數(shù)學(xué)教育問題的哲學(xué)思維途徑*

嚴(yán)亞強(qiáng) (蘇州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 215006)

1 引言

筆者隨《中學(xué)數(shù)學(xué)月刊》“走進(jìn)課堂”欄目組赴某中學(xué)“觀課議課”,執(zhí)教老師展現(xiàn)了“圓的方程”一課的經(jīng)典教學(xué)過程:回顧直線方程、從定義開始建立圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、討論點(diǎn)與圓的位置關(guān)系、用例題和習(xí)題鞏固提高并作課堂內(nèi)容小結(jié)．師生的課堂表現(xiàn)中規(guī)中矩、嚴(yán)謹(jǐn)務(wù)實(shí),得到聽課老師的一致好評(píng)．

筆者關(guān)心的中心問題是:(1)這節(jié)課的重點(diǎn)和難點(diǎn)在哪里?這節(jié)課達(dá)到了怎樣的教學(xué)效果?(2)如何在這節(jié)課中揭示“曲線與方程同一性”的數(shù)學(xué)思想?如何通過這節(jié)課培養(yǎng)數(shù)學(xué)素養(yǎng)?(3)我們應(yīng)該使多數(shù)課堂致力于“數(shù)學(xué)探究”還是“數(shù)學(xué)解題”上?對(duì)于數(shù)學(xué),怎樣算是學(xué)得好?怎樣算是教得好?

這些是每位一線數(shù)學(xué)教師隨時(shí)都會(huì)遇到的問題,筆者嘗試通過系統(tǒng)地介紹哲學(xué)概論中的基本原理來反思數(shù)學(xué)教育中的困惑,進(jìn)而促進(jìn)對(duì)哲學(xué)思維的方法和途徑的理解和運(yùn)用．

2 哲學(xué)的思維和視角

2.1 哲學(xué)的思維

我們的思維層次有日常思維、科學(xué)思維和哲學(xué)思維三種逐步遞進(jìn)的水平．日常思維以眼前當(dāng)下的實(shí)物、現(xiàn)象為目標(biāo);科學(xué)思維以經(jīng)驗(yàn)范圍內(nèi)具體事物的內(nèi)部聯(lián)系和事實(shí)之間的關(guān)系為目標(biāo);哲學(xué)思維以自然現(xiàn)象的整體、精神現(xiàn)象的整體、社會(huì)現(xiàn)象的整體為目標(biāo)[1]．

從認(rèn)識(shí)論和方法論而言,日常思維主要使用直觀的方法,科學(xué)思維主要使用分門別類和分析的方法,哲學(xué)思維則主要使用綜合統(tǒng)一的方法．可見,哲學(xué)思維比其他形式的思維更適合社會(huì)的整合任務(wù),這也正是數(shù)學(xué)教育的思考所需要的．

所以,日常思維和科學(xué)思維被稱為對(duì)象性思維,而哲學(xué)思維被稱為超越性思維．由于哲學(xué)思維的超越性,哲學(xué)的思考對(duì)象必先受到科學(xué)思維的處理,即超驗(yàn)性(超越經(jīng)驗(yàn))和抽象性,然后在抽象的整體目標(biāo)(人、自然、社會(huì)的基本關(guān)系,即人生觀、世界觀和價(jià)值觀)的層面上展開哲學(xué)性思維．

思維科學(xué)將思維分為抽象(邏輯)思維、形象(直感)思維和直覺(頓悟)思維三大形態(tài),它們?cè)谒季S的每個(gè)階段都會(huì)出現(xiàn)．直覺是創(chuàng)造的必要條件．思維還有理性和感性之分．理性思維是一種有明確的思維方向,有充分的思維依據(jù),能對(duì)事物或問題進(jìn)行觀察、比較、分析、綜合、抽象與概括的一種思維.科學(xué)思維大都是理性思維.感性思維有混沌與清晰之分:混沌感性把認(rèn)識(shí)建立在感覺基礎(chǔ)上,以意識(shí)片段為形式對(duì)世界進(jìn)行描述,是一種低級(jí)的思維狀態(tài);清晰感性是在理性思維的基礎(chǔ)上,對(duì)抽象的分支認(rèn)識(shí)的協(xié)同認(rèn)知、定義和理解,是一種高級(jí)的思維狀態(tài),哲學(xué)家就是依賴這種思維建立假說的．理性主義與經(jīng)驗(yàn)主義的區(qū)別就在于更愿意接受理性思維還是清晰感性思維．

引言中的問題(1)就來自典型的日常思維,問題(2)可以說是科學(xué)思維;而問題(3)就屬于哲學(xué)思維．哲學(xué)命題有事實(shí)命題與價(jià)值命題之分,問題(3)思考的是價(jià)值命題,來源于清晰感性思維．

2.2 哲學(xué)思維的特性

相對(duì)于日常思維和科學(xué)思維,哲學(xué)思維有三個(gè)顯著特性．

·超越性

“超越”是指主體的活動(dòng)離開了特定的范圍、條件、現(xiàn)狀等的限制．其表現(xiàn)為:一、超越當(dāng)下事物而指向其“背后”,如就事尋因、就事探果、就事論理;二、超越眼前事物而回溯過去、展望未來,如超越事物的現(xiàn)有價(jià)值而指向其潛在價(jià)值,超越實(shí)用主義和功利主義而指向社會(huì)的全面進(jìn)步和人的全面發(fā)展．

·批判性

“批判”是指通過對(duì)思維對(duì)象的分析、考察揭示出該對(duì)象成立的條件和根據(jù),指出其有限性和適用范圍,并警示如果該對(duì)象超出其適用的范圍可能產(chǎn)生的謬誤．所以,哲學(xué)批判思維根源于哲學(xué)的“終極關(guān)懷”,而意識(shí)的自覺性、反思性把批判性思維引向深層,黑格爾的“否定之否定”是批判性思維的重要形式．

·反思性

“反思”就是對(duì)對(duì)象意識(shí)的再思考．反思在黑格爾哲學(xué)里是“反射”的意思,事物的本質(zhì)不在直接性,而在間接性,我們應(yīng)透過現(xiàn)象看本質(zhì);事物是互為中介、互為根據(jù)的,人們應(yīng)在事物的相互聯(lián)系、中介中探索事物的根據(jù)、原因．鄭毓信教授說:“‘更為深入的思考’也就可以說是一種反思,哲學(xué)則更可以定義成‘反思的學(xué)問’．”[2]前言4

一般而言,哲學(xué)思維的這三種形態(tài)交叉性很大,但還是可以從具體問題中找到區(qū)別．例如,現(xiàn)在有些學(xué)者對(duì)數(shù)學(xué)課標(biāo)中的“四能”(發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題能力)的提法還不滿意,認(rèn)為對(duì)問題的比較、評(píng)價(jià)、審美才是最高級(jí)的能力,這可以說是超越;李士锜教授在數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)上連發(fā)三問“熟能生巧嗎?”“熟能生笨嗎?” “熟能生厭嗎?”,就是對(duì)中國傳統(tǒng)教學(xué)方法的批判或反思[3]．

2.3 哲學(xué)思維的一般途徑

哲學(xué)思維,按照其思考問題的方向可以分為理性主義思維和經(jīng)驗(yàn)主義思維,前者強(qiáng)調(diào)實(shí)證,后者強(qiáng)調(diào)歸納,在應(yīng)用中兩者總是相互結(jié)合．哲學(xué)思維的一般途徑有以下幾種．

(1)假設(shè)與假說

“假設(shè)”就是根據(jù)已有的材料與經(jīng)驗(yàn),對(duì)事物產(chǎn)生原因及其發(fā)展變化的規(guī)律所作的推測(cè)．統(tǒng)計(jì)學(xué)里的“假設(shè)檢驗(yàn)”就是對(duì)觀察和實(shí)驗(yàn)得到的數(shù)據(jù)與置信區(qū)間進(jìn)行對(duì)比．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中的“觀課議課”也是一種假設(shè)檢驗(yàn),這是假設(shè)了某種教育觀念的可行性,以課堂表現(xiàn)作為觀察和實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)的檢驗(yàn)方法,所不同的是教育假設(shè)沒有置信區(qū)間,此時(shí)專家引領(lǐng)就必不可少．

“假說”是指根據(jù)已有的事實(shí)材料和科學(xué)原理對(duì)某些未知事物或現(xiàn)象作出的具有推測(cè)性的假定解釋．需要注意的是,假說是未被確證的理論,大陸漂移說、狹義相對(duì)論、達(dá)爾文進(jìn)化說、DNA雙螺旋說、中醫(yī)學(xué)說都是假說．哲學(xué)、教育學(xué)和心理學(xué)里大都是假說．此時(shí)實(shí)踐檢驗(yàn)就必不可少．這里的實(shí)踐檢驗(yàn)包括采用經(jīng)驗(yàn)或事實(shí)的直接對(duì)照驗(yàn)證,也包括科學(xué)實(shí)踐的間接對(duì)照驗(yàn)證．

(2)邏輯學(xué)

哲學(xué)家通常把邏輯學(xué)、倫理學(xué)、美學(xué)的知識(shí)體系構(gòu)筑作為自己的學(xué)術(shù)基礎(chǔ)．

邏輯學(xué)曾被劃分為哲學(xué)之認(rèn)識(shí)論中一個(gè)分支．古希臘時(shí)期,亞里士多德于公元前4世紀(jì)的著作《工具論》中,廣泛涉及了邏輯學(xué)的基本問題,比如概念、范疇、四謂詞、直言命題、直言三段論等,從而確立了以直言命題為對(duì)象、以三段論理論為核心的詞項(xiàng)邏輯理論,成為此后十多個(gè)世紀(jì)西方形式邏輯的教學(xué)體系,即“概念-判斷-(演繹、歸納和類比等)推理-論證-謬誤-反駁-思維規(guī)律”,亞里士多德也因此被譽(yù)為“邏輯之父”．

哲學(xué)是“愛智”之學(xué),要達(dá)此目的,思維必須清澈,思路必須清晰,而邏輯則是幫助愛智者們思維清楚的工具．它還有助于人們提升語言表達(dá)能力,是揭露邏輯錯(cuò)誤、批判詭辯論的有力工具．

邏輯學(xué)在西方哲學(xué)思維中一直居于中心地位．我國學(xué)者喻平教授提出的CPFS數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)理論(概念、命題及其域和體系)可以說是邏輯學(xué)的成功運(yùn)用．

(3)三分法

歸納邏輯中有一種重要方法——分類法,這也常常被認(rèn)為是一種基本的數(shù)學(xué)思想．“分類”不同于“分劃”,是根據(jù)事物的本質(zhì)屬性或顯著特征將概念所反映的對(duì)象分為若干個(gè)類．辯證法上有“一分為二”法,這常常會(huì)導(dǎo)致非白即黑的誤用．而三分法是“一分為三”之法,被稱為“廣義經(jīng)濟(jì)法”,就是把分析的對(duì)象當(dāng)作一個(gè)商品,它有三個(gè)關(guān)鍵屬性:外觀、功能和靈魂．引言中的問題(1)就是這節(jié)課的外觀和功能,問題(2)中“核心素養(yǎng)”是它的靈魂．外觀和功能就是(形式)結(jié)構(gòu)和內(nèi)容,而靈魂是商品制造者的“故事”,是其“至愛”,在日本哲學(xué)家米山國藏眼中是“精神”,英文spirit既有“精神”又有“靈魂”之意．

關(guān)于靈魂再舉一例．比如我們寫數(shù)學(xué)教育方面的論文,除了足夠的素材和引以為傲的價(jià)值以外,還應(yīng)呈現(xiàn)自己獨(dú)一無二的心得,自己(通過文獻(xiàn)閱讀)確信這是別人沒有想到過的東西,才會(huì)寫出讓自己永遠(yuǎn)喜愛的成分——?jiǎng)?chuàng)新性,這樣的論文就被賦予了(不死的)靈魂．

(4)系統(tǒng)論

“系統(tǒng)”就是由若干要素以一定結(jié)構(gòu)形式聯(lián)結(jié)構(gòu)成的具有某種功能的有機(jī)整體．在這個(gè)定義中包括了系統(tǒng)、要素、結(jié)構(gòu)、功能四個(gè)概念,表明了要素與要素、要素與系統(tǒng)、系統(tǒng)與環(huán)境三方面的關(guān)系．系統(tǒng)是普遍存在的,大至浩渺的宇宙,小至微觀的原子,一粒種子、一群蜜蜂、一臺(tái)機(jī)器、一個(gè)學(xué)校、一個(gè)學(xué)習(xí)團(tuán)體……都是系統(tǒng),整個(gè)世界就是系統(tǒng)的集合,也包括教育系統(tǒng)、社會(huì)系統(tǒng)、一堂課[4]等．系統(tǒng)論的基本觀點(diǎn)就是把事物、對(duì)象看作系統(tǒng),進(jìn)行整體研究．

系統(tǒng)論運(yùn)用完整性、集中性、等級(jí)結(jié)構(gòu)、終極性、邏輯同構(gòu)等概念,研究適用于一切綜合系統(tǒng)或子系統(tǒng)的模式、原則和規(guī)律,并力圖對(duì)其結(jié)構(gòu)和功能進(jìn)行數(shù)學(xué)描述．系統(tǒng)強(qiáng)調(diào)整體與局部、局部與局部、整體與外部環(huán)境之間的有機(jī)聯(lián)系,具有整體性、動(dòng)態(tài)性和目的性三大基本特征．這與馬克思主義關(guān)于物質(zhì)世界普遍聯(lián)系的哲學(xué)原理高度契合．

文[5]所言的“儒家文化圈”就是一個(gè)系統(tǒng),而梁貫成的研究常常把幾個(gè)地區(qū)(子系統(tǒng))的數(shù)學(xué)教育狀況作對(duì)比,蘊(yùn)含豐富的系統(tǒng)論方法．

(5)進(jìn)化生態(tài)法

這種方法也可稱為“三維空間法”,它與愛因斯坦相對(duì)論中的四維空間的思想是吻合的,即生存空間(二維,而不是相對(duì)論中的三維)加一維時(shí)間．我們所處的空間就是這個(gè)社會(huì),是一個(gè)廣義的生態(tài)系統(tǒng);我們所處的時(shí)間就是一個(gè)歷史文化節(jié)點(diǎn),社會(huì)在歷史進(jìn)程中進(jìn)化和遺傳．所以我們所處的世界是一個(gè)發(fā)展著的“社會(huì)—文化體系”(圖1)．

圖1

關(guān)于社會(huì)的二維性,可以理解為物質(zhì)與精神兩個(gè)方面,也可以理解為泛經(jīng)濟(jì)與泛教育、生產(chǎn)力與生產(chǎn)關(guān)系、上層建筑與意識(shí)形態(tài)等等．

馬克思投入哲學(xué)研究是受到了達(dá)爾文的生物進(jìn)化論影響,他相信人類社會(huì)如果看作一個(gè)廣義的生態(tài)系統(tǒng),那么其發(fā)展也與生物進(jìn)化有相似之處,于是逐漸形成了他的歷史唯物主義學(xué)說．

文[6]的數(shù)學(xué)文化和素質(zhì)教育等章節(jié)中也提供了大量典型案例．

3 數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)教育的本體論和認(rèn)識(shí)論

3.1 數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)教育的本體論

本體論原來研究的是“世界的根本性存在是什么”之類的問題,有世界的本原是水、火、道、天、上帝等說法,后來發(fā)展成為物質(zhì)本體和精神本體兩種主要學(xué)派．到了康德那里,他認(rèn)為本體不是知識(shí)的對(duì)象,我們也不可能獲得關(guān)于本體存在的任何知識(shí),而當(dāng)代哲學(xué)家波普爾、奎因、海德格爾對(duì)本體論提出了辯護(hù)與重建,他們都認(rèn)為本體論問題是非常重要的,任何一個(gè)科學(xué)家都必須有一個(gè)(可以來源于各種立場(chǎng)的)本體論的觀點(diǎn)作為方法論的指導(dǎo)．

(1)模式:數(shù)學(xué)的本體

有兩種關(guān)于世界本原的學(xué)說與數(shù)學(xué)有關(guān),即畢達(dá)哥拉斯所說“萬物皆數(shù)”和柏拉圖所說“理念世界”．按照質(zhì)量互變規(guī)律,事物的質(zhì)和量是事物變化中保留的一對(duì)范疇,所以說“世界的一半皆是數(shù)學(xué)”就不過分了;而許多卓越的數(shù)學(xué)家,像集合論的創(chuàng)始人康托,認(rèn)為數(shù)學(xué)概念是獨(dú)立于人類思維活動(dòng)的客觀存在,這與柏拉圖的看法是一致的[7]．所以,雖然理念世界只能表明人們的思維活動(dòng)形成了從不同角度反映現(xiàn)實(shí)的概念體系,但將“數(shù)學(xué)世界”這樣的一個(gè)抽象體系與現(xiàn)實(shí)世界區(qū)別開來,是十分有益的．

那么數(shù)學(xué)世界里有什么東西呢?恩格斯的著名論斷“純數(shù)學(xué)的對(duì)象是現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和量的關(guān)系”仍在主導(dǎo)著當(dāng)今課標(biāo)中對(duì)數(shù)學(xué)的定義,但曾任美國數(shù)學(xué)協(xié)會(huì)主席的斯蒂恩1988年在《科學(xué)》雜志提出的論斷“數(shù)學(xué)是模式的科學(xué)”得到了現(xiàn)代哲學(xué)界的高度重視．斯蒂恩說:“數(shù)學(xué)家們尋求存在于數(shù)量、空間、科學(xué)、計(jì)算機(jī)乃至想象之中的模式．”因?yàn)閭鹘y(tǒng)的“數(shù)和形”是“量”,也是“數(shù)學(xué)模式”,現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的結(jié)構(gòu)、關(guān)系、邏輯形式也是數(shù)學(xué)模式;數(shù)學(xué)的概念、命題、推理方法等都是數(shù)學(xué)模式．?dāng)?shù)學(xué)本身就是人類為了有效地認(rèn)知、控制和利用自然界及其客體而創(chuàng)造的一種抽象的、邏輯可能的形式結(jié)構(gòu)或模式．

鄭毓信在他對(duì)數(shù)學(xué)模式論的地位的闡述中把數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)的關(guān)系整理在圖2[2]60中,這便于更清楚地看到數(shù)學(xué)活動(dòng)和數(shù)學(xué)文化的本質(zhì)．

圖2

(2)數(shù)學(xué)化:數(shù)學(xué)教育的本體

弗賴登塔爾是數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域少數(shù)幾個(gè)主心骨之一,四年一度的ICME大會(huì)就是在他作為國際數(shù)學(xué)教育委員會(huì)主席時(shí)倡議召開的;“數(shù)學(xué)教育哲學(xué)”的概念就是由他首先提出的．總體來講,他的思想主要體現(xiàn)在以下五點(diǎn):①情境問題是教學(xué)的平臺(tái);②數(shù)學(xué)化是數(shù)學(xué)教學(xué)的目標(biāo);③學(xué)生通過自己努力得到和創(chuàng)造結(jié)論是教育內(nèi)容的一部分;④“互動(dòng)”是主要的學(xué)習(xí)方式;⑤學(xué)科交織是數(shù)學(xué)教育內(nèi)容的呈現(xiàn)方式．這些思想可以用“現(xiàn)實(shí)”“數(shù)學(xué)化”和“再創(chuàng)造”來概括[8]．

數(shù)學(xué)教學(xué)不能停留在直觀和操作的水平,必須經(jīng)由“數(shù)學(xué)化”發(fā)展到“形式化”的階段,在抽象的層次上思維．?dāng)?shù)學(xué)化的對(duì)象一是數(shù)學(xué)本身,二是客觀事物．對(duì)數(shù)學(xué)本身的數(shù)學(xué)化,就是深化數(shù)學(xué)知識(shí),或者使數(shù)學(xué)知識(shí)系統(tǒng)化,形成不同層次的公理體系和形式體系;對(duì)客觀世界的數(shù)學(xué)化,就是形成數(shù)學(xué)概念、運(yùn)算法則、規(guī)律和定理,以及為解決實(shí)際問題而構(gòu)造的數(shù)學(xué)模型．可見,數(shù)學(xué)化是數(shù)學(xué)教育的靈魂．模式和數(shù)學(xué)化的關(guān)系也可以從圖2中清晰地看到,前者在方框內(nèi),后者在箭頭上．

值得一提的是,波利亞提出中學(xué)數(shù)學(xué)教育的根本任務(wù)是“教會(huì)學(xué)生思考”,但他的工作過分專注于“教會(huì)學(xué)生解題的思考”,國內(nèi)權(quán)威教材中不加評(píng)析地出現(xiàn)“數(shù)學(xué)教學(xué)的根本任務(wù)在于使學(xué)生學(xué)會(huì)解數(shù)學(xué)題”的論斷[9],這應(yīng)是對(duì)中國數(shù)學(xué)教育走向技術(shù)化、功利化、庸俗化的誤導(dǎo)．

3.2 數(shù)學(xué)模式論的認(rèn)識(shí)論及其教育啟示

以下觀點(diǎn)主要引用曹一鳴等人對(duì)數(shù)學(xué)教育哲學(xué)研究的綜述[10]59-80．

(1)數(shù)學(xué)不是純理性的科學(xué)

擬經(jīng)驗(yàn)性的數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)論認(rèn)為,數(shù)學(xué)既不是經(jīng)驗(yàn)的也不是純理性的．?dāng)?shù)學(xué)由其“科學(xué)”的部分和“數(shù)學(xué)世界”的部分所組成．科學(xué)的部分是經(jīng)驗(yàn)和演繹相結(jié)合的,人們?cè)凇皵?shù)學(xué)世界”中還從事著對(duì)形式結(jié)構(gòu)的不斷發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造與發(fā)明活動(dòng),這些活動(dòng)本身不是純粹的推理,而要借助客觀世界原型的反映,因而也具有一定的經(jīng)驗(yàn)性．

數(shù)學(xué)的形式主義流派否認(rèn)數(shù)學(xué)的客觀性,直覺主義否認(rèn)排中律,邏輯主義認(rèn)為數(shù)學(xué)的公理無法檢驗(yàn)．歷史上,歐氏幾何遇到非歐幾何的沖擊,出現(xiàn)了幾何的多樣性;康托的集合論也遇到悖論的挑戰(zhàn);希爾伯特的形式系統(tǒng)被哥德爾不完全性定理所打破;傳統(tǒng)幾何又遇到分形幾何的挑戰(zhàn)……這些事實(shí)都可以驗(yàn)證拉卡托斯提出的“數(shù)學(xué)可誤主義”,從而數(shù)學(xué)不是純粹理性的．

(2)數(shù)學(xué)不是絕對(duì)真理

盡管數(shù)學(xué)理論曾經(jīng)在很長一個(gè)時(shí)期被認(rèn)為是絕對(duì)真理,可誤主義的事實(shí)標(biāo)志著數(shù)學(xué)的絕對(duì)真理性和確定性已經(jīng)喪失了．特別是哥德爾定理告訴我們,形式系統(tǒng)盡管很有用,是數(shù)學(xué)研究的有力工具,但它不是萬能的,它不足以幫我們認(rèn)識(shí)全部的數(shù)學(xué)真理．從歷史的經(jīng)驗(yàn)來看,數(shù)學(xué)家只有放棄數(shù)學(xué)真理性的神話,才能走出各次危機(jī)．

數(shù)學(xué)知識(shí)沒有絕對(duì)有效性,它是可誤的,要不斷地接受更正．?dāng)?shù)學(xué)結(jié)論起源于公理,公理本身只是一種約定,數(shù)學(xué)的真理不是被“證明”而是被“說明”的．的確,任何命題的正確性都可分解為兩個(gè)方面,前提的可信性(信度)和邏輯的有效性(效度),我們所感受到的數(shù)學(xué)的真理性其實(shí)是數(shù)學(xué)優(yōu)于其他任何學(xué)科的嚴(yán)謹(jǐn)性和有效性,而問題都出在對(duì)“公理”的不同理解上,數(shù)學(xué)家憑著數(shù)學(xué)的有效性就敢于跨越邏輯的精神支柱是他們的信仰．徐利治、鄭毓信的“模式真理觀”將真理分出三個(gè)維度:平均抽象度(弱平均水平)、模式真理度(完善度,一種美學(xué)標(biāo)準(zhǔn))、現(xiàn)實(shí)真理度(原型反映度,一種實(shí)踐標(biāo)準(zhǔn))[11]．這個(gè)分析能夠很好地解釋為什么數(shù)學(xué)的對(duì)象具有很強(qiáng)的“貌似的”真理性．

(3)數(shù)學(xué)教育內(nèi)容的高級(jí)形態(tài)是思想方法和活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

數(shù)學(xué)真理的討論告訴我們:“數(shù)學(xué)歸根到底是人類的活動(dòng),它具備人類社會(huì)所創(chuàng)造的文化之一切特點(diǎn)．因此,數(shù)學(xué)不是絕對(duì)的、不可改變的．”數(shù)學(xué)應(yīng)從虛幻的天堂重新回到現(xiàn)實(shí)的人間．

認(rèn)識(shí)這一點(diǎn)對(duì)廣大數(shù)學(xué)教師十分重要．首先,我們引以為傲的理性思維其實(shí)地位并沒有想象的那么高,數(shù)學(xué)教育應(yīng)該高度重視其特有的經(jīng)驗(yàn)性成份,也就是數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)和再創(chuàng)造;其次,應(yīng)該明白自己所教的是不是數(shù)學(xué),教數(shù)學(xué)是在引導(dǎo)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的模式的探求,而教刷題是在剝奪學(xué)生的求知欲和好奇心;再次,教師不應(yīng)該把教學(xué)目標(biāo)定位于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能,而應(yīng)該通過“數(shù)學(xué)可誤”的觀念引導(dǎo)學(xué)生批判和反思.例如,數(shù)學(xué)命題的制造者不是神,而是人,他們期待我們?nèi)?shí)踐檢驗(yàn)和重新探究．因此,數(shù)學(xué)課標(biāo)中所要求的“基本思想方法”和“基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”是數(shù)學(xué)教學(xué)(高級(jí)形態(tài))的核心內(nèi)容,不能可有可無,這就涉及到下面要討論的兩個(gè)側(cè)面:數(shù)學(xué)文化論和數(shù)學(xué)活動(dòng)論．

3.3 數(shù)學(xué)文化論和數(shù)學(xué)活動(dòng)論及其教育含義

(1)數(shù)學(xué)文化論與數(shù)學(xué)觀念和思想

數(shù)學(xué)文化論有兩種含義:一是作為一種文化形態(tài)的數(shù)學(xué),二是作為數(shù)學(xué)領(lǐng)域一部分的數(shù)學(xué)文化．

在第一種含義下,由于數(shù)學(xué)對(duì)象并非都是物質(zhì)世界中的真實(shí)存在,而是抽象思維的產(chǎn)物,因此,數(shù)學(xué)就是一種精神文化．齊民友先生的話振聾發(fā)聵:“一種沒有相當(dāng)發(fā)達(dá)的數(shù)學(xué)的文化是注定要衰落的,一個(gè)不掌握數(shù)學(xué)作為一種文化的民族也是注定要衰落的．”這可以回答“為什么要教數(shù)學(xué)?”的問題,學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是民族所賦予年輕一代的歷史重任．

在第二種含義下,數(shù)學(xué)文化是數(shù)學(xué)中的遺傳性力量的部分．懷特海列出了數(shù)學(xué)發(fā)展的23條規(guī)律,從中歸納出與生物進(jìn)化相似的“遺傳力量”和“環(huán)境力量”,前者是指數(shù)學(xué)家的工作、挑戰(zhàn)和方向,后者是指生活的需要和其他學(xué)科的關(guān)聯(lián)等．鄭毓信將數(shù)學(xué)力量概括在圖3中．汪曉勤將數(shù)學(xué)文化歸為“知識(shí)源流、學(xué)科聯(lián)系、社會(huì)角色、審美娛樂”四個(gè)方面,其中知識(shí)源流就是數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)思想．?dāng)?shù)學(xué)文化論告訴我們,除了數(shù)學(xué)的結(jié)論和公式,數(shù)學(xué)真正的知識(shí)成分在于它的問題、方法、語言和理論體系,而它的靈魂在于數(shù)學(xué)共同體流傳下來的數(shù)學(xué)的思想和信念．

圖3

M·克萊因是詳細(xì)闡述這種遺傳力量的第一人,他寫的巨著《古今數(shù)學(xué)思想》就是這個(gè)意圖的存在．然而,學(xué)術(shù)界對(duì)“何為數(shù)學(xué)思想”這個(gè)問題至今“諱莫如深”,連課標(biāo)上也沒有明確定義,只是把“思想”和“方法”綁在一起談．教師不應(yīng)感到數(shù)學(xué)思想“只可意會(huì)不可言傳”,而這正是教師應(yīng)該克服的障礙,否則教師如何達(dá)到這一基本教學(xué)目標(biāo)呢?鄭毓信在文[2]的附錄“聚焦‘?dāng)?shù)學(xué)思想’”一節(jié)談得非常透徹,他將“思想”和“方法”分別歸為理論和實(shí)踐兩類工作的核心．邵光華[12]將數(shù)學(xué)思想分為全域性和局域性兩類的方法很值得借鑒．全域性思想指導(dǎo)著多門分支學(xué)科甚至整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)科的發(fā)展,它包括:公理化思想、算法化思想、符號(hào)化思想、形式化思想、集合論思想以及一些數(shù)學(xué)辯證思想;局域性數(shù)學(xué)思想是指某一學(xué)科或某一主題蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想,如數(shù)與運(yùn)算思想、圖形與幾何思想、方程與函數(shù)思想、無窮與極限思想、微分與積分思想、概率與統(tǒng)計(jì)思想等．他對(duì)數(shù)學(xué)方法也作了一般性方法和特殊性方法的區(qū)分:一般性方法大體有推理證明方法、合情推理方法、數(shù)學(xué)抽象方法、數(shù)學(xué)化歸方法、數(shù)學(xué)模型方法、數(shù)形結(jié)合方法;比較大的特殊方法如分類討論法、逐次逼近法、反證法、數(shù)學(xué)歸納法、構(gòu)造法、反例法等．值得注意的是,張奠宙等[8]95-96用哲學(xué)范疇(形式與內(nèi)容、運(yùn)動(dòng)與靜止、偶然與必然、現(xiàn)象與本質(zhì)、原因與結(jié)果、精確與近似、局部與整體等)表達(dá)對(duì)立統(tǒng)一的辯證思想在實(shí)踐中具有很好的指導(dǎo)意義．

認(rèn)識(shí)了這些思想和方法的地位,就不難在課堂中展開教學(xué)了．例如,初中的“銳角三角函數(shù)”一課中,我們所見的現(xiàn)實(shí)世界中坡的陡峭程度轉(zhuǎn)化為直角三角形的一個(gè)角,而此角又轉(zhuǎn)化為一對(duì)線段的比值,這就是算法化的思想!

(2)數(shù)學(xué)活動(dòng)論與數(shù)學(xué)體驗(yàn)和創(chuàng)造

數(shù)學(xué)活動(dòng)是指學(xué)生參加的與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)目標(biāo)有關(guān)的各種活動(dòng)．在數(shù)學(xué)的擬經(jīng)驗(yàn)性的基礎(chǔ)上,“數(shù)學(xué)活動(dòng)論”是順理成章的．懷特海認(rèn)為“數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征,就是在從模式化的個(gè)體作抽象的過程中對(duì)模式進(jìn)行研究”,因此,課標(biāo)中的“基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”才是數(shù)學(xué)教育中最重要的一部分,三維目標(biāo)中的二維(過程與方法、情感態(tài)度與價(jià)值觀)以及“四能”中的“發(fā)現(xiàn)問題和提出問題能力”就在于數(shù)學(xué)活動(dòng)．對(duì)照愛因斯坦提出的培養(yǎng)創(chuàng)造力的三個(gè)基本條件(閑暇、好奇心、自由對(duì)話),可以看到一些優(yōu)秀的數(shù)學(xué)課堂在數(shù)學(xué)活動(dòng)上所作的努力——留白、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)、發(fā)言和討論．

“數(shù)學(xué)活動(dòng)論”的核心觀點(diǎn)在于:作為人類的創(chuàng)造性活動(dòng),數(shù)學(xué)應(yīng)當(dāng)被看成一個(gè)同時(shí)包含有“知識(shí)成分”和“觀念成分”的復(fù)合體.應(yīng)該讓學(xué)生感悟到:①?zèng)Q定科學(xué)家本色的,不是他們擁有的知識(shí)的多少,而是他們的工作方式或態(tài)度;②我們不應(yīng)將數(shù)學(xué)等同于數(shù)學(xué)活動(dòng)的(結(jié)論和公式等)最終產(chǎn)物,而是應(yīng)當(dāng)更加關(guān)注相應(yīng)的創(chuàng)造性活動(dòng)．

數(shù)學(xué)教學(xué)效果取決于教師的數(shù)學(xué)觀、教學(xué)觀和數(shù)學(xué)教育觀．“如果教師認(rèn)為數(shù)學(xué)毫無用處,并認(rèn)為只有天才才能在數(shù)學(xué)中作出創(chuàng)造,那么,無論其是否清楚地意識(shí)到這樣一點(diǎn),這些觀念都必然地會(huì)在他的教學(xué)工作和日常言行中得到反映．”[2]103

本文引言中的問題(3)——怎樣才算學(xué)得好?怎樣才算教得好?——已經(jīng)有了大半個(gè)答案了．

有些學(xué)者和一線教師認(rèn)為,課標(biāo)中“創(chuàng)新意識(shí)”形同虛設(shè),理論和實(shí)踐都無從下手．那么,請(qǐng)從數(shù)學(xué)活動(dòng)開始．蘇州有位教師在上“中點(diǎn)”的習(xí)題課時(shí),給學(xué)生提供了18張含中點(diǎn)的幾何圖形,要學(xué)生各選一圖編題后討論,可謂是大膽且有益的嘗試.

4 數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)教育的價(jià)值論

4.1 價(jià)值哲學(xué)概論

(1)價(jià)值意識(shí)與價(jià)值觀

人的意識(shí)按其內(nèi)容可分為事實(shí)意識(shí)和價(jià)值意識(shí)．休謨認(rèn)為,說“是”與“不是”是事實(shí)意識(shí),說“該”與“不該”是價(jià)值意識(shí)．事實(shí)意識(shí)屬于本體論和認(rèn)識(shí)論,價(jià)值意識(shí)屬于價(jià)值論,兩者的根本區(qū)別在于它們是否具有情緒性．價(jià)值意識(shí)包括兩方面的內(nèi)容:一是價(jià)值心理(興趣、愛好、意向、欲望、愿望、情緒、情感、意志等)、價(jià)值觀念,二是價(jià)值認(rèn)識(shí)、價(jià)值知識(shí)．這是價(jià)值意識(shí)的結(jié)構(gòu)．

價(jià)值意識(shí)的內(nèi)涵有三種層次:第一層次是價(jià)值感知、價(jià)值經(jīng)驗(yàn)或感性價(jià)值知識(shí);第二層次是價(jià)值觀念和理性價(jià)值認(rèn)識(shí),包括價(jià)值概念,價(jià)值判斷或價(jià)值評(píng)價(jià),價(jià)值推理、選擇、預(yù)測(cè)、決策等;第三層次是價(jià)值觀,它又分為價(jià)值目標(biāo)(信念、信仰和理想等)和價(jià)值標(biāo)準(zhǔn)兩方面．價(jià)值觀在每個(gè)人心目中形成一個(gè)完整的信念系統(tǒng),其在深層上表現(xiàn)為人生處世哲學(xué),包括人生的目的、意義、使命、態(tài)度,而在表層上則表現(xiàn)為對(duì)利弊、得失、真假、善惡、美丑、義利、理欲等的權(quán)衡和取舍．價(jià)值觀構(gòu)成人生觀的重要內(nèi)容,直接指導(dǎo)著人生各方面的實(shí)踐活動(dòng),是一個(gè)無形而有力的世界．

價(jià)值觀的主要問題是價(jià)值的評(píng)判標(biāo)準(zhǔn),是一種評(píng)估或估價(jià)的主觀活動(dòng)．在被迫作出選擇時(shí),人們就必須進(jìn)行評(píng)價(jià)、判斷并作出取舍,得到的結(jié)論與事實(shí)有關(guān),但也很可能與評(píng)價(jià)者的興趣和利益有關(guān)．

北師大張志勇教授給出了一段關(guān)于價(jià)值觀的實(shí)例:“教育已遠(yuǎn)離了其自身的功能．這個(gè)話題與我們的教育價(jià)值取向有極大的關(guān)系．學(xué)校教育到底是干什么的?現(xiàn)在學(xué)生上小學(xué)為了上中學(xué),上中學(xué)為了考大學(xué),考大學(xué)是為了找工作．在這樣的一個(gè)話語體系里,根本沒有培養(yǎng)人的問題,沒有為生活做準(zhǔn)備、為終身發(fā)展做準(zhǔn)備的問題．”

(2)價(jià)值內(nèi)涵

價(jià)值的外延十分寬泛,不論高低、尊卑均屬價(jià)值領(lǐng)域,大體可以有以下幾種主要分類:物質(zhì)價(jià)值與精神價(jià)值、內(nèi)在價(jià)值與外在價(jià)值、現(xiàn)有價(jià)值與應(yīng)用價(jià)值、潛在價(jià)值與現(xiàn)實(shí)價(jià)值、自我價(jià)值與社會(huì)價(jià)值等等．因此,價(jià)值的內(nèi)涵也非常復(fù)雜．一般來說,價(jià)值內(nèi)涵可以表現(xiàn)在三個(gè)層次:第一個(gè)層次是事實(shí)追求的層次;第二個(gè)層次是個(gè)人的修為、行為和模式的層次;第三個(gè)層次是一種境界的層次．

在第一個(gè)層次里面我們稱之為“真”,或者稱之為一種“科學(xué)的精神”,也就是說我們?cè)谧非笫聦?shí)的過程里面,要有一種什么樣的態(tài)度、什么樣的方法來幫助我們追求事實(shí);而在第二種層次中,表現(xiàn)在行為上,怎么樣使自己的行為正確,或者使自己的行為有更高層次的表達(dá),這種對(duì)于行為的要求,或者行為方法的要求,我們一般稱之為“善”,也就是一種“倫理”;第三種境界就是如何將人生修為的一種能量提到更高,能夠更具體地加以表達(dá)出來,這樣的精神我們稱之為“藝術(shù)精神”,也稱之為“美”的精神．總之,人類心理活動(dòng)知、情、意的三種基本形式“分管”著真、善、美的價(jià)值判斷．

從認(rèn)知到意志再到情感的活動(dòng),一種比一種復(fù)雜,一種比一種感性．“真善美”已經(jīng)成為一個(gè)很完美的詞匯、一種公認(rèn)的價(jià)值標(biāo)準(zhǔn),因?yàn)樗暾乇硎隽苏Ｈ说淖非笾械男睦砘顒?dòng)和行為,也完美地對(duì)應(yīng)到了人類的重要文化領(lǐng)域、價(jià)值形態(tài)和哲學(xué)學(xué)科,這可以從表1中看出．

表1 真善美的哲學(xué)地位

(待續(xù))