例談中位線定理在幾何問題中的應(yīng)用

李小娟

［摘 要］中位線定理是初中數(shù)學(xué)的重要定理，它在平面幾何問題的解決中有廣泛的應(yīng)用。文章通過分析典型例題，介紹一些中位線定理的應(yīng)用方法，旨在幫助學(xué)生提高解題效率，提升解題能力。

［關(guān)鍵詞］中位線定理；幾何問題；應(yīng)用

［中圖分類號(hào)］? ? G633.6? ? ? ? ［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］? ? A? ? ? ? ［文章編號(hào)］? ? 1674-6058（2024）05-0009-03

中位線定理是初中數(shù)學(xué)的重要定理，它在平面幾何問題的解決中有廣泛的應(yīng)用。下面筆者結(jié)合一些典型例題介紹一些中位線定理的應(yīng)用方法。

一、利用中位線定理求線段的長

因?yàn)橹形痪€定理反映兩條線段之間的數(shù)量關(guān)系，所以已知三角形中位線與第三邊中的其中一個(gè)量，就可以求得另一個(gè)量。

［例1］（1）課本再現(xiàn)：如圖1所示，[D]、[E]分別是[△ABC]的邊[AB]、[AC]的中點(diǎn)。求證：[DE]∥[BC]，且[DE=12BC]。定理證明：如圖2所示，延長[DE]至點(diǎn)[F]，使得[EF=DE]，連接[CF]。請(qǐng)你寫出完整的證明過程。

（2）知識(shí)應(yīng)用：如圖3所示，在四邊形[ABCD]中，[AB=6]，[CD=8]，[∠BAC=30°]，[∠ACD=120°]，點(diǎn)[E]、[F]、[M]分別是[AD]、[BC]、[AC]的中點(diǎn)，求[EF]的長。

（1）證明：在[△AED]和[△CEF]中，[DE=FE，∠AED=∠CEFAE=CE，]，

∴[△AED ]≌[△CEF]（SAS），∴[AD=CF]，[∠A=∠ECF]，∴[AB]∥[CF]，∵[AD=BD]，∴[BD=CF]，∴四邊形[DBCF]為平行四邊形，∴[DF]∥[BC]，[DF=BC]，∴[DE]∥[BC]，[DE=12BC]。

（2）解：∵點(diǎn)[E]、[M]分別是[AD]、[AC]的中點(diǎn)，∴[EM]是[△ADC]的中位線，∴[EM=12CD=4]，[EM]∥[CD]，∴[∠EMC+∠ACD=180°]，∵[∠ACD=120°]，∴[∠EMC=60°]。同理可得，[MF=12AB=3]，[MF]∥[AB]，∴[∠CMF=∠BAC]，∵[∠BAC=30°]，∴[∠CMF=30°]，∴[∠EMF=90°]，∴在Rt[△EMF]中，[EF=EM2+MF2=42+32=5]。

評(píng)注：本題首先回顧了中位線定理的證明過程，然后運(yùn)用中位線求線段的長。在此過程中，不僅應(yīng)用了中位線的位置關(guān)系，得到相應(yīng)的角度，而且應(yīng)用了中位線的數(shù)量關(guān)系，得到相應(yīng)線段的長，最后在所確定的直角三角形中應(yīng)用勾股定理求得線段的長。

二、利用中位線定理證明線段相等

利用中位線定理證明線段相等，需要證明這兩條線段分別是另兩個(gè)三角形的中位線，然后再利用全等三角形證明另兩個(gè)三角形的第三邊相等。在此過程中，可能不止一次地利用全等三角形證明線段相等，還可能利用特殊三角形的性質(zhì)獲得相等的線段或角。

［例2］如圖4所示，已知兩個(gè)等腰Rt[△ABC]，Rt[△CEF]有公共頂點(diǎn)[C]，[∠ABC=∠CEF=90°]，連接[AF]，[M]是[AF]的中點(diǎn)，連接[MB]、[ME]。當(dāng)[∠BCE=45°]時(shí)，求證： [BM=ME]。

求證：如圖5所示，延長[AB]交[CE]于點(diǎn)[D]，連接[DF]，則易知[△ABC]與[△BCD]均為等腰直角三角形，∴[AB=BC=BD]，[AC=CD]，∴點(diǎn)[B]為[AD]的中點(diǎn)，又∵點(diǎn)[M]為[AF]的中點(diǎn)，∴[BM=12DF]。延長[FE]與[CB]延長線交于點(diǎn)[G]，連接[AG]，則易知[△CEF]與[△CEG]均為等腰直角三角形，∴[CE=EF=EG]，[CF=CG]，∴點(diǎn)[E]為[FG]的中點(diǎn)，又∵點(diǎn)[M]為[AF]的中點(diǎn)，∴[ME=12AG]。在[△ACG]與[△DCF]中，[AC=CD，∠ACG=∠DCF=45°CG=CF，]，∴[△ACG ]≌[△DCF]（SAS），∴[DF=AG]，即[BM=ME]。

評(píng)注：利用三角形中位線定理證明線段之間的相等關(guān)系，就是將欲證明相等的兩條線段進(jìn)行轉(zhuǎn)移，通過證明與之關(guān)聯(lián)的兩條線段相等，從而證明原來的兩條線段相等。當(dāng)題中有中點(diǎn)或較多中點(diǎn)時(shí)，可以考慮使用中位線定理。

三、利用三角形中位線證明線段的和差關(guān)系

利用三角形中位線定理證明線段的和差關(guān)系，首先證明一條線段是某個(gè)三角形的中位線，然后再證明其他線段與三角形第三邊之間的數(shù)量關(guān)系，最后再代入即可。

［例3］（1）如圖6所示，[BD]、[CE]分別是[△ABC]的外角平分線，過點(diǎn)[A]作[AF⊥BD]，[AG⊥CE]，垂足分別是[F]、[G]，連接[FG]，延長[AF]、[AG]，與直線[BC]相交于點(diǎn)M、N。求證：[FG=12（AB+BC+AC）]。

（2）若[BD]、[CE]分別是[△ABC]的內(nèi)角平分線（如圖7），其余條件不變，線段[FG]與[△ABC]的三邊又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出你的猜想，并給予證明。

（1）求證：∵[AF⊥BD]，[∠ABF=∠MBF]，∴[∠BAF=∠BMF]，在[△ABF]和[△MBF]中，∵[∠AFB=∠MFB，BF=BF，∠ABF=∠MBF，]∴[△ABF ]≌[△MBF]（ASA），∴[MB=AB]，[AF=MF]。同理，[CN=AC]，[AG=NG]，∴[FG]是[△AMN]的中位線，∴[FG=12MN=12]（[MB+BC+CN]）[=12]（[AB+BC+AC]）。

（2）[FG=12]（[AB+AC-BC]）。如圖8所示，延長[AG]、[AF]，與直線[BC]相交于[M]、[N]，∵由（1）的證明過程類似證明[△ABF ]≌[△NBF]，∴[NB=AB]，[AF=NF]，同理[CM=AC]，[AG=MG]，∴[FG]是[△AMN]的中位線，∴[FG=12MN]，∴[BC=BN+CM-MN=AB+AC-2FG ]，∴[FG=12（AB+AC-BC）]，所以線段[FG]與[△ABC]三邊的數(shù)量關(guān)系是[FG=12]（[AB+AC-BC]）。

評(píng)注：本題利用三角形中位線定理證明了一個(gè)重要的結(jié)論，即從三角形一個(gè)頂點(diǎn)向兩條外角平分線作垂線，兩個(gè)垂足之間的線段長等于三角形周長的一半；從三角形一個(gè)頂點(diǎn)[A]向兩條內(nèi)角平分線作垂線，兩垂足之間的線段長等于以點(diǎn)[A]為端點(diǎn)的兩條邊的和減去第三邊的差的一半。

四、利用三角形中位線定理證明角相等

利用三角形中位線定理證明角相等，首先要利用中位線定理得到線段之間的數(shù)量關(guān)系與平行關(guān)系，然后結(jié)合已知條件得到相等的線段，最后由“等邊對(duì)等角”得到相等的角。

［例4］如圖9所示，在四邊形[ABCD]中，[AB=CD]，點(diǎn)[E]、[F]分別是邊[AD]、[BC]的中點(diǎn)，直線[EF]分別與[BA]、[CD]的延長線交于點(diǎn)[M]、[N]。求證：[∠BMF=∠CNF]。

解析：如圖10所示，連接[BD]，取[BD]的中點(diǎn)[P]，連接[PE]、[PF]，可得[PE]為[△ABD]的中位線，[PF]為[△BCD]的中位線，∴[PE]∥[AB]，[PF]∥[CD]，[PE=12AB]，[PF=12CD]，∴[∠PEF=∠BMF]，[∠PFE=∠CNF]，∵[AB=CD]，∴[PE=PF]，∴[∠PFE=∠PEF]，∴[∠BMF=∠CNF]。

評(píng)注：連接四邊形的對(duì)角線，取對(duì)角線的中點(diǎn)，構(gòu)造三角形中位線，在證明過程中，既利用了三角形中位線的平行關(guān)系，也利用了三角形中位線中線段之間的數(shù)量關(guān)系，即通過“中位線相等”得“兩角相等”，通過“平行”得“同位角相等”，進(jìn)而得證。

五、利用三角形中位線定理求角的度數(shù)

利用三角形中位線定理求角的度數(shù)，首先要構(gòu)造三角形中位線，然后利用三角形中位線獲得線段的平行關(guān)系與數(shù)量關(guān)系，最后結(jié)合已知角度與三角形內(nèi)角和定理求角的度數(shù)。

［例5］如圖11所示，在[△ABC]中，[∠A=40°]，[D]、[E]分別在[AB]、[AC]上，[BD=CE]，[BE]、[CD]的中點(diǎn)分別是[M]、[N]，直線[MN]分別交[AB]、[AC]于[P]、[Q]。求[∠APQ]的度數(shù)。

解析：如圖12所示，取[BC]的中點(diǎn)[H]，連接[MH]、[NH]，∵[M]、[H]為[BE]、[BC]的中點(diǎn)，∴[MH]是[△BCE]的中位線，∴[MH]∥[EC]，[MH=12EC]?！遊N]、[H]為[CD]、[BC]的中點(diǎn)，∴[NH]是[△BCD]的中位線，∴[NH]∥[BD]，[NH=12BD]。∵[BD=CE]，∴[MH=NH]，∴[∠HMN=∠HNM]，∵[MH]∥[EC]，∴[∠HMN=∠PQA]，同理，[∠HNM=∠QPA]，∴[∠APQ=∠AQP=12×（180°-∠A）=70°]。

評(píng)注：本題已知兩條線段的中點(diǎn)，但是這兩條線段并不在同一個(gè)三角形中，無法直接利用三角形中位線定理，我們發(fā)現(xiàn)線段[BC]分別與有中點(diǎn)的兩條線段在三角形中，當(dāng)取[BC]的中點(diǎn)[H]，分別連接[MH]、[NH]后，能夠獲得兩條三角形中位線。

六、利用三角形中位線定理判定四邊形的形狀

利用三角形中位線定理判定四邊形的形狀，一般用于判定中點(diǎn)四邊形的形狀，對(duì)于任意四邊形的中點(diǎn)四邊形，利用三角形中位線定理可判定其為平行四邊形。當(dāng)原四邊形的對(duì)角線相等時(shí)，中點(diǎn)四邊形是菱形；當(dāng)原四邊形的對(duì)角線互相垂直時(shí)，中點(diǎn)四邊形是矩形；當(dāng)原四邊形的對(duì)角線相等且互相垂直時(shí)，中點(diǎn)四邊形是正方形。

［例6］我們給出如下定義：順次連接任意一個(gè)四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形叫中點(diǎn)四邊形。（1）如圖13所示，點(diǎn)[P]是四邊形[ABCD]內(nèi)一點(diǎn)，且滿足[PA=PB]，[PC=PD]，[∠APB=∠CPD]，點(diǎn)[E]、[F]、[G]、[H]分別為邊[AB]、[BC]、[CD]、[DA]的中點(diǎn)，猜想中點(diǎn)四邊形[EFGH]的形狀，并證明你的猜想。（2）若改變（1）中的條件，使[∠APB=∠CPD=90°]，其他條件不變，直接寫出中點(diǎn)四邊形[EFGH]的形狀（不必證明）。

解析：（1）四邊形[EFGH]是菱形。如圖14所示，連接[AC]、[BD]，∵[∠APB=∠CPD]，∴[∠APB+∠APD=∠CPD+∠APD]，即[∠APC=∠BPD ]，在[△APC]和[△BPD]中，[AP=BP，∠APC=∠BPDPC=PD，]，

∴[△APC ]≌[△BPD]（SAS），∴[AC=BD]，∵點(diǎn)[E]、[F]、[G]、[H]分別為邊[AB]、[BC]、[CD]、[DA]的中點(diǎn)，∴[EF=12AC]，[FG=12BD]，[EH=12BD]，[GH=12AC]，∴[EF=FG=GH=EH]，∴四邊形[EFGH]是菱形。

（2）四邊形[EFGH]是正方形，設(shè)[AC]、[BD]交點(diǎn)為[O]，[AC]與[PD]交于點(diǎn)[M]，[AC]與[EH]交于點(diǎn)[N]，由（1）可得[△APC ]≌[△BPD]，∴[∠ACP=∠BDP]，∵[∠CPD=90°]，∴[∠PDC+∠PCD=90°]，∴[∠ODC+∠OCD=90°]，∴[∠COD=90°]，∴[AC⊥BD]，∵[EH]∥[BD]，[AC]∥[HG]，∴[∠EHG=∠ENO=∠BOC=∠DOC=90°]，由（1）得四邊形[EFGH]是菱形，∴四邊形[EFGH]是正方形。

評(píng)注：中點(diǎn)四邊形是什么四邊形取決于原四邊形的對(duì)角線，所以此題必須作輔助線連接兩條對(duì)角線。連接四邊形的對(duì)角線后，既構(gòu)造了四條三角形中位線，又構(gòu)造了手拉手全等模型，通過手拉手全等模型得到四邊形對(duì)角線相等，通過三角形中位線定理使中點(diǎn)四邊形的四條邊與原四邊形的對(duì)角線之間有了數(shù)量關(guān)系。

通過上述例題的解析可知，利用三角形中位線定理可以計(jì)算線段的長，計(jì)算角度，可以證明線段之間的數(shù)量關(guān)系、角之間的數(shù)量關(guān)系，還可以判定四邊形的形狀。中位線可以起到橋梁紐帶的作用，在解決平面幾何問題的過程中出奇制勝。當(dāng)問題中出現(xiàn)中點(diǎn)或中線時(shí)，可以考慮應(yīng)用三角形中位線定理。

（責(zé)任編輯 黃桂堅(jiān)）