直觀想象視角下2023年高考新課標Ⅰ卷數(shù)學試題的分析

歐曉露　譚偉容　王光生

［摘 要］2023年高考新課標Ⅰ卷數(shù)學試題立足核心素養(yǎng)，重視考查理性思維，強化考查考生在真實情境中運用數(shù)學知識解決問題的能力和直觀想象素養(yǎng)。文章分析2023年高考新課標Ⅰ卷數(shù)學試題關(guān)于直觀想象素養(yǎng)的考查，并提出建議：教師在教學過程中應(yīng)重視引導學生把握知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，體會數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用價值，培養(yǎng)學生的直觀想象素養(yǎng)。

［關(guān)鍵詞］2023年高考；新課標Ⅰ卷；直觀想象素養(yǎng)

［中圖分類號］? ? G633.6? ? ? ? ［文獻標識碼］? ? A? ? ? ? ［文章編號］? ? 1674-6058（2024）05-0031-04

一、研究背景

2020年10月13日，中共中央、國務(wù)院印發(fā)了《深化新時代教育評價改革總體方案》，明確指出：穩(wěn)步推進中高考改革，增加試題開放性，改變相對固化的試題形式，減少死記硬背與“機械刷題”現(xiàn)象?；诖?，高中數(shù)學教師需要扎根數(shù)學學科核心素養(yǎng)，對高考試題做進一步的分析，從而優(yōu)化課堂教學設(shè)計，促使學生能夠用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界，用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界，用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界，真正體現(xiàn)數(shù)學學科育人的價值。

二、直觀想象素養(yǎng)概述

直觀想象素養(yǎng)是解決數(shù)學問題所需的重要素養(yǎng)，表現(xiàn)為學生在解決數(shù)學問題時能夠構(gòu)建出相關(guān)的數(shù)學模型。高考數(shù)學試題關(guān)于直觀想象素養(yǎng)的考查，對學生提出了以下要求：能根據(jù)已知條件畫出正確的圖形，能根據(jù)圖形想象出事物的直觀形象；能有效分析圖象中各元素之間的關(guān)系；能將圖形進行拆分、組合；能夠運用圖象發(fā)現(xiàn)、思考和表達出問題的本質(zhì)。

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》指出，直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用空間形式特別是圖形，理解和解決數(shù)學問題的素養(yǎng)。研究者常通過“幾何直觀”與“空間想象”兩個核心概念對直觀想象素養(yǎng)進行研究。直觀想象素養(yǎng)要求學生能夠在分析事物的基礎(chǔ)上，對物體的空間形態(tài)、位置關(guān)系與運動規(guī)律進行想象；能夠運用幾何直觀和空間想象思考問題、解決問題，具有把握事物本質(zhì)的能力。

三、2023年高考新課標Ⅰ卷數(shù)學試題分析

2023年高考新課標Ⅰ卷貫徹落實了新課標的精神，除強調(diào)考查立體幾何、解析幾何、函數(shù)等相關(guān)知識外，還注重考查直觀想象素養(yǎng)。

（一）強調(diào)基礎(chǔ)知識，注重直觀模型構(gòu)建

2023年高考新課標Ⅰ卷數(shù)學試題注重考查學生的基礎(chǔ)知識，以及學生構(gòu)建直觀模型的能力。學生需要掌握幾何模型的基礎(chǔ)知識，了解問題背景，才能通過分析相關(guān)條件構(gòu)建正確的直觀模型，從而解決問題。

［例1］（2023年高考新課標Ⅰ卷數(shù)學第18題）如圖1所示，在正四棱柱[ABCD]-[A1B1C1D1]中，[AB=2]，[AA1=4]。點[A2，B2，C2，D2]分別在棱[AA1]，[BB1]，[CC1]，[DD1]上，[AA2=1]，[BB2=DD2=2]，[CC2=3]。

（1）證明：[B2C2]∥[A2D2]；

（2）點[P]在棱[BB1]上，當二面角[P-A2C2-D2]為[150°]時，求[B2P]。

試題分析：此題條件簡潔明了，內(nèi)涵較為豐富，考查學生對空間直角坐標系的建立，向量平行、向量的數(shù)量積等概念的掌握程度，以及空間想象能力。（1）由題中所給的條件可知，不妨以[C]為坐標原點，建立如圖2所示的空間直角坐標系，根據(jù)向量坐標相等與直線位置之間的關(guān)系進行證明；（2）由于點[P]是動點，通過借助參數(shù)[λ（0≤λ≤4）]將動點問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題即可解決。設(shè)[P（0，2，λ）（0≤λ≤4）]，利用二面角法向量之間的夾角關(guān)系，建立方程組求出參數(shù)[λ]即可。

本題的解題關(guān)鍵在于把握直線與直線、平面與平面之間的位置關(guān)系及其背后蘊含的數(shù)量關(guān)系，借助幾何直觀形成解題思路。

［例2］（2023年高考新課標Ⅰ卷數(shù)學第6題）過點（0，-2）與圓[x2+y2-4x-1=0]相切的兩條直線的夾角為[α]，則[sinα=]（）。

A. 1B. [154]C. [104]D. [64]

試題分析：此題條件簡潔明了，邏輯清晰，充分考查切線性質(zhì)、倍角公式、余弦定理、兩點間距離公式、兩直線夾角等概念，直線與圓的位置關(guān)系，以及空間想象能力。學生如果能根據(jù)題目中所給條件建立點、直線與圓的位置關(guān)系的直觀模型，從兩補角之間正弦值相等出發(fā)，意識到求[sinα]即求[sin∠APB]，根據(jù)兩點間距離公式及圓心到切線的距離等于圓的半徑，求出線段[BC]與[PC]的長度（如圖3），就能很快地得出答案為B。

（二）數(shù)形結(jié)合建立模型，探索解題思路

數(shù)和形是數(shù)學中兩個最主要的研究對象，它們有著十分密切的聯(lián)系，兩者相互轉(zhuǎn)化、相互滲透。用“形”觀察“數(shù)”的大小關(guān)系是一種直覺判斷，“能否想到用圖形觀察”“用什么樣的圖形觀察”“如何運用圖形進行觀察”對數(shù)學問題的解決至關(guān)重要。2023年高考新課標Ⅰ卷數(shù)學試題注重考查數(shù)形結(jié)合思想的運用。

［例3］（2023年高考新課標Ⅰ卷數(shù)學第15題）已知函數(shù)[f（x）=cosωx-1（ω>0）]在區(qū)間[0，2π]有且僅有3個零點，則[ω]的取值范圍是? ? ? ? ? ? ? ? ?。

試題分析：此題考查學生對于函數(shù)概念、函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化的掌握程度，以建立幾何模型和借助幾何模型解決問題的能力。此題考查關(guān)于函數(shù)零點的個數(shù)問題，而不是大小或函數(shù)最值等問題，并且函數(shù)[f（x）=cosωx-1（ω>0）]在區(qū)間[0，2π]內(nèi)有3個零點，也就是說[cosωx=1]在區(qū)間[0，2π]內(nèi)有3個不同的實數(shù)根。因為題中所給函數(shù)具有周期性，單純從“數(shù)”的角度解決問題難度較大，所以可以從“形”的角度判斷根的大致分布情況。不妨令[t=ωx]，當[t∈0，2ωπ]時，[y] = [cost]的圖象與[y=1]的圖象（如圖4）有3個交點，即滿足條件[4π≤2ωπ<6π]，故[2≤ω<3]。

此題的難點在于如何通過已知條件尋找根與系數(shù)之間的關(guān)系，并通過建立幾何模型探索解題思路。數(shù)形結(jié)合為解題找到了突破口。掌握y=[cost]的圖象與[y=1]的圖象之間的關(guān)系，通過簡單的運算即可得到答案。

［例4］（2023年高考新課標Ⅰ卷數(shù)學第11題）已知函數(shù)[f（x）]的定義域為[R]和[f（xy）=y2f（x）+x2f（y）]，則（）。

A. [f（0）=0]? ? ? ? ? ? ? B. [f（1）=0]

C. [f（x）]是偶函數(shù)? ? D. [x=0]為[f（x）]的極小值點

試題分析：本題[ABC]選項均可以采用代入數(shù)值的方法進行求解。

當[x=0]，[y=0]時，[f（0）=0·f（0）+0·f（0）=0]，故選A。

當[x=1]，[y=1]時，[f（1）=1·f（1）+1·f（1）=2f（1）]解得[f（1）=0]，故選B。

當[x=-1]，[y=-1]時，[f（1）=f（-1）+f（-1）=2f（-1）=0]，解得[f（-1）=0]。令[y=-1]，[f（-x）=f（x）+x2f（-1）=f（x）]，故選C。

對于D選項，可從以下兩個方面進行分析：

方法一：尋找特殊函數(shù)

當[f（x）=0]時，滿足條件[f（xy）=y2f（x）+x2f（y）]，此時函數(shù)圖象為一條過原點且平行于[x]軸的直線，此時函數(shù)沒有極值點。

方法二：構(gòu)造函數(shù)

根據(jù)題中所給的函數(shù)[f（xy）=y2f（x）+x2f（y）]，當[x]和[y]均不為0時，對函數(shù)[f（xy）=y2f（x）+x2f（y）]兩邊同時除以[x2y2]，得到式子[f（xy）x2y2=f（x）x2+f（y）y2]，容易聯(lián)想到對數(shù)函數(shù)[f（x）=lnx]。又因為[f（x）]是偶函數(shù)，受到對稱性的影響，可以假設(shè)[f（x）x2=lnx（x≠0）]，則[f（x）=x2lnx，x≠0，0，x=0，]對函數(shù)進行求導后，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性可以畫出函數(shù)圖象（如圖5），由圖象可知，此時[x=0]時，函數(shù)[f（x）]有極大值點。

此題的難點在于如何將抽象函數(shù)與具體函數(shù)建立聯(lián)系，借助函數(shù)圖象對函數(shù)的性質(zhì)進行分析。

（三）利用空間想象探尋問題本質(zhì)

事物的本質(zhì)往往隱藏在事物的背后，它不僅需要我們從數(shù)學模型、幾何直觀上認識和把握事物的本質(zhì)，還要求我們從生活中汲取相關(guān)經(jīng)驗，從而在腦海中形成與問題情境相對應(yīng)的大致圖象。2023年高考新課標Ⅰ卷數(shù)學試題注重考查學生利用空間想象探尋問題本質(zhì)的能力。

［例5］（2023年高考新課標Ⅰ卷數(shù)學第12題）下列物體中，能夠被整體放入棱長為1（單位：m）的正方體容器（容器壁厚度忽略不計）內(nèi)的有（）。

A. 直徑為[0.99 m]的球體

B. 所有棱長均為[1.4 m]的四面體

C. 底面直徑為[0.01 m]，高為[1.8 m]的圓柱體

D. 底面直徑為[1.2 m]，高為[0.01 m]的圓柱體

試題分析：本題兼顧考查了生活常識與數(shù)學幾何知識，體現(xiàn)了數(shù)學原理和方法與生活常識相統(tǒng)一。本題難度適中，但方式較為新穎，突出了素養(yǎng)導向，且貼近生活實際。

此題的難點在于如何根據(jù)圖象信息找到幾何立體圖形之間的數(shù)量關(guān)系，借助立體幾何形成具體解題思路。

因為球的直徑小于正方體的棱長，所以能夠被整體放入正方體內(nèi)（如圖6），故A正確。

因為正方體的對角線比四面體的棱長要長（如圖7），但正方體的棱長比四面體的棱長要短，因此可以嘗試將四面體的每條棱與正方體每個面的對角線相重合（如圖8），故B正確。

由于所給圓柱體的直徑很小，相較于正方體來說，可以近似將該圓柱體作為一條線段進行分析（如圖9）。正方體的對角線長為[3m]，且[3<1.8]，因此該圓柱體無法放入正方體中，C錯誤。

對于D選項，由于此題涉及的位置關(guān)系較為復雜，因此可以在畫出簡圖后，形成清晰的解題思路。該圓柱體的高很小，可將其近似看成一個圓形，觀察其直徑與正方體的對角線之間的關(guān)系。由題中所給信息可知，正方體的對角線長為[3m]，且[3>1.2]，因此有可能將其放入正方體中，D選項正確。但該圓柱體只能“近似”看成一個圓形（如圖10），并不能簡單地忽略它的高度，因此還需要進行更細致的分析。本題將“圓柱體”放入“正方體”，不妨對一般情況進行研究。

當以正方體的對角線為軸放置圓柱體，圓柱體的底面與正方體三個面相切時，圓柱體的高有最大值，此時圓柱體的底面所在的平面截正方體得一個底面為等邊三角形，各個側(cè)面均為全等直角三角形的三棱錐（如圖11）。

因此，要想求出所放入圓柱體高度的最大值，需要知道點[A]到底面[JHI]的距離，不妨假設(shè)點[A]到底面[JHI]的距離為[h]，[AI]長度為[a]，[JI]長度為[b]，圓柱底面半徑為[r]，所放入圓柱體的高度的最大值為[H]（如圖12），由平面HIJ的截面（如圖13）可知，各條線段之間具有以下關(guān)系：

[b=2a]

[b=23r]

[VA-IJH=13h·S△IJH]

[VA-IJH=VJ-AIH=13a·12a2=16a3]

[H=3-2h]

解得[H=3-22r]。根據(jù)題目中所給條件可知，[r=0.6] m，將值代入求解，可得[H≈0.03>0.01]，所以該圓柱體能夠放入棱長為1的正方體中。

由本題可知，在幾何直觀的基礎(chǔ)上，利用事物的一般性質(zhì)，由一般到特殊，進而把握知識的本質(zhì)聯(lián)系，為構(gòu)建模型解決問題提供了根本保障。

四、2023年高考數(shù)學試題關(guān)于直觀想象素養(yǎng)的考查對高中數(shù)學教學的啟示

（一）深度研讀教材，更新教學理念

通過分析2023年高考新課標Ⅰ卷數(shù)學試題中注重考查直觀想象素養(yǎng)的題目可以發(fā)現(xiàn)，有些題目在人教A版（2019）高中數(shù)學教材中可以窺見一二，因此需要教師回歸教材，立足核心素養(yǎng)，繼續(xù)探索新課程改革理念在高中數(shù)學課堂教學中的具體落實策略。教師應(yīng)更新教學理念，改變以死記硬背、題海戰(zhàn)術(shù)為主的刷題訓練模式，引導學生從題目所給信息中找到問題的本質(zhì)，了解知識的形成過程，把握知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，讓學生將經(jīng)驗、技巧、知識內(nèi)化為素養(yǎng)，提升學生的思維能力。

（二）夯實基礎(chǔ)知識，拓寬想象空間

基礎(chǔ)知識是解題思路的源泉，創(chuàng)新思維的產(chǎn)生依賴于扎實的基礎(chǔ)知識。教師應(yīng)注重夯實學生的基礎(chǔ)知識，拓寬學生的想象空間，培養(yǎng)學生識圖、作圖、用圖的能力和空間想象力。教師還應(yīng)開展相關(guān)的實踐活動，幫助學生積累直觀想象的經(jīng)驗，培養(yǎng)學生的直觀想象素養(yǎng)。

（三）改善思維，強化方法指導

從2023年高考新課標Ⅰ卷數(shù)學試題的考查內(nèi)容可以看出，指向直觀想象素養(yǎng)培養(yǎng)的教學，最終的落腳點都是指導學生構(gòu)建幾何模型，培養(yǎng)學生從數(shù)形結(jié)合視角解決問題的能力。教師要讓學生“學會去看”，能夠運用幾何模型分析問題中形與數(shù)之間的關(guān)系，進而以形助數(shù)、以數(shù)輔形，有效解決問題。

總之，直觀想象既是一種重要的數(shù)學思維方式，又是一種重要的數(shù)學學科核心素養(yǎng)，教師應(yīng)當在研讀教材、更新教學理念的基礎(chǔ)上，深入挖掘直觀想象的內(nèi)涵，拓寬直觀想象素養(yǎng)的培養(yǎng)路徑，以更好地培育學生的直觀想象素養(yǎng)。

［? ?參? ?考? ?文? ?獻? ?］

［1］? 黃維靜，陳建華.高考數(shù)學開放性試題解析：以2021年高考題為例［J］.高中數(shù)學教與學，2021（23）：1-4.

［2］? 劉再平，羅新兵.核心素養(yǎng)視域下的數(shù)學測評研究：以2019年全國卷Ⅱ高考數(shù)學試題為例［J］.中學數(shù)學研究（華南師范大學版），2020（11）：53，1-6.

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［5］? 陳俊藝.基于直觀想象素養(yǎng)? 引導學生變式探究：以解析幾何中一類直線性質(zhì)的探究為例［J］.福建中學數(shù)學，2022（3）：16-18.

［6］? 李曉丹.從不同教科書看直觀想象素養(yǎng)的滲透：以基本不等式為例［J］.中學數(shù)學，2023（15）：11-13.

［7］? 劉慧.數(shù)形結(jié)合探思路? 一題多解啟思維：2017年山東淄博中考壓軸題的解法探究與教學之思［J］.中學數(shù)學雜志，2018（2）：59-62.

［8］? 張文雅，許金綠.STEM教育與高中數(shù)學建模融合的實施策略［J］.理科考試研究，2021（21）：27-29.

（責任編輯 黃春香）