項(xiàng)目式學(xué)習(xí)在數(shù)學(xué)探究活動(dòng)中的應(yīng)用研究
——以“楊輝三角的性質(zhì)與應(yīng)用”為例*

柯燕萍 (福建省廈門市同安區(qū)教師進(jìn)修學(xué)校 361100)

數(shù)學(xué)建模與探究活動(dòng)是高中數(shù)學(xué)課程四條主線之一,這類活動(dòng)以學(xué)生為主體,在教師的引導(dǎo)下,學(xué)生通過經(jīng)歷實(shí)踐獲得知識(shí)技能,并提高學(xué)科素養(yǎng)．項(xiàng)目式學(xué)習(xí)的理念和數(shù)學(xué)探究活動(dòng)在一定程度上是相通的,但是兩者又有差異．?dāng)?shù)學(xué)探究是從數(shù)學(xué)角度明確所研究的內(nèi)容,而項(xiàng)目式學(xué)習(xí)則是從方法角度強(qiáng)調(diào)怎么做,對(duì)過程和結(jié)果要求更加具體明確．

經(jīng)過實(shí)踐驗(yàn)證,通過項(xiàng)目式學(xué)習(xí)方法開展數(shù)學(xué)探究活動(dòng),可明確活動(dòng)的目標(biāo),加強(qiáng)活動(dòng)的程序性,增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)過程的體驗(yàn),提高學(xué)生的綜合能力和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．本文以“楊輝三角的性質(zhì)與應(yīng)用”為案例,解讀如何借助項(xiàng)目式學(xué)習(xí)開展數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的教學(xué)．

1 模式探索,優(yōu)化數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的學(xué)習(xí)路徑

數(shù)學(xué)探究活動(dòng)是運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決數(shù)學(xué)問題的一類綜合實(shí)踐活動(dòng)[1]35．它的特點(diǎn)是有一個(gè)要解決的問題,引導(dǎo)著活動(dòng)的進(jìn)程;有一個(gè)要學(xué)生全程參與、解決問題的過程;有一個(gè)可以分享交流、需要交互參與的評(píng)價(jià)結(jié)果．

美國(guó)巴克教育研究所提出:項(xiàng)目式學(xué)習(xí)是一套系統(tǒng)的教學(xué)方法,既是對(duì)復(fù)雜的、真實(shí)的問題的探究過程,也是精心設(shè)計(jì)項(xiàng)目作品、規(guī)劃和實(shí)施項(xiàng)目任務(wù)的過程,學(xué)生通過經(jīng)歷過程掌握知識(shí),提高技能．項(xiàng)目式學(xué)習(xí)這一模式給高中數(shù)學(xué)探究活動(dòng)提供了一條實(shí)施的路徑．它以終極產(chǎn)品要求來制定活動(dòng)的目標(biāo),目標(biāo)的指向性更為明確．

對(duì)于項(xiàng)目式學(xué)習(xí)實(shí)施的流程,經(jīng)過一段時(shí)間的學(xué)習(xí)和實(shí)踐探索,我們把流程具體化為如圖1所示的幾個(gè)步驟．那么,在具體教學(xué)中,如何借助項(xiàng)目式學(xué)習(xí)來進(jìn)行數(shù)學(xué)活動(dòng)探究呢?

圖1

2 應(yīng)用實(shí)踐,強(qiáng)化數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的過程體驗(yàn)

2.1 定目標(biāo)——確定對(duì)象,制定項(xiàng)目目標(biāo)和產(chǎn)品

學(xué)習(xí)了二項(xiàng)式定理,了解二項(xiàng)式系數(shù)之間的規(guī)律．那么如何深挖二項(xiàng)式系數(shù)背后的規(guī)律呢?可以從定理本身的背景或者生活應(yīng)用入手．

楊輝三角是我國(guó)數(shù)學(xué)史上一個(gè)偉大的成就,它不僅具有數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)文化上的魅力,還蘊(yùn)含著豐富的代數(shù)性質(zhì)和應(yīng)用價(jià)值．因此把“楊輝三角的性質(zhì)和應(yīng)用”作為探究活動(dòng),可延續(xù)之前對(duì)楊輝三角的探究,制定“從楊輝三角發(fā)現(xiàn)規(guī)律性質(zhì)”和“調(diào)查和研究楊輝三角背后的文化和應(yīng)用”的終極產(chǎn)品．

2.2 析路徑——設(shè)置驅(qū)動(dòng)問題,分解項(xiàng)目任務(wù)

·發(fā)現(xiàn)和提出有意義的數(shù)學(xué)問題

楊輝是我國(guó)古代數(shù)學(xué)史上一位著述豐富的數(shù)學(xué)家,在其1261年所著的《詳解九章算法》一書中,記載了“開方作法本源圖”．

有同學(xué)發(fā)現(xiàn),這是二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列．在學(xué)習(xí)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)時(shí),借助這樣的形式,發(fā)現(xiàn)了二項(xiàng)式系數(shù)間的一些規(guī)律．

驅(qū)動(dòng)問題:繼續(xù)觀察楊輝三角,還能發(fā)現(xiàn)其他不同的規(guī)律嗎?可以通過哪些角度來進(jìn)行觀察呢?

追問:(1)從楊輝三角的每一行出發(fā),除了對(duì)稱性,還能發(fā)現(xiàn)其他的性質(zhì)嗎?(2)對(duì)楊輝三角進(jìn)行降維處理,除了觀察每一行的規(guī)律,還可以從哪些角度尋找楊輝三角的性質(zhì)?(3)你能對(duì)觀察發(fā)現(xiàn)提出合理的猜想嗎?

·提出解決問題的思路,猜想合理的數(shù)學(xué)結(jié)論

(1)觀察發(fā)現(xiàn),合作完成

從圖形出發(fā)觀察數(shù)字之間的關(guān)系,提供一些方法輔助:圈一圈、連一連、算一算,找到一些思維方向．根據(jù)已有經(jīng)驗(yàn),楊輝三角的特殊性在于其是特殊數(shù)字按照一定規(guī)律排布的三角形數(shù)陣,它兼具形和數(shù)的特征.從形的角度出發(fā),再將離散的數(shù)抽象為具有統(tǒng)攝效果的代數(shù)符號(hào),進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算,尋找代數(shù)運(yùn)算的不變性,即楊輝三角的規(guī)律性．

在這個(gè)過程中,項(xiàng)目組可以進(jìn)行合作．例如第一小組觀察從橫行出發(fā),第二小組從斜行出發(fā)．每個(gè)小組通過觀察得出特殊結(jié)果,并進(jìn)行合理猜想,最終選擇一名代表上臺(tái)展示觀察的結(jié)果和猜想 的結(jié)論．小組內(nèi)每個(gè)成員可以展示一個(gè)猜想結(jié)果,保證每位學(xué)生都參與其中,既有小組合作又有個(gè)人展示．

觀察角度1 從楊輝三角的橫行出發(fā):①橫行中與首末兩端“等距離”之?dāng)?shù)相等(圖2);②橫行的數(shù)字的和分別為2,4,8,16,32,64,…(圖3);③橫行的奇數(shù)項(xiàng)之和與偶數(shù)項(xiàng)之和相等(圖4)．

圖2

圖4

觀察角度2 從楊輝三角的隔行出發(fā):④除了1以外的數(shù)都等于肩上兩數(shù)之和(圖5)．

觀察角度3 從楊輝三角的斜行出發(fā):⑤自腰上的某個(gè)1開始,平行于腰的一條線上的連續(xù)n個(gè)數(shù)的和等于最后一個(gè)數(shù)斜右下方的那個(gè)數(shù)(圖6)．

(2)歸納猜想,總結(jié)規(guī)律

通過觀察形成歸納猜想,進(jìn)行推理和證明思路的整理,可以培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維,這對(duì)于學(xué)習(xí)和研究數(shù)學(xué)是至關(guān)重要的技能．

由于楊輝三角的直觀性,學(xué)生容易發(fā)現(xiàn)一些數(shù)的規(guī)律,根據(jù)之前學(xué)習(xí)二項(xiàng)式系數(shù)的規(guī)律,可以歸納出一些合理的猜想(表1)．

表1 楊輝三角規(guī)律的猜想

·論證數(shù)學(xué)結(jié)論

數(shù)學(xué)推理論證是一種嚴(yán)密的邏輯推理過程．嚴(yán)格的論證可以確保數(shù)學(xué)結(jié)論的正確性和準(zhǔn)確性．為了確保上述猜想的正確性和準(zhǔn)確性,對(duì)猜想進(jìn)行驗(yàn)證．

猜想1～猜想3是已學(xué)的二項(xiàng)式系數(shù)的關(guān)系,學(xué)生容易進(jìn)行論證．這里對(duì)猜想4和猜想5進(jìn)行證明．

這是楊輝三角的遞歸性．

2.3 恰當(dāng)指導(dǎo)——圍繞主題,耐心指導(dǎo)

由于楊輝三角的直觀性和性質(zhì)的豐富性,適合第1課時(shí)當(dāng)堂完成探究;而那些“深藏不露”的性質(zhì),需要引導(dǎo)學(xué)生課后查找閱讀相關(guān)材料,讓不同發(fā)展水平的學(xué)生都能進(jìn)行探究,并有所收獲．教師應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生開展閱讀交流活動(dòng),并針對(duì)歷史材料提取出楊輝三角的有益信息．

為了引導(dǎo)學(xué)生深入探究問題,研究周期可設(shè)定為兩周甚至更長(zhǎng)．展示之前,建議安排中間第2課時(shí)進(jìn)行中期匯報(bào)和展示,教師根據(jù)學(xué)生研究的結(jié)果進(jìn)行針對(duì)性的指導(dǎo)．從楊輝三角的性質(zhì)出發(fā),拓展性質(zhì)背后的應(yīng)用和實(shí)際背景,形成系列結(jié)果．

2.4 述產(chǎn)品——分享交流,展示產(chǎn)品

學(xué)生展示的學(xué)習(xí)成果可以是一份報(bào)告、演示文稿、實(shí)物模型、藝術(shù)品、軟件程序或其他形式的產(chǎn)品．通過產(chǎn)品展示,學(xué)生鞏固其對(duì)所學(xué)內(nèi)容的理解,并展現(xiàn)出自己的實(shí)踐能力和創(chuàng)造力．

歷經(jīng)三周的探究,項(xiàng)目完成,以下是學(xué)生展示的項(xiàng)目作品范例．

項(xiàng)目作品1

數(shù)學(xué)背景 除了1之外的數(shù)都等于其肩上的兩數(shù)之和．

項(xiàng)目作品2

其中結(jié)論(3)涉及一個(gè)古算題的背景．

現(xiàn)實(shí)背景 垛積問題．楊輝在《詳解九章算法》中記載有這樣一道題目:“三角垛,下廣,一面一十二個(gè),上尖,問:計(jì)幾何?”答曰:“三百六十四個(gè)．”如圖7所示的是四層的情況．

圖7

圖8

楊輝三角還可以應(yīng)用于開方古算題、牛頓對(duì)圓周率的估算、楊輝三角中的素?cái)?shù)等,展現(xiàn)楊輝三角的應(yīng)用價(jià)值,感悟數(shù)學(xué)文化．

3 評(píng)價(jià)發(fā)展,深化數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的意義

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》指出:“通過考查,診斷學(xué)生學(xué)習(xí)過程中的優(yōu)勢(shì)與不足,進(jìn)而診斷教師教學(xué)過程中的優(yōu)勢(shì)與不足;通過診斷,改進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)行為,進(jìn)而改進(jìn)教師的教學(xué)行為,促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的達(dá)成．”[1]84

3.1 針對(duì)研究過程的評(píng)價(jià)依據(jù)

通過觀察學(xué)生在課堂上的學(xué)習(xí)行為、合作學(xué)習(xí)中的思維過程,以及學(xué)生解決問題的方法路徑的探索,發(fā)現(xiàn)學(xué)生思維發(fā)展的特征,從而發(fā)現(xiàn)教學(xué)中的問題,及時(shí)調(diào)整教師的教學(xué)行為．

本項(xiàng)研究中可以觀察學(xué)生的以下行為:(1)能否從教師的引導(dǎo)中對(duì)問題進(jìn)行深入思考,尋找觀察楊輝三角的研究路徑;(2)能否通過閱讀網(wǎng)上的資料,整理內(nèi)化,發(fā)現(xiàn)楊輝三角的規(guī)律;(3)能否認(rèn)真總結(jié)已有性質(zhì)的證明依據(jù),并類似地證明其他性質(zhì)．

3.2 針對(duì)報(bào)告內(nèi)容設(shè)計(jì)的評(píng)價(jià)依據(jù)

項(xiàng)目式學(xué)習(xí)可依據(jù)學(xué)生對(duì)任務(wù)的內(nèi)容設(shè)計(jì)、評(píng)價(jià)報(bào)告的結(jié)構(gòu)和組織、評(píng)價(jià)任務(wù)完成的情況,以及報(bào)告內(nèi)容的設(shè)計(jì)來進(jìn)行評(píng)價(jià):(1)根據(jù)課時(shí)的引導(dǎo),學(xué)生能否總結(jié)出研究路徑,并通過總結(jié)的路徑進(jìn)一步研究;(2)學(xué)生梳理清楚楊輝三角的性質(zhì)后,能否給出嚴(yán)謹(jǐn)證明,并形成報(bào)告;(3)學(xué)生能否寫出每條性質(zhì)的數(shù)學(xué)背景或?qū)嶋H背景．

3.3 針對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)態(tài)度的評(píng)價(jià)依據(jù)

學(xué)生良好的學(xué)習(xí)態(tài)度是完成學(xué)習(xí)任務(wù)的基礎(chǔ),是培養(yǎng)關(guān)鍵能力的基礎(chǔ),是發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)、促進(jìn)科學(xué)精神養(yǎng)成的必要條件．評(píng)價(jià)時(shí)應(yīng)關(guān)注以下幾方面:(1)評(píng)價(jià)學(xué)生對(duì)項(xiàng)目經(jīng)驗(yàn)的反思和改進(jìn)能力,包括認(rèn)識(shí)自己的不足、制訂改進(jìn)計(jì)劃和積極執(zhí)行等方面;(2)評(píng)價(jià)學(xué)生在與團(tuán)隊(duì)成員和其他相關(guān)人員的溝通和合作中的表現(xiàn),包括態(tài)度、尊重和有效的交流等;(3)評(píng)價(jià)學(xué)生主動(dòng)參與項(xiàng)目的程度,包括主動(dòng)提出問題、主動(dòng)尋求資源和主動(dòng)參與討論等．

多元化評(píng)價(jià)在培養(yǎng)學(xué)生綜合能力、促進(jìn)深度學(xué)習(xí)、強(qiáng)調(diào)實(shí)踐意義、支持反思和反饋,以及促進(jìn)合作等方面發(fā)揮著重要作用．鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行深度學(xué)習(xí)和探究,比傳統(tǒng)的表面性記憶和應(yīng)試評(píng)價(jià)方式更注重學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)主題和問題的深入理解．

4 結(jié)束語(yǔ)

數(shù)學(xué)探究活動(dòng)意義深遠(yuǎn),項(xiàng)目式學(xué)習(xí)方式為數(shù)學(xué)探究活動(dòng)提供了一條實(shí)施路徑．教師做好方法的指導(dǎo),學(xué)生從被動(dòng)配合到主動(dòng)融入,全面參與到探究活動(dòng)來,體驗(yàn)數(shù)學(xué)探究活動(dòng),達(dá)到發(fā)展學(xué)生綜合能力和核心素養(yǎng)的目標(biāo)．