主線視角下探析雙曲線漸近線的相關(guān)優(yōu)美性質(zhì)

廣東省惠州仲愷中學(xué)(516229) 陳偉流

自“三新”(新課標(biāo),新教材,新高考)背景的課程改革推進(jìn)實(shí)施以來,高考命題已悄然從能力立意轉(zhuǎn)向以為素養(yǎng)導(dǎo)向,表現(xiàn)為試題深入考查基礎(chǔ)知識(shí)和基本能力,彰顯了國家人才選拔和支持“雙減”落地的顯著特點(diǎn),對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算,邏輯推理,數(shù)學(xué)抽象,直觀想象等核心素養(yǎng)的考查既深入又全面,凸顯了數(shù)學(xué)學(xué)科強(qiáng)大的基礎(chǔ)性作用.具體到解析幾何模塊中,以雙曲線為載體背景的試題已多次現(xiàn)身于高考真題或模擬試題中,有效地打破了以往常規(guī)的命題套路,其中以漸近線為核心考點(diǎn)的試題涵蓋了與距離,中點(diǎn),面積等關(guān)聯(lián)的定值定點(diǎn)問題,既傳承經(jīng)典,又?？汲Ｐ?凸顯了雙曲線區(qū)別于橢圓及拋物線的獨(dú)特魅力,充分考查了學(xué)生問題解決的思維品質(zhì)和思維過程.為此,筆者以雙曲線的漸近線為關(guān)聯(lián)主線,通過探析相關(guān)典型的優(yōu)美性質(zhì),旨在厘清知識(shí)的來龍去脈,明晰其底層邏輯,提升學(xué)生的解題認(rèn)知能力和應(yīng)用能力.

1 性質(zhì)探析

圖1

性質(zhì)2已知不過原點(diǎn)的直線交雙曲線=1(a,b ＞0)于A,B兩點(diǎn),交兩條漸近線于C,D兩點(diǎn),其中A,C恒在同一象限,則恒有|AC|=|BD|.

圖2

設(shè)lAB的方程為x=my+t.因lAB與雙曲線相切,故由①式知

圖3

圖4

圖5

注若兩雙曲線有相同的漸近線且焦點(diǎn)位置相同,因離心率相同,稱二者是相似雙曲線,性質(zhì)5 及性質(zhì)6 則是從本質(zhì)上揭示了相似雙曲線間的一組優(yōu)美性質(zhì).

性質(zhì)7已知直線l1,l2是雙曲線=1(a,b ＞0)的兩條漸近線,動(dòng)直線交l1,l2于A,B兩點(diǎn),過AB的中點(diǎn)M作l1,l2的平行線交雙曲線于C,D兩點(diǎn),則AB//CD.

綜上,AB//CD.

注通過性質(zhì)7 的探索知: 直線AB截雙曲線漸近線所得弦長的中點(diǎn)是決定平行關(guān)系的關(guān)鍵因素,與直線AB是否過定點(diǎn)并無關(guān)聯(lián).

2 應(yīng)用提升

以雙曲線漸近線為核心考點(diǎn)的解析幾何試題涵蓋長度,面積等度量問題及點(diǎn)線關(guān)系等位置問題,綜合考查學(xué)生的運(yùn)算求解,空間想象等關(guān)鍵能力,對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算,邏輯推理,直觀想象等核心素養(yǎng)有較高的導(dǎo)向要求.為此,筆者列舉幾道經(jīng)典模擬試題,供讀者參考借鑒,以期為高考備考提供一定的借鑒.

題1(2023 年湖南岳陽統(tǒng)考三模試題)已知點(diǎn)(1,2)在雙曲線E:=1 (a ＞0,b ＞0) 的漸近線上,點(diǎn)A(-3,2)在E上,直線l交E于B,C兩點(diǎn),直線AB與直線AC的斜率之和為0.

(1)求直線l的斜率;

(2) 若M為雙曲線E上任意一點(diǎn),過點(diǎn)M作雙曲線的兩條漸近線的平行線,分別與兩條漸近線交于點(diǎn)P,Q,求ΔMPQ的面積.

答案(1)直線l的斜率為6;(2)ΔMPQ的面積為4,過程略.

(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2) 設(shè)直線l是曲線C在點(diǎn)P(x0,y0) 處的切線,且l分別交兩條漸近線l1,l2于M,N兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),求ΔMON的面積.

(1)當(dāng)k變化時(shí),求點(diǎn)M的軌跡方程;

(2)若l與雙曲線E的兩條漸近線分別相交于C,D兩點(diǎn),問: 是否存在實(shí)數(shù)k,使得A,B是線段CD的兩個(gè)三等分點(diǎn)? 若存在,求出k的值;若不存在,說明理由.

圖6

3 結(jié)束語

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》(2017 年版2020 年修訂)》在教學(xué)內(nèi)容的設(shè)計(jì)上強(qiáng)調(diào)了三個(gè)關(guān)注理念: 即關(guān)注同一主線內(nèi)容的邏輯關(guān)系,關(guān)注不同主線內(nèi)容間的邏輯關(guān)系,關(guān)注不同數(shù)學(xué)知識(shí)所蘊(yùn)含的通性通法,數(shù)學(xué)思想[2].以雙曲線漸近線的主線思想為例,其內(nèi)容涵蓋了與長度、面積關(guān)聯(lián)的定值定點(diǎn)內(nèi)容及平行,垂直,相切等位置關(guān)系問題,考查了直曲聯(lián)立法,點(diǎn)差法等解析幾何通性通法思想.在漸近線主線視角的光芒下,凝聚其優(yōu)美性質(zhì)的知識(shí)寶庫可謂是博大精深,包羅萬象,所以在一線教學(xué)中,教師要以知識(shí)主線統(tǒng)領(lǐng)的視角審視教學(xué)內(nèi)容,厘清不同知識(shí)在底層邏輯的區(qū)別與聯(lián)系,如此才能為學(xué)生帶來層次分明,亮出突出,聯(lián)系緊密的課堂內(nèi)容,以培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的高階思維和整體認(rèn)知的數(shù)學(xué)觀,促進(jìn)高考備考的提質(zhì)增效[2].