數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的滲透

尹金鳳

（山東省東營市勝利第一初級中學(xué)，山東東營 257000）

數(shù)學(xué)是一門抽象而又實(shí)用的學(xué)科，對于初中階段的學(xué)生來說，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是他們學(xué)習(xí)生涯中的重要組成部分。然而，對于一些學(xué)生來說，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)可能是一個難以逾越的障礙。為了幫助學(xué)生更好地理解和掌握初中數(shù)學(xué)知識，教師需不斷探索新的教學(xué)方法和技巧。其中，數(shù)形結(jié)合思想被認(rèn)為是一種非常有效的教學(xué)方法［1］。數(shù)形結(jié)合思想將數(shù)學(xué)和幾何圖形相結(jié)合，通過繪制圖形和應(yīng)用數(shù)學(xué)公式的方法，幫助學(xué)生更加直觀地理解和掌握數(shù)學(xué)知識。文章以山東教育出版社的五四年制初中數(shù)學(xué)課本為例，來體現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)中的數(shù)形結(jié)合思想。

一、數(shù)形結(jié)合思想的定義和基本原理

初中數(shù)學(xué)的一個重要思想方法是“數(shù)形結(jié)合”，它基于數(shù)與形之間的一一對應(yīng)關(guān)系，將抽象的數(shù)學(xué)語言和數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形和位置關(guān)系相結(jié)合。通過“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”的方式，將抽象的問題轉(zhuǎn)化為具體的形象問題，使復(fù)雜問題變得簡單化，并優(yōu)化解題的途徑。這種思想方法融合了抽象思維和形象思維，深化學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解和掌握，使抽象的問題變得更具體、更易于理解。

古代數(shù)學(xué)家趙爽最先在《周髀算經(jīng)》的注釋中提出了“弦圖”，他利用幾何圖形的截、割、拼、補(bǔ)等方式證明了代數(shù)式之間的恒等關(guān)系。趙爽獨(dú)具匠心的“弦圖”證明體現(xiàn)了“數(shù)形結(jié)合”的思想。這種思想方法在華羅庚先生于1964 年1 月所撰寫的科普小冊子《談?wù)勁c蜂房結(jié)構(gòu)有關(guān)的數(shù)學(xué)問題》中被正式提出并命名為“數(shù)形結(jié)合”。現(xiàn)代初中數(shù)學(xué)教材中，例如完全平方公式、平方差等公式的推導(dǎo)都采用了幾何圖形驗(yàn)證的方式，這是將代數(shù)問題幾何化的典型示范。數(shù)形結(jié)合思想的優(yōu)點(diǎn)是可以使數(shù)學(xué)教學(xué)更加生動、形象，同時可以提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和解決實(shí)際問題的能力。此外，數(shù)形結(jié)合思想也有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)新精神。

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用廣泛，例如在幾何學(xué)習(xí)中，可以通過繪制圖形和應(yīng)用勾股定理、正弦、余弦、正切定理等方法，幫助學(xué)生更好地理解直角三角形和三角函數(shù)的性質(zhì)和變化規(guī)律。在代數(shù)學(xué)習(xí)中，可以通過繪制函數(shù)圖像來幫助學(xué)生更好地理解函數(shù)的性質(zhì)和變化規(guī)律，以及函數(shù)之間的關(guān)系和作用；在應(yīng)用題中，可以通過繪制圖形來表示問題，然后運(yùn)用數(shù)學(xué)知識進(jìn)行分析和計算，可以更加直觀和易于理解［2］。總之，數(shù)形結(jié)合思想是一種非常有效的教學(xué)方法，可以提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效果和數(shù)學(xué)思維能力，具有廣泛的應(yīng)用價值和實(shí)踐意義。

二、數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用

（一）數(shù)形結(jié)合思想在平行線證明中的作用

在平行線證明中，數(shù)形結(jié)合思想可以滲透到教學(xué)中，幫助學(xué)生更好地理解和證明平行線的性質(zhì)和定理。下面是數(shù)形結(jié)合思想在平行線證明中的具體作用。

1.圖形的性質(zhì)和關(guān)系：通過觀察平行線與其他線段的交角關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)其中的數(shù)學(xué)關(guān)系。例如，學(xué)生可以觀察兩條平行線被一條橫切線所截產(chǎn)生的對應(yīng)角，通過觀察這些角的特點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生理解同位角、內(nèi)錯角等概念，并運(yùn)用這些概念進(jìn)行證明。

2.圖形的分類和比較：通過對平行線的性質(zhì)進(jìn)行分類和比較，幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)平行線的共性和差異。例如，學(xué)生可以比較平行線的定義和垂直線的定義，引導(dǎo)他們理解平行線的性質(zhì)，如平行線的斜率相等。

3.可視化和圖形表示：通過繪制圖形和使用幾何工具，幫助學(xué)生可視化平行線的性質(zhì)和證明過程。例如，學(xué)生可以利用尺規(guī)作圖工具來繪制平行線和相關(guān)角度，通過觀察圖形的形狀和特征，幫助他們理解平行線的概念和性質(zhì)，并進(jìn)行相應(yīng)的證明。

在平行線證明的教學(xué)中，數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用可以幫助學(xué)生更加直觀地理解平行線的性質(zhì)和定理，并培養(yǎng)他們的幾何直觀和推理能力。通過將抽象的數(shù)學(xué)概念與具體的幾何圖形相結(jié)合，學(xué)生可以更加深入地理解平行線的性質(zhì)，并能夠運(yùn)用數(shù)形思想進(jìn)行證明和解決問題。這種數(shù)形結(jié)合的教學(xué)方法可以增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高他們的數(shù)學(xué)思維能力，并培養(yǎng)他們的證明能力和問題解決能力［3］。

（二）數(shù)形結(jié)合思想在三角形證明中的作用

在初中數(shù)學(xué)中，三角形的性質(zhì)和證明是一個重要的知識點(diǎn)，而數(shù)形結(jié)合思想則可以在三角形證明中發(fā)揮重要作用，幫助學(xué)生更好地理解和掌握證明方法和技巧。首先，數(shù)形結(jié)合思想可以幫助學(xué)生理解三角形的性質(zhì)和特征，從而為三角形證明打下基礎(chǔ)。例如，通過畫圖和推理，可以證明三角形三個內(nèi)角的和為180°，這個證明過程就可以通過數(shù)形結(jié)合的方式來呈現(xiàn)。其次，利用數(shù)形結(jié)合思想可以幫助學(xué)生分析和解決三角形證明中的復(fù)雜問題。例如，在證明兩個三角形相似或全等時，可以通過構(gòu)造輔助線和利用相似三角形或全等三角形的性質(zhì)等方式，將證明過程化繁為簡。最后，利用數(shù)形結(jié)合思想還可以幫助學(xué)生提高證明思維和創(chuàng)新能力。通過數(shù)學(xué)建模和實(shí)際問題的應(yīng)用，可以幫助學(xué)生更好地理解和運(yùn)用三角形證明的方法和技巧，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和解決問題的能力。

因此，教師在三角形證明教學(xué)中應(yīng)該充分發(fā)揮數(shù)形結(jié)合思想的作用，引導(dǎo)學(xué)生通過畫圖和推理來掌握證明方法和技巧，同時也要注重培養(yǎng)學(xué)生的證明思維和創(chuàng)新能力，讓學(xué)生能夠在實(shí)際問題中應(yīng)用所學(xué)知識。除了利用數(shù)形結(jié)合思想證明三角形的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合思想還可以在三角形的計算中應(yīng)用。例如，在計算三角形面積時，可以利用數(shù)形結(jié)合思想，通過將三角形拆分成更簡單的幾何圖形來求解。具體來說，我們可以將三角形劃分成三個小三角形，并用這些小三角形拼湊成一個長方形或平行四邊形，然后利用長方形或平行四邊形的面積公式來計算三角形的面積。這種方法被稱為三角形的“割補(bǔ)法”。

此外，在解決與三角形相關(guān)的問題時，也可以通過畫圖結(jié)合計算的方式運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想。例如，在解決三角函數(shù)相關(guān)問題時，可以先畫出所涉及的三角形，然后利用三角形的性質(zhì)和三角函數(shù)的定義式進(jìn)行計算和推導(dǎo)，最終得出答案。

（三）數(shù)形結(jié)合思想在代數(shù)學(xué)習(xí)中的作用

除了在幾何學(xué)習(xí)中的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合思想在代數(shù)學(xué)習(xí)中也有著廣泛的應(yīng)用。在代數(shù)學(xué)習(xí)中，數(shù)形結(jié)合思想能夠幫助學(xué)生理解和掌握抽象的代數(shù)概念，提高代數(shù)思維的能力。

一方面，數(shù)形結(jié)合思想可以用于解決多項(xiàng)式的因式分解問題。通過將多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為圖形形式，可以更加直觀地理解多項(xiàng)式的因式分解規(guī)律和方法，幫助學(xué)生更好地掌握因式分解的技巧和方法。例如，在教學(xué)中可以采用“矩形面積法”“三角形面積法”等數(shù)形結(jié)合思想的方法來解決多項(xiàng)式的因式分解問題。

另一方面，數(shù)形結(jié)合思想還可以用于解決方程和不等式的問題。通過將方程或不等式轉(zhuǎn)化為圖形形式，可以更加清晰地把握方程或不等式的本質(zhì)和解的性質(zhì)，從而更加準(zhǔn)確地解決問題。例如，在教學(xué)中可以利用“平移圖形法”“旋轉(zhuǎn)圖形法”等數(shù)形結(jié)合思想的方法來解決方程和不等式的問題。

下面以“矩形面積法”為例，詳細(xì)敘述如何運(yùn)用數(shù)形結(jié)合來解決多項(xiàng)式的因式分解問題。假設(shè)有一個多項(xiàng)式y(tǒng)=x2+3x+2，我們希望將其進(jìn)行因式分解。首先，我們可以將多項(xiàng)式表示為一個矩形的面積，其中矩形的長為x+2，寬為x+1。這個矩形可以被分成兩個小矩形和一個正方形。其中，正方形面積為x2，兩個矩形面積分別為2x 和x+2。根據(jù)這個矩形的面積，我們可以得到一個等式：（x+2）（x+1）=x2+3x+2。這個等式表明，多項(xiàng)式y(tǒng) 可以表示為兩個因式的乘積（x+2）（x+1）。這個例子說明了數(shù)形結(jié)合思想在解決多項(xiàng)式的因式分解問題中的應(yīng)用。通過將多項(xiàng)式表示為一個矩形的面積，我們可以更加直觀地理解因式分解的規(guī)律和方法，從而更好地掌握因式分解的技巧和方法。

（四）數(shù)形結(jié)合思想在應(yīng)用題中的作用

數(shù)形結(jié)合思想在應(yīng)用題中的作用主要體現(xiàn)在將抽象的數(shù)學(xué)概念與具體的幾何圖形相結(jié)合，幫助學(xué)生理解和解決實(shí)際問題。

1.圖形解析：通過圖形解析，將抽象的數(shù)學(xué)概念轉(zhuǎn)化為具體的幾何圖形，幫助學(xué)生更好地理解和應(yīng)用數(shù)學(xué)概念。例如，在計算面積和體積等問題中，通過繪制圖形，將復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為對幾何圖形的分析，能使學(xué)生更好地理解和解決問題［4］。

2.數(shù)據(jù)可視化：通過將數(shù)據(jù)可視化為圖形，幫助學(xué)生更好地理解數(shù)據(jù)的含義和關(guān)系，并運(yùn)用數(shù)學(xué)知識進(jìn)行分析和預(yù)測。例如，在統(tǒng)計分析中，通過繪制圖表，將數(shù)據(jù)可視化為直觀的圖形，幫助學(xué)生分析數(shù)據(jù)的分布規(guī)律和相關(guān)性，從而得出正確的結(jié)論。

3.幾何模型：通過構(gòu)建幾何模型，將抽象的數(shù)學(xué)概念轉(zhuǎn)化為具體的物理實(shí)體，幫助學(xué)生更好地理解和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識。例如，在運(yùn)動學(xué)中，通過構(gòu)建幾何模型，將物理運(yùn)動轉(zhuǎn)化為幾何運(yùn)動，使學(xué)生能夠更好地理解和應(yīng)用速度、加速度等物理概念。

4.視覺推理：通過視覺推理，將抽象的數(shù)學(xué)概念轉(zhuǎn)化為幾何圖形，并通過圖形的分析和推理得出正確的答案。例如，在解決幾何題目時，學(xué)生可以通過對幾何圖形的分析和推理，推導(dǎo)出正確的結(jié)論，并運(yùn)用數(shù)學(xué)知識進(jìn)行計算和證明。

通過數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，教師能夠幫助學(xué)生更好地理解和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識，并提高學(xué)生解決問題的能力。數(shù)形結(jié)合思想不僅能夠激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)興趣，還能夠培養(yǎng)他們的幾何直觀和推理能力，從而提高他們的學(xué)習(xí)成績和數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

三、數(shù)形結(jié)合思想提升初中數(shù)學(xué)教學(xué)水平

（一）教學(xué)進(jìn)程中合理滲透數(shù)形結(jié)合思想促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)能力

日常生活中，我們常常會看到各種不同的圖形。但要將這些圖形與數(shù)學(xué)問題緊密聯(lián)系起來，就需要我們有意識地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思維能力，盡可能地在解題過程中使用圖形來說明問題。我們可以利用學(xué)生在日常生活中對圖形的經(jīng)驗(yàn)來引導(dǎo)他們將座位視為坐標(biāo)、將經(jīng)過路線視為直線等，從而更好地接受這種解題思維模式。此外，我們還應(yīng)該有針對性地引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真留意生活中出現(xiàn)的各種圖形知識，比如刻度尺中的刻度、繩子上的打結(jié)、溫度計上的刻度等。通過這些具體的例子，合理運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，能引導(dǎo)學(xué)生更好地理解教材知識及其內(nèi)涵原理。

（二）借助數(shù)軸引導(dǎo)學(xué)生合理理解數(shù)學(xué)法則

數(shù)軸是數(shù)形結(jié)合中非常重要的工具，它可以幫助學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)問題，使數(shù)學(xué)知識和圖形形象結(jié)合起來。在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們可以充分利用數(shù)軸來幫助學(xué)生理解相反意義概念、絕對值、相反數(shù)內(nèi)涵等概念，掌握有理數(shù)大小的比較方式，并深入理解有理數(shù)的運(yùn)算意義法則。在使用數(shù)軸進(jìn)行教學(xué)時，我們可以通過引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行有理數(shù)分類，理解有理數(shù)的正負(fù)性質(zhì)，并掌握其大小關(guān)系。通過將a、b、c 三個數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)在數(shù)軸上進(jìn)行標(biāo)注，我們可以快速地判斷它們之間的大小關(guān)系此外，數(shù)軸在初中數(shù)學(xué)中還有很多其他應(yīng)用，如利用數(shù)軸進(jìn)行解方程、探究正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖像特征等。因此，教師應(yīng)在教學(xué)中充分利用數(shù)軸這一工具引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)形結(jié)合思維，提高解決數(shù)學(xué)問題的能力。

四、結(jié)語

在初中數(shù)學(xué)課堂中，數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用廣泛。通過數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，不僅能夠提高學(xué)生對數(shù)學(xué)的興趣，更能夠幫助他們深入理解數(shù)學(xué)知識，提高數(shù)學(xué)思維能力和解決問題的能力。因此，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)該注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想，引導(dǎo)他們掌握這種思考方式，并且通過不同的教學(xué)方法和實(shí)例來加深他們對數(shù)形結(jié)合思想的理解和應(yīng)用。