基于STEM理念的數(shù)學建模探究主線教學實踐研究
——以“感知神經(jīng)網(wǎng)絡數(shù)學建模探究”一課為例*

杜志國 (江蘇省昆山經(jīng)濟技術開發(fā)區(qū)高級中學 215300)

1 背景

隨著ChatGPT火遍全球,人工智能相關技術也受到廣泛的關注．人工智能的興起不僅帶動了相關產(chǎn)業(yè)的發(fā)展,同樣也帶動了對人工智能相關數(shù)學基礎的深度關切．

《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版)》(下稱《課標》)進一步明確了數(shù)學學科的核心素養(yǎng):會用數(shù)學眼光觀察世界,會用數(shù)學思維思考世界,會用數(shù)學語言表達世界[1]2．但在傳統(tǒng)教學過程中,多數(shù)教師習慣了流水線式的、單一的知識講授,教學過程枯燥、無趣,真正的“學習”過程發(fā)生的機率比較小,教學效能低下,學生對數(shù)學公式、方法、模式?jīng)]有可視化的直觀感知．

筆者經(jīng)過多年實踐,從STEM教育理念出發(fā),結合校園生活,引導學生建模,深度理解數(shù)學模型,并探究模型的內(nèi)在本質(zhì)與關聯(lián)[2]．最后利用大數(shù)據(jù)分析軟件讓學生看到研究成果．對資源的重構、對教學流程的重組,激發(fā)了學生對數(shù)學模型探究的潛能,提升了教學實效．

2 基于STEM理念的數(shù)學建模探究主線教學

2.1 STEM教育理念

STEM教育起源于美國,其設計的初衷就是以培養(yǎng)學生的工程素養(yǎng)為目標,將多學科整合為其基本特征．STEM教育目標在于培養(yǎng)學生科學(Science)、技術(Technology)、工程(Engineering)和數(shù)學(Mathematics)四門“元學科”以及相關交叉學科的整合跨學科知識解決問題的能力[3]．

2.2 數(shù)學建模與探究主線

《課標》將“數(shù)學建模和數(shù)學探究”作為貫穿教學的一條主線,并指出:“數(shù)學建?；顒邮菍ΜF(xiàn)實問題進行數(shù)學抽象,用數(shù)學語言表達問題、用數(shù)學方法構建模型解決問題的過程．主要包括:在實際情境中從數(shù)學的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題,分析問題、構建模型,確定參數(shù)、計算求解,檢驗結果、改進模型,最終解決實際問題．”[1]34數(shù)學建?；顒訌娬{(diào)每一個數(shù)學概念的背景、重要結果的直接應用、數(shù)學結果的綜合應用和數(shù)學建模的基本過程．數(shù)學探究活動強調(diào)不同知識間的聯(lián)系和問題的解決．兩者既是課程內(nèi)容,也是學習方式,更是學生實踐能力和創(chuàng)新意識的展現(xiàn)．數(shù)學建?；顒优c數(shù)學探究活動所具有的問題性、情境性、綜合性、開放性、實踐性、創(chuàng)造性等特征,使兩者更契合數(shù)學學科核心素養(yǎng)的本質(zhì)屬性和特點,所以在核心素養(yǎng)的視域下,教學更應該強化這兩類活動,使其在發(fā)展學生核心素養(yǎng)上發(fā)揮更好效能．

2.3 基于STEM理念的數(shù)學建模探究主線教學

美國國家研究委員會(NFC)指出,STEM教育教學改革的核心理念在于“跨學科整合”“循證教學”和“主動學習”．其三點理念核心與數(shù)學建模探究相契合,STEM跨學科整合可以視為數(shù)學建模的延伸與拓展[4],而與STEM理念中的主動學習與探究一脈相承．

基于STEM理念的數(shù)學建模探究主線教學重在跨學科整合．在教學過程中,教師立足于學生的認知基礎,將數(shù)學及其他學科知識進行系統(tǒng)整合,形成近似真實情境的學習目標、過程與探究場景,進一步拓展對數(shù)學學科核心素養(yǎng)的深入理解．基于STEM理念的數(shù)學建模探究主線教學推動循證教學,在學生動手探究中建構數(shù)學模型的推理邏輯過程,借用STEM教學評價方法實現(xiàn)對學生學習體驗的教學活動過程進行監(jiān)測和對學習活動和學習環(huán)境展開監(jiān)測,真切地將教學圍繞學生展開,并且關注學生認知的過程,強調(diào)對學習習得過程的循證監(jiān)測．基于STEM理念的數(shù)學建模探究主線教學引導學生主動學習,通過小組探究模型,將零散的知識、技能等整合在一起,促進“高階思維”在課堂教學中真正發(fā)生[5]．

3 基于STEM理念的數(shù)學建模探究主線教學實踐

教學實踐的開展、推進與總結必須要確保其實踐流程的科學性、系統(tǒng)性與嚴謹性．課題研究小組從實踐設計思路、教學實踐等方面構建迭代的教學實踐流程框架,保持在迭代的過程中不斷優(yōu)化,讓教學實踐沿著“循證教學”的思路,不斷完善與提升．

3.1 基于STEM理念的數(shù)學建模探究主線教學實踐設計思路

STEM教育理念提倡跨學科思維、科學的探究能力、工程實踐能力及團隊合作能力等綜合能力的培育.課題組根據(jù)研究需要,吸收了其他學科的教師團隊,讓數(shù)學建模探究主線呈現(xiàn)科學性,拓展出技術可視化,并提供豐富的可操作工具與流程方法．基于STEM理念的數(shù)學建模探究主線教學實踐的設計思路可以分為:協(xié)同教學、可操作性與完整性(圖1)．

圖1 基于STEM理念的數(shù)學建模探究主線實踐思路框架

以“感知神經(jīng)網(wǎng)絡數(shù)學建模探究”一課為例,協(xié)同教學表現(xiàn)在數(shù)學教師與課題組其他學科教師一起備課．課題組成員擁有不同的學科背景,在一起協(xié)同備課,可以確保設計的流程與學習群體之間的契合度．設計協(xié)同教學時,還隱匿著制訂潛在的、可行的教學實踐流程．因涉及不同的學科,在前后表達的邏輯、教學任務可行性方面需探索出可行的路徑,以形成統(tǒng)一的教學目標．

例如,數(shù)學公式的推理過程要讓教學對象可以接受,也就是在表達時要適當降低復雜度,提煉出關鍵點,以學習者可以接受的數(shù)學知識呈現(xiàn)．其次,可操作性主要體現(xiàn)在數(shù)學建模與探究主線實踐教學不應僅停留在書面上．學生學習不僅可以通過紙、筆的邏輯推演,我們更希望借助Python語言可視化呈現(xiàn)出數(shù)學模型與探索成果,并且應用到技術實踐中,形成數(shù)學模型發(fā)現(xiàn)、假設、分析、總結與應用的全流程化、完整的學習體驗過程[6]．在“做中學”中體驗與感悟數(shù)學建模與探索主線的魅力．

3.2 基于STEM理念的數(shù)學建模探究主線教學實踐

跨學科教學對教師的要求較高,課程開發(fā)組需要在教師能力圈、學生認知圈與數(shù)學學科核心素養(yǎng)體系框架下尋找出交集,開展團隊協(xié)同下的教學實驗．聚焦學生的問題解決能力,注重教學過程中模型結論的歸納總結能力．課題組按照STEM理念的教學活動設計流程:識別問題和限制條件、研究、構想、分析想法、構造原型、測試和完善、交流和反思,再結合數(shù)學學科與其他學科課堂教學的可行性,有選擇地制訂學生體驗流程．

(1)創(chuàng)設情境 確立主題

以“感知神經(jīng)網(wǎng)絡數(shù)學建模探究”一課為例,從印象派大師莫奈的作品與校園中的鳶尾花引入話題(如圖2,鳶尾花在希臘語中稱為彩虹,表示天上彩虹的顏色都可在這個屬的花朵顏色中看到．鳶尾花在我國常用來象征友誼、鵬程萬里與前途無量),再進一步提出本堂課的問題“如何區(qū)分變色鳶尾與山鳶尾”,引導學生從感性認知上升到理性認知．教學的內(nèi)容源自校園生活,結合數(shù)學學科與其他學科的科學實踐形成教學研究內(nèi)容．同時,遵循學生的最近發(fā)展區(qū),結合學生的特征與認知層次,形成相對真實的問題情境．

圖2 從畫家筆下的鳶尾花引到校園中的鳶尾花

(2)數(shù)學抽象 模型構建

任務1請將下列點用不同符號(變色鳶尾用小圓圈,山鳶尾用小三角形)標入下列坐標系中(圖3)．

圖3 學生動手在坐標系中標注數(shù)據(jù)

高中數(shù)學學科核心素養(yǎng)包括了數(shù)學抽象與數(shù)學建模．任務1從花瓣長度與寬度(單位:cm)出發(fā),讓學生在動手標注數(shù)據(jù)將數(shù)據(jù)形象化、可視化中體驗坐標系對學生理性思維的功用,理解變色鳶尾花與山鳶尾花的感觀區(qū)別．通過動手實現(xiàn),推動學生運用視覺分析形成數(shù)學模型,為下一步數(shù)學模型的推理建立假設．該過程中也體現(xiàn)出STEM教學“做中學”的理念．

接著,引導學生從圖形中建立區(qū)的基本假設,區(qū)別變色鳶尾與山鳶尾自然只需要劃一條直線將圖3中圓點與三角形區(qū)別開．這一思維的過程顛覆了傳統(tǒng)的做法:傳統(tǒng)教學一般是給出方程來計算結果,而實踐情境中是依據(jù)數(shù)據(jù)構建方程來區(qū)別兩堆數(shù)據(jù)．為實現(xiàn)區(qū)分,每個小組構建的方程又不一樣,如此從確定性的探究轉化為不確定性結果的研究,讓個性化學習真正發(fā)生．

(3)模型探究 結果推斷

任務2將分類器0.5x+y-2=0畫在圖3中,考察點與分類器的關系．

上述問題即為分類問題．分類就是在已有數(shù)據(jù)基礎上訓練出一個分類函數(shù)或構造出一個分類的數(shù)學模型,也稱為分類器(classifier)．每個小組在自身確立分類器的基礎上,再以小組形式展開對分類器g(x,y)的探究．以分類器0.5x+y- 2=0為例,學生的分歧點恰恰就是感性認知與理性分析的矛盾點．此時,圍繞研究點展開小組合作．借助坐標系,將研究任務分成若干步驟,構建基于學習認知水平的階梯型的研究任務鏈(表1)．

表1 以0.5x+y-2=0為分類器的研究任務鏈

將任務中分類出錯的點,歸納總結為分類器

(說明:+1表示點在直線上方,-1表示在直線下方或線上．)

結論:當g(x,y)(0.5x+y-2)>0時,表明此時分類完全正確,不需要調(diào)整;當g(x,y)·(0.5x+y-2)≤0時,表明此時分類出錯,需要按表1內(nèi)容調(diào)整．

上述結論是數(shù)學模型的核心,也是下一步工程實踐的基礎．將紙上推導出來的結論應用到實踐中去,可以讓學習者完整地體驗邏輯推理到工程實現(xiàn)的學習過程．

(4)模型優(yōu)化 工程實現(xiàn)

根據(jù)上述對感知器數(shù)學模型的分析,我們設計出應用數(shù)學模型的算法:

第1步 初始化斜率w與截距b;

第2步 當感知器數(shù)學模型預測結果出錯時,即上述g(x,y)(0.5x+y-2)≤0時,持續(xù)更新斜率w與截距b;

第3步 直到訓練數(shù)據(jù)中沒有誤分類數(shù)據(jù)為止．

工程實踐基于Andconda平臺,它集成了180多個科學包,高效使用Python與R語言,是目前數(shù)據(jù)科學領域最流行的實驗平臺,核心Python代碼如圖4所示．

圖4 Python代碼

學習者通過動手感受數(shù)學模型的可視化,進一步厘清了數(shù)學模型的實現(xiàn)價值與意義.從數(shù)學模型到程序自我調(diào)整與改進的過程,讓學習者真切地感受到數(shù)學模型探究主線的過程、邏輯與最終可視呈現(xiàn),加深了對數(shù)學解決實際問題的思路與方法．最終呈現(xiàn)的數(shù)據(jù)模型的應用成果如圖5所示．

圖5 可視化呈現(xiàn)數(shù)學模型的應用結果

(5)總結提煉 啟發(fā)點化

經(jīng)過上述Andconda平臺的工程實踐后,學生對分類器有了認知體驗．數(shù)學的公式、模型不再是紙上的公式．但是少量的數(shù)據(jù)并不能解決現(xiàn)實世界的問題．在上述分類器基礎上,課堂最后總結并引入感知器神經(jīng)網(wǎng)絡模型(圖6),并且指出上述模型就是當下最流行的深度學習技術中的感知器神經(jīng)網(wǎng)絡模型,是我們?nèi)粘Ｉ钪腥四樧R別、車牌識別等應用的數(shù)學基礎,引導學生自我發(fā)展并奠定人工智能時代基礎的數(shù)學思維邏輯．

圖6 感知器神經(jīng)網(wǎng)絡基本抽象模型

3.3 基于STEM理念的數(shù)學建模探究主線教學實踐反思

基于STEM理念的數(shù)學建模探究主線教學,整體以數(shù)學學科為核心,融合校園生活中的花草情境,后端整合了信息科學中的人工智能,用數(shù)學模型模擬了腦神經(jīng)科學．在學生認知分歧點上安排有難度層級的任務鏈,可以有效地幫助學生通過一個個有效的研究,提升數(shù)學理性邏輯的分析能力．在關鍵任務研究時要舍得花時間,讓深度學習真正發(fā)生,讓實踐中的反思煥發(fā)出學生的質(zhì)疑精神,提升認知．最后借助了信息科學可視化模型的應用結果,學生的參與度很高,可視化進一步加深了學生對數(shù)學模型的理解．

4 結語

數(shù)學建模與探究是高中數(shù)學課程中引入的新的學習方式,有利于激發(fā)學生的主動性和創(chuàng)新意識,促使學生積極主動學習,有助于培養(yǎng)學生勇于質(zhì)疑和善于反思的習慣;培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)、提出、解決數(shù)學問題的能力,發(fā)展學生的創(chuàng)新意識和實踐能力．基于STEM理念的數(shù)學建模探究主線教學實踐給數(shù)學“做中學”提供了一種范本.但在實踐教學中我們還發(fā)現(xiàn),由于分類器的首次假設是由研究小組來定的,在模型的普適性上并不一定完全正確,當測試數(shù)據(jù)與應用數(shù)據(jù)不是同分布時,就會出現(xiàn)意想不到的結論．因此,數(shù)學的模型一定有其適用的場景與前提條件,教學過程中需要進一步強化批判性思維的引導．