有限域上兩類線性碼的構(gòu)造

李文婷 衡子靈 李曉茹

摘? 要：利用定義集的方法構(gòu)造了兩類p元線性碼，研究了它們的參數(shù)和重量分布.第一類線性碼為三重極小碼，可用于構(gòu)造具有安全高效訪問結(jié)構(gòu)上的密鑰共享方案.第二類線性碼為二重線性碼，且當p=3時為自正交射影碼，可用于構(gòu)造量子碼和強正則圖.

關(guān)鍵詞：線性碼；自正交碼；極小碼；重量分布

中圖分類號：O236.2????? 文獻標志碼：A文章編號：1000-2367（2024）03-0098-08

令q=pm，其中p為素數(shù)，m為正整數(shù)，F(xiàn)q表示有q個元素的有限域.設(shè)非空集合CFnq，若C是Fnq的線性子空間，則稱C是q元線性碼.如果線性碼C的碼長為n，維數(shù)為k，最小漢明距離為d，則記C的參數(shù)為［n，k，d］，其中k表示C的信息位數(shù)，k/n稱為C的傳輸效率，d可用于刻畫C的檢錯和糾錯能力［1］.特別地，線性碼的最小漢明距離即為其中非零碼字漢明重量的最小值.令A(yù)i是碼長為n的線性碼C中所有漢明重量為i的碼字個數(shù)，則稱序列（1，A1，A2，…，An）為C的重量分布，稱多項式A（z）=1+A1z+A2z2+…+Anzn為C的重量計算器.線性碼的重量分布既能用來計算信息在傳輸過程中發(fā)生錯誤的概率，又能用來衡量碼的糾錯能力.

對于Fq上的［n，k］線性碼C，定義碼字c=（c1，c2，…，cn）∈C的支撐集為supp（c）=｛i∶ci≠0，1in｝.對于C中任意與c線性無關(guān)的碼字c′，如果總滿足supp（c′）supp（c），則稱c為極小碼字.所有碼字都是極小碼字的線性碼稱為極小碼.判定線性碼為極小碼的充分條件如下.

引理1［2］? 設(shè)C為有限域Fq上的線性碼，C中非零碼字的最小漢明重量和最大漢明重量分別用wmin和wmax表示.若wminwmax＞q-1q，則C為極小碼.

定義線性碼C的對偶碼為C⊥=｛c⊥∈Fnq∶〈c⊥，c〉=0，c∈C｝，其中〈c⊥，c〉表示c⊥與c的標準內(nèi)積.顯然C⊥為Fq上的［n，n-k］線性碼.若d（C⊥）3，則稱C為射影碼.若CC⊥，則稱C為自正交碼.當p=3時，判定Fp上線性碼為自正交碼的充要條件如下.

引理2［3］? 設(shè)C為有限域Fp上的線性碼，p=3，則C為自正交碼當且僅當它的每個碼字的重量都能被3整除.

線性碼具有良好的代數(shù)結(jié)構(gòu)以及易于描述和加解密等特性，在計算機系統(tǒng)、通信系統(tǒng)、信息安全、數(shù)字簽名、多方安全計算以及密鑰共享等領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用.極小碼可用于構(gòu)造具有安全高效訪問結(jié)構(gòu)的密鑰共

收稿日期：2022-10-24;修回日期：2022-11-15.

基金項目：國家自然科學(xué)基金（12271059;11901049）;陜西省高?？茀f(xié)青年人才托舉計劃項目（20200505）;長安大學(xué)中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費專項資金（300102122202）.

作者簡介（通信作者）：衡子靈（1990-），男，河南南陽人，長安大學(xué)教授，博士，研究方向為編碼與密碼，E-mail：zilingheng@chd.edu.cn.

引用本文：李文婷，衡子靈，李曉茹.有限域上兩類線性碼的構(gòu)造［J］.河南師范大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2024，52（3）：98-105.（Li Wenting，Heng Ziling，Li Xiaoru.Construction of two families of linear codes over finite fields［J］.Journal of Henan Normal University（Natural Science Edition），2024，52（3）：98-105.DOI：10.16366/j.cnki.1000-2367.2022.10.24.0001.）

享方案.密鑰共享方案是一種設(shè)計秘密拆分和恢復(fù)方式的方法.2006年，YUAN等［4］提出利用極小碼構(gòu)造密鑰共享方案的方法.自正交碼在量子碼的構(gòu)造中有重要應(yīng)用.在量子計算和量子通信中，量子碼用于檢測和糾正量子噪聲引起的錯誤.文獻［5-6］分別給出了量子碼的CSS構(gòu)造和Steane構(gòu)造方法.利用這兩種構(gòu)造方法，滿足一定條件的自正交碼可用于構(gòu)造量子碼.射影二重碼可用于構(gòu)造強正則圖.文獻［7］建立了射影二重碼和特定參數(shù)強正則圖之間的關(guān)系.

近年來，大量文獻構(gòu)造了線性碼并研究了它們的重量分布［8-16］.DING等［15］提出利用定義集構(gòu)造線性碼的方法.令D=｛d1，d2，…，dn｝Fq，Trq/p（x）=x+xp+xp2+…+xpm-1表示從Fq到Fp的跡函數(shù).構(gòu)造p元線性碼

CD=｛（Trq/p（bd1），Trq/p（bd2），…，Trq/p（bdn））：b∈Fq｝，

其中D稱為CD的定義集.通過選取合適的定義集D，可以構(gòu)造具有良好性能的線性碼.YANG等［16］構(gòu)造了線性碼CD=｛（Trq/p（ax2））x∈D∶a∈Fq｝，其中D=｛x∈F*q∶Trq/p（x）∈〈α2〉｝，F(xiàn)*p=〈α〉.文獻［17］構(gòu)造了線性碼CD=｛（Trq/p（a1x21+a2x22+…+atx2t））（x1，x2，…，xt）∈D∶（a1，a2，…，at）∈Ftq｝，其中D=｛（x1，x2，…，xt）∈Ftq＼｛（0，0，…，0）｝∶Trq/p（x1+x2+…+xt）=0｝.

本文主要構(gòu)造如下兩類p元線性碼并研究它們的參數(shù)及其重量分布.

構(gòu)造1? 令q=pm，S=｛（x1，x2）∈F2q：Trq/p（x1+x2）∈〈α2〉｝，其中m＞1為奇數(shù)，p為奇素數(shù)且F*p=〈α〉.構(gòu)造線性碼CS=｛（Trq/p（a1x21+a2x22））（x1，x2）∈S∶（a1，a2）∈F2q｝.

構(gòu)造2? 令q=pm，其中p為奇素數(shù)，t為正整數(shù)，F(xiàn)*p=〈α〉.取定義集

D=｛（x1，x2，…，xt）∈Ftq∶Trq/p（x1+x2+…+xt）∈〈α2〉｝.

構(gòu)造p元線性碼CD=｛（Trq/p（a1x1+a2x2+…+atxt））（x1，x2，…，xt）∈D∶（a1，a2，…，at）∈Ftq｝.

結(jié)果表明，第一類線性碼為三重極小碼，可用于構(gòu)造具有安全高效訪問結(jié)構(gòu)上的密鑰共享方案.第二類線性碼為二重線性碼，且當p=3時為自正交射影碼，可用于構(gòu)造量子碼和強正則圖.

1? 預(yù)備知識

令q=pm，其中p為素數(shù)且m為正整數(shù)，ζp表示p次本原復(fù)單位根，F(xiàn)*q=〈β〉.

對任意a∈Fq，定義有限域Fq的加法特征為函數(shù)φa（x）=ζTrq/p（ax）p，x∈Fq.特別地，當a=0時，稱φ0為Fq的平凡加法特征；當a=1時，稱φ1為Fq的典范加法特征.顯然，對任意a∈Fq，φa（x）=φ1（ax）.加法特征滿足如下正交關(guān)系［18］：

∑x∈Fqφ1（ax）=q，若a=0，0，若a∈F*q.

定義有限域Fq的乘法特征為函數(shù)ψj（βk）=ζjkq-1，k=0，1，…，q-2，0jq-2.特別地，ψ0和η∶＝ψ（q-1）/2分別稱為平凡乘法特征和二次乘法特征.乘法特征ψ的共軛定義為（x）=ψ（x），x∈F*q.乘法特征滿足如下的正交關(guān)系［18］：∑x∈F*qψj（x）=q-1，若j=0，0，若j≠0.

令φ為Fq的非平凡加法特征，f∈Fq［x］為正次數(shù)多項式.形如∑c∈Fqφ（f（c））的特征和稱為Weil和［18］.令φ為Fq的加法特征，ψ為Fq的乘法特征，定義有限域Fq上的高斯和為G（ψ，φ）=∑x∈F*qψ（x）φ（x）.

令η表示Fq的二次乘法特征，η′表示Fp的二次乘法特征.對于任意z∈F*p，η（z）=1，若m為偶數(shù)，η′（z），若m為奇數(shù).

引理3［18］? 令q為奇素數(shù)p的方冪.f（x）=a2x2+a1x+a0∈Fq［x］且a2≠0，φ為Fq的非平凡加法特征，則∑c∈Fqφ（f（c））=φ（a0-a21（4a2）-1）η（a2）G（η，φ）.

引理4［18］? 令q=pm，p為奇素數(shù)且m為正整數(shù).令η，φ1分別表示Fq的二次乘法特征與典范加法特征，則G（η，φ1）=（-1）m-1q，若p≡1（mod 4），（-1）m-1（-1）mq，若p≡3（mod 4）.

引理5［18］? 令φ是Fq的非平凡加法特征，ψ是Fq的d階乘法特征，d=gcd（n，q-1），則對于任意a，b∈Fq，a≠0，∑c∈Fqφ（acn+b）=φ（b）∑d-1j=1j（a）G（ψj，φ）.

引理6［18］? 令q為奇素數(shù)p的方冪，則-2是Fq中的平方元當且僅當q≡1（mod 8）或q≡3（mod 8）.

令q-1=sN，其中s，N為正整數(shù)，且s＞1，N＞1，α為Fq的本原元.定義Fq上N階分圓類C（N，q）i=βi〈βN〉，i=0，1，…，N-1，則|C（N，q）i|=q-1N.N階高斯周期定義為η（N，q）i=∑x∈C（N，q）iφ1（x），其中φ1表示Fq的典范加法特征.

引理7［19］ ?令q=pm，p為奇素數(shù)且m為正整數(shù).則

η（2，q）0=-1+（-1）m-1q2，若p≡1（mod 4），-1+（-1）m-1（-1）mq2，若p≡3（mod 4）.? ?η（2，q）1=-1-η（2，q）0.

令q=pm，p為奇素數(shù)，m為正整數(shù)，令χ1，φ1分別表示有限域Fq和Fp的典范加法特征，ψ表示Fq的乘法特征，η和η′分別表示Fq和Fp的二次乘法特征.將G（η，χ1）簡記為G（η），將G（η′，φ1）簡記為G（η′），將線性碼中碼字c的漢明重量記為wt（c）.設(shè)β是Fq的本原元，則α∶＝βq-1p-1是Fp的本原元.

2? 三重極小碼的構(gòu)造

令S=｛（x1，x2）∈F2q∶Trq/p（x1+x2）∈〈α2〉｝，其中m＞1為奇數(shù)，p為奇素數(shù)且F*p=〈α〉.構(gòu)造p元線性碼CS=｛（Trq/p（a1x21+a2x22））（x1，x2）∈S∶（a1，a2）∈F2q｝.顯然CS的碼長為nS=p-12p2m-1.下面研究其重量分布.記N0=|｛（x1，x2）∈F2q∶Trq/p（x1+x2）=0，Trq/p（a1x21+a2x22）=0｝|，

N=|｛（x1，x2）∈F2q∶Trq/p（x1+x2）∈〈α2〉，Trq/p（a1x21+a2x22）=0｝|，

N1=|｛（x1，x2）∈F2q∶Trq/p（x1+x2）∈α〈α2〉，Trq/p（a1x21+a2x22）=0｝|，

B=|｛（x1，x2）∈F2q∶Trq/p（a1x21+a2x22）=0｝|.

引理8? 令q=pm，p為奇素數(shù)且m為正奇數(shù)，則B=p2m，若a1=a2=0，

p2m-1，若a1=0，a2≠0或a1≠0，a2=0，p2m-1+p-1pG（η）2η（a1a2），若a1a2≠0.

證明? 由加法特征和乘法特征的正交關(guān)系以及引理3可得：B=∑（x1，x2）∈F2q1p∑y∈Fpφ1（yTrq/p（a1x21+a2x22））=1p∑（x1，x2）∈F2q（1+∑y∈F*pχ1（y（a1x21+a2x22）））=

p2m-1+1p∑y∈F*p∑x1∈Fqχ1（ya1x21）∑x2∈Fqχ1（ya2x22）.

若a1=a2=0，則B=p2m-1+1p（p-1）q2=p2m.若a1=0，a2≠0，則B=p2m-1+qp∑y∈F*p∑x2∈Fqχ1（ya2x22）=p2m-1+pm-1G（η）η（a2）∑y∈F*pη′（y）=p2m-1.

同理，若a1≠0，a2=0，則B=p2m-1.若a1a2≠0，則

B=p2m-1+1pG（η）2η（a1）η（a2）∑y∈F*pη（y）2=p2m-1+p-1pG（η）2η（a1a2）.

引理9? 令q=pm，p為奇素數(shù)且m為正奇數(shù)，則N0=p2m-1，若a1=a2=0，

p2m-2，若a1=0，a2≠0或a1≠0，a2=0，

p2m-2+p-1pG（η）2η（a1a2），若a1a2≠0且Trq/p（a-11+a-12）=0，

p2m-2，若a1a2≠0且Trq/p（a-11+a-12）≠0.

證明? 由加法特征的正交關(guān)系以及引理3得，

N0=∑（x1，x2）∈F2q（1p∑y∈Fpφ1（yTrq/p（x1+x2）））（1p∑z∈Fpφ1（zTrq/p（a1x21+a2x22）））=

1p2∑（x1，x2）∈F2q（1+

∑y∈F*pχ1（y（x1+x2）））（1+∑z∈F*pχ1（z（a1x21+a2x22）））=p2m-2+1p2（Ω1+Ω2+Ω3），（1）

其中Ω1∶＝∑y∈F*p∑x1∈Fqχ1（yx1）∑x2∈Fqχ1（yx2）=0，（2）

Ω2∶＝∑z∈F*p∑x1∈Fqχ1（za1x21）∑x2∈Fqχ1（za2x22）=（p-1）p2m，若a1=a2=0，

0，若a1=0，a2≠0或a1≠0，a2=0，

（p-1）G（η）2η（a1a2），若a1a2≠0，（3）

Ω3∶＝∑y∈F*p∑z∈F*p∑x1∈Fqχ1（za1x21+yx1）∑x2∈Fqχ1（za2x22+yx2）.

下面分情況計算Ω3.當a1a2=0時，顯然Ω3=0.當a1a2≠0時，根據(jù)引理3，

Ω3=∑y∈F*p∑z∈F*pχ1（-y24za1-y24za2）η（za1）η（za2）G（η）2=

G（η）2η（a1a2）∑z∈F*p（∑y∈Fpφ1（-y24zTrq/p（a-11+a-12））-1），

若Trq/p（a-11+a-12）=0，易知Ω3=（p-1）2G（η）2η（a1a2）.若Trq/p（a-11+a-12）≠0，根據(jù)引理3可得Ω3=G（η）2η（a1a2）（∑z∈F*pG（η′）η′（-Trq/p（a-11+a-12）4z）-（p-1））=G（η）2η（a1a2）（G（η′）η′（-Trq/p（a-11+

a-12））∑z∈F*pη′（14z）-（p-1））=（1-p）G（η）2η（a1a2），

綜上所述，Ω3∶＝（p-1）2G（η）2η（a1a2），若Trq/p（a-11+a-12）=0，（1-p）G（η）2η（a1a2），若Trq/p（a-11+a-12）≠0.（4）

由式（1）～（4）可得N0的值.

引理10? 令q=pm，p為奇素數(shù)且m為正奇數(shù)，則

N+N1=（p-1）p2m-1，若a1=a2=0，（p-1）p2m-2，若a1=0，a2≠0或a1≠0，a2=0，

（p-1）p2m-2，若a1a2≠0且Trq/p（a-11+a-12）=0，（p-1）（p2m-2+1pG（η）2η（a1a2）），若a1a2≠0且Trq/p（a-11+a-12）≠0.（5）

證明? 由N0+N+N1=B以及引理8、引理9可得N+N1的值.

引理11? 令q=pm，p為奇素數(shù)且m為正奇數(shù)，

S2=∑y∈F*p∑z∈F*p∑x1∈Fqχ1（za1x21+y2x1）∑x2∈Fqχ1（za2x22+y2x2），

則S2=0，若a1a2=0，（p-1）2G（η）2η（a1a2），若a1a2≠0且Trq/p（a-11+a-12）=0，

-（p-1）G（η）2η（a1a2），若a1a2≠0且Trq/p（a-11+a-12）≠0.

證明? 若a1a2=0，顯然S2=0.若a1a2≠0，則由引理3得

S2=∑y∈F*p∑z∈F*pχ1（-y44za1-y44za2）η（za1）η（za2）G（η）2=

G（η）2η（a1a2）∑z∈F*p（∑y∈Fpφ1（-Trq/p（a-11+a-12）4zy4）-1）.

當Trq/p（a-11+a-12）=0時，S2=（p-1）2G（η）2η（a1a2）.下面設(shè)Trq/p（a-11+a-12）≠0.為了計算S2，考慮以下兩種情況.

情況1? 令p≡3（mod 4），則gcd（4，p-1）=2.由引理5得

S2=G（η）2η（a1a2）∑z∈F*pη′（-Trq/p（a-11+a-12）4z）G（η′）-（p-1）G（η）2η（a1a2）=

G（η）2η（a1a2）∑z∈F*pη′（-Trq/p（a-11+a-12））η′（z）G（η′）-（p-1）G（η）2η（a1a2）=

G（η）2G（η′）η（a1a2）η′（-Trq/p（a-11+a-12））∑z∈F*pη′（z）-（p-1）G（η）2η（a1a2）=

-（p-1）G（η）2η（a1a2）.

情況2? 令p≡1（mod 4），則gcd（4，p-1）=4.定義高斯周期η（4，p）i=∑x∈C（4，p）iφ1（x），其中C（4，p）i=αi〈α4〉，i=0，1，2，3.方便起見，將η（4，p）i記為ηi，將C（4，p）i記為Ci.令tz≡logα（-Trq/p（a-11+a-12）4z）（mod 4），tz∈｛0，1，2，3｝.從而

S2=G（η）2η（a1a2）∑z∈F*p∑y∈F*pφ1（-Trq/p（a-11+a-12）4zy4）=4G（η）2η（a1a2）∑z∈F*pηtz=

4G（η）2η（a1a2）（∑z∈C0ηtz+∑z∈C1ηtz+∑z∈C2ηtz+∑z∈C3ηtz）.

①若p≡5（mod 8），則-1∈C2.根據(jù)引理6，4∈C2.若Trq/p（a-11+a-12）∈C0，則

當z∈C0時，-Trq/p（a-11+a-12）4z∈C0；當z∈C1時，-Trq/p（a-11+a-12）4z∈C3；

當z∈C2時，-Trq/p（a-11+a-12）4z∈C2；當z∈C3時，-Trq/p（a-11+a-12）4z∈C1.

由η0+η1+η2+η3=-1可得，S2=4G（η）2η（a1a2）p-14（η0+η3+η2+η1）=-（p-1）G（η）2η（a1a2）.

同理，若Trq/p（a-11+a-12）∈Ci（i=1，2，3），則S2=-（p-1）G（η）2η（a1a2）.

②若p≡1（mod 8），則-1∈C0.由引理6，4∈C0.類似①可得，S2=-（p-1）G（η）2η（a1a2）.

引理12? 令q=pm，p為奇素數(shù)且m為正奇數(shù)，則N=N1.

證明? 令A(yù)=∑（x1，x2）∈F2q∑y∈Fpφ1（y2Trq/p（x1+x2））∑z∈Fpφ1（zTrq/p（a1x21+a2x22））.一方面，由引理3和加法特征的正交關(guān)系得：

∑y∈Fpφ1（y2Trq/p（x1+x2））=p，若Trq/p（x1+x2）=0，

G（η′），若Trq/p（x1+x2）∈〈α2〉，-G（η′），若Trq/p（x1+x2）∈α〈α2〉，

∑z∈Fpφ1（zTrq/p（a1x21+a2x22））=p，若Trq/p（a1x21+a2x22）=0，0，若Trq/p（a1x21+a2x22）≠0.

從而A=N0p2+（N-N1）pG（η′）.（6）

另一方面，A=q2+∑（x1，x2）∈F2q∑y∈F*pχ1（y2（x1+x2））+∑（x1，x2）∈F2q∑z∈F*pχ1（z（a1x21+a2x22））+S2，其中S2=∑（x1，x2）∈F2q∑y∈F*p∑z∈F*pχ1（y2（x1+x2）+z（a1x21+a2x22））.由加法特征的正交關(guān)系，

∑（x1，x2）∈F2q∑y∈F*pχ1（y2（x1+x2））=∑y∈F*p∑x1∈Fqχ1（y2x1）∑x2∈Fqχ1（y2x2）=0.

由引理3，∑（x1，x2）∈F2q∑z∈F*pχ1（z（a1x21+a2x22））=（p-1）p2m，若a1=a2=0，0，若a1=0，a2≠0或a1≠0，a2=0，（p-1）G（η）2η（a1a2），若a1a2≠0.

再由引理11可得：A=p2m+1，若a1=a2=0，p2m，若a1=0，a2≠0或a1≠0，a2=0，

p2m+p（p-1）G（η）2η（a1a2），若a1a2≠0且Trq/p（a-11+a-12）=0，p2m，若a1a2≠0且Trq/p（a-11+a-12）≠0.（7）

由等式（1）、（6）～（7）可得N-N1的值.

定理1? 令p為奇素數(shù)，m＞1為奇數(shù).則線性碼CS是參數(shù)為［p-12p2m-1，m，（p-1）22p2m-2-p-12pm-1］三重極小碼，其重量分布如表1所示.

證明? 記碼字c=（Trq/p（a1x21+a2x22））（x1，x2）∈S∈CS的漢明重量為wt（c）.則wt（c）=nS-N.由引理4、引理10以及引理12可得N的值.當p≡1（mod 4）時，

wt（c）=0，若a1=a2=0，（p-1）22p2m-2，若a1=0，a2≠0或a1≠0，a2=0或a1a2≠0，Trq/p（a-11+a-12）=0，

（p-1）22p2m-2+p-12pm-1，若a1a2≠0，Trq/p（a-11+a-12）≠0且η（a1a2）=-1，（p-1）22p2m-2-p-12pm-1，若a1a2≠0且Trq/p（a-11+a-12）≠0且η（a1a2）=1.

由于A0=1，從而CS的維數(shù)為m.下面計算每個非零重量的頻次，設(shè)C（2，q）i=βi〈β2〉，i=0，1，η（2，q）i=∑x∈C（2，q）iχ1（x）.當a1=0，a2≠0或a1≠0，a2=0或a1a2≠0，Trq/p（a-11+a-12）=0時，對應(yīng)重量記為w1.根據(jù)跡函數(shù)的性質(zhì)可得Aw1=2（pm-1）+（pm-1）2+（p-1）p.

當a1a2≠0，Trq/p（a-11+a-12）≠0且η（a1a2）=-1時，對應(yīng)重量記為w2，下面計算Aw2.顯然|｛a1∈F*q，a2∈F*q：η（a1a2）=-1｝|=（q-1）22.記T-1=|｛a1∈F*q，a2∈F*q：Trq/p（a-11+a-12）=0，η（a1a2）=-1｝|.

從而T-1=1p（∑a1∈C（2，q）0∑a2∈C（2，q）1（1+∑y∈F*pχ1（y（a1+a2）））+∑a1∈C（2，q）1∑a2∈C（2，q）0（1+∑y∈F*pχ1（y（a1+a2））））=

（q-1）22p+1p∑y∈F*p∑a1∈C（2，q）0χ1（ya1）∑a2∈C（2，q）1χ1（ya2）+1p∑y∈F*p∑a1∈C（2，q）1χ1（ya1）∑a2∈C（2，q）0χ1（ya2）=

（q-1）22p+1p（∑y∈C（2，q）0∑a1∈C（2，q）0χ1（ya1）∑a2∈C（2，q）1χ1（ya2）+∑y∈C（2，q）0∑a1∈C（2，q）1χ1（ya1）∑a2∈C（2，q）0χ1（ya2）+

∑y∈C（2，q）1∑a1∈C（2，q）0χ1（ya1）∑a2∈C（2，q）1χ1（ya2）+∑y∈C（2，q）1∑a1∈C（2，q）1χ1（ya1）∑a2∈C（2，q）0χ1（ya2））=（q-1）22p+

p-12p（η（2，q）0，η（2，q）1+η（2，q）1η（2，q）0+η（2，q）1η（2，q）0+η（2，q）0η（2，q）1）=（q-1）22p+2（p-1）pη（2，q）0η（2，q）1.

由引理7得Aw2=（q-1）22-T-1=p-12pm-1（pm-1）.當a1a2≠0，Trq/p（a-11+a-12）≠0且η（a1a2）=1時，同理可得Aw3=p-12pm-1（pm-3）.

當p≡3（mod 4）時，同理可得CS的重量分布.這兩種情形下重量分布相同.此外，由引理1容易驗證CS是一個極小碼.

3? 二重線性碼的構(gòu)造

令q=pm，t為正整數(shù)，F(xiàn)*p=〈α〉.取定義集D=｛（x1，x2，…，xt）∈Ftq：Trq/p（x1+x2+…+xt）∈〈α2〉｝.構(gòu)造p元線性碼CD=｛（Trq/p（a1x1+a2x2+…+atxt））（x1，x2，…，xt）∈D：（a1，a2，…，at）∈Ftq｝.

定理2? 令p為奇素數(shù)，t為正整數(shù).則CD是一個二重線性碼，參數(shù)為［p-12ptm-1，m，（p-1）2ptm-22］，其重量分布如表2所示.特別地，當p=3時，CD既是一個自正交碼，又是一個射影碼.

證明? 利用與定理1類似證明方法，易證CD重量分布如表2所示.特別地，當p=3時，CD的重量可以被3整除.由引理2得，CD是一個三元自正交碼.由Pless冪等式易知CD是一個三元射影碼.

下面給出一些由Magma生成的例子，由http：//www.codetables.de/中的Code Table可以驗證其為最優(yōu)碼.

例1? 令t=2，m=2，p=3，則CD為［27，4，18］最優(yōu)碼，C⊥D為［27，23，3］最優(yōu)碼.

例2? 令t=2，m=3，p=3或t=3，m=2，p=3，則CD為［243，6，162］最優(yōu)碼，C⊥D為［243，237，3］最優(yōu)碼.

例3? 令t=3，m=1，p=3，則CD為［9，6，3］最優(yōu)碼，C⊥D為［9，3，6］最優(yōu)碼.由參數(shù)易知CD為NMDS碼.

4? 總? 結(jié)

本文通過選取定義集的方法構(gòu)造了兩類具有良好性質(zhì)的p元線性碼，確定了其參數(shù)和重量分布.主要結(jié)果及其應(yīng)用如下：1）定理1中構(gòu)造的線性碼CS為三重線性碼，且為極小碼.

2）定理2中構(gòu)造的線性碼CD為二重線性碼.當p=3時，CD是一個自正交碼，且為射影碼.特別地，CD在一些情形下是最優(yōu)碼.

3）本文得到的極小碼可用于構(gòu)造具有安全、高效訪問結(jié)構(gòu)上的密鑰共享方案.三元自正交碼可用于構(gòu)造量子碼.二重射影碼可用于構(gòu)造強正則圖.

參? 考? 文? 獻

［1］ ??馮克勤，劉鳳梅.代數(shù)與通信［M］.北京：高等教育出版社，2005.

［2］ASHIKHMIN A，BARG A.Minimal vectors in linear codes［J］.IEEE Transactions on Information Theory，1998，44（5）：2010-2017.

［3］HUFFMAN W C，PLESS V.Fundamentals of Error-Correcting Codes［M］.Cambridge：Cambridge University Press，2003.

［4］YUAN J，DING C S.Secret sharing schemes from three classes of linear codes［J］.IEEE Transactions on Information Theory，2006，52（1）：206-212.

［5］STEANE A M.Simple quantum error-correcting codes［J］.Physical Review A，1996，54（6）：4741.

［6］STEANE A M.Enlargement of Calderbank-Shor-Steane quantum codes［J］.IEEE Transactions on Information Theory，1999，45（7）：2492-2495.

［7］CALDERBANK R，KANTOR W M.The geometry of two-weight codes［J］.Bulletin of the London Mathematical Society，1986，18（2）：97-122.

［8］楊淑娣，岳勤.一類線性碼的完全重量分布［J］.計算機工程與科學(xué)，2019，41（2）：281-285.

YANG S D，YUE Q.Complete weight enumerators of a class of linear codes［J］.Computer Engineering & Science，2019，41（2）：281-285.

［9］屈龍江，海昕，李超.糾錯編碼中的代數(shù)理論與方法［J］.大學(xué)數(shù)學(xué)，2015，31（1）：7-13.

QU L J，HAI X，LI C.Algebraic theory and methods of error-correcting code［J］.College Mathematics，2015，31（1）：7-13.

［10］耿普，李超.有限域上線性碼的深度分布與周期分布［J］.應(yīng)用科學(xué)學(xué)報，2007，25（3）：263-265.

GENG P，LI C.Depth distribution and period distribution of linear codes on finite field［J］.Journal of Applied Sciences，2007，25（3）：263-265.

［11］李超，馮克勤，胡衛(wèi)群.一類性能好的線性碼的構(gòu)造［J］.電子學(xué)報，2003，31（1）：51-53.

LI C，F(xiàn)ENG K Q，HU W Q.Construction of A class of linear codes with good parameters［J］.Acta Electronica Sinica，2003，31（1）：51-53.

［12］胡麗琴，岳勤，朱小萌.具有兩個非零點循環(huán)碼的權(quán)重分布［J］.中國科學(xué)：數(shù)學(xué)，2014，44（9）：1021-1034.

HU L Q，YUE Q，ZHU X M.Weight distributions of a class of cyclic codes with two nonzeros［J］.Scientia Sinica（Mathematica），2014，44（9）：1021-1034.

［13］盧虹，楊淑娣，張同慧.基于Weil和的一類線性碼的研究［J］.河北大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2022，42（4）：350-357.

LU H，YANG S D，ZHANG T H.A class of linear codes from Weil sums［J］.Journal of Hebei University（Natural Science Edition），2022，42（4）：350-357.

［14］LI C J，YUE Q，F(xiàn)U F W.A construction of several classes of two-weight and three-weight linear codes［J］.Applicable Algebra in Engineering，Communication and Computing，2017，28（1）：11-30.

［15］DING K L，DING C S.A class of two-weight and three-weight codes and their applications in secret sharing［J］.IEEE Transactions on Information Theory，2015，61（11）：5835-5842.

［16］YANG S D，YAO Z G，ZHAO C G.A class of three-weight linear codes and their complete weight enumerators［J］.Cryptography and Communications，2017，9（1）：133-149.

［17］AHN J，KA D，LI C J.Complete weight enumerators of a class of linear codes［J］.Designs，Codes and Cryptography，2017，83（1）：83-99.

［18］LIDL R，NIEDERREITER H.Finite fields［M］.2nd ed.Cambridge：Cambridge University Press，1997.

［19］MYERSON G.Period polynomials and Gauss sums for finite fields［J］.Acta Arithmetica，1981，39（3）：251-264.

Constructions of two families of linear codes over finite fields

Li Wenting， Heng Ziling， Li Xiaoru

（School of Science， Chang'an University， Xi'an 710064， China）

Abstract： Two families of linear codes are constructed based on the defining-set method. The parameters and weight distributions of the codes are studied. The first family of linear codes have three weights and are minimal. They can be used to construct secret sharing schemes with interesting access structures. The second family of linear codes have two weights. If p=3， they are projective and self-orthogonal codes which can be used to construct strongly regular graphs and quantum codes.

Keywords： linear code; self-orthogonal code; minimal code; weight distribution

［責(zé)任編校? 陳留院? 趙曉華］