立足單元視角 強化代數推理
——“二次函數的圖象與性質”教學設計與思考*

鐘珍玖 (江蘇省江陰市第一初級中學 214400)

1 基本情況

1.1 學情分析

·知識技能分析

學生已經學習了二次函數的定義、形如y=ax2的函數圖象及其性質、通過平移得出y=ax2+k的圖象與性質.九年級學生具備較強的計算能力和邏輯推理能力．

·數學思想方法分析

九年級學生已經初步掌握數學思想方法,但是還沒有達到運用自如的程度．對于函數問題中的數形結合思想雖有了比較深刻的理解,但還需要進一步深化認識、強化應用．

·學習方法、習慣分析

經過初中階段的學習,學生已有類比學習的能力和一定的自學能力,對數學的學科特點有一些模糊的理解,但是自我探究的意識和能力還不強,需要在教學中進一步強化．

1.2 教材分析

本節(jié)課是在八年級學習了一次函數、反比例函數的圖象與性質的基礎上繼續(xù)研究二次函數的圖象和性質．在內容安排上,5.1節(jié)是二次函數的定義,5.2節(jié)是二次函數的圖象與性質,共4個學時:第1學時畫y=x2和y=-x2的圖象,引入拋物線、頂點、對稱軸等概念,第2學時歸納二次函數y=ax2的性質;第3學時通過圖形運動(平移)歸納y=ax2+k和y=a(x-h)2兩類函數的性質,第4學時探究y=a(x-h)2+k和y=ax2+bx+c的圖象與性質．

從教學實踐來看,第1學時內容比較簡單,學生已經有了畫一次函數和反比例函數圖象的經歷,學習內容略顯單薄;而第3學時圖象的平移內容較多,難度增大,特別是圖象的左右平移是學習的難點,學生較難掌握．鑒于此,實際教學中將 第3課時的內容進行分解,二次函數上下平移和左右平移各安排一個學時.這樣的安排更符合學情,突出了教材的難點,便于進行單元整體教學．

·教學目標

(1)會用代數推理的方法探索二次函數y=a(x-h)2的性質;(2)會從平移的視角理解y=a(x-h)2的圖象與y=ax2圖象的位置關系,并能根據圖象概括函數性質;(3)經歷由特殊到一般的研究方法,體驗數形結合的數學思想;(4)體驗圖象運動變化中“變”與“不變”的辯證關系及數學表達的內在一致性,體驗數學之美．

·教學重點

探索y=a(x-h)2的圖象位置及其性質．

·教學難點

從多個視角理解y=a(x-h)2的圖象與y=ax2的圖象的位置關系．

2 教學設計

問題1我們是如何研究二次函數y=ax2+k的圖象及其性質的?

設計意圖函數有三種表示方法,即列表法、圖象法、函數表達式法．這三種表達方式也是研究函數性質的三種方法,教材對函數y=ax2+k性質的研究采用列表法和圖象法,實際教學中也可以通過函數表達式進行研究,為圖象左右平移的代數推理方法提供可類比的“源”．問題的設置旨在引導學生從整體的視角,用一以貫之的方法來探究新的問題．

問題2二次函數y=ax2的圖象與y=ax2+k的圖象有怎么樣的位置關系,你是如何發(fā)現的?

設計意圖通過平移法或代數推理得出y=ax2與y=ax2+k的圖象之間的位置關系,體現數學問題研究方法的一致性,為學生探索、發(fā)現、猜想二次函數y=a(x-h)2的性質提供方法上的類比源,自主建構知識之間的聯(lián)系,形成整體化的知識體系和觀念架構．

問題3不畫圖象你能研究二次函數y=(x+3)2的性質嗎?

設計意圖引導學生用代數推理的方法找到二次函數的最小值、頂點坐標、對稱軸等性質,為探究函數y=(x+3)2與y=x2的圖象間的位置關系打下基礎,并且能夠初步了解二次函數y=(x+3)2的性質．

問題4二次函數y=(x+3)2的圖象與y=x2的圖象有怎樣的位置關系?你是如何探究的?

設計意圖讓學生體會從特殊到一般的研究規(guī)律,如對這兩個函數設y=4,求出對應自變量的值,寫出拋物線y=x2與直線y=4的交點坐標A(2,4),B(-2,4),拋物線y=(x+3)2與直線y=4的交點坐標A′(-1,4)和B′(-5,4),直觀感受圖象上對應點的位置關系．這是本節(jié)課的難點,要讓學生領會圖象左右平移的數學本質就是當函數值確定時,對應自變量的值的變化規(guī)律.用代數推理的方法研究函數的性質,并深刻領悟數形結合的思想．

問題5在同一平面直角坐標系中畫二次函數y=(x+3)2和y=x2的圖象,并說出函數y=(x+3)2的性質．

設計意圖通過畫函數的圖象,更加直觀地感受二次函數y=(x+3)2和y=x2的圖象位置的變化規(guī)律,從而深刻理解二次函數圖象左右平移的規(guī)律,分散本節(jié)課的難點;進一步理解數形結合的思想,體會用三種方法表示函數和研究函數性質的統(tǒng)一性和內在一致性．

問題6歸納二次函數y=a(x-h)2(a>0)的性質．

設計意圖遵循從具體到抽象、從特殊到一般的認識規(guī)律,將二次函數的表達式一般化,讓學生歸納出函數的性質,為學習y=a(x-h)2+k的圖象和性質打下堅實的基礎．

3 教學設計思考

3.1 教學設計理念

《義務教育數學課程標準(2022年版)》(下稱《課標2022》)指出:課程目標以學生發(fā)展為本,以核心素養(yǎng)為導向,進一步強調學生獲得數學基礎知識、基本技能、基本思想和基本活動經驗(簡稱“四基”),發(fā)展運用數學知識與方法發(fā)現、提出、分析和解決問題的能力(簡稱“四能”),形成正確的情感、態(tài)度和價值觀．[1]2

隨著《課標2022》的頒布和實施,素養(yǎng)導向的課程育人目標將成為教學的主旋律,所以教學設計和實施要立意高遠,要把培養(yǎng)學生的核心素養(yǎng)作為教學的根本任務．本節(jié)課不僅讓學生通過描點法畫出二次函數y=a(x-h)2的圖象,由圖象說出函數的性質,而且要求學生通過已知自變量的值計算函數值、已知函數值求自變量的值,培養(yǎng)計算的速度和準確性．還要用代數推理的方法探索函數y=(x+3)2和y=x2的圖象的位置關系,培養(yǎng)代數推理意識和能力．這些數學核心素養(yǎng)的習得,都要落實到課堂教學的每一個問題、每一個教學環(huán)節(jié)．

另外,本節(jié)課從三個不同的視角探索、發(fā)現、歸納二次函數y=a(x-h)2的性質,體現數形結合的數學思想方法及圖象直觀意識的形成和應用．

3.2 教學目標的確定

在教學設計的相關因素中,教學目標的確定是非常重要的環(huán)節(jié),決定了教學內容和教學方法的選擇,也決定了教學實施中教學過程的走向．素養(yǎng)視域下教學目標的確定一定是指向人的發(fā)展,指向學生數學核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展,實現數學學科的育人價值和育人功能．

一節(jié)課的教學目標的確定依賴于學情和教學內容.本節(jié)課以前學生已經學習過一次函數的平移和y=ax2與y=ax2+k的圖象之間的平移規(guī)律,學生可以類比學習,教師可從單元整體視角設計和實施教學．問題1和問題2的提出就遵循這樣的原則,讓學生在類比的基礎上自主建構知識體系,自主探索y=a(x-h)2的性質．而本節(jié)課的教學內容是圖象的左右平移,學生較難自己想到探究方法.為了突破難點,設置問題3～5,讓學生從不同視角研究二次函數性質,把數學思想方法融入到教學內容中,實現素養(yǎng)導向的課堂教學目標．

3.3 教學內容的整合

根據教學目標和教學內容的特點,對教學內容進行整合,把三類函數圖象及性質分3個課時,都通過圖象的運動(平移)來研究,體現了單元整體的研究視角.這樣的整體性包括知識呈現的網絡化、思維集成化、方法統(tǒng)一化,從單元教學的整體目標出發(fā),統(tǒng)攬全局,將教學活動的每一步、每一個環(huán)節(jié)都放到教學活動的大系統(tǒng)中考量,而不是片面地突出或者強調某一點[2]．

本節(jié)課教材并沒有要求學生畫y=(x+3)2和y=x2的函數圖象,筆者設計問題5的目的同樣體現了整體的思想.一次函數、反比例函數、二次函數都通過圖象來直觀闡述函數的性質,而且通過列表(表1)可以深化學生對圖象左右平移的理解,分散本節(jié)課的教學難點．

表1

通過對教學內容的整合,實現了本節(jié)課的教學目標,讓學生體驗數形結合的數學思想,感悟圖象運動變化中“變”與“不變”的辯證關系及數學表達的內在一致性,體驗數學之美,實現學科育人．

3.4 教學設計的再思考

(1)教學設計應有對教材“設計”的意識

對教材的理解和分析是教學設計中非常重要的環(huán)節(jié),對教材內容的靈活處理是教師必備的基本功.分析教材可以幫助教者從整體上把握教學的內容,厘清知識的來龍去脈,這些知識之間是如何聯(lián)系的?教材先教什么?后教什么?知識和方法應該教到怎樣的深度和廣度?這些問題就要求教師要深刻理解教材和教材體系,才能在教學設計時做到有的放矢．教師的教學設計首先是要對教材內容進行增加或刪減,可以根據教學的需要調整例題和習題;其次是對教材內容的整合,可以是一節(jié)課內容順序的調整,甚至是一章或者整個學段內容的整合;最后,對教材的設計可以是跨學科內容的整合．

(2)代數推理應適度,不必矯枉過正

《課標2022》在7～9年級的內容要求中指出,了解代數推理[1]56,在課程內容組織上強調代數推理和幾何直觀[1]93;《課標2022》也只有這兩個地方提到了代數推理．長期以來,廣大一線教師對在平面幾何教學中培養(yǎng)學生的邏輯推理能力非常重視,以至于逐步形成了平面幾何就是邏輯推理的代名詞、忽視或者淡化代數教學中培養(yǎng)學生推理能力的現象．在初中代數教學中適當加強代數推理教學是必要的,但也不必矯枉過正.有的地區(qū)就堂而皇之地把高中內容下放到中考試卷中,如帶參數的二次函數的根的分布問題,這種下放值得商榷.筆者認為,教學中適度強化代數推理教學,讓學生能更好地適應高中的數學學習,是應該且必要的．如本節(jié)課,若將問題一般化,當y=y0時,求出y=a(x-h)2和y=ax2對應自變量的值,然后得出平移的規(guī)律,這樣處理需要解含有字母系數的一元二次方程.這是明確超綱的內容,但代數推理在義務教育階段確實需要強化,只不過應該把握適當的度．

(3)教學設計要挖掘學科特點,實現學科育人

要實現學科育人,在課堂教學中落實學生的核心素養(yǎng),就必須要深刻理解和認識學科特點與學科內容的特點,在教學中設計出符合學生認知規(guī)律、提高核心素養(yǎng)的問題．數學中的具體與抽象、類比與猜想、特殊性與一般性、多樣性與統(tǒng)一性在這節(jié)課中就有很好的體現:二次函數y=a(x-h)2的圖象與性質的得出就遵循了從具體到抽象、從特殊到一般的探究規(guī)律和認識規(guī)律;把函數的三種表示方法的內在統(tǒng)一性有機融入課堂教學的各個問題中,體現了數學表達的多樣性,借助多種語言表達的相互轉化,促進對數學思想方法和數學本質的深刻理解．