一道圓錐曲線壓軸題的探究與推廣

張家港市鳳凰高級(jí)中學(xué)(215000) 姜之聰

南京航空航天大學(xué)蘇州附屬中學(xué)(215000) 李文博

探索性問題歷來倍受高考青睞,它有利于考察學(xué)生的思維品質(zhì)和學(xué)習(xí)潛能;有利于培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的能力和創(chuàng)新意識(shí).一個(gè)探索性問題,往往蘊(yùn)含豐富的數(shù)學(xué)知識(shí)、性質(zhì),常是學(xué)習(xí)者探求一類問題的“窗口”.本文以一道某地高三?？贾械膱A錐曲線壓軸題為例,探究推廣出該類問題的一般性結(jié)論,希望能帶給讀者些許收獲.

1 試題呈現(xiàn),探究問題本質(zhì)

題目已知A,B分別是橢圓=1 的左右頂點(diǎn),過C的右焦點(diǎn)的直線l交C于D,E兩點(diǎn),過點(diǎn)D作直線:x=4 的垂線,垂足為F,直線lEF與C的另一個(gè)交點(diǎn)為G.

(1)直線lEF是否過定點(diǎn)? 若是,則求出該定點(diǎn);若否,則請(qǐng)說明理由;

(2)求直線lAE與直線lBG交點(diǎn)的橫坐標(biāo).

2 縱向推廣,歸納一般結(jié)論

上述試題研究的是橢圓的一種特殊性質(zhì),根據(jù)由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想,可得下述兩條結(jié)論:

圖1

圖2

圖3

圖4

3 試題演練,熟練解題技巧

(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)經(jīng)過點(diǎn)F2的直線l與雙曲線C交于A,B兩點(diǎn),過點(diǎn)A作直線x=2 的垂線,垂足為D,過原點(diǎn)O作OM⊥BD,垂足為M.則在x軸上是否存在定點(diǎn)N,使得|MN|為定值? 若存在,求出點(diǎn)N坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.