辯證視角下小學(xué)數(shù)學(xué)“1 與多”的認(rèn)知路徑

葉青

摘要：小學(xué)階段“數(shù)的認(rèn)識(shí)”（即對(duì)“1”與“多”的辯證認(rèn)知）是一個(gè)對(duì)立與統(tǒng)一的過(guò)程，其認(rèn)知內(nèi)容主要體現(xiàn)為“數(shù)量的累加”“位值的拓展”“關(guān)系的增減”三個(gè)階段。教師可以結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律與數(shù)的認(rèn)知內(nèi)容，梳理形成以“1與多”為主題的、歷經(jīng)從絕對(duì)性認(rèn)知到包容性認(rèn)知再到相對(duì)性認(rèn)知的辯證路徑，以促進(jìn)學(xué)生完整建構(gòu)數(shù)的體系。

關(guān)鍵詞：1與多；辯證；認(rèn)知路徑；小學(xué)數(shù)學(xué)

一、“1與多”的辯證內(nèi)涵

數(shù)的認(rèn)識(shí)是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中非常重要而基礎(chǔ)的內(nèi)容，學(xué)生對(duì)于數(shù)的認(rèn)識(shí)實(shí)質(zhì)上是在建構(gòu)“1與多”的辯證認(rèn)知。辯證視角下的“1與多”是一個(gè)不斷迭代更新的過(guò)程，其一，教師要通過(guò)大量看得見(jiàn)、摸得著的事物（如1個(gè)蘋果、1輛汽車、1箱牛奶等）抽象出“1”的本質(zhì)特征，使學(xué)生體會(huì)到雖然這些事物的顏色、大小、形狀、材質(zhì)各不相同，但它們都是單個(gè)事物，都可以用“1”來(lái)表示，進(jìn)而掌握“1”的概念。在此基礎(chǔ)上，學(xué)生經(jīng)歷“1”的不斷累加，體驗(yàn)到了從數(shù)量到數(shù)的抽象過(guò)程，理解數(shù)的大小關(guān)系。其二，當(dāng)1的累加達(dá)到一定數(shù)量時(shí)，學(xué)生就產(chǎn)生了位值需求，計(jì)數(shù)單位應(yīng)運(yùn)而生：1個(gè)一、1個(gè)十、1個(gè)百……同樣是“1”，當(dāng)其所在的數(shù)位不同時(shí)，所表示的數(shù)量則會(huì)不同。這樣，學(xué)生對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)從借助數(shù)量的感性認(rèn)知逐步走向借助數(shù)值的理性認(rèn)知。其三，數(shù)的認(rèn)識(shí)從整數(shù)跨越到分?jǐn)?shù)是一次質(zhì)的飛躍。從數(shù)量的理解走向關(guān)系的分析，此時(shí)“1”的內(nèi)涵再次被豐富，1個(gè)物體、1個(gè)計(jì)量單位或一些物體都可以看作一個(gè)整體（即“單位1”）。在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生對(duì)于“1”的理解是站在相對(duì)的視角，從原來(lái)的量的研究拓展到了關(guān)系的研究，經(jīng)歷了量的抽象感悟（即單個(gè)與多個(gè)關(guān)系的抽象感悟——部分與整體）。

數(shù)量的“1與多”是具體的、感性的，學(xué)生依托數(shù)量，從數(shù)學(xué)的角度認(rèn)識(shí)著數(shù)，認(rèn)知著數(shù)值，理解著關(guān)系，能深刻感悟到“1”與“多”是不可分離、互相滲透的兩個(gè)概念：1包含于多，多也包含于1，1與多的辯證關(guān)系是物質(zhì)世界統(tǒng)一性和多樣性的體現(xiàn)。

二、辯證視角下“1與多”的認(rèn)知內(nèi)容

筆者對(duì)于小學(xué)數(shù)學(xué)教材中關(guān)于數(shù)的認(rèn)識(shí)內(nèi)容進(jìn)行梳理，從辯證的視角加以分析，總結(jié)為三個(gè)階段。

第一個(gè)階段是數(shù)量的累加。教學(xué)內(nèi)容主要出現(xiàn)在一年級(jí)認(rèn)數(shù)初期，讓學(xué)生通過(guò)一個(gè)一個(gè)數(shù)數(shù)，基于物與數(shù)一一對(duì)應(yīng)的過(guò)程感受數(shù)量的多少，進(jìn)而抽象成數(shù)。這個(gè)階段的學(xué)習(xí)使學(xué)生不斷地經(jīng)歷單個(gè)量匯聚為多個(gè)量，再將具體數(shù)量抽象為數(shù)的過(guò)程，感悟到對(duì)于1的包含性，從而積累豐富的感性經(jīng)驗(yàn)。

第二個(gè)階段是位值的擴(kuò)展。教學(xué)內(nèi)容主要聚焦于低年段和中年段，其中“10的認(rèn)識(shí)”是一個(gè)非常重要的轉(zhuǎn)折點(diǎn)，從10個(gè)一到1個(gè)十，聚多個(gè)量為1個(gè)計(jì)數(shù)單位，打破了之前的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，從“量”走向“計(jì)數(shù)單位”，是數(shù)認(rèn)識(shí)的第一次飛躍。位值的產(chǎn)生為后續(xù)更大數(shù)的認(rèn)識(shí)奠定了基礎(chǔ)，百以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)、萬(wàn)以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)、億以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)乃至億以外數(shù)的認(rèn)識(shí)都是基于位值展開(kāi)學(xué)習(xí)，為一個(gè)一個(gè)數(shù)的復(fù)雜路徑開(kāi)辟了一個(gè)一個(gè)單位計(jì)數(shù)的簡(jiǎn)潔路徑。

第三個(gè)階段是關(guān)系的增減?；趦和J(rèn)知發(fā)展的特點(diǎn)，從中年段到高年段，關(guān)于數(shù)的認(rèn)識(shí)逐漸從具體數(shù)量的抽象走向了數(shù)量關(guān)系的推理，“倍的認(rèn)識(shí)”是數(shù)認(rèn)識(shí)的第二次飛躍，主要研究的是倍增的關(guān)系，為之后研究基于“均分”下的關(guān)系認(rèn)知奠定了基礎(chǔ)?！胺?jǐn)?shù)的意義”研究的是均分關(guān)系，此意義還兼容了量與關(guān)系的雙重身份，不斷豐厚學(xué)生對(duì)于數(shù)的認(rèn)知，這個(gè)階段的數(shù)認(rèn)識(shí)是基于“多對(duì)1”的可比性展開(kāi)的，聚多個(gè)部分或多個(gè)量為一個(gè)整體，從“量”走向“率”。

三、“1與多”的辯證認(rèn)知路徑

結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律與數(shù)的研究體系，筆者梳理形成了以下認(rèn)知路徑（見(jiàn)圖1）。

（一）初步啟蒙：基于具體的量的“1與多”的絕對(duì)性認(rèn)知

對(duì)數(shù)的研究體系而言，小學(xué)階段的知識(shí)結(jié)構(gòu)主要?jiǎng)澐譃閿?shù)的意義、數(shù)的形式和數(shù)的運(yùn)算三個(gè)主要知識(shí)模塊。初識(shí)數(shù)是以具體直觀的物為認(rèn)知載體，建立基數(shù)與序數(shù)的兩個(gè)基本概念，再衍生出數(shù)的順序、數(shù)的大小比較、數(shù)的分解與組成?；鶖?shù)表示集合所含元素的個(gè)數(shù)，學(xué)生在學(xué)習(xí)中經(jīng)歷從現(xiàn)實(shí)物體數(shù)量的多少到半抽象圖形（小棒、小方塊、小圓片等）的個(gè)數(shù)的一一對(duì)應(yīng)，建構(gòu)“有幾個(gè)”的數(shù)概念，基數(shù)的認(rèn)識(shí)是認(rèn)識(shí)自然數(shù)的“第一步抽象”。序數(shù)則表示某個(gè)有序集合中每個(gè)元素所占的位置，其本質(zhì)是反映事物計(jì)數(shù)的順序性，通過(guò)對(duì)“第幾個(gè)”的思辨，體會(huì)到后一個(gè)數(shù)是前一個(gè)數(shù)的后繼數(shù)，以“一”為單位無(wú)限制地重復(fù)“加一”就能產(chǎn)生任意自然數(shù)。此概念的建構(gòu)則為數(shù)的大小比較、數(shù)的運(yùn)算關(guān)系等奠定了基礎(chǔ)。

教材編排中“0～5的認(rèn)識(shí)”將基數(shù)與序數(shù)的概念分開(kāi)教學(xué)，而從“6”的認(rèn)識(shí)開(kāi)始進(jìn)行了整體教學(xué)，學(xué)生對(duì)于這兩個(gè)概念的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)究竟如何呢？為此，在“6的認(rèn)識(shí)”前，筆者做了相應(yīng)的評(píng)估。教師板書(shū)“6”，提出問(wèn)題：你認(rèn)識(shí)這個(gè)數(shù)嗎？你能找到“6”嗎？

生：我的鉛筆盒里有6支鉛筆；教室的第一排有6張課桌；我在尺子上找到6；從前往后數(shù)，我坐在第6個(gè)座位上。

師：這些“6”一樣嗎？為什么？

前測(cè)評(píng)估情況如下（見(jiàn)表1）。

由此可見(jiàn)，教學(xué)前，學(xué)生對(duì)于事物量的單一性認(rèn)識(shí)具備較為豐富的經(jīng)驗(yàn)，有68.58%的學(xué)生能正確理解①②表示具體的數(shù)量，77%的學(xué)生能理解④表示順序。而對(duì)于③的爭(zhēng)議比較大，可見(jiàn)學(xué)生對(duì)于此類需要結(jié)合特定情境的數(shù)意義的理解存在一定的認(rèn)知混淆，如尺子上從刻度0到刻度6這一段的長(zhǎng)度表示6厘米，是基數(shù)的內(nèi)涵；而“6”所對(duì)應(yīng)的這一刻度表示的是第6個(gè)1厘米，則是序數(shù)的含義。為此，在“0～9的認(rèn)識(shí)”中，教師要通過(guò)對(duì)現(xiàn)實(shí)事物的具體表征讓學(xué)生在對(duì)比辨析中經(jīng)歷由數(shù)量到數(shù)的形成過(guò)程，同時(shí)又要理解每一個(gè)數(shù)分別表示具體的量與相應(yīng)的順序的兩層意義，明確這兩個(gè)概念有著本質(zhì)的區(qū)別。

（二）生長(zhǎng)思辨：基于計(jì)數(shù)單位的“1與多”的包容性認(rèn)知

“10的認(rèn)識(shí)”打破了以“一”作為計(jì)數(shù)單位的唯一性，在整數(shù)的認(rèn)識(shí)中，從10開(kāi)始，學(xué)生逐一認(rèn)識(shí)了百以內(nèi)數(shù)、千以內(nèi)數(shù)、萬(wàn)以內(nèi)數(shù)乃至更大的數(shù)，從一個(gè)一個(gè)數(shù)走向10個(gè)一是1個(gè)十，10個(gè)十是1個(gè)百……學(xué)生逐步體會(huì)“1與多”相互包容的關(guān)系，進(jìn)而認(rèn)識(shí)計(jì)數(shù)單位，發(fā)展位值觀念，通過(guò)相同的數(shù)字在不同數(shù)位表示不同的意義，經(jīng)歷計(jì)數(shù)單位不斷累加的過(guò)程。學(xué)生從整數(shù)步入小數(shù)的認(rèn)識(shí)則反向而行，將“1”不斷進(jìn)行等分，就有了十分之一、百分之一、千分之一的計(jì)數(shù)單位，經(jīng)歷著計(jì)數(shù)單位不斷細(xì)分的過(guò)程。這一過(guò)程既是數(shù)的認(rèn)識(shí)的完整過(guò)程，也是數(shù)的運(yùn)算的核心所在。以“小數(shù)的意義”一課為例，教師可以如下教學(xué)。

一是借助數(shù)位順序表喚醒整數(shù)認(rèn)知。教師在課堂中呈現(xiàn)數(shù)位順序表，介紹整數(shù)的相關(guān)知識(shí)。

師：你們發(fā)現(xiàn)了什么？

生：數(shù)位、計(jì)數(shù)單位、數(shù)級(jí)……

生：有無(wú)數(shù)個(gè)數(shù)位就有無(wú)數(shù)個(gè)計(jì)數(shù)單位。

生：10個(gè)十是一百，10個(gè)百是一千……10個(gè)千萬(wàn)是一億，每相鄰兩個(gè)計(jì)數(shù)單位至今的進(jìn)率是10。

師：從左往右看，100平均分成10份，每份是10；10平均分成10份，每份是1，那么1還能繼續(xù)分嗎？

二是嘗試多元表征構(gòu)建小數(shù)意義?；顒?dòng)要求：有沒(méi)有比0.1更小的計(jì)數(shù)單位？請(qǐng)用喜歡的方式表示。

師：作品四中的省略號(hào)表示什么意思？

生：萬(wàn)分之一繼續(xù)往下分，可以得到更多更小的計(jì)數(shù)單位。

三是再用數(shù)位順序表使學(xué)生感悟計(jì)數(shù)單位的一致性（見(jiàn)下頁(yè)圖2）。

教師以數(shù)位順序表為載體，引導(dǎo)學(xué)生回顧整數(shù)的相關(guān)知識(shí)，著眼不同數(shù)位中“1”的滿十，衍生出新的計(jì)數(shù)單位和新的數(shù)，初步體會(huì)“1”中生“多”，“多”中蘊(yùn)“1”的辯證關(guān)系。教師以此為經(jīng)驗(yàn)的觸發(fā)點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生自主表征小數(shù)的計(jì)數(shù)單位，感受細(xì)分下得到“多”的變化，從累加到細(xì)分豐富了學(xué)生對(duì)數(shù)認(rèn)識(shí)的完整體系，并凸顯了計(jì)數(shù)單位的核心價(jià)值。

（三）思維飛躍：基于數(shù)量關(guān)系的“1與多”的相對(duì)性認(rèn)知

“分?jǐn)?shù)”的意義賦予了數(shù)的意義中“量”與“率”的雙重內(nèi)涵，這是學(xué)生對(duì)于數(shù)的認(rèn)識(shí)的又一次飛躍。

該階段，學(xué)生對(duì)于數(shù)的認(rèn)知要由理解表征具體“量”的分?jǐn)?shù)走向深化分?jǐn)?shù)對(duì)于關(guān)系的表達(dá)，使思維從理解數(shù)量走向分析關(guān)系。

例如，在“分?jǐn)?shù)的意義”教學(xué)中，根據(jù)“直觀形象水平—形象抽象水平—本質(zhì)抽象水平”的概括水平發(fā)展結(jié)構(gòu)，教師精選了直觀化、半抽象化以及生活化學(xué)習(xí)素材，通過(guò)“關(guān)聯(lián)‘倍再識(shí)分?jǐn)?shù)—對(duì)立思辨理解分?jǐn)?shù)—對(duì)比辨析提煉本質(zhì)”的學(xué)習(xí)路徑刷新學(xué)生對(duì)單位“1”的認(rèn)識(shí)，明確其意義的相對(duì)性（見(jiàn)表2）。

“分?jǐn)?shù)”基于“率”的意義建構(gòu)應(yīng)關(guān)聯(lián)到“倍”，教師通過(guò)呈現(xiàn)兩組素材的對(duì)比，引導(dǎo)學(xué)生喚醒已有認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行表達(dá)，初步感悟數(shù)可以用來(lái)表示關(guān)系。以“月餅數(shù)量是蛋糕數(shù)量的2倍”和“蛋糕數(shù)量是月餅數(shù)量的1/2”的具象表征發(fā)現(xiàn)作為標(biāo)準(zhǔn)的“1”的不同，兩者之間的結(jié)果有時(shí)會(huì)用整數(shù)、有時(shí)會(huì)用分?jǐn)?shù)表示，使學(xué)生初步體會(huì)“1”的相對(duì)性。這一環(huán)節(jié)促使學(xué)生對(duì)于分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)從表示具體的量上升至表示兩者之間的關(guān)系，不斷完善“分?jǐn)?shù)”作為數(shù)的意義內(nèi)涵。接著，教師創(chuàng)設(shè)“4個(gè)蛋糕是6個(gè)月餅的幾分之幾”的認(rèn)知沖突情境，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)在單位“1”不變的情況下，平均分的份數(shù)不同，則表示的關(guān)系也不同，從統(tǒng)一的前提下思考不同的結(jié)果，進(jìn)一步明確分?jǐn)?shù)的意義既要關(guān)注誰(shuí)是單位“1”，還要關(guān)注被平均分成了幾份，表示了這樣的幾份。最為關(guān)鍵的一點(diǎn)是對(duì)于“1/2個(gè)月餅和月餅的1/2”的思辨直擊概念本質(zhì)，讓學(xué)生豁然開(kāi)朗，分?jǐn)?shù)的意義可以表達(dá)為“量”和“率”，為后續(xù)進(jìn)一步學(xué)習(xí)有關(guān)分?jǐn)?shù)的相應(yīng)知識(shí)做好鋪墊。

“1與多”的辯證認(rèn)知路徑旨在將看似遍布各個(gè)年級(jí)、各個(gè)單元的數(shù)的認(rèn)識(shí)的內(nèi)容進(jìn)行整體架構(gòu)，實(shí)現(xiàn)以主題聚焦散點(diǎn)知識(shí)，以階段式推進(jìn)實(shí)現(xiàn)知識(shí)的關(guān)聯(lián)，以辯證的思維視角統(tǒng)整數(shù)的體系。

參考文獻(xiàn)：

［1］徐文彬，陳韻嫻，潘禹辰.小學(xué)數(shù)學(xué)“0～9數(shù)的認(rèn)識(shí)”單元知識(shí)結(jié)構(gòu)的確立（下）［J］.教學(xué)月刊小學(xué)版（數(shù)學(xué)），2023（12）.

［2］張景怡，施慧慧.對(duì)立統(tǒng)一辯證思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透：以“整體與部分”一課為例［J］.小學(xué)數(shù)學(xué)教師，2022（Z1）.

（責(zé)任編輯：楊強(qiáng)）