2022版新課標視角下“作一個角等于已知角”的解惑與教學建議*

高凱亮 (江蘇省南京江北新區(qū)浦口外國語學校 210031)

1 新課標中尺規(guī)作圖內(nèi)容的變化

尺規(guī)作圖是指有限次地使用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖的活動,也稱為初等幾何作圖或歐幾里得作圖[1].2022版新課標對小學、初中的尺規(guī)作圖內(nèi)容有所調(diào)整,其中在小學階段新增了用直尺和圓規(guī)“作一條線段等于已知線段”(下稱“作等線段”)等3處內(nèi)容,在初中階段增加了2處尺規(guī)作圖內(nèi)容:①過直線外一點作這條直線的平行線;②將“過圓外一點作圓的切線”設(shè)置為選學內(nèi)容.2022版新課標在“圖形與幾何”模塊明確提出,要理解和掌握尺規(guī)作圖的基本原理和方法;換而言之,要求學生不僅能用尺規(guī)把圖作正確,還要能根據(jù)作出的圖形進行說理,培養(yǎng)推理能力.

尺規(guī)作圖是培養(yǎng)學生幾何直觀、推理意識與推理能力的有力載體;尺規(guī)“作等線段”“作一個角等于已知角”(下稱“作等角”)是初中階段2個最基本的尺規(guī)作圖[2];小學階段新增的尺規(guī)作等線段,在后續(xù)直觀感受三角形的周長與探索三角形的三邊關(guān)系時都有用及．由此可見,2022版新課標更希望將尺規(guī)作等線段輻射到整個“圖形與幾何”領(lǐng)域的學習中,體現(xiàn)數(shù)學課程內(nèi)容的整體性與階段性.尺規(guī)作等線段調(diào)整到小學后,尺規(guī)作等角將是學生初中階段學習的第一個尺規(guī)作圖內(nèi)容,各版本教材對該內(nèi)容的編排位置有所差異.下文先分析各版本教材尺規(guī)作等角編排的位置及特點,再基于2022版新課標定位尺規(guī)作等角在初中階段的地位與作用,最后給出該內(nèi)容的教學建議.

2 各版本教材尺規(guī)“作等角”編排位置及特點

現(xiàn)行不同版本教材中,部分教材將尺規(guī)作等角編排在三角形全等之前,也有部分教材將其編排在三角形全等之后(表1).

表1 不同版本教材尺規(guī)“作等角”編排的位置

(1)尺規(guī)“作等角”編排在三角形全等之前

蘇科版、滬科版、北師大版、華師大版、冀教版教材將尺規(guī)作等角編排在三角形全等之前,但是5個版本教材的情境引入各有特點:蘇科版教材用量角器畫角進行引入,以便啟發(fā)學生用尺規(guī)作等角;北師大版教材將該內(nèi)容編排在相交線與平行線章節(jié),情境中需要過直線外一點作已知直線的平行線,但教材后續(xù)沒有啟發(fā)學生如何作圖,直接在“做一做”中給出尺規(guī)作等角的步驟;滬科版、華師大版、冀教版教材沒有設(shè)計情境引入,直接給出尺規(guī)作等角的步驟.由于這5個版本教材將該內(nèi)容編排在三角形全等之前,作圖后自然就沒有證明過程.學習三角形全等的判定后,華師大版、冀教版教材明確提出“回顧作一個角等于已知角的方法,并說說作法的依據(jù)”,但蘇科版、滬科版、北師大版教材沒有回顧尺規(guī)作等角的方法,也未討論作圖方法的依據(jù).

(2)“作等角”編排在三角形全等之后

人教版、浙教版、北京版、青島版教材均將尺規(guī)作等角編排在三角形全等之后,但是編排的具體位置略有不同．人教版教材在第1條三角形全等的判定(SSS)后,緊接著就安排尺規(guī)作等角,沒有設(shè)計情境引入,直接給出尺規(guī)作等角的步驟．雖然教材沒有給出證明過程,但是在對話框中提出“為什么這樣作出的兩個角相等”.顯然,人教版教材希望學生能夠自己證明.浙教版教材在三角形全等的4條判定后,再安排尺規(guī)作等角,同樣沒有設(shè)計情境引入,直接呈現(xiàn)尺規(guī)作等角的步驟,但給出了證明過程．青島版教材也是在三角形全等的4條判定后,再研究尺規(guī)作等角,直接提出如何用尺規(guī)作等角的問題,引導學生先構(gòu)造兩個三角形全等,將作等角轉(zhuǎn)化為作全等三角形,再呈現(xiàn)尺規(guī)作等角的步驟,并給出證明過程.北京版教材編排位置與浙教版教材一致,但沒有給出證明,而是提出問題:“為什么作出的角與已知角相等?”綜上所述,人教版、浙教版、北京版教材都沒有設(shè)計情境引入,教材直接給出尺規(guī)作等角的步驟;青島版教材在作圖前有啟發(fā)學生如何思考;值得注意的是,4個版本教材都注重尺規(guī)作圖后進行說理,特別重視推理能力的培養(yǎng).

3 “作等角”的地位與作用

“作等線段”“作等角”是尺規(guī)作圖中最基本的兩種作圖.由上文分析可知,2022版新課標將尺規(guī)作圖的內(nèi)容調(diào)整后,尺規(guī)作等角是初中階段學習的第一個尺規(guī)作圖內(nèi)容,是對小學階段幾何直觀、推理意識的升華,也是初中階段后續(xù)進行尺規(guī)作圖的基礎(chǔ),是義務(wù)教育階段核心素養(yǎng)整體性、一致性與階段性的具體表現(xiàn).例如,初中階段后續(xù)還會學習用尺規(guī)作角平分線、線段垂直平分線,包括初中階段新增的必學內(nèi)容“過直線外一點作這條直線的平行線”,這些尺規(guī)作圖都能夠通過作等線段、作等角實現(xiàn).因此,尺規(guī)作等角在初中階段“圖形與幾何”領(lǐng)域有著舉足輕重的作用.

4 教學建議

(1)挖掘各版本教材的編排優(yōu)勢,設(shè)計具有啟發(fā)性的情境

2022版新課標在教學建議中指出,要強化情境設(shè)計,注重發(fā)揮情境設(shè)計與問題提出對學生主動參與教學活動的促進作用[3].根據(jù)各版本教材尺規(guī)作等角情境引入的特點,結(jié)合學生的認知基礎(chǔ),可以設(shè)計不同的尺規(guī)作等角的情境,以便引發(fā)學生思考．

首先,對于將尺規(guī)作等角編排在三角形全等之前的情境引入,由于2022版新課標將尺規(guī)作圖內(nèi)容調(diào)整后,學生在小學第三學段(5～6年級)已經(jīng)歷過基于給定線段用尺規(guī)畫三角形,并且已經(jīng)具備了用量角器畫角的活動經(jīng)驗,筆者建議,不妨用量角器畫等角進行引入,再思考如何用尺規(guī)實現(xiàn)(圖1)．換而言之,就是引導學生思考如何從量角器畫等角轉(zhuǎn)化為尺規(guī)作等角．這種情境引入的方式符合現(xiàn)階段學生的認知基礎(chǔ),學生也易于接受,有助于啟發(fā)學生思考,提高課堂參與度．

圖1

其次,對于將尺規(guī)作等角編排在三角形全等之后的情境引入,由于4個版本教材都沒有設(shè)計問題情境,且學生此時已經(jīng)是八年級,他們的邏輯思維能力正由經(jīng)驗型向理論型轉(zhuǎn)化,對“圖形與幾何”模塊的學習也積累了一定經(jīng)驗,筆者建議:直接提出問題“如何用尺規(guī)作一個角等于已知角”,引導學生先畫出目標圖形,再思考如何用尺規(guī)將已知角進行“復制”,或用尺規(guī)模擬量角器畫等角的過程(圖1),或構(gòu)造全等三角形,將尺規(guī)作等角的問題轉(zhuǎn)化為作全等三角形解決.顯然,直接構(gòu)造全等三角形對學生的要求更高,需要學生有建模意識．教師無論采用哪種方法引導學生思考,課堂上都需要把如何思考作等角的過程“放大”,教會學生是如何想問題的,不要讓學生誤認為尺規(guī)作圖僅是一種操作技能．

(2)處理好合情推理與演繹推理的關(guān)系

史寧中教授在“2022版義務(wù)教育數(shù)學課程標準解讀”的講座中指出,初中需要進一步強調(diào)尺規(guī)作圖的道理,在過程中發(fā)展推理能力[4].將尺規(guī)作等角編排在三角形全等之前的部分版本教材,在后續(xù)學習三角形全等后并沒有讓學生回頭思考作圖方法的依據(jù),這會給學生造成尺規(guī)具有證明功能的“錯覺”.實際上,尺規(guī)作圖是合情推理的手段[5].若將尺規(guī)作等角編排在三角形全等之前,此時學生還不具備演繹推理的條件,教師可以讓學生在透明紙上作等角,將作出的角裁剪下來,用疊合法判斷兩個角是否相等,感受作圖方法的正確性,并明確告知學生,本節(jié)課用尺規(guī)模擬量角器畫等角僅是驗證了這種作圖方法是正確的,后續(xù)學習中將給出證明過程,不要讓學生誤認為尺規(guī)具有證明功能.若將尺規(guī)作等角編排在三角形全等之后,課堂上需要讓學生厘清作圖過程中每一條弧的作用,為學生進行證明奠定基礎(chǔ).無論是將尺規(guī)作等角編排在三角形全等之前還是之后,教師都需要讓學生經(jīng)歷從合情推理到演繹推理的閉環(huán)[6].

(3)挖掘尺規(guī)作圖的價值

尺規(guī)作圖有助于從感性到理性、直觀操作到邏輯推理中培養(yǎng)學生的幾何直觀、推理意識與推理能力,教學中盡可能讓尺規(guī)作圖輻射到整個“圖形與幾何”領(lǐng)域,感受尺規(guī)作圖是合情推理的重要手段之一.《幾何原本》第一卷給出了三角形全等所需條件及證明過程,歐幾里得運用疊合法證明命題4(SAS),運用反證法證明命題8(SSS)與命題26(ASA)[7].綜觀各版本教材,這3條三角形全等的判定都沒有給出嚴格的證明過程.由于學生學力原因,部分教材將這3條判定稱為基本事實,3條基本事實之間沒有遞推關(guān)系.既然稱為基本事實,那必定需要讓學生感受到基本事實的正確性．現(xiàn)行各版本教材在“探索三角形全等的條件”的引入方式上存在差異,主要有兩種引入方式:第1種有如北師大版教材,在探索“SAS”能否判定三角形全等時,提出問題“已知一個三角形的兩條邊分別為2.5 cm,3.5 cm,它們所夾的角為40°,你能畫出這個三角形嗎?你畫的三角形與同伴畫的三角形一定全等嗎?”第2種有如人教版教材,在探索“SAS”能否判定三角形全等時,讓學生先任意畫一個三角形,再畫一個三角形使得兩邊和它們的夾角分別相等,最后把畫好的三角形裁剪下來,判斷它們是否全等．由于不同學生第1次畫出的三角形形態(tài)各異,人教版的引入方式更能夠讓學生感受到命題的一般性與正確性.由于用量角器畫等角會存在誤差,所以可以借助尺規(guī)作等角完成,但是學生需要有尺規(guī)作等角的知識儲備.那么,如何解決這個問題呢?不妨按照人教版教材“探索三角形全等的條件”的情境進行引入,將尺規(guī)作等角、作角平分線單獨用1個課時安排在基本事實“SSS”后進行探究(表2).從構(gòu)造全等三角形的視角引發(fā)學生思考,既是對三角形全等的判定“SSS”的應(yīng)用,也為后續(xù)用尺規(guī)作圖感悟基本事實“SAS”“ASA”的合理性埋下伏筆.這樣一來,能夠?qū)⒊咭?guī)作等角的價值在本章的學習中凸顯出來.學生后續(xù)探索“兩邊一角”能否判定三角形全等時,借助尺規(guī)能夠直觀感受到滿足“SSA”的兩個三角形不一定全等,能借助尺規(guī)畫出反例(圖2).讓學生體會到尺規(guī)作圖能發(fā)現(xiàn)一些結(jié)論,從不同視角感受尺規(guī)作圖的價值所在,讓尺規(guī)作圖為幾何教學發(fā)揮更好的作用.

圖2

表2 “探索三角形全等的條件”的課時安排、研究內(nèi)容及情境引入