從一道中考?jí)狠S題的解法說(shuō)起
——談初中階段同一法的思路及應(yīng)用*

丁孫順 (安徽省安慶市第二中學(xué) 246004)

金 奎 (安徽省蕪湖市教育科學(xué)研究所 241001)

同一法是一種間接的證明方法,在初中教材中多次出現(xiàn)．然而,學(xué)生對(duì)同一法感到陌生,對(duì)其原理和使用步驟把握不清,在練習(xí)和考試中常常不敢或不能正確地使用．本文通過(guò)一道中考數(shù)學(xué)壓軸題的解法,談同一法的證明思路及其應(yīng)用．

1 試題呈現(xiàn)

(2017年安徽中考第23題)已知正方形ABCD,點(diǎn)M為邊AB的中點(diǎn)．

(1)如圖1,點(diǎn)G為線段CM上的一點(diǎn),且∠AGB=90°,延長(zhǎng)AG,BG分別與邊BC,CD交于點(diǎn)E,F．①求證:BE=CF;②求證:BE2=BC·CE．

圖1

(2)如圖2,在邊BC上取一點(diǎn)E,滿足BE2=BC·CE,連接AE交CM于點(diǎn)G,連接BG并延長(zhǎng)交CD于點(diǎn)F,求tan ∠CBF的值．

2 解法探究

這里只解決第(2)題.

分析 觀察(1)(2)兩小題的條件與結(jié)論,考慮從逆命題的角度解答第(2)題,推出∠AGB=90°,再求正切值．但直接證明第(2)題會(huì)比較困難,可以嘗試使用同一法:

圖3

3 論證原理及步驟

回顧上述解題過(guò)程,讓我們來(lái)理清其中的思路．為了克服直接論證的困難,先構(gòu)造出一個(gè)滿足結(jié)果的直角∠AG′B,再證明點(diǎn)E′與點(diǎn)E、點(diǎn)G′與點(diǎn)G、點(diǎn)F′與點(diǎn)F完全重合,即構(gòu)造圖形和原圖形是同一個(gè)圖形,∠AGB滿足∠AG′B的特征,故而求出比例．這種證明方法屬于同一法．

使用同一法,首先需要明確它的論證基礎(chǔ):一個(gè)命題,如果它的題設(shè)和結(jié)論所指的事物都是唯一的,那么原命題和它的逆命題中,只要有一個(gè)成立,另一個(gè)就一定成立．這個(gè)原理叫作同一法則[1]．例如,“中國(guó)的首都是北京”“北京是中國(guó)的首都”這兩個(gè)命題是互逆的,且條件中的“中國(guó)的首都”只有一個(gè),結(jié)論中的“北京”也只有一個(gè),也就是說(shuō),命題的條件和結(jié)論所指的對(duì)象都是獨(dú)一無(wú)二的．像這樣的兩個(gè)互逆命題,如果原命題正確,逆命題必然是正確的．

用同一法證明幾何命題時(shí),一般分為如圖4所示的幾個(gè)步驟．可以看出,完成了前兩步,也就是證明了逆命題成立．完成了第三步,也就可以由逆命題成立轉(zhuǎn)化為原命題成立了．

圖4

4 教材體現(xiàn)

初中數(shù)學(xué)教材中,多處(逆)定理的證明使用了同一法,教學(xué)中應(yīng)該注意對(duì)其進(jìn)行優(yōu)化和整合,明晰原理,理清步驟,強(qiáng)化對(duì)基本思想和方法的理解、滲透．

案例1勾股定理逆定理的證明．

勾股定理刻畫了直角三角形的一條重要性質(zhì):直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方．勾股定理的逆定理給出了判定一個(gè)圖形是直角三角形的一種依據(jù):如果三角形兩條邊長(zhǎng)的平方和等于第三條邊長(zhǎng)的平方,那么這個(gè)三角形是直角三角形．怎樣去證明勾股定理的逆定理呢?教材中的證明方法如下．

已知:如圖5,△ABC中,BC=a,AC=b,AB=c,且滿足a2+b2=c2．求證:△ABC是直角三角形．

圖5

證明作△A′B′C′(圖6),使B′C′=a,A′C′=b,∠C′=90°．由勾股定理可知A′B′2=B′C′2+A′C′2=a2+b2=c2,得A′B′=c．在△ABC和△A′BC中,因?yàn)锽C=a=B′C′,AC=b=A′C′,AB=c=A′B′,所以△ABC≌△A′B′C′,故∠C=∠C′=90°,即△ABC是直角三角形．

案例2中位線定理的證明．

在《平行四邊形》一章中,課本給出如下推論:經(jīng)過(guò)三角形一邊中點(diǎn)與另一邊平行的直線必平分第三邊．其后通過(guò)一個(gè)例題證明其逆定理,即中位線定理．由于兩定理是互逆的真命題,教材中選用了同一法證明．

圖7

相對(duì)于直接證法(如中線倍長(zhǎng)等),本例使用同一法證明更加簡(jiǎn)明,更能體現(xiàn)教材的整體性和統(tǒng)一性．

案例3三角形相似的判定定理1～3的證明．

在學(xué)習(xí)了平行線截取相似三角形后,將繼續(xù)探究使用對(duì)應(yīng)邊成比例或?qū)?yīng)角相等來(lái)證明相似三角形的判定方法(定理),這些定理直接證明較為困難,可引導(dǎo)學(xué)生從逆命題的角度進(jìn)行分析,用平行線構(gòu)造出一組相似三角形,再證明對(duì)應(yīng)的三角形具有“同一性”．

(選證定理1)已知:如圖8,在△ABC和△A′B′C′中,∠A=∠A′,∠B=∠B′．求證:△ABC∽△A′B′C′．

圖8

分析 構(gòu)造相似三角形前,要考慮為后期證明全等做準(zhǔn)備,所以要先截取等長(zhǎng)線段,再作出平行線．

證明在△ABC的邊AB(或延長(zhǎng)線)上,截取AD=A′B′,過(guò)點(diǎn)D作BC的平行線DE交AC于點(diǎn)E,則△ADE∽△ABC,所以∠ADE=∠B,又∠B=∠B′,故∠ADE=∠B′．因?yàn)椤螦=∠A′,AD=A′B′,所以△ADE≌△A′B′C′(ASA),故△ABC∽△A′B′C′．

由以上案例可以看出,同一法的構(gòu)造思路,可應(yīng)用于很多重要命題的證明中．教學(xué)中,要引導(dǎo)學(xué)生明確論證原理、明晰論證步驟．

5 解題應(yīng)用

在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中,同一法是一個(gè)相當(dāng)有效的解題方法,對(duì)許多直接論證困難的問(wèn)題通過(guò)轉(zhuǎn)換角度就可以找到新的切入點(diǎn)．同一法的使用對(duì)于提升學(xué)生的解題能力有著十分積極的意義．

例1(半角模型證明)已知:如圖9,在正方形ABCD中,E,F分別為線段BC,CD上的動(dòng)點(diǎn),∠EAF=45°,證明:EF=BE+DF．

圖9

分析 此題根據(jù)條件易聯(lián)想到截長(zhǎng)法,即過(guò)A作EF的垂線段(圖10),分割△AEF得到兩組全等三角形．但此作法不能明確∠EAF=45°具體如何分配,故不能成功．此時(shí),可改為使用同一法:在EF旁邊構(gòu)造出折線EGF,使其長(zhǎng)度等于BE+DF,再證明折線EGF和線段EF重合．

證明如圖11,作∠GAF=∠DAF,在∠GAF上截取AG=AD,連接GF,GE,易證明△GAF≌△DAF(SAS),所以GF=FD,∠AGF=∠ADF=90°．因?yàn)椤螮AF=45°,∠1=∠2,所以∠3=45°-∠2,∠4=90°-45°-∠1=45°-∠1,從而∠3=∠4．易證明△EAG≌△EAB(SAS),故GE=BE,且∠AGE=∠ABE=90°,從而∠EGF=180°,所以F,G,E三點(diǎn)共線．因此,EF=GE+GF=BE+DF．

例2已知:如圖12,△ABC是等邊三角形,且AD=CF,DE=FE．求證:△DEF是等邊三角形．

圖12

分析 本題直接證明比較復(fù)雜,可以考慮先構(gòu)造等邊三角形,再證明構(gòu)造的三角形與△DEF重合．如何巧妙構(gòu)造是本題的重點(diǎn),如何證明“同一”是本題的難點(diǎn)．

證明在邊BC上取點(diǎn)M,使得BM=AD=CF,在△DBM與△MCF中,因?yàn)镈B=AB-AD=BC-BM=MC,∠B=∠C,BM=CF,所以△DBM≌△MCF(SAS),故DM=MF．同理可得DM=DF,所以△DMF是等邊三角形,故點(diǎn)M一定在DF的中垂線上,即M為DF的中垂線與BC的交點(diǎn)．因?yàn)镋D=EF,所以點(diǎn)E一定在DF的中垂線上,即E為DF的中垂線與BC的交點(diǎn),故點(diǎn)M與點(diǎn)E重合．因此,△DEF是等邊三角形．

例3(2022年南京市中考第27(3)題)如 圖13,在△ABC中,D為BC中點(diǎn),E為△ABC內(nèi)一點(diǎn),∠ABE=∠C,∠BAE=∠CAD,連接DE,求證:DE∥AC．

圖13

分析 由D為BC中點(diǎn)聯(lián)想到三角形中位線,可先構(gòu)造中位線,再證明中位線與ED共線．

通過(guò)上面幾個(gè)例題可以看出,在同一法的使用中,合理的構(gòu)造是關(guān)鍵;證明“同一”的形式多樣,可以是圖形全等或共點(diǎn)、共線等．

6 反思

同一法的知識(shí)散落在初中教材中,并在重要定理的證明中多次出現(xiàn),教學(xué)中要注意優(yōu)化課程結(jié)構(gòu)、整合教學(xué)目標(biāo),明晰其原理,理清其步驟,強(qiáng)化對(duì)其思想和方法的理解與滲透．

同一法的原理獨(dú)特,初學(xué)時(shí),有些學(xué)生可能會(huì)不習(xí)慣于逆向構(gòu)造,難以抓住證明要點(diǎn),因而不愿意使用這種方法．在教學(xué)中,我們可以通過(guò)解釋重要定理的證明過(guò)程,引導(dǎo)學(xué)生親身體驗(yàn)同一法的巧妙與便利．此外,我們也要指導(dǎo)學(xué)生總結(jié)反思,證明共點(diǎn)、共線、圖形全等都可以用“同一”的形式．

深入研究同一法,有利于提升教師的方法意識(shí)和總結(jié)習(xí)慣,即在教學(xué)中不僅要關(guān)注特定問(wèn)題的解法,還要回溯問(wèn)題解決的思路,總結(jié)出一般性的方法和規(guī)律[2]．這種“解題—回溯—反思”的教學(xué)方法對(duì)于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)、培養(yǎng)其思維能力具有積極的影響．