基于問題解決的學(xué)生數(shù)學(xué)計算思維培養(yǎng)策略

劉寧暉 朱哲

摘要：計算思維是明確問題及其解決方案的思維方式。計算思維與數(shù)學(xué)領(lǐng)域的密切關(guān)聯(lián)為計算思維融入數(shù)學(xué)課堂提供了可能。教師應(yīng)以數(shù)學(xué)問題為中心，設(shè)計指向計算思維培養(yǎng)的高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)流程，通過問題發(fā)現(xiàn)、問題分析、問題解決、方法反思與方法總結(jié)五個環(huán)節(jié)，強(qiáng)調(diào)抽象、分解、算法、評價與概括五個思維過程，進(jìn)而落實(shí)計算思維的培養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：計算思維；課堂教學(xué)；高中數(shù)學(xué)

隨著信息化社會的深入發(fā)展與數(shù)字技術(shù)的快速變革，計算思維越來越廣泛地得到關(guān)注。當(dāng)數(shù)字化和計算化逐漸成為現(xiàn)代社會的基本形態(tài)特征，計算思維就會像閱讀、寫作、算數(shù)一樣普及，成為每個合格公民的必備素質(zhì)。計算思維與以數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng)為導(dǎo)向的中學(xué)數(shù)學(xué)教育密切相關(guān)。計算思維應(yīng)當(dāng)作為核心素養(yǎng)的內(nèi)容而走進(jìn)數(shù)學(xué)教育。PISA2021數(shù)學(xué)素養(yǎng)測評框架中首次引入計算思維，標(biāo)志著計算思維開始和數(shù)學(xué)問題解決、數(shù)學(xué)推理共同組成21世紀(jì)的數(shù)學(xué)素養(yǎng)?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下通稱“新課標(biāo)”）在核心素養(yǎng)內(nèi)涵的表述中也首次提到了計算思維，要求學(xué)生“能夠通過計算思維將各種信息簡約和形式化，進(jìn)行問題求解與系統(tǒng)設(shè)計”。計算思維與數(shù)學(xué)教學(xué)的結(jié)合，不僅有助于學(xué)生理解相關(guān)數(shù)學(xué)概念，還對培養(yǎng)學(xué)生的計算思維概念和技能至關(guān)重要。

一、計算思維的概念及其在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的體現(xiàn)

計算思維指的是將現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行量化，轉(zhuǎn)換為可運(yùn)算的問題，進(jìn)而通過計算機(jī)或其他工具進(jìn)行求解。因此，計算思維的本質(zhì)就是用數(shù)學(xué)語言去解決實(shí)際問題。計算思維主要涉及數(shù)學(xué)運(yùn)算，新課標(biāo)中提到，數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的形成需要經(jīng)歷理解運(yùn)算對象、形成運(yùn)算法則、理解算理、選擇和設(shè)計算法、求得運(yùn)算結(jié)果全過程。在這個過程中，教師需要著力培養(yǎng)學(xué)生的歸納與算法思維。在《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》中多次提及算法思想、程序框圖與算法程序，如在利用二分法求方程近似解時，要求學(xué)生探索該方法的思路并會畫程序框圖。在新加入的“數(shù)學(xué)建?；顒优c數(shù)學(xué)探究活動”中，鼓勵學(xué)生采用算法程序等形式呈現(xiàn)研究報告?？梢?，算法作為解決問題的一種工具和手段已經(jīng)融入高中數(shù)學(xué)學(xué)科。數(shù)學(xué)教學(xué)中發(fā)展學(xué)生計算思維關(guān)鍵在于教會其分析、分解、量化問題，再進(jìn)行數(shù)據(jù)分析與處理，進(jìn)而進(jìn)行計算推理。在這一系列的過程中，涵蓋了數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)據(jù)分析等核心素養(yǎng)。計算思維作為一種高階思維，有助于豐富學(xué)生數(shù)學(xué)問題解決手段和工具，促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)內(nèi)容的深度學(xué)習(xí)。計算思維的思維過程構(gòu)成如圖1所示。

通過對計算思維研究成果的歸納可以發(fā)現(xiàn)，計算思維圍繞問題，指向問題解決的過程。而數(shù)學(xué)知識技能的學(xué)習(xí)也是以問題作為載體，這為兩者的有機(jī)融合提供了有利條件。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，問題解決教學(xué)模式一般包括創(chuàng)設(shè)情境、引入問題，分析問題、收集信息，尋找方法、設(shè)計方案，評價方法、得出結(jié)論，應(yīng)用新知、產(chǎn)生遷移。這正好與計算思維所強(qiáng)調(diào)的抽象、分解、算法、評估與概括五個思維過程相匹配。也就是說，以數(shù)學(xué)問題為抓手，將計算思維融入高中數(shù)學(xué)課堂具備可行性。

二、指向計算思維培養(yǎng)的高中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)施流程

依據(jù)前文的分析，結(jié)合問題解決教學(xué)模式的一般流程，筆者嘗試將計算思維有機(jī)融入高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，構(gòu)建指向計算思維培養(yǎng)的教學(xué)實(shí)施流程（見圖2）。教師完成課前準(zhǔn)備，并作為引導(dǎo)者參與課堂教學(xué)。課堂教學(xué)以問題為中心，分為問題發(fā)現(xiàn)、問題分析、問題解決、方法反思與方法總結(jié)五個環(huán)節(jié)，分別對應(yīng)計算思維的五個思維過程。在整個教學(xué)過程中，教師需要根據(jù)課堂反饋及時優(yōu)化、調(diào)整課堂教學(xué)，在計算思維理念指導(dǎo)下，及時糾正學(xué)生出現(xiàn)的認(rèn)知偏差。

（一）課前準(zhǔn)備

課前準(zhǔn)備時，教師需要明確教學(xué)目標(biāo)，根據(jù)教學(xué)目標(biāo)大致擬定課堂教學(xué)活動。同時，教師要對本節(jié)課所需要運(yùn)用的知識進(jìn)行概括梳理，提取核心教學(xué)內(nèi)容，并形成中心、輔助與拓展三類問題。教師要認(rèn)真研讀數(shù)學(xué)教材與新課標(biāo)，明確教材編排與設(shè)計意圖，依據(jù)本堂課的重點(diǎn)設(shè)置若干個中心問題。中心問題需指向課堂教學(xué)的核心內(nèi)容，其設(shè)置應(yīng)有利于學(xué)生明確研究方向，有利于學(xué)生對知識的整體把握。輔助問題是解決中心問題的基礎(chǔ)，是將中心問題進(jìn)一步分解后所產(chǎn)生的鋪墊性問題。輔助問題的設(shè)置需要結(jié)合學(xué)生已有的知識經(jīng)驗(yàn)，不宜設(shè)置過難。最后，拓展問題的設(shè)置是在解決中心問題后對相關(guān)知識點(diǎn)的遷移應(yīng)用。一般而言，拓展問題需要教師從教材的練習(xí)題、復(fù)習(xí)題或課外習(xí)題中歸納分析得到。教師可以按照課堂教學(xué)情況合理設(shè)置一至兩個拓展問題，為學(xué)生后續(xù)數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)做好鋪墊。

（二）課堂教學(xué)

1.問題發(fā)現(xiàn)

教師需要設(shè)置情境化問題。情境化問題可依據(jù)教材的例題和習(xí)題改編，也可結(jié)合學(xué)生生活實(shí)際、數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)文化等素材加以設(shè)計。情境化問題的設(shè)置一方面可以激發(fā)學(xué)生的探究興趣，使他們感悟數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用性；另一方面，學(xué)生可以從情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，培養(yǎng)抽象思維。在問題發(fā)現(xiàn)的過程中，教師需要組織學(xué)生開展合理討論，充分調(diào)動學(xué)生已有的知識經(jīng)驗(yàn)，使他們從情境化問題中提取、抽象出數(shù)學(xué)問題。

2.問題分析

在問題分析階段，教師需要結(jié)合課前準(zhǔn)備的三大類問題，引導(dǎo)學(xué)生將復(fù)雜問題簡單化。學(xué)生可以將暫時無法解決的中心問題分解為依靠已有知識可以解決或者暫時還無法解決的子問題。在中心問題逐步分解為若干個輔助問題的過程中，能夠培養(yǎng)學(xué)生的分解思維。

3.問題解決

問題解決階段需要以學(xué)生為主體，學(xué)生應(yīng)結(jié)合所學(xué)知識，在教師的指導(dǎo)下探求各個數(shù)學(xué)問題的具體解決步驟或流程，形成對問題解決過程清晰的認(rèn)識與理解。在此過程中，學(xué)生逐步嘗試，最終實(shí)現(xiàn)對新知識的掌握。教師應(yīng)讓學(xué)生對所形成的解題步驟進(jìn)行強(qiáng)化練習(xí)，落實(shí)算法思維的培養(yǎng)。

4.方法反思

很多數(shù)學(xué)問題都存在一題多解的情況，教師需要引導(dǎo)學(xué)生探索較優(yōu)的解決方法。在問題得到解決之后，教師要引導(dǎo)學(xué)生評估解題的方法，比較多種方法之間的優(yōu)劣勢，明確不同方法更適用的數(shù)學(xué)問題類型。同時，教師要讓學(xué)生針對已經(jīng)形成的問題解決步驟進(jìn)行完善與優(yōu)化，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的評估思維。

5.方法總結(jié)

在課堂教學(xué)的最后，教師要和學(xué)生共同總結(jié)本節(jié)課的內(nèi)容，并在具體問題解決的基礎(chǔ)上，從中提取出一般化的解決方案，以便將其遷移到其他類似題目的解決中。教師要引導(dǎo)學(xué)生掌握一類數(shù)學(xué)問題解決的模式化方法，在此過程中培養(yǎng)學(xué)生的概括思維。

（三）課堂反饋

教師在課前需要預(yù)設(shè)教學(xué)流程，設(shè)想課堂教學(xué)過程中學(xué)生容易出現(xiàn)的問題。在課堂教學(xué)中，教師需要有意識地引導(dǎo)學(xué)生解決問題，并及時通過學(xué)生的反饋調(diào)整課堂教學(xué)。課后，教師要通過反思教學(xué)目標(biāo)達(dá)成情況、學(xué)生課堂表現(xiàn)情況，改進(jìn)自己的教學(xué)設(shè)計，調(diào)整中心、輔助以及拓展問題的設(shè)置，將計算思維理念更好地融入課堂教學(xué)過程。

三、指向計算思維培養(yǎng)的高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)實(shí)踐

下面以人教A版高中數(shù)學(xué)教材選擇性必修第一冊“直線與圓的位置關(guān)系”為例，論述如何設(shè)計指向計算思維培養(yǎng)的高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)活動。本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)預(yù)設(shè)如下：掌握判斷圓與直線位置關(guān)系的幾何方法與代數(shù)方法，體會代數(shù)方法的算法性、普適性以及幾何方法的簡潔性；掌握并會計算與圓的弦長相關(guān)的問題；了解直線與圓在解決實(shí)際問題中的作用，體會數(shù)學(xué)的應(yīng)用性。教師可以圍繞問題依次開展如下五個課堂教學(xué)環(huán)節(jié)。

（一）從情境中抽象問題

【問題一】一個小島的周圍有環(huán)島暗礁，暗礁分布在以小島中心為圓心、半徑為20 km的圓形區(qū)域內(nèi)。已知小島中心位于輪船正西24 km處，港口位于小島中心正北30 km處。如果輪船沿直線返航，那么它是否會有觸礁危險？

【問題二】若輪船有觸礁的危險，那么它受到環(huán)島暗礁影響的距離有多長？

教師創(chuàng)設(shè)以上兩個問題情境，問題由教材例題改編形成。其中，問題一對應(yīng)本節(jié)課的中心問題，問題二作為問題一的延伸拓展，應(yīng)在問題一解決后再予以呈現(xiàn)。教師在呈現(xiàn)問題情境后，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生從中提煉關(guān)鍵信息，明確要解決的具體問題。學(xué)生將環(huán)島暗礁的分布區(qū)域抽象為圓，將輪船的航線抽象為直線，進(jìn)而從中抽象出本節(jié)課的核心內(nèi)容：確定直線與圓的位置關(guān)系。

（二）通過分解分析問題

教師可根據(jù)學(xué)生初中所學(xué)知識以及教材呈現(xiàn)內(nèi)容，將本節(jié)課教學(xué)任務(wù)分解為四個教學(xué)問題（見圖3）。解決四個問題的過程，就是完成本課教學(xué)任務(wù)的過程。通過初中階段的學(xué)習(xí)，學(xué)生已掌握了用直觀定性的方式描述直線與圓的位置關(guān)系，即通過直線與圓公共點(diǎn)個數(shù)加以判斷。而在高中階段，需要讓學(xué)生掌握用嚴(yán)格定量刻畫的方式判斷直線與圓的位置關(guān)系。因此，教師確定本堂課的中心問題為問題一。而問題二與問題三作為輔助問題，為問題一服務(wù)。問題四是在問題一基礎(chǔ)上的延伸拓展問題，這四個問題構(gòu)成了本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容。教師在教學(xué)中需要引導(dǎo)學(xué)生一步步將中心問題進(jìn)行分解，從而便于問題的解決。判斷直線與圓的位置關(guān)系需要讓學(xué)生回憶初中所學(xué)的平面幾何知識，明確有哪些位置關(guān)系（即問題二的解決）。其中，半徑與圓心到直線的距離關(guān)系為幾何法的判斷方式，而直線與圓的交點(diǎn)個數(shù)可以延伸出代數(shù)法的判斷方式。在判斷交點(diǎn)個數(shù)時，教師要讓學(xué)生思考如何從已知的直線與圓的方程中得出結(jié)果（即問題三的解決）。這樣，就讓學(xué)生在問題分析中逐漸形成分解思維。

（三）建立算法解決問題

在解決問題的過程中，教師需要滲透算法思想，此處的算法側(cè)重于問題解決的過程與步驟。在求解過程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生明晰解題步驟，讓學(xué)生掌握規(guī)范的解題流程，進(jìn)而在答案書寫中有邏輯地予以呈現(xiàn)。以情境問題一的解決為例，可以用代數(shù)法和幾何法分別呈現(xiàn)其解題步驟。

1.代數(shù)法

步驟一：用適當(dāng)?shù)姆绞奖硎境鲋本€與圓的方程。以小島的中心為原點(diǎn)O，東西方向?yàn)閤軸，建立平面直角坐標(biāo)系。取10 km為單位長度，則港口所在位置的坐標(biāo)為（0，3），輪船所在位置的坐標(biāo)為（[125]，0）。則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為[x2] + [y2] = 4，直線的方程用截距式表示為[5x12] + [y3] = 1。

步驟二：聯(lián)立直線與圓的方程，將所得到的方程組化簡為一元二次方程。聯(lián)立圓與直線的方程[x2+y2=45x12+y3=1]，化簡得到關(guān)于y的一元二次方程41[y2] - 96y + 44 = 0。

步驟三：計算上述一元二次方程的根的判別式，將結(jié)果與零進(jìn)行比較。若△ = [b2] - 4ac > 0，則直線與圓存在兩個交點(diǎn)，此時直線與圓相交；若△ = [b2] - 4ac = 0，則直線與圓存在一個交點(diǎn)，此時直線與圓相切；若△ = [b2] - 4ac < 0，則直線與圓沒有交點(diǎn)，此時直線與圓相離。

上述關(guān)于y的一元二次方程的根的判別式△ = 2000 > 0，故此直線與圓相交，所以輪船有觸礁風(fēng)險。

2.幾何法

步驟一：計算圓心坐標(biāo)、半徑以及直線的方程。

以小島的中心為原點(diǎn)O，東西方向?yàn)閤軸，建立平面直角坐標(biāo)系。取10 km為單位長度，則港口所在位置的坐標(biāo)為（0，3），輪船所在位置的坐標(biāo)為（[125]，0）。則圓心坐標(biāo)為（0，0），半徑為2，直線的方程用一般式表示為5x + 4y - 12 = 0。

步驟二：利用點(diǎn)到直線的距離公式，計算圓心到直線的距離。

步驟三：比較圓心到直線的距離與半徑的大小。圓心到直線的距離d < 半徑r，故此直線與圓相交，所以輪船有觸礁風(fēng)險。

流程圖作為計算思維加工過程的可視化承載工具，可以將學(xué)生隱性的思維過程清晰地呈現(xiàn)，對培養(yǎng)學(xué)生算法思維乃至計算思維都非常重要。而偽代碼作為一種描述算法的語言，能以更易于閱讀的形式創(chuàng)建算法。教師可以讓學(xué)生用流程圖或偽代碼形式呈現(xiàn)直線與圓位置關(guān)系的判斷過程，引導(dǎo)學(xué)生明晰流程圖或偽代碼與上述建立的解題步驟之間相對應(yīng)的關(guān)系。以流程圖為例，其中圓心坐標(biāo)（m，n）、圓心半徑r以及直線方程的系數(shù)A、B、C作為輸入數(shù)據(jù)，對應(yīng)步驟一中計算圓心坐標(biāo)、半徑以及直線方程的過程。流程圖中變量d賦值的過程就是步驟二中利用距離公式計算圓心到直線的距離過程，而流程圖中依靠選擇結(jié)構(gòu)進(jìn)行判斷并輸出結(jié)果的過程對應(yīng)步驟三判斷距離與半徑大小的過程。

建議此環(huán)節(jié)讓學(xué)生分小組相互討論，在紙上采用流程圖、偽代碼或其他熟悉的方式來呈現(xiàn)直線與圓的判斷過程，表達(dá)清楚該過程中的關(guān)鍵步驟。最后，教師將討論結(jié)果向全班學(xué)生展示，進(jìn)行分享與交流。有興趣的學(xué)生可以在課后嘗試用Python、C語言等程序語言在計算機(jī)上編寫該判斷程序。這些形式能夠有效促進(jìn)學(xué)生理解判斷過程中的邏輯關(guān)系，從而掌握解題步驟。

（四）優(yōu)化解決問題方案

教師對學(xué)生經(jīng)過思考得出的幾何法與代數(shù)法加以介紹，引導(dǎo)學(xué)生對兩種方法進(jìn)行評估，學(xué)會針對不同的問題采用較為簡便、快捷的一種方法。教師可以用表格的方式呈現(xiàn)圓和直線的位置關(guān)系以及兩種判斷方式，強(qiáng)調(diào)幾何法和代數(shù)法雖然最終都能判斷出結(jié)果，但兩種方式的思路截然不同。代數(shù)法側(cè)重于數(shù)，更多傾向于坐標(biāo)與方程；而幾何法則側(cè)重于形，結(jié)合了圖形的幾何性質(zhì)。教師需要讓學(xué)生思考兩種方法的優(yōu)劣勢，如幾何法方法簡單、計算較為簡便，而代數(shù)法雖然計算復(fù)雜，但方法更具有普遍性，是后續(xù)解決直線與圓錐曲線相交問題的一般解法。同時，教師也可以引導(dǎo)學(xué)生從設(shè)問的角度，選擇更優(yōu)的方法。例如，題目在判斷直線與圓的位置關(guān)系后仍需求解交點(diǎn)坐標(biāo)，那么此時采用代數(shù)法更為便捷。

除了比較不同解題方法外，針對一種方法進(jìn)行優(yōu)化也有利于培養(yǎng)學(xué)生的評估思維。例如，在采用代數(shù)法聯(lián)立圓與直線的方程后，究竟將方程組化簡為關(guān)于x的還是關(guān)于y的一元二次方程，便需要學(xué)生針對題目進(jìn)行優(yōu)化選擇。

（五）歸納總結(jié)解題模式

在本節(jié)課問題解決后，教師需要指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行課堂總結(jié)，將本節(jié)課所學(xué)的內(nèi)容進(jìn)行歸納梳理，同時需要形成一般化的方法。例如，從輪船是否具有觸礁危險的情境問題中，抽象出解決一般性圓和直線位置判斷方法。學(xué)生將直線表示為A[x] + B[y] + C = 0（A，B不全為零），將圓表示為[x2] + [y2] + D[x] + E[y] + F = 0（[D2] + [E2] - 4F > 0），通過代數(shù)法和幾何法得到一般性結(jié)論。教師也可以通過框圖呈現(xiàn)解題模式，例如，在解決情境問題四時，涉及求弦長問題，雖然可以利用垂徑定理等圓的性質(zhì)，依靠幾何法求解，但是該方法不具有普適性，無法解決任意曲線f（x，y）與直線相交的弦長計算問題。因此，教師要突出用坐標(biāo)求解的代數(shù)法，通過交點(diǎn)的兩點(diǎn)距離公式計算弦長，并將其進(jìn)一步優(yōu)化拓展，形成直線與圓錐曲線相交時計算弦長的模式化方法。

綜上，在計算思維理念指導(dǎo)下實(shí)施數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，教師應(yīng)側(cè)重于從思維過程中著手培養(yǎng)學(xué)生的計算思維。同時，計算工具的使用也可以作為培養(yǎng)學(xué)生計算思維的重要手段。此外，教師應(yīng)從多樣化的視角構(gòu)建計算思維的課堂教學(xué)模式，有效發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

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（責(zé)任編輯：楊強(qiáng)）