執(zhí)行器幅值與速率約束下線性系統(tǒng)的事件觸發(fā)控制

賈金澤 陳永剛 白圓圓

摘? 要：傳統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)中，控制任務(wù)通常以周期的方式執(zhí)行.為了節(jié)約網(wǎng)絡(luò)通信資源，一些學(xué)者提出了事件觸發(fā)控制.另一方面，由于物理限制或出于安全考慮，幾乎所有反饋控制系統(tǒng)都會(huì)受到飽和約束.飽和的存在是系統(tǒng)性能退化甚至不穩(wěn)定的主要因素.研究了受到執(zhí)行器幅值與速率飽和約束的線性系統(tǒng)的事件觸發(fā)控制問(wèn)題.首先，一階系統(tǒng)用來(lái)表示執(zhí)行器的幅值和速率限制.然后，引入了兩個(gè)推廣的扇區(qū)條件來(lái)處理由飽和引起的死區(qū)非線性.接下來(lái)，通過(guò)利用Lyapunov穩(wěn)定性理論，獲得了確保閉環(huán)系統(tǒng)區(qū)域漸近穩(wěn)定的充分條件.通過(guò)限制穩(wěn)定域的最小范圍，提出了事件觸發(fā)率的最優(yōu)化問(wèn)題.所獲得的結(jié)果用線性矩陣不等式表示，能夠方便地利用MATLAB中的LMI工具箱進(jìn)行求解.最后，數(shù)值例子和仿真驗(yàn)證了所得結(jié)果的有效性.

關(guān)鍵詞：線性系統(tǒng)；事件觸發(fā)控制；幅值約束；速率約束

中圖分類號(hào)：O231????? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A文章編號(hào)：1000-2367（2024）03-0106-07

隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)和網(wǎng)絡(luò)通信技術(shù)的快速發(fā)展，工業(yè)控制系統(tǒng)發(fā)生了重大變革，網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng)的管理與優(yōu)化控制成為重要的研究方向.網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)是一種空間分布控制系統(tǒng)，其中傳感器、控制器和執(zhí)行器之間通過(guò)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行數(shù)據(jù)傳遞.相對(duì)傳統(tǒng)的點(diǎn)對(duì)點(diǎn)信息無(wú)損的控制系統(tǒng)，基于網(wǎng)絡(luò)的控制系統(tǒng)具有布線簡(jiǎn)單、易于安裝與維護(hù)、較高的容錯(cuò)與故障診斷能力、可實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)共享以及企業(yè)對(duì)系統(tǒng)的遠(yuǎn)程監(jiān)控、優(yōu)化與維護(hù)等優(yōu)點(diǎn).然而，通信網(wǎng)絡(luò)的引入帶來(lái)了一些新問(wèn)題，比如：時(shí)滯、丟包、量化、錯(cuò)序等［1-2］，這將會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)性能?chē)?yán)重退化，甚至造成系統(tǒng)崩潰.在網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)中，數(shù)據(jù)的采樣、處理和傳輸通常采用時(shí)間觸發(fā)的通信機(jī)制.這種時(shí)間觸發(fā)通信模式意味著網(wǎng)絡(luò)在每一固定的通信時(shí)刻都要傳輸、接受并處理數(shù)據(jù)，這將會(huì)嚴(yán)重浪費(fèi)網(wǎng)絡(luò)帶寬資源，也會(huì)增加電池等設(shè)備的能耗.事實(shí)上，網(wǎng)絡(luò)的帶寬是有限的，網(wǎng)絡(luò)資源的過(guò)分使用將會(huì)使得數(shù)據(jù)包在傳輸過(guò)程中出現(xiàn)碰撞，從而導(dǎo)致時(shí)滯、丟包和錯(cuò)序等現(xiàn)象.近十多年來(lái)，一些學(xué)者尋求了基于事件觸發(fā)的通信機(jī)制，其基本思想是設(shè)計(jì)觸發(fā)協(xié)議保證控制任務(wù)按需求執(zhí)行，從而達(dá)到節(jié)約網(wǎng)絡(luò)資源的目的［3-5］.

另一方面，幾乎所有實(shí)際反饋控制系統(tǒng)都會(huì)受到執(zhí)行器的飽和約束［6-7］.由于物理限制或出于安全考慮，執(zhí)行器傳遞的信號(hào)大小通常有一定限制.例如，比例閥有最大開(kāi)度值（100%），這限制了輸送到被控系統(tǒng)的流量；功率轉(zhuǎn)換器和放大器的電流和輸出電壓總是有限的，以免組件損壞.執(zhí)行器飽和的存在將會(huì)使得控制系統(tǒng)性能惡化，在一些極端情況下會(huì)導(dǎo)致閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定.過(guò)去幾十年內(nèi)，飽和控制系統(tǒng)的分析、控制及應(yīng)用一直都是控制理論與控制工程中的研究熱點(diǎn).然而，需要指出的是，文獻(xiàn)中的大多結(jié)果主要針對(duì)執(zhí)行器幅值飽和情形.事實(shí)上，執(zhí)行器速率飽和也常出現(xiàn)在許多系統(tǒng)中［8-10］，比如飛行控制系統(tǒng)和風(fēng)力渦輪機(jī)系統(tǒng)［9-10］.

收稿日期：2023-05-27;修回日期：2023-08-28.

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金（62273132）;河南省科技攻關(guān)項(xiàng)目（232102320338）.

作者簡(jiǎn)介：賈金澤（1991-），男，河南新鄉(xiāng)人，河南工學(xué)院講師，博士，研究方向?yàn)橄到y(tǒng)建模、分析與控制、工業(yè)工程.

通信作者：陳永剛（1981-），男，河南西平人，河南科技學(xué)院教授，博士，研究方向?yàn)榭刂评碚撆c應(yīng)用，E-mail：happycygzmd@tom.com

引用本文：賈金澤，陳永剛，白圓圓.執(zhí)行器幅值與速率約束下線性系統(tǒng)的事件觸發(fā)控制［J］.河南師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2024，52（3）：106-112.（Jia Jinze，Chen Yonggang，Bai Yuanyuan.Event-triggered control for linear systems under input amplitude?? and rate constraints［J］.Journal of Henan Normal University（Natural Science Edition），2024，52（3）：106-112.DOI：10.16366/j.cnki.1000-2367.2023.05.27.0002.）

通過(guò)利用一階模型來(lái)表示具有幅值和速率飽和的執(zhí)行器，文獻(xiàn)［11］研究了連續(xù)線性系統(tǒng)的局部反饋鎮(zhèn)定問(wèn)題.針對(duì)執(zhí)行器幅值和速率飽和的離散線性系統(tǒng)，文獻(xiàn)［12］給出了動(dòng)態(tài)輸出反饋控制設(shè)計(jì)方案.針對(duì)執(zhí)行器幅值和速率飽和的連續(xù)線性系統(tǒng)，文獻(xiàn)［13］提出了基于采樣數(shù)據(jù)的控制策略.

許多實(shí)際控制系統(tǒng)中，飽和約束和通信網(wǎng)絡(luò)往往是同時(shí)共存的.因此，近十年來(lái)，網(wǎng)絡(luò)化飽和系統(tǒng)的控制綜合問(wèn)題也受到許多學(xué)者的關(guān)注［14-15］.尤其，為了節(jié)約通信網(wǎng)絡(luò)資源，不少學(xué)者研究了基于事件觸發(fā)協(xié)議的網(wǎng)絡(luò)化飽和系統(tǒng)的控制綜合問(wèn)題.比如，ZHANG等［16］在靜態(tài)事件觸發(fā)協(xié)議下研究了具有執(zhí)行器飽和約束的連續(xù)和離散系統(tǒng)的半全局鎮(zhèn)定問(wèn)題.在靜態(tài)和動(dòng)態(tài)事件觸發(fā)協(xié)議以及自觸發(fā)協(xié)議下，ZHANG等［17］進(jìn)一步研究了執(zhí)行器飽和連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的半全局鎮(zhèn)定問(wèn)題.利用局部扇區(qū)條件，MOREIRA等［18］基于靜態(tài)事件觸發(fā)協(xié)議研究了執(zhí)行器飽和線性系統(tǒng)的局部狀態(tài)反饋控制問(wèn)題，尤其，對(duì)于事先給定的穩(wěn)定域，討論了降低事件觸發(fā)率的優(yōu)化問(wèn)題.利用飽和相關(guān)的事件觸發(fā)策略，LI等［19］研究了非對(duì)稱輸入飽和系統(tǒng)的控制綜合問(wèn)題.然而，需要指出的是，文獻(xiàn)［16-20］并沒(méi)有考慮執(zhí)行器的速率飽和約束.

基于上面的討論，本文旨在考慮受到執(zhí)行器幅值與速率飽和約束的連續(xù)線性系統(tǒng)的事件觸發(fā)控制問(wèn)題.類似于文獻(xiàn)［11，13］，利用一個(gè)一階模型來(lái)表示執(zhí)行器的幅值和速率限制.然后，利用兩個(gè)推廣的局部扇區(qū)條件來(lái)處理由飽和引起的死區(qū)非線性.接下來(lái)，通過(guò)進(jìn)一步利用Lyapunov穩(wěn)定性理論，獲得了確保閉環(huán)系統(tǒng)區(qū)域漸近穩(wěn)定的充分條件.通過(guò)限制穩(wěn)定域的最小范圍，也提出了事件觸發(fā)率的最優(yōu)化問(wèn)題.本文獲得的結(jié)果用線性矩陣不等式（LMIs）表示，能夠方便地利用MATLAB中的LMI工具箱進(jìn)行求解.最后，數(shù)值例子驗(yàn)證本文所得結(jié)果的有效性.

符號(hào)：Rn表示n維歐幾里得空間，P＞0（P0）表示P為對(duì)稱正定矩陣（對(duì)稱半正定矩陣），AT表示矩陣A的轉(zhuǎn)置，“*”表示對(duì)稱矩陣中的對(duì)稱項(xiàng)，I為單位矩陣.

1? 問(wèn)題描述

考慮下面的線性控制系統(tǒng)：（t）=Ax（t）+Bu（t），（1）

其中x（t）∈Rn表示系統(tǒng)的狀態(tài)，u（x）∈Rm表示系統(tǒng)的控制輸入，A和B為具有相容維數(shù)的已知實(shí)常矩陣.在實(shí)際控制系統(tǒng)中，由于物理執(zhí)行器的限制或者基于安全考慮，執(zhí)行器往往會(huì)受到飽和約束.本文中，同時(shí)考慮了執(zhí)行器的幅值與速率約束.受到文獻(xiàn)［11，13］的啟發(fā)，這里，執(zhí)行器用下面的一階系統(tǒng)來(lái)表示：（l）（t）=satr（l）（-λ（l）u（l）（t）+λ（l）satp（l）（v（l）（t））），l=1，2，…，m，（2）

其中u（l）（t）表示執(zhí)行器狀態(tài)，v（l）（t）表示執(zhí)行器輸入，λ（l）為一正常數(shù).系統(tǒng)（2）中，幅值飽和函數(shù)satp（l）與速率飽和函數(shù)satr（l）分別定義如下：satp（l）（w（l））=sign（w（l））min｛p（l），|w（l）|｝，satr（l）（w（l））=sign（w（l））min｛r（l）|w（l）|｝，

其中p（l）與r（l）分別表示執(zhí)行器的幅值飽和水平和速率飽和水平.

注1? 一階系統(tǒng)（2）是經(jīng)典的具有速度限制的位置反饋型模型，常用來(lái)刻畫(huà)具有幅值飽和與速率飽和的執(zhí)行器.由（2）可知，執(zhí)行器顯然滿足速率飽和約束.另外，需要指出的是，當(dāng)常數(shù)λ（l）趨于無(wú)窮時(shí)，執(zhí)行器u（t）狀態(tài)總是滿足幅值飽和約束的［8］.

本文中，考慮數(shù)據(jù)通過(guò)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行傳輸.尤其，為了節(jié)約網(wǎng)絡(luò)資源，本文采用事件觸發(fā)策略.對(duì)應(yīng)地，執(zhí)行器的控制輸入具有下面的形式：v（tk）=Kxx（tk）+Kuu（tk），t∈［tk，tk+1），（3）

其中Kx和Ku為控制增益矩陣，tk（k=0，1，2，…）為事件觸發(fā)時(shí)刻且規(guī)定t0=0.

本文中，事件觸發(fā)時(shí)刻tk（k=1，2，…）由下面的條件給出［18］：tk+1=min｛t|t＞tk，δT（t）Ωδδ（t）-zT（t）Ωzz（t）＞0｝，（4）

其中δ（t）z（tk）-z（t），Ωδ和Ωz為對(duì)稱正定矩陣.

定義對(duì)角矩陣Λdiag｛λ（1），λ（2），…，λ（m）｝，由式（1）～（3）可得如下閉環(huán)系統(tǒng)：（t）=Ax（t）+Bu（t），（t）=satr（-Λu（t）+Λsatp（Kxx（tk）+Kuu（tk）））.（5）

定義增廣向量z（t）xT（t）uT（t）T∈R，其中n+m，并引入記號(hào)A1AB00，B10I，B20-Λ，B3Λ，KKxKu.

閉環(huán)系統(tǒng)（5）則可表示為：（t）=A1z（t）+B1satr（B2z（t）+B3satp（Kz（tk）））.（6）

為了處理執(zhí)行器的幅值與速率飽和，引入下面的死區(qū)函數(shù)：ψp=Kz（tk）-satp（Kz（tk）），ψr=（B2z（t）+B3Kz（tk）+B3ψp）-satr（B2z（t）+B3Kz（tk）+B3ψp）.（7）

注意到δ（t）z（tk）-z（t），閉環(huán)系統(tǒng)（5）可重新表示為：（t）=（A1+B1B2+B1B3K）z（t）+B1B3Kδ（t）-B1B3ψp-B1ψr.（8）

本文的主要目的是設(shè)計(jì)控制輸入（3）和觸發(fā)條件（4）使得閉環(huán)系統(tǒng)（8）區(qū)域漸近穩(wěn)定.

引理1［6］? 給定兩個(gè)向量u∈Rm以及w∈Rm，并記ψ（u）u-sat（u）.如果|u（l）-w（l）|（l）（l=1，2，…，m），則對(duì)任意的m×m正對(duì)角矩陣H，下面的扇區(qū)條件成立：ψT（u）H［ψ（u）-w］0.

為了處理執(zhí)行器幅值與速率飽和引入的死區(qū)非線性，定義新變量

u1（t）Kδ（t）+Kz（t），u2（t）（B2+B3K）z（t）+B3Kδ（t）-B3ψp，

w1（t）（K-G1）z（t）+Kδ（t），w2（t）（B2+B3K-G2）z（t）+B3Kδ（t）-B3ψp，

其中G1和G2為m×矩陣.然后，假設(shè)下面的約束條件成立：|u1（l）（t）-w1（l）（t）|p（l），|u2（l）（t）-w2（l）（t）|r（l），l=1，2，…，m，t0.（9）

利用引理1，則對(duì)任意的m×m正對(duì)角矩陣H1和H2，下面的扇區(qū)條件成立：-2ψTpH1［ψp-（K-G1）z（t）-Kδ（t）］0，（10）

-2ψTrH2［ψr-（B2+B3K-G1）z（t）-B3Kδ（t）+B3ψp］0.（11）

2? 主要結(jié)果

為了分析閉環(huán)系統(tǒng)（8）的漸近穩(wěn)定性，選取下面的Lyapunov函數(shù)：V（t）=zT（t）Pz（t），P＞0.（12）

定理1? 假定存在×的對(duì)稱正定矩陣X，z和δ，m×m的正對(duì)角矩陣1和2，m×的任意矩陣，1和2，使得下面的LMIs成立：1B1B323X*-δTTBT30**-T1-1-1BT30***-T2-20****-z＜0，（13）

2p（l）1*XT＞0，2r（l）2*XT＞0，l=1，2，…，m，（14）

其中1=（A+B1B2）XT+X（A+B1B2）T+B1B3+T（B1B3）T，

2=-B1B3T1+T-T1，3=-B1T2+XBT2+TBT3-T2.

那么，線性系統(tǒng)（1）在控制輸入（3）和事件觸發(fā)條件（4）下可實(shí)現(xiàn)區(qū)域鎮(zhèn)定.對(duì)應(yīng)地，集合ε（P）=｛z（t）∈R，zT（t）Pz（t）1｝為穩(wěn)定域，控制器增益矩陣和事件觸發(fā)條件中的參數(shù)可分別由KX-T和Ωz-1z，ΩδX-1δX-T給出.

證明? 讓Lyapunov函數(shù)V（t）關(guān)于時(shí)間t求導(dǎo)，并利用（8）可得：（t）=2zT（t）P（A1+B1B2+B1B3K）z（t）+2zT（t）P×B1B3Kδ（t）-2zT（t）PB1B3ψp-2zT（t）PB1ψr.（15）

由事件觸發(fā)條件（3）可知，當(dāng)t∈［tk，tk+1）時(shí)，下面的不等式成立：zT（t）Ωzz（t）-δT（t）Ωδδ（t）0.（16）

將不等式（11）、（12）和（18）的左側(cè)添加到（t）中，則可得：（t）2zT（t）P（A1+B1B2+B1B3K）z（t）+2zT（t）PB1B3Kδ（t）-2zT（t）PB1B3ψp-

2zT（t）PB1ψr-2ψTpH1［ψp-（K-G1）z（t）-Kδ（t）］-2ψTrH2［ψr-（B2+B3K-

G2）z（t）-B3Kδ（t）+B3ψp］+zT（t）Ωzz（t）-δT（t）Ωδδ（t）=ξT（t）Ξξ（t），（17）

其中ξ（t）zT（t）δT（t）ψTpψTrT，以及

Ξ=Γ1ΩzPB1B3KΓ2Γ3*-ΩδKTHT1KTBT3HT2**-H1-HT1-BT3HT2***-H2-HT2，

Γ1=P（A1+B1B2）+（A1+B1B2）TP+PB1B3K+（B1B3K）TP，

Γ2=-PB1B3+KTHT1-GT1HT1，Γ3=-PB1+BT2HT2+KTBT3HT2-GT2HT2.

假定矩陣不等式Ξ＜0成立，則由（17）可得＜0.與此同時(shí)，假設(shè)（1/2p（l））GT1（l）G1（l）P，（1/2r（l））GT2（l）G2（l）P，l=1，2，…，m.（18）

注意到（t）＜0，并利用式（18），則可進(jìn)一步得到如下不等式：|u1（l）-w1（l）|=zT（t）GT1（l）G1（l）z（t）2p（l）V（t）2p（l）V（0），l=1，2，…，m，（19）

|u2（l）-w2（l）|=zT（t）GT2（l）G2（l）z（t）2r（l）V（t）2r（l）V（0），l=1，2，…，m.（20）

對(duì)任意始于集合ε（P）｛z（t）∈R，zTPz（t）1｝的初始條件z（0），由式（19）和（20）可以看出，系統(tǒng)的狀態(tài)軌跡滿足約束條件（9）.進(jìn)一步地，由（t）＜0可知，閉環(huán)系統(tǒng)（8）是區(qū)域漸近穩(wěn)定的，且ε（P）｛z（t）∈R，zT（t）Pz（t）1｝為系統(tǒng)的穩(wěn)定域.

接下來(lái)，將證明矩陣不等式Ξ＜0以及式（18）中不等式成立.定義如下變量：PX-1，KX-T，G11X-T，G22X-T，H1-11，H2-12，Ωz-1z，ΩδX-1δX-T.（21）

對(duì)LMI（14）左端乘以diag｛X-1，X-1，-11，-12，I｝，右端乘以其轉(zhuǎn)置，并利用式（21）和Schur補(bǔ)，則可得不等式Ξ＜0.同理，對(duì)式（14）中的LMIs左端乘以diag｛1，X-1｝，右端乘以其轉(zhuǎn)置，再次利用（21）和Schur補(bǔ)，則可容易得到（18）中矩陣不等式.證畢.

在保證閉環(huán)系統(tǒng)（8）漸近穩(wěn)定的同時(shí)，考慮盡可能降低事件觸發(fā)次數(shù)以達(dá)到節(jié)約網(wǎng)絡(luò)資源的目的.如文獻(xiàn)［18］在設(shè)計(jì)事件觸發(fā)策略時(shí)讓?duì)甫倪x取的盡可能“小”，Ωz盡可能地“大”.為了獲得對(duì)應(yīng)的優(yōu)化問(wèn)題，引入下面的矩陣不等式：Ωδ=X-1δX-Tδ（δ＞0）.（22）

注意到XT-1δX-1δ和（X-αδ）T-1（X-αδ）0，其中α為一常數(shù)，容易證明上面的矩陣不等式可由下面的LMI確保：δI*α（X+XT）-α2δ0.（23）

為了優(yōu)化事件觸發(fā)次數(shù)，選取集合ε（P0）=｛z（t）∈R;zT（t）P0z（t）1，P0＞0｝使得ε（P0）ε（X-1）.注意到ε（P0）ε（X-1）可由X＞P-10確保，則可得下面的優(yōu)化問(wèn)題：

問(wèn)題1minX，z，δ，1，2，1，2，，δtrace（z+δ），s.t.，LMIs（13）～（14）和（23）成立，X-P-10＞0.

注2? 在對(duì)事件觸發(fā)率進(jìn)行優(yōu)化時(shí)，需要規(guī)定最小容許的穩(wěn)定域ε（P0），否則的話，將會(huì)得到非常小的穩(wěn)定域.事實(shí)上，在事件觸發(fā)機(jī)制下對(duì)執(zhí)行器飽和約束系統(tǒng)進(jìn)行控制設(shè)計(jì)時(shí)，不僅要關(guān)注事件觸發(fā)率，還需要同時(shí)考慮系統(tǒng)的穩(wěn)定域.

注3? 在文獻(xiàn)［18］中，作者研究了執(zhí)行器幅值飽和下的事件觸發(fā)控制問(wèn)題.相對(duì)于文獻(xiàn)［18］，本文同時(shí)考慮了執(zhí)行器的幅值飽和與速率飽和.事實(shí)上，執(zhí)行器速率限制經(jīng)常出現(xiàn)在許多工程系統(tǒng)中，比如飛行控制系統(tǒng)和風(fēng)力渦輪機(jī)系統(tǒng)等.此外，經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)控制中，經(jīng)濟(jì)政策的調(diào)整也不可能變化太快.因此，本文結(jié)果是現(xiàn)有結(jié)果的重要補(bǔ)充.

注4? 在文獻(xiàn)［18］中，作者提出的最優(yōu)化問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)為trace（z+δ）.注意到δ=XΩδXT，顯然，trace（δ）的最小化并不能確保trace（Ωδ）的最小化.因此，文獻(xiàn)［18］提出的關(guān)于事件觸發(fā)率的優(yōu)化問(wèn)題具有一定的限制.本文中，選取trace（Ωδ）的上界trace（δ）進(jìn)行優(yōu)化，且在式（23）中引入調(diào)整參數(shù)，這將會(huì)增加靈活性.

3? 數(shù)值例子

例1? 考慮系統(tǒng)（1）和（2），對(duì)應(yīng)參數(shù)選取如下：A=11.50.3-2，B=101，λ（l）=20，r（l）=p（l）=5.

選取P0=I和α=0.1，并求解最優(yōu)化問(wèn)題，則可得到下面的參數(shù)：

K=-0.348 6-0.108 9-0.021 6，Ωz=0.494 0-0.067 00.099 8-0.067 00.925 00.049 10.099 80.049 11.334 0，

Ωδ=1.143 20.357 30.070 90.357 30.111 70.022 20.070 90.022 20.004 4，P=0.207 80.027 40.235 50.027 40.229 70.074 70.235 50.074 70.772 8.

數(shù)值仿真中，選取初始條件z（0）=-1-0.3-0.7T∈ε（P）.利用上面所得設(shè)計(jì)的參數(shù)，分別畫(huà)出了時(shí)間間隔［0，3］內(nèi)的狀態(tài)響應(yīng)，執(zhí)行器狀態(tài)和輸入以及事件觸發(fā)時(shí)刻，如圖1～3所示.對(duì)于這個(gè)例子，容易驗(yàn)證開(kāi)環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的.由圖1可知，在本文的控制策略下，閉環(huán)系統(tǒng)可以實(shí)現(xiàn)鎮(zhèn)定.圖2表明執(zhí)行器的速率是受到飽和約束的.此外，由圖2可以看出在時(shí)間區(qū)間［0，3］內(nèi)，事件僅觸發(fā)12次，這表明基于事件觸發(fā)機(jī)制的策略能夠有效降低數(shù)據(jù)傳輸頻率，從而達(dá)到節(jié)約網(wǎng)絡(luò)通信資源的目的.

當(dāng)執(zhí)行器不存在飽和約束時(shí)，利用上面的設(shè)計(jì)參數(shù)，在圖4中畫(huà)出了閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng).數(shù)值仿真中，事件觸發(fā)次數(shù)并沒(méi)有改變.然而由圖4可以看出，系統(tǒng)的超調(diào)量減小，收斂速度更快.這表明執(zhí)行器飽和會(huì)造成閉環(huán)系統(tǒng)的性能退化.

注5? 在數(shù)值計(jì)算中，LMI（23）中的調(diào)整參數(shù)α扮演著重要角色.通過(guò)選取不同的α，會(huì)得到不同的事件觸發(fā)次數(shù)和不同的穩(wěn)定域.比如，當(dāng)α分別選取為0.50、0.10和0.01時(shí)，時(shí)間區(qū)間［0，3］內(nèi)的事件觸發(fā)次數(shù)分別為10次、12次和14次.然而，需要指出的是α為0.50時(shí)對(duì)應(yīng)的穩(wěn)定域最小，α為0.01時(shí)對(duì)應(yīng)的穩(wěn)定域最大.

4? 結(jié)? 論

本文研究了受到執(zhí)行器幅值與速率飽和約束的線性系統(tǒng)的事件觸發(fā)控制問(wèn)題.首先，用一階系統(tǒng)來(lái)表示執(zhí)行器的幅值和速率限制.然后，通過(guò)利用推廣的局部扇區(qū)條件和Lyapunov穩(wěn)定性理論，建立了LMIs表示的確保閉環(huán)系統(tǒng)區(qū)域漸近穩(wěn)定的充分條件.為了降低事件觸發(fā)次數(shù)，通過(guò)限制穩(wěn)定域的最小范圍，提出了事件觸發(fā)率的最優(yōu)化問(wèn)題.最后，數(shù)值例子和仿真驗(yàn)證了本文所獲得結(jié)果的有效性.作為后續(xù)的研究，將考慮動(dòng)態(tài)事件觸發(fā)協(xié)議和基于采樣的事件觸發(fā)協(xié)議下的控制綜合問(wèn)題.此外，在設(shè)計(jì)控制輸入時(shí)，擬考慮系統(tǒng)狀態(tài)和執(zhí)行器狀態(tài)觸發(fā)時(shí)刻不同的情形.

參? 考? 文? 獻(xiàn)

［1］ ??HESPANHA J P，NAGHSHTABRIZI P，XU Y G.A survey of recent results in networked control systems［J］.Proceedings of the IEEE，2007，95（1）：138-162.

［2］姚合軍，李鈞濤.一類非線性隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的均方指數(shù)穩(wěn)定控制［J］.河南師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2019，47（6）：31-37.

YAO H J，LI J T.Mean square exponential stability control for a class of nonlinear stochastic network systems［J］.Journal of Henan Normal University（Natural Science Edition），2019，47（6）：31-37.

［3］TABUADA P.Event-triggered real-time scheduling of stabilizing control tasks［J］.IEEE Transactions on Automatic Control，2007，52（9）：1680-1685.

［4］GIRARD A.Dynamic triggering mechanisms for event-triggered control［J］.IEEE Transactions on Automatic Control，2015，60（7）：1992-1997.

［5］PENG C，LI F Q.A survey on recent advances in event-triggered communication and control［J］.Information Sciences，2018，457/458：113-125.

［6］TARBOURIECH S，GARCIA G，GOMES DA SILVA J M，et al.Stability and Stabilization of Linear Systems with Saturating Actuators［M］.London：Springer，2011.

［7］林宗利，李元龍.飽和約束控制系統(tǒng)的吸引域估計(jì)［J］.控制與決策，2018，33（5）：824-834.

LIN Z L，LI Y L.Estimation of domain of attraction for linear systems with actuator saturation［J］.Control and Decision，2018，33（5）：824-834.

［8］STOORVOGEL A A，SABERI A.Output regulation of linear plants with actuators subject to amplitude and rate constraints［J］.International Journal of Robust and Nonlinear Control，1999，9（10）：631-657.

［9］LIN Z L.Semi-global stabilization of linear systems with position and rate-limited actuators［J］.Systems & Control Letters，1997，30（1）：1-11.

［10］BAIOMY N，KIKUUWE R.An amplitude-and rate-saturated collective pitch controller for wind turbine systems［J］.Renewable Energy，2020，158：400-409.

［11］GOMES DA SILVA J M，TARBOURIECH S，GARCIA G.Local stabilization of linear systems under amplitude and rate saturating actuators［J］.IEEE Transactions on Automatic Control，2003，48（5）：842-847.

［12］GOMES DA SILVA J M，LIMON D，ALAMO T，et al.Dynamic output feedback for discrete-time systems under amplitude and rate actuator constraints［J］.IEEE Transactions on Automatic Control，2008，53（10）：2367-2372.

［13］PALMEIRA A H K，GOMES DA SILVA J M，TARBOURIECH S，et al.Sampled-data control under magnitude and rate saturating actuators［J］.International Journal of Robust and Nonlinear Control，2016，26（15）：3232-3252.

［14］YANG H J，XIA Y Q，YUAN H H，et al.Quantized stabilization of networked control systems with actuator saturation［J］.International Journal of Robust and Nonlinear Control，2016，26（16）：3595-3610.

［15］ZHAO L，XU H，YUAN Y，et al.Stabilization for networked control systems subject to actuator saturation and network-induced delays［J］.Neurocomputing，2017，267：354-361.

［16］ZHANG L Y，CHEN M Z Q.Event-triggered control for semi-global stabilisation of systems with actuator saturation［J］.International Journal of Control，2016，89（5）：1047-1064.

［17］ZHANG K，ZHOU B，JIANG H Y.Parametric Lyapunov equation based event-triggered and self-triggered control of input constrained linear systems［J］.International Journal of Robust and Nonlinear Control，2020，30（16）：6606-6626.

［18］MOREIRA L G，GROFF L B，GOMES DA SILVA J M.Event-triggered state-feedback control for continuous-time plants subject to input saturation［J］.Journal of Control，Automation and Electrical Systems，2016，27（5）：473-484.

［19］LI H C，ZHANG N，ZUO Z Q，et al.A novel saturation-related event-triggered scheme for systems with asymmetric input constraint［J］.International Journal of Robust and Nonlinear Control，2022，32（15）：8600-8613.

［20］李鈞濤，梁聰，湯永.一類擾動(dòng)線性方程組的迭代學(xué)習(xí)控制求解方法［J］.河南師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2022，50（6）：8-14.

LI J T，LIANG C，TANG Y.Iterative learning control method for solving a class of perturbed linear algebraic equations［J］.Journal of Henan Normal University（Natural Science Edition），2022，50（6）：8-14.

Event-triggered control for linear systems under actuator amplitude and rate constraints

Jia Jinze1， Chen Yonggang2a，b， Bai Yuanyuan2a

（1. School of Management， Henan Institute of Technology， Xinxiang 453003， China; 2. a. School of Mathematical Sciences;

b. Henan Engineering and Technology Research Center of Digital Agriculture，? Henan Institute of

Science and Technology， Xinxiang 453003， China）

Abstract： In traditional networked control systems， control tasks are usually executed in a periodic way. On the other hand， due to physical constraints or for security considerations， almost all feedback control systems are subject to saturation constraints. The existence of saturations is the main factor of system performance degradation and even instability. This paper investigates the event-triggered control problem for linear systems subject to saturation constraints of actuator amplitude and rate. Firstly， the first-order systems are utilized to represent the actuator amplitude and rate constraints. Then， two generalized sector conditions are introduced to deal with the dead-zone nonlinearities induced by saturations. Next， by utilizing Lyapunov stability theory， a sufficient condition is obtained to ensure the regional asymptotic stability of the closed-loop systems. The optimization problem of event-triggering rate is proposed by restricting the minimum range of the stability region. The result obtained in this paper is expressed by linear matrix inequalities， which can be conveniently solved by using the LMI toolbox in Matlab. Finally， numerical examples and simulations verify the effectiveness of the obtained result.

Keywords： linear systems; event-triggered control; amplitude constraints; rate constraint

［責(zé)任編校? 陳留院? 趙曉華］