“做數(shù)學(xué)”:實(shí)現(xiàn)整體建構(gòu)、發(fā)展抽象能力的有效途徑
——以做“倒水實(shí)驗(yàn)”方式學(xué)習(xí)“函數(shù)概念”為例*

姜鴻雁 (江蘇省無錫市蠡園中學(xué) 214072)

許沈琳 (江蘇省無錫市河埒中學(xué) 214063)

1 引言

函數(shù)被德國著名數(shù)學(xué)家克萊茵(F.Klein,1849—1925)稱為數(shù)學(xué)的“靈魂”[1]．隨著函數(shù)概念的出現(xiàn),學(xué)生從常量數(shù)學(xué)跨入變量數(shù)學(xué)的領(lǐng)域,認(rèn)知將發(fā)生“質(zhì)”的變化．函數(shù)概念的學(xué)習(xí),對(duì)提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)、培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和應(yīng)用意識(shí),都有不可替代的指導(dǎo)作用[1]．

初中階段函數(shù)學(xué)習(xí)的一般進(jìn)程是:先初步了解變量與函數(shù)的概念,然后再分別研究三個(gè)具體的函數(shù)(一次函數(shù)、反比例函數(shù)與二次函數(shù)),其中,變量與函數(shù)是難點(diǎn)之一．對(duì)此,一些教材采用避開難點(diǎn)的辦法,在引入變量與函數(shù)的概念后直接進(jìn)入一次函數(shù)的學(xué)習(xí),讓學(xué)生在學(xué)習(xí)具體函數(shù)的過程中,逐步感悟函數(shù)的思想方法與研究函數(shù)的一般思路．這種辦法雖然降低了函數(shù)學(xué)習(xí)的難度,但學(xué)生往往“只見樹木,不見森林”,缺乏對(duì)函數(shù)的整體認(rèn)識(shí)．

為了解決上述難點(diǎn),我們嘗試設(shè)計(jì)“倒水實(shí)驗(yàn)”,期望通過具體的實(shí)驗(yàn)操作,使學(xué)生親歷變化過程,理解其中的變量與常量,探索變量之間的變化規(guī)律及其表達(dá)方式,為后繼函數(shù)的學(xué)習(xí)提供直觀經(jīng)驗(yàn)和整體概觀．這是一種以“做”為支架,通過操作體驗(yàn)、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)、綜合實(shí)踐等活動(dòng),獲得數(shù)學(xué)概念、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)方式,稱為“做數(shù)學(xué)”[2]．

2 “倒水實(shí)驗(yàn)”的教學(xué)設(shè)計(jì)及價(jià)值分析

2.1 教學(xué)目標(biāo)

實(shí)驗(yàn)的總體目標(biāo)是幫助學(xué)生初步感悟研究函數(shù)的基本思路,具體包括:

(1)理解一個(gè)變化過程中的常量與變量,初步感受常量與變量之間的辯證關(guān)系;

(2)通過數(shù)量關(guān)系探索兩個(gè)變量之間的變化規(guī)律;

(3)用列表、圖象和解析式表示兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系,初步感悟三種表示方式的意義及聯(lián)系．

2.2 實(shí)驗(yàn)器材準(zhǔn)備

(1)形狀各異的玻璃瓶:A1(直徑為5.5 cm的圓柱形,瓶中無水),A2(直徑為5.5 cm的圓柱形,瓶中有水),A3(直徑為8 cm的圓柱形,瓶中無水),A4(直徑為8 cm的圓柱形,瓶中有水),A5(直徑為3 cm的圓柱形,瓶中有水),B1(圓錐形),B2(倒錐形),B3(球形),C1(松樹形狀),C2(五角星形狀)(圖1)．

圖1 形狀各異的玻璃瓶

(2)帶有刻度的容量為30 ml的小量杯10個(gè)(每小組1個(gè)),教師另有10 ml、50 ml量杯各1個(gè)(圖2)．

圖2 容量為30 ml的小量杯

(3)刻度尺、水.

實(shí)驗(yàn)器材準(zhǔn)備意圖“工欲善其事,必先利其器．”實(shí)驗(yàn)工具作為數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的有效載體,發(fā)揮的作用不容小覷．基于本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo),外形多樣的玻璃瓶不僅可以有效地激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,喚醒學(xué)生的探索意識(shí),也為理解各種函數(shù)變化規(guī)律,培養(yǎng)幾何直觀、抽象能力等學(xué)科核心素養(yǎng)作準(zhǔn)備．

2.3 實(shí)驗(yàn)報(bào)告設(shè)計(jì)

表1所示為本次實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)的報(bào)告單.

表1 教學(xué)實(shí)驗(yàn)報(bào)告單

實(shí)驗(yàn)報(bào)告設(shè)計(jì)意圖實(shí)驗(yàn)報(bào)告由實(shí)驗(yàn)用具、實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)、實(shí)驗(yàn)思考三個(gè)部分構(gòu)成,這樣的設(shè)計(jì)有助于學(xué)生明確實(shí)驗(yàn)?zāi)繕?biāo),引領(lǐng)實(shí)驗(yàn)探究．實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)以“數(shù)”“形”兩種方式描述,表格記錄實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)清晰明了,圖象反映實(shí)驗(yàn)結(jié)果形象直觀,這既是記錄實(shí)驗(yàn)結(jié)果,也是承前一章《平面直角坐標(biāo)系》,更是預(yù)示未來——函數(shù)的表示方法．實(shí)驗(yàn)思考意在啟發(fā)學(xué)生回顧反思實(shí)驗(yàn)過程,通過思考實(shí)驗(yàn)結(jié)果,發(fā)現(xiàn)規(guī)律,使函數(shù)概念生成得更加自然．

2.4 實(shí)驗(yàn)價(jià)值分析

本實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)有如下特點(diǎn)與價(jià)值:(1)常量與變量“觸手可得”,變量對(duì)應(yīng)“清晰可見”.學(xué)生用量杯倒水、用尺測(cè)量水面高度,知道每次倒水量不變(30 ml),看到每倒一次水,水位只有一個(gè)高度與之對(duì)應(yīng),與玻璃瓶形狀無關(guān).在具身體驗(yàn)中認(rèn)識(shí)常量與變量,抽象的函數(shù)概念變得具體[3],有利于理解函數(shù)概念．(2)表達(dá)變化數(shù)形“雙管齊下”.表格中的數(shù)、坐標(biāo)系下的點(diǎn)、平滑的線,通過不同的方式描述變化表達(dá)對(duì)應(yīng),在幾何直觀中承前章啟本章,體會(huì)函數(shù)表示方法的多樣性,感受玻璃瓶起始狀態(tài)不同(有水與無水)則函數(shù)圖象的起點(diǎn)不同,玻璃瓶形狀不同則函數(shù)圖象的“走勢(shì)”不同,玻璃瓶粗細(xì)不同則圖象“陡峭程度”不同,這些均為全章整體建構(gòu)開啟良好的篇章．(3)辯證思維、理性精神“滲透無痕”.在具體操作中“求同存異”,瓶子不同但有“倒水次數(shù)與水位高度對(duì)應(yīng)”相同的特點(diǎn),不同形狀的玻璃瓶、不同的水位起點(diǎn)則對(duì)應(yīng)不同的圖象,……這些結(jié)論是學(xué)生親手做出來的,親眼看出來的,腦子想出來的,是來自實(shí)驗(yàn)的事實(shí),不是紙上談兵,更不是教師灌輸.

3 課堂教學(xué)實(shí)施流程及片段解讀

3.1 說明實(shí)驗(yàn)要求

師:每個(gè)小組有一個(gè)玻璃瓶,形狀各不相同,有大小不一的圓柱形、球形、錐形、五角星等形狀;有的是空瓶,有的裝有一定量的水;另外還有一個(gè)容量為30 ml的量杯．今天我們做“倒水實(shí)驗(yàn)”,記錄倒水過程中的數(shù)據(jù),思考倒水的結(jié)果,看看有什么新的發(fā)現(xiàn)．

實(shí)驗(yàn)步驟:

(1)分工合作:1位同學(xué)倒水,2位同學(xué)測(cè)量水平高度,1位同學(xué)記錄數(shù)據(jù)．

(2)操作記錄:每次向玻璃瓶中注入1量杯水,測(cè)量注水后的水面高度,并記錄注水杯數(shù)及對(duì)應(yīng)水面高度．

(3)描點(diǎn)連線:將注水的杯數(shù)記作x,作為橫坐標(biāo),對(duì)應(yīng)水面高度記作y,作為縱坐標(biāo),描點(diǎn)并連線,將所得數(shù)據(jù)繪制成一張變化趨勢(shì)圖．

片斷解讀講清實(shí)驗(yàn)操作具體要求,科學(xué)分工協(xié)作,提高“做”的效率,確保得到較為精準(zhǔn)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果,為抽象概括生成函數(shù)概念做好素材準(zhǔn)備．

3.2 學(xué)生實(shí)驗(yàn)

大約13 min完成實(shí)驗(yàn)．

片斷解讀“做數(shù)學(xué)”極大地調(diào)動(dòng)了學(xué)生的積極性,激發(fā)了學(xué)生的探索欲望,讓學(xué)生有足夠的熱情投入到實(shí)驗(yàn)探究中去,也有利于培養(yǎng)學(xué)生尊重科學(xué)的理性精神．

3.3 交流實(shí)驗(yàn)結(jié)果

·交流實(shí)驗(yàn)組共性,生成常量與變量概念

師:觀察表格中的數(shù)據(jù),說說你的發(fā)現(xiàn)．

生(齊):注水的杯數(shù)在增加,玻璃瓶的水面高度在升高．

師:杯數(shù)和水面高度這兩個(gè)量都在變化,我們把數(shù)值發(fā)生變化的量叫作變量．實(shí)驗(yàn)中有沒有不變的量?

生:每次注入玻璃瓶的水,玻璃瓶的高度、容積．

師:像這樣數(shù)值保持不變的量叫作常量．

師:若老師三次分別用容積為10 ml,30 ml,50 ml的量杯裝滿水,并倒入玻璃瓶,那么每次注入的水仍然為常量嗎?

……

片斷解讀通過問題串,指引學(xué)生回顧實(shí)驗(yàn)過程中存在的“變”與“不變”,得到“變量”“常量”的概念,將學(xué)生帶領(lǐng)到“變量數(shù)學(xué)”的領(lǐng)域．設(shè)計(jì)“替換量杯”環(huán)節(jié),以體現(xiàn)常量和變量的相對(duì)性,滲透辯證思想．

·分析實(shí)驗(yàn)結(jié)果共性,抽象概括函數(shù)概念

活動(dòng)1 第一小組(A1)匯報(bào)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)．

問題串:(1)在這個(gè)容器中注入1杯后,測(cè)出高度是多少?水面高度是唯一的值嗎?

(2)注入2杯,水面高度是多少?唯一嗎?注入3杯,仍然是唯一確定的水面高度嗎?……

(3)從這些數(shù)據(jù)中可以看出,隨著杯數(shù)的增加,水面高度也在增加;當(dāng)注水杯數(shù)確定時(shí),水面高度也隨之確定嗎?

(4)如果加入一杯半水,也就是當(dāng)杯數(shù)x為1.5時(shí),能量出水面高度嗎?高度唯一嗎?

(5)你能預(yù)測(cè)到注入12杯后的水面高度嗎?

總結(jié)變化規(guī)律:對(duì)于注水杯數(shù)的每一個(gè)值,水面高度都有唯一的值與它對(duì)應(yīng)．

活動(dòng)2 實(shí)物投影4個(gè)小組的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)．

問題:各小組數(shù)據(jù)不盡相同,但你能發(fā)現(xiàn)每小組實(shí)驗(yàn)結(jié)果的共同特征嗎?請(qǐng)表達(dá)出來．

活動(dòng)3 請(qǐng)其余小組成員談?wù)勛约盒〗M的數(shù)據(jù)反映出的變量間的特點(diǎn),生成函數(shù)概念．

片斷解讀首先,以第一小組數(shù)據(jù)為“點(diǎn)”,在問題串的驅(qū)動(dòng)之下,促進(jìn)學(xué)生對(duì)“做數(shù)學(xué)”的實(shí)踐過程進(jìn)行理性的梳理,經(jīng)歷觀察、推理、分析、猜想等思維過程,逐步對(duì)兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系形成清晰的認(rèn)知;其次,以4個(gè)小組的數(shù)據(jù)為“線”,發(fā)現(xiàn)與第一小組的結(jié)果存在一定的共性;最后,推而廣之到“面”(所有小組的數(shù)據(jù)),進(jìn)一步體會(huì)共性所在,引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)語言規(guī)范地描述兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系,抽象出函數(shù)概念,引出課題．

·關(guān)注常量與變量的實(shí)際意義,感悟研究函數(shù)的一般思路

活動(dòng)4 以第一組的玻璃瓶為參照,逐步分三個(gè)層次:(1)形狀相同、大小相等但原先有水和無水的兩個(gè)玻璃瓶;(2)形狀相同、大小不等、原先均無水的兩個(gè)玻璃瓶;(3)形狀不同的兩個(gè)玻璃瓶．對(duì)照實(shí)驗(yàn)結(jié)果(尤其是繪制的圖形),分別討論它們的不同之處．

片斷解讀函數(shù)是描述一個(gè)變化過程的數(shù)學(xué)模型,其中的常量與變量不僅具有實(shí)際意義,也會(huì)影響函數(shù)的變化規(guī)律．學(xué)生在反復(fù)比較、充分交流的過程中,感受到函數(shù)的變化規(guī)律不僅與變量的設(shè)置有關(guān),也與玻璃瓶的形狀有關(guān),進(jìn)而認(rèn)識(shí)到函數(shù)關(guān)系及其表達(dá)方式的多樣性,為后續(xù)各種具體函數(shù)的學(xué)習(xí)播下直觀而理性的“種子”．

4 學(xué)生反饋

為了更好地了解學(xué)生通過“做數(shù)學(xué)”的學(xué)習(xí)方式獲得函數(shù)概念的學(xué)習(xí)效果及情感體驗(yàn),課后,我們以問卷的形式進(jìn)行了調(diào)查．對(duì)于問題“很多同學(xué)剛剛學(xué)習(xí)函數(shù)概念時(shí),覺得很難理解(甚至有些同學(xué)在很長(zhǎng)一段時(shí)間內(nèi),覺得困難),你覺得通過倒水實(shí)驗(yàn)的學(xué)習(xí)過程,這個(gè)概念很難理解嗎?說說你的想法．”“你喜歡這種通過親手操作做實(shí)驗(yàn)獲取知識(shí)的學(xué)習(xí)方式嗎?說說你喜歡或者不喜歡的真實(shí)想法(理由)．”有98%的學(xué)生認(rèn)為通過倒水實(shí)驗(yàn)的過程,可以較好地理解函數(shù)的概念,并表示喜歡這種通過親手操作做實(shí)驗(yàn)獲取知識(shí)的學(xué)習(xí)方式,認(rèn)為活動(dòng)豐富有趣,結(jié)果形象直觀,留下了深刻的印象．對(duì)于類似“若兩個(gè)變量x,y之間的數(shù)量關(guān)系可以寫成y+2x=3,變量y是x的函數(shù)嗎?為什么?變量x是y的函數(shù)嗎?為什么?”等考查函數(shù)本質(zhì)特征的問題,97%的學(xué)生可以準(zhǔn)確地回答,這說明通過“做數(shù)學(xué)”的方式學(xué)習(xí),有利于函數(shù)概念的理解．

5 反思與總結(jié)

5.1 “做數(shù)學(xué)”的團(tuán)隊(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果,有利于形成概念

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的邏輯起點(diǎn),是學(xué)生認(rèn)知的基礎(chǔ),是學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思維的核心,在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與教學(xué)中具有重要的地位[4]．歸納“研究對(duì)象的本質(zhì)”是形成概念的關(guān)鍵,也是概念學(xué)習(xí)的核心所在,提供豐富的有意義的研究對(duì)象,有利于提煉研究對(duì)象的本質(zhì)．“變量數(shù)學(xué)”“高度抽象”等這些貼在函數(shù)概念上的“標(biāo)簽”,足以表明學(xué)習(xí)函數(shù)概念不是件容易的事．提供一定量的有利于提煉函數(shù)本質(zhì)特征的素材,有利于概念的生成．

本節(jié)課的倒水實(shí)驗(yàn)以玻璃瓶起初有水無水、形狀規(guī)則與不規(guī)則等為標(biāo)準(zhǔn),將全班學(xué)生分成10個(gè)小組,獲取10組數(shù)據(jù),繪制10幅圖形,這為抽象實(shí)驗(yàn)結(jié)果的共性、生成函數(shù)概念提供了豐富的素材．教師以問題串為引擎,讓學(xué)生經(jīng)歷觀察思考,從1組數(shù)據(jù)到4組數(shù)據(jù),直到10組數(shù)據(jù),如此“點(diǎn)、線、面”的方式逐步鋪開,而且數(shù)據(jù)都是學(xué)生“做數(shù)學(xué)”“做”出來的,心理上有著真實(shí)可靠的情感,讓學(xué)生切實(shí)感受到雖然數(shù)據(jù)眾多、圖形各異,但并非雜亂無章,而是有章可循.學(xué)生在教師精心設(shè)計(jì)的問題中啟發(fā)思考,發(fā)現(xiàn)規(guī)律,表達(dá)“章法”,形成概念．經(jīng)歷如此學(xué)習(xí)過程,學(xué)生能夠體悟到在面對(duì)復(fù)雜多樣的現(xiàn)實(shí)世界時(shí),要善于發(fā)現(xiàn)本質(zhì)、總結(jié)規(guī)律,有利于認(rèn)識(shí)現(xiàn)實(shí)世界．

5.2 “做數(shù)學(xué)”的團(tuán)隊(duì)思維成果,有利于建構(gòu)整體框架

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》指出:“在教學(xué)中要重視對(duì)教學(xué)內(nèi)容的整體分析,幫助學(xué)生建立能體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)、對(duì)未來學(xué)習(xí)有支撐意義的結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)知識(shí)體系.”[5]數(shù)學(xué)知識(shí)不是孤立存在的,要了解它的落腳點(diǎn)、生長(zhǎng)點(diǎn)和延伸點(diǎn),關(guān)注它們的聯(lián)系和結(jié)構(gòu),架構(gòu)知識(shí)的整體體系,由點(diǎn)及線,以線觀面．因此,要利用恰當(dāng)?shù)闹黝}活動(dòng)整合教學(xué)內(nèi)容,有利于促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)本質(zhì)的深度理解,加強(qiáng)學(xué)生思維的連貫性．

作為章首課,“變量與函數(shù)”具有提綱挈領(lǐng)的作用．倒水實(shí)驗(yàn)作為章頭圖活動(dòng)的改編,承接舊知(平面直角坐標(biāo)系),導(dǎo)入新知(函數(shù)概念),達(dá)成課時(shí)目標(biāo)并引申到函數(shù)單元甚至整個(gè)主題．實(shí)驗(yàn)中,通過對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的不同記錄方式,為函數(shù)的三種表示方法埋下伏筆,體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合、滲透幾何直觀．實(shí)驗(yàn)后,對(duì)用不同的玻璃瓶得到的實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分享分析,發(fā)現(xiàn)變量間不同的對(duì)應(yīng)關(guān)系有不同的圖形表達(dá)．通過反復(fù)地觀察、對(duì)比,初步感受各函數(shù)的基本特征,感受到存在最簡(jiǎn)單特殊的函數(shù),它應(yīng)該是深入學(xué)習(xí)函數(shù)的起點(diǎn)．學(xué)生在“從特殊到一般”的思維過程中生成概念(由各組不同的實(shí)驗(yàn)結(jié)果,達(dá)成一般共識(shí),生成函數(shù)概念),再從“一般到特殊”的感悟中建構(gòu)大致框架(都是函數(shù)卻有不同,有些簡(jiǎn)單有些復(fù)雜,從而建構(gòu)函數(shù)體系的大致框架),為后續(xù)學(xué)習(xí)一次函數(shù)乃至二次函數(shù)、反比例函數(shù)做好鋪墊,體現(xiàn)了大單元教學(xué)觀．本節(jié)課以“做數(shù)學(xué)”為媒介,引導(dǎo)學(xué)生初步建構(gòu)以函數(shù)為主題的知識(shí)體系,而且讓學(xué)生大致了解函數(shù)的研究路徑:定義—圖象—性質(zhì),體驗(yàn)函數(shù)建模的過程,積累研究問題的方法和解決問題的策略．

5.3 “做數(shù)學(xué)”的具身學(xué)習(xí)方式,有利于發(fā)展抽象能力

數(shù)學(xué)中的概念、命題、方法與體系都是數(shù)學(xué)抽象的結(jié)果[6]．“抽象”是數(shù)學(xué)學(xué)科的本質(zhì)特征,發(fā)展學(xué)生的抽象能力是培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)識(shí)現(xiàn)實(shí)世界的重要任務(wù),概念教學(xué)是發(fā)展抽象能力的重要抓手．以函數(shù)概念為例,不少教師通過列舉一定量的生活中的例子,試圖引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn):在一個(gè)變化過程中的兩個(gè)量,其中一個(gè)變量取一個(gè)值,另一個(gè)變量有唯一確定的值與它對(duì)應(yīng),從而生成函數(shù)概念．但筆者認(rèn)為,這些例子是教師列舉出來的,變量之間的關(guān)系也是在教師的牽引之下學(xué)生被動(dòng)生成的,這種學(xué)習(xí)方式是“離身”的,雖然情境是生活中的,也是真實(shí)的,但學(xué)生依然是學(xué)習(xí)的“局外人”．

倒水實(shí)驗(yàn)這一過程有如下幾個(gè)特點(diǎn):水是學(xué)生自己倒的,數(shù)據(jù)是學(xué)生自己測(cè)量并記錄的,圖形是學(xué)生自己描點(diǎn)連線畫出來的,瓶子的形狀是看得見摸得著的．這些特質(zhì)使得學(xué)生真正成為學(xué)習(xí)的主人,他們以“做”為支架,進(jìn)行“操作觀察—感悟思考—理解表達(dá)”等一系列有意義的數(shù)學(xué)活動(dòng)．在這種學(xué)習(xí)方式中,學(xué)生就是情境中的人,是“具身”的,于是抽象變得不再那么抽象．

6 結(jié)束語

通過倒水實(shí)驗(yàn),學(xué)生在“知行合一”中走進(jìn)“變量與函數(shù)”的世界,初步理解函數(shù)的概念,初步感受到以函數(shù)為主題的學(xué)習(xí)框架,積累了一些認(rèn)識(shí)世界的經(jīng)驗(yàn).在“主人翁”的角色中,經(jīng)歷從特殊到一般的抽象,再從一般到特殊的建構(gòu),感受到“數(shù)”與“形”的統(tǒng)一,以及從“形”(繪制的圖形)到“形”(玻璃瓶的形狀)的想象與預(yù)測(cè),這些體驗(yàn)不是憑空臆想,而是來自實(shí)踐操作、理性思考,如此高品位的學(xué)習(xí)方式將影響學(xué)生的終身發(fā)展．