢。

一、結(jié)合地域特色進(jìn)行高等數(shù)學(xué)案例設(shè)計的優(yōu)勢

地域文化是中華文化的重要組成部分，具有重要的思想教育價值。天津擁有復(fù)雜的歷史，蘊含著大量獨具特色的文化資源，承載著深厚的傳統(tǒng)基因，它們在培育民族特色社會主義文化自信方面發(fā)揮著重要作用。在實際教學(xué)中，高等數(shù)學(xué)的理論授課內(nèi)容過于抽象，要想更好地吸引學(xué)生的注意力，需要在授課過程穿插一些實際案例，既能提升教學(xué)效果，又能體現(xiàn)數(shù)學(xué)的實際應(yīng)用。另一方面，受課時等多種因素影響，為了保證課堂效果，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)理論的同時能夠有足夠時間進(jìn)行題目練習(xí)，可能會擠壓具體案例的講解時間，因此需要優(yōu)化案例的選取及其切入方法。結(jié)合地域特色進(jìn)行教學(xué)案例的設(shè)計，可以更快速地引起學(xué)生的興趣，拉近學(xué)生與課程內(nèi)容的距離，使學(xué)生更真切地感受到數(shù)學(xué)的價值。

二、結(jié)合地域特色的高等數(shù)學(xué)教學(xué)案例

本節(jié)以天津市為例，結(jié)合高等數(shù)學(xué)課程不同章節(jié)知識點，給出幾個結(jié)合天津地域特色的高等數(shù)學(xué)教學(xué)案例。

（一）函數(shù)表示與空氣質(zhì)量

在高等數(shù)學(xué)中，函數(shù)的概念有兩個基本要素——定義域和法則，因此函數(shù)本質(zhì)上是一個非常寬泛的概念，并不局限于y=f（x）這種表達(dá)式的形式。通過函數(shù)定義的教學(xué)，除了讓學(xué)生掌握基本的概念和性質(zhì)外，還應(yīng)讓學(xué)生意識到函數(shù)不僅是數(shù)學(xué)中的概念，要把它看成一種工具，它可以不只作用于抽象的變量x，還可以以表格、圖像等形式體現(xiàn)，甚至可以直接將實際生活中的某些數(shù)據(jù)看成一種函數(shù)。因此，可以在函數(shù)概念這一小節(jié)引入帶有地域特色的實際案例，體現(xiàn)函數(shù)的另一種呈現(xiàn)方式。

例1：天津市近年來在環(huán)保方面采取了一系列舉措來改善環(huán)境質(zhì)量。例如在減排治污方面，天津市加大了大氣污染治理力度，通過推行清潔能源、減少高污染車輛、加強工業(yè)排放管理等措施，有效降低了大氣污染物排放量。在多方面的努力下，天津市近幾年的PM2.5年均濃度如下表，可以看出天津市的空氣質(zhì)量在近幾年持續(xù)提升，說明現(xiàn)行的減排治污方案是有效果的。

上表中的數(shù)據(jù)也可以看作一個自變量為時間，因變量為PM2.5年均濃度的一個函數(shù)，其定義域可看作是D={2017，2018，2019，2020，2021，2022}，對應(yīng)法則就是不同年份測量出的數(shù)據(jù)，如規(guī)定f（2017）=62等，這樣也可以是一種函數(shù)的表現(xiàn)形式，在數(shù)學(xué)中還可以以這種函數(shù)為基礎(chǔ)，對后續(xù)年份的空氣質(zhì)量進(jìn)行預(yù)測。

本案例將天津市的環(huán)保成效與函數(shù)表示相結(jié)合，既體現(xiàn)了函數(shù)表示形式的多樣性，讓學(xué)生更深入理解函數(shù)的思想，又反映了函數(shù)思想在實際生活中的廣泛應(yīng)用，對于學(xué)生后續(xù)課程的學(xué)習(xí)有很大的激勵作用。

（二）極限與垃圾處理

極限思想是微積分整個學(xué)科的基礎(chǔ)，其定義的完善促進(jìn)了第二次數(shù)學(xué)危機的解除，微積分中的導(dǎo)數(shù)和積分的概念都是極限形式體現(xiàn)的，因此極限是微積分的重要研究對象。在學(xué)習(xí)極限時，同學(xué)們具有高中階段的學(xué)習(xí)背景，對極限的運算等有一定的了解，但對于極限的內(nèi)涵和實踐應(yīng)用理解得并不深入，因此，在高等數(shù)學(xué)階段，對學(xué)生的教育目標(biāo)會從為了應(yīng)試，向培養(yǎng)思維方面傾斜，這就更需要引入一些貼近學(xué)生生活的教學(xué)案例，帶動學(xué)生思考。下面給出一個以城市垃圾處理為背景的極限問題設(shè)計思路。

例2：根據(jù)官方給出的數(shù)據(jù)可知，2022年天津市全年生活垃圾產(chǎn)生量432萬噸?，F(xiàn)假設(shè)城市當(dāng)前待處理垃圾總量為A，未來每年新增生活垃圾產(chǎn)量和2022年一致，城市每年可處理上一年堆積垃圾的80%，那長此以往，天津市的垃圾能否被完全處理完？

針對上面的問題，2022年末若待處理垃圾量為A0，則按照上述假設(shè)；2023年末待處理垃圾量為A1=A0（1-80%）+432；2024年末待處理垃圾A2=A1（1-80%）+432=0.22A+0.2×432+432；以此類推，n年后，城市待處理垃圾為An=0.2nA+432（0.2n-1+0.2n-2+…+0.2+1）。這里An包括兩個部分，第一部分在n→∞時趨近于0，第二部分是一個公比q=0.2<1的等比數(shù)列求和，在n→∞時有極限，通過計算可得An→432/（1-0.2）=540萬噸。

按照上述假設(shè)，可以得到若干年后，城市垃圾總量并不會減少至0，也不會增加至無限大，而是受垃圾增長速度和垃圾處理能力影響，而穩(wěn)定在一個固定值。另外這個固定值和城市最初的垃圾積累量無關(guān)，減少垃圾產(chǎn)生量，提高垃圾處理能力才是問題的關(guān)鍵，這種現(xiàn)象與一些同學(xué)最初的設(shè)想可能并不一致，這也正是極限的魅力，不管基數(shù)有多大，只要趨勢是趨于0的，那經(jīng)過足夠長時間的演化，就能變得很小，直至無限小。

極限思想是抽象的，但極限的應(yīng)用是豐富的。類似上述這種以年為單位的迭代過程可以通過極限去預(yù)測按當(dāng)前形勢保持不變，未來會如何發(fā)展，這種應(yīng)用不止存在于垃圾處理上，還可應(yīng)用于傳染病發(fā)展、人口增長等方面。但是如果單純以人口增長為例，難免有些空洞，學(xué)生會感覺這種舉例更像是應(yīng)用題，依舊停留在書本上的內(nèi)容，將地域特色引入進(jìn)來既能引起學(xué)生興趣，又能增加說服力，讓學(xué)生受教育的同時以實際為背景列式并求解極限值，加深了知識點的印象，做到學(xué)以致用。

（三）導(dǎo)數(shù)應(yīng)用與大沽口炮臺

導(dǎo)數(shù)是微積分中的一個重要概念，具有非常豐富的實際應(yīng)用，最常見也是學(xué)生最容易理解的就是用來描述變速運動的速度和加速度。另外，導(dǎo)數(shù)可以用來解決函數(shù)的極值和最值問題，這使得它可以應(yīng)用于很多實踐中的最優(yōu)化問題。在講解導(dǎo)數(shù)時，如果只是引用基本的抽象的變速直線運動的例子，不容易引起學(xué)生的興趣，學(xué)生也沒有熟悉感，因此可以在學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)應(yīng)用時，以天津市的大沽口炮臺為例，讓學(xué)生通過題目分析最大射程與發(fā)射角度的聯(lián)系。

例3：天津的大沽口炮臺作為歷史悠久的早期炮臺，其設(shè)計并不完美。在忽略空氣阻力的影響時，炮彈的發(fā)射軌跡有其數(shù)學(xué)規(guī)律，若炮彈以初始速度v，初始角度θ發(fā)射，它的水平方向速度為vx=vcosθ，垂直方向速度為vy=vsinθ，又受重力加速度影響，炮彈運行時間為t=2vy/g，根據(jù)上述條件討論如何發(fā)射炮彈能使炮彈射程達(dá)到最大值。

綜合以上條件，首先可得炮彈發(fā)射距離為L=2v2sinθcosθ/g。在此基礎(chǔ)上，如果想在初始速度不變的情況下達(dá)到射程最遠(yuǎn)，需要將發(fā)射角度θ作為自變量對射程L進(jìn)行求導(dǎo)，當(dāng)導(dǎo)數(shù)為0時，可解的得θ=45°時射程最遠(yuǎn)。另外，如果希望炮彈能夠命中射程內(nèi)的任意目標(biāo)，可以通過調(diào)整θ值來實現(xiàn)。

通過上面的例子和具體題目，可以引導(dǎo)學(xué)生以實際問題為背景計算出最優(yōu)發(fā)射角度θ，并且借此理解現(xiàn)實生活中經(jīng)常提到的扔?xùn)|西呈45°角扔的最遠(yuǎn)的現(xiàn)象。另外該案例反映出國防科技的重要性和數(shù)學(xué)之于其他理工科目的重要性，讓學(xué)生看到高等數(shù)學(xué)的實踐應(yīng)用，如果不以大沽口炮臺做引，可能學(xué)生會覺得案例空洞，不容易想到炮臺的真實樣貌；或者教師只以拋物線為題目，讓學(xué)生去求極限，即便最終也能得到45°角的最優(yōu)拋物角度，但其過程難免乏味枯燥。而本案例通過天津特色的歷史遺跡，讓學(xué)生真聽真看，真正理解科學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的實踐意義。同一個數(shù)學(xué)結(jié)論可以應(yīng)用于日常拋物，也可以應(yīng)用于軍事領(lǐng)域，這也是數(shù)學(xué)這門極度抽象學(xué)科的意義所在，通過這個案例也可以讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的魅力，提高學(xué)習(xí)興趣。

（四）定積分與治水

高等數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容就是微積分，而微積分分為微分和積分兩大部分。其中微分就是導(dǎo)數(shù)，它用來描述事物的變化速度，微分的逆運算即為積分。在學(xué)生高中時期，對導(dǎo)數(shù)是非常熟悉的，而隨著高等數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的推進(jìn)，積分的出現(xiàn)會讓學(xué)生有很突然的陌生感。在一般授課過程中，定積分經(jīng)常會與求面積、求體積這類問題聯(lián)系到一起，體現(xiàn)出積分的積累效果，但實際上其應(yīng)用不止于此。對于實際中的很多變化過程，如曲線斜率、瞬時速度等都可以用導(dǎo)數(shù)去描述，而反過來，如果一個變化過程能夠采集到他的變化速度，也可以通過求積分來得到總量的變化。下面給出一個以天津市為背景的，不同于體積面積這類數(shù)學(xué)形狀的定積分的應(yīng)用案例。

例4：天津市地處海河下游、九河下梢，人民日常生產(chǎn)活動和河流息息相關(guān)。千百年來，海河兒女通過筑堤防、浚河道、開減河和建閘涵等方式取得了輝煌的治水業(yè)績。天津境內(nèi)的著名水閘，歷史悠久者有九宣閘、馬圈閘（洋閘）、耳閘“三老”；重要的入?？诜莱遍l，有海河防潮閘等。在現(xiàn)代化技術(shù)不斷發(fā)展的今天，對于日常水位的控制離不開各項指標(biāo)的精準(zhǔn)監(jiān)測，若想測量河流排入大海的總水量，直接去獲得流水的總體積是不現(xiàn)實的，那要怎么對該數(shù)據(jù)進(jìn)行計算呢？

針對該問題，可以通過采集水流速去計算瞬時的流量。假設(shè)某段河流的瞬時流速函數(shù)為v（t），可以借此得到瞬時流出函數(shù)Q（t），如果想測量從t1至t2時刻之間經(jīng)過該處的總水量，就可以利用定積分的思想，即總水量為Q（t）函數(shù)在區(qū)間［t1，t2］上的定積分。

上述案例以更貼近學(xué)生生活的形式體現(xiàn)了定積分的豐富應(yīng)用，同時引發(fā)學(xué)生思考，天津的治水工作離不開幕后的專業(yè)技術(shù)人員，他們通過各種科學(xué)的方法實現(xiàn)實時地監(jiān)控數(shù)據(jù)、匯總計算、分析趨勢，保障了我們生活的平穩(wěn)進(jìn)行。數(shù)學(xué)理論及其相關(guān)科技的發(fā)展在實際生活中的一個重要作用就是為保護(hù)人民的生命財產(chǎn)安全提供理論依據(jù)。本案例從地域上讓學(xué)生有熟悉感，學(xué)生在上課時更容易代入進(jìn)去，通過案例進(jìn)行思考，理解定積分的本質(zhì)。

（五）坐標(biāo)系與水滴體育館

解析幾何是高等數(shù)學(xué)課程中的一個重要分支，是一種將函數(shù)、方程等形式與曲面、曲線這類幾何圖形相結(jié)合的學(xué)科。在解析幾何中將數(shù)與形相聯(lián)系的關(guān)鍵工具就是坐標(biāo)系，一般高等數(shù)學(xué)課程中涉及的解析幾何內(nèi)容都是以空間直角坐標(biāo)系為背景進(jìn)行展開的。由于解析幾何這一部分相對比較獨立，很多內(nèi)容也是直接將高中的二維平面中的結(jié)論直接推廣到三維空間，因此這一部分內(nèi)容學(xué)生學(xué)起來相對容易，但是會做題和真正理解并不能完全等同。學(xué)習(xí)解析幾何的重要意義在于培養(yǎng)學(xué)生的空間想象力。例如，空間直角坐標(biāo)系中關(guān)于某個坐標(biāo)軸或坐標(biāo)平面對稱的點，其坐標(biāo)有一定規(guī)律性，學(xué)生按照規(guī)律可以完成相關(guān)題目，但如果不知道規(guī)律，通過空間想象力找到點所在位置，也應(yīng)該能得到正確的結(jié)果，學(xué)生最終的學(xué)習(xí)目標(biāo)就是要這樣“知其然，知其所以然”。

為了讓學(xué)生更好地理解空間直角坐標(biāo)系，可以在授課過程中以天津特有的水滴體育館作為切入點。像水滴體育館這樣的大型建筑工程，一定是通過精確的設(shè)計后才開始動工的，這其中很大一部分工作是通過電腦軟件建模實現(xiàn)的，在電腦軟件中，設(shè)計者們會在軟件中構(gòu)造一個等比例的體育館模型，而這個模型也要滿足各方面的設(shè)計要求及標(biāo)準(zhǔn)，需要精確其多方面的數(shù)據(jù)，在此坐標(biāo)系是必須的工具。這種虛擬的設(shè)計過程，其實就是在軟件中有一個內(nèi)在的空間直角坐標(biāo)系，以這個坐標(biāo)系的各坐標(biāo)軸數(shù)據(jù)作為標(biāo)尺，在設(shè)計中結(jié)合其他方面，如受力分析等，最終逐步完成的。

教師在引入上述案例時，可以展示水滴體育館的三維模型圖片，體現(xiàn)解析幾何在實際生活中的具體應(yīng)用，讓學(xué)生認(rèn)識到提升空間想象力的重要性。相對于其他一般化的案例來說，由于大部分高等數(shù)學(xué)課程設(shè)置中，解析幾何部分屬于大一下半學(xué)期的內(nèi)容，很多同學(xué)可能之前去過水滴體育館，再聽這樣的案例時更容易有畫面感，教師也可以通過網(wǎng)絡(luò)資料的搜集及水滴體育館三維模型的圖片展示，提問學(xué)生，按照這樣的建模方法，設(shè)計者將坐標(biāo)系的原點放在了哪個位置，是體育館的中心還是體育館的一端；如果將體育館地面看作xOy平面，則體育館表面的坐標(biāo)滿足什么特點，處于哪幾個卦線；若體育館對稱軸取在yOz平面方向，則兩側(cè)對稱位置上的點坐標(biāo)有什么規(guī)律等。以一個實際案例為基礎(chǔ)，通過提問，認(rèn)識教科書上的定義，總結(jié)原本教科書上抽象的結(jié)論，活躍課堂氣氛。

三、總結(jié)

本文結(jié)合高等課程具體知識點，給出了五個結(jié)合天津地域特色的高等數(shù)學(xué)教學(xué)案例，這些案例不僅豐富了教學(xué)內(nèi)容，還結(jié)合了地域特色，以比較新穎的角度展示了知識點的應(yīng)用價值，使學(xué)生對知識點的認(rèn)識更加豐富，對知識點的理解更加深入。結(jié)合地域特色實踐案例不再生硬，教師在課堂上如果持續(xù)不斷地輸出知識，學(xué)生會感到疲憊，在此期間如果教師偶然說一些個人經(jīng)歷、自身感悟之類的“題外話”，學(xué)生經(jīng)常會瞬間被吸引。把地域特色融入教學(xué)案例中，使得案例內(nèi)容更接近教師和學(xué)生當(dāng)下的生活，教師可以用類似聊天的形式順利地把知識點的實踐應(yīng)用展示出來，與傳統(tǒng)“應(yīng)用題”相比更生動自然。

本文展示的教學(xué)案例均以作者所在地天津為出發(fā)點，但這些案例也有很大的拓展性。對于函數(shù)表示的案例，各個省市的發(fā)展都伴隨著各項民生方面的數(shù)據(jù)，如地區(qū)生產(chǎn)總值、農(nóng)作物產(chǎn)量、創(chuàng)新成果數(shù)量等，這些都可以看作是函數(shù)的一種表現(xiàn)形式。前文極限部分的案例是從城市垃圾處理的角度引出的，該角度對各個城市都能適用，教師根據(jù)自己所在地的政府公開數(shù)據(jù)，結(jié)合極限的問題背景設(shè)計對應(yīng)的案例即可。在導(dǎo)數(shù)案例中，雖然其他省市沒有大沽口炮臺這樣的遺址，但很多當(dāng)?shù)匕l(fā)展數(shù)據(jù)也可以利用導(dǎo)數(shù)去觀察其變化趨勢，另外我國在投標(biāo)槍和投鉛球等項目上均取得過較為顯著的成績，如果當(dāng)?shù)赜袕氖逻@些領(lǐng)域的代表人物，也可以作為一個出發(fā)點引出投擲角度最優(yōu)的問題。定積分如果在聯(lián)系實際時沒有類似本文的情況，可以從最基礎(chǔ)的面積出發(fā)，校園面積、湖泊面積、著名景點占地面積等，結(jié)合當(dāng)?shù)靥攸c，將定積分與實際地點相結(jié)合，也能形成有當(dāng)?shù)靥厣慕虒W(xué)案例。在解析幾何方面，各地都存在類似體育館等現(xiàn)代特色建筑，這些建筑在設(shè)計之初都是有模型的，都可以作為坐標(biāo)系的一個實踐應(yīng)用去展示。

最后，本文中提到的防汛抗洪案例是以當(dāng)前時事為背景的，更能夠提升案例的真實感。教學(xué)設(shè)計不能拘泥于某個案例不變，要經(jīng)常更新，緊跟當(dāng)下熱點，多了解學(xué)生感興趣的內(nèi)容，才能更好地引起學(xué)生的共鳴。在后續(xù)的研究過程中，作者還將繼續(xù)結(jié)合地域特色擴充高等數(shù)學(xué)教學(xué)案例，同時挖掘其可拓展性。

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課題信息：天津市職業(yè)教育與成人教育學(xué)會、天津職業(yè)院校聯(lián)合學(xué)報課題（XHXB2023B020）

作者簡介：趙文雯（1989—?），女，漢族，天津人，碩士，講師，研究方向：數(shù)學(xué)教育。