高中數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生創(chuàng)造性思維的培養(yǎng)

一、案例背景

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》對(duì)高中數(shù)學(xué)教學(xué)提出了新的要求和標(biāo)準(zhǔn)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維成為教育的重中之重。創(chuàng)造性思維并非孤立存在，它與日常思維緊密相連，卻又獨(dú)具特色。“圓與圓的位置關(guān)系”是蘇教版高二選擇性必修第一冊(cè)第2章“圓與方程”第3課時(shí)的內(nèi)容，是高中數(shù)學(xué)中一個(gè)重要的知識(shí)點(diǎn)，它涉及平面直角坐標(biāo)系中圓的方程以及圓的幾何性質(zhì)等多個(gè)方面。通過(guò)學(xué)習(xí)這一內(nèi)容，學(xué)生可以進(jìn)一步掌握解析幾何的基本思想和方法，提高數(shù)學(xué)思維能力。在本課的學(xué)習(xí)中，學(xué)生將類比直線的研究方法，自主探究圓的方程和幾何性質(zhì)，并理解圓與圓之間的各種位置關(guān)系，包括內(nèi)含、內(nèi)切、相交、外切、外離。同時(shí)，學(xué)生還將多維度、多層面地體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想。

二、案例描述

（一）破冰之旅：引入話題，啟發(fā)思考

教師（微笑）：同學(xué)們，你們平時(shí)在生活中有沒(méi)有注意到哪些物體是圓形的呢？

學(xué)生（興奮）：籃球和足球都是圓的！

學(xué)生（思考）：還有太陽(yáng)。它看起來(lái)也是圓圓的。

學(xué)生（補(bǔ)充）：還有水杯的蓋子，也是圓形的。

教師（點(diǎn)頭）：你們觀察得很仔細(xì)。那么，在數(shù)學(xué)中，圓是如何定義的呢？它有哪些獨(dú)特的性質(zhì)呢？

學(xué)生：它是由定點(diǎn)和定長(zhǎng)確定的平面圖形！

教師（鼓勵(lì)）：很好，那我們就來(lái)深入探討一下這個(gè)神奇的圖形吧！

（二）探索之路：定義與方程的建立

教師（認(rèn)真）：在平面直角坐標(biāo)系中，圓是如何表示的呢？

學(xué)生（毫不猶豫）：使用方程！

教師（微笑）：非常正確。在數(shù)學(xué)中，我們經(jīng)常使用方程來(lái)表示圖形。那么，你們能嘗試寫(xiě)出圓心在原點(diǎn)，半徑為5的圓的方程嗎？

學(xué)生（思考片刻）：是不是x2+y2=25？

教師（點(diǎn)頭）：完全正確！這個(gè)方程確實(shí)表示了一個(gè)圓心在原點(diǎn)，半徑為5的圓。那么，你們能告訴我這個(gè)方程的含義嗎？

學(xué)生（積極回答）：這個(gè)方程表示圓上所有點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都是5！

教師（贊許）：非常棒！你理解得很透徹。這個(gè)方程確實(shí)表示了圓上所有點(diǎn)到圓心的距離都是固定的，也就是半徑的長(zhǎng)度。那么，你們能理解為什么這個(gè)方程可以用來(lái)表示圓嗎？

學(xué)生（疑惑）：是不是因?yàn)閤和y表示圓上的點(diǎn)，而方程表示這些點(diǎn)到圓心的距離是固定的？

教師（點(diǎn)頭）：很好，你理解得很到位。這個(gè)方程確實(shí)是通過(guò)點(diǎn)到圓心的距離來(lái)描述圓的。那么，你們能嘗試寫(xiě)出圓心在（3，4），半徑為5的圓的方程嗎？

學(xué)生（思考后回答）：是不是（x-3）2+（y-4）2=25？

教師（微笑）：非常正確！這個(gè)方程確實(shí)表示了一個(gè)圓心在（3，4），半徑為5的圓。通過(guò)調(diào)整這個(gè)方程，我們可以輕松地改變圓的位置和大小。現(xiàn)在我們已經(jīng)理解了如何使用方程來(lái)表示圓，接下來(lái)我們將進(jìn)一步探索圓與圓的位置關(guān)系。

（三）創(chuàng)意之源：位置關(guān)系的發(fā)現(xiàn)

1.幾何法

教師（引導(dǎo)）：同學(xué)們，今天我們將深入探討一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題——兩個(gè)圓之間的位置關(guān)系。現(xiàn)在，請(qǐng)大家先思考一下，如何判斷兩個(gè)圓的位置關(guān)系呢？

學(xué)生（思考）：老師，是不是可以通過(guò)比較兩個(gè)圓的圓心距和半徑來(lái)判斷它們的關(guān)系？

教師（贊許）：非常好！你的思路是對(duì)的。確實(shí)，通過(guò)比較圓心距和兩圓半徑的大小，我們可以確定它們的位置關(guān)系。那么，具體怎樣來(lái)進(jìn)行呢？

學(xué)生（思考）：如果圓心距大于兩圓半徑之和，它們是外離關(guān)系;如果圓心距等于兩圓半徑之和，它們是外切關(guān)系;如果圓心距小于兩圓半徑之和且大于兩圓半徑之差，它們是相交關(guān)系;如果圓心距等于兩圓半徑之差，它們是內(nèi)切關(guān)系;如果圓心距小于兩圓半徑之差，它們是內(nèi)含關(guān)系。

教師（贊許）：非常準(zhǔn)確！你總結(jié)得非常好。這就是我們通過(guò)幾何法來(lái)判斷兩個(gè)圓的位置關(guān)系的依據(jù)。見(jiàn)表1。其中，r1和r2分別為兩個(gè)圓的半徑，d為兩圓的圓心距。那么，除了幾何法，還有其他方法嗎？

2.代數(shù)法

學(xué)生（思考）：老師，我們還可以通過(guò)解方程組的方法來(lái)判斷。設(shè)由兩圓的方程組成的方程組為C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0，C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0。我們將兩個(gè)圓的方程聯(lián)立起來(lái)組成一個(gè)二元二次方程組，然后解這個(gè)方程組。如果有一組解，說(shuō)明兩圓相切;有兩對(duì)相等的實(shí)數(shù)解，說(shuō)明兩圓相交;如果沒(méi)有實(shí)數(shù)解，說(shuō)明兩圓相離。見(jiàn)表2。

教師（欣喜）：非常好！你提出了另一種判斷方法——代數(shù)法。通過(guò)解方程組來(lái)判斷兩個(gè)圓的位置關(guān)系，這是一個(gè)很有創(chuàng)意的想法。這種方法不僅可以判斷兩個(gè)圓的位置關(guān)系，還可以進(jìn)一步確定兩個(gè)圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)和切點(diǎn)個(gè)數(shù)。

教師（深入引導(dǎo)）：現(xiàn)在我們來(lái)具體探討一下這兩種方法的應(yīng)用。首先，利用幾何法判斷兩個(gè)圓的位置關(guān)系，我們可以直接比較兩個(gè)圓的圓心距和半徑。這種方法直觀、易懂，對(duì)于一些較為簡(jiǎn)單的情況非常適用。

教師（展示示例）：現(xiàn)在我們來(lái)看一個(gè)具體的例子。假設(shè)我們有兩個(gè)圓，方程分別為（x-1）2+（y-1）2=1和（x-3）2+（y-3）2=9。那么，我們應(yīng)該如何判定這兩個(gè)圓之間的關(guān)系呢？

學(xué)生：我們可以先計(jì)算出它們的圓心距，即d==2。然后比較d與r1+r2的大小，可以判斷出這兩個(gè)圓是相交的。

教師：沒(méi)錯(cuò)，你們分析得很對(duì)。

教師（總結(jié)方法）：通過(guò)以上分析，我們可以總結(jié)出判斷兩圓位置關(guān)系的幾何法步驟：首先計(jì)算出兩圓的圓心距d;然后比較d與r1+r2、r1-r2的大小關(guān)系;最后根據(jù)大小關(guān)系判斷出兩圓的位置關(guān)系是相交、相切還是相離。

教師（引導(dǎo)）：除了幾何法，我們還可以利用代數(shù)法來(lái)判斷兩個(gè)圓的位置關(guān)系。通過(guò)代數(shù)法判斷兩個(gè)圓的位置關(guān)系是一種更加嚴(yán)謹(jǐn)?shù)姆椒āＫ梢源_保我們得到的結(jié)果是準(zhǔn)確的，并且在處理復(fù)雜情況時(shí)更加可靠。現(xiàn)在我們舉一個(gè)具體的例子，假設(shè)我們有兩個(gè)圓的方程為（x-1）2+（y-1）2=1和（x-3）2+（y-3）2=9。那么，這兩個(gè)圓是什么位置關(guān)系呢？

學(xué)生：我們將這兩個(gè)方程聯(lián)立起來(lái)組成一個(gè)二元二次方程組，然后通過(guò)解這個(gè)方程組得到兩個(gè)實(shí)數(shù)解，可以判定這兩個(gè)圓是相交的。

教師（總結(jié)）：通過(guò)以上分析，我們可以總結(jié)出判斷兩圓位置關(guān)系的代數(shù)法步驟：首先將兩個(gè)圓的方程聯(lián)立起來(lái)組成一個(gè)二元二次方程組，然后解這個(gè)方程組，最后根據(jù)解的情況判斷兩圓的位置關(guān)系是相交、相切還是相離。這種方法雖然較為煩瑣，但對(duì)于一些需要精確結(jié)果的情況非常適用。

教師（鼓勵(lì)）：同學(xué)們，今天我們深入探討了如何利用幾何法和代數(shù)法判斷兩個(gè)圓的位置關(guān)系。希望大家能夠在解題中靈活運(yùn)用這些方法。同時(shí)，也希望大家能夠繼續(xù)探索數(shù)學(xué)的世界，發(fā)現(xiàn)更多有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題。

（四）總結(jié)與延伸：回顧過(guò)去，展望未來(lái)

教師：同學(xué)們，今天我們學(xué)習(xí)了圓與圓的位置關(guān)系，有誰(shuí)可以總結(jié)一下判斷圓與圓位置關(guān)系的方法？

學(xué)生：我們可以根據(jù)圓心距和兩圓半徑的大小關(guān)系來(lái)判斷兩圓是外離、外切、內(nèi)切、內(nèi)含還是相交。

學(xué)生：也可以將兩個(gè)圓的方程聯(lián)立起來(lái)求解，判斷圓與圓的位置關(guān)系。

教師：非常好，你們總結(jié)得很好。那么，大家有沒(méi)有思考過(guò)，如何運(yùn)用今天學(xué)到的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題呢？

學(xué)生：我們可以利用圓與圓的位置關(guān)系來(lái)判斷物體在空間中的位置，如判斷兩輛汽車在不同道路上的行駛關(guān)系。

教師：數(shù)學(xué)知識(shí)在生活中有著廣泛的應(yīng)用。希望同學(xué)們?cè)诮窈蟮膶W(xué)習(xí)和生活中，能夠用今天學(xué)到的數(shù)學(xué)思維去解決實(shí)際問(wèn)題，繼續(xù)努力探索數(shù)學(xué)的奧秘。

三、案例小結(jié)

本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容分為四個(gè)部分：破冰之旅、探索之路、創(chuàng)意之源和總結(jié)與延伸。從引入話題到深入探討，再到實(shí)際應(yīng)用，教學(xué)內(nèi)容層層遞進(jìn)，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。同時(shí)，教學(xué)內(nèi)容涵蓋了圓的基本概念、方程表示方法和圓與圓位置關(guān)系的判斷方法，為學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)幾何知識(shí)打下了基礎(chǔ)。

就教學(xué)方法與手段而言，本節(jié)課采用了啟發(fā)式教學(xué)法，引導(dǎo)學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)和探究數(shù)學(xué)知識(shí)。在教學(xué)過(guò)程中，我通過(guò)提問(wèn)、討論等方式激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)思考問(wèn)題。這種教學(xué)方法有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和解決問(wèn)題的能力。另外，本節(jié)課運(yùn)用了多媒體教學(xué)手段，通過(guò)展示圓的圖形、方程和位置關(guān)系判斷圓與圓的位置關(guān)系，幫助學(xué)生形象地理解抽象的數(shù)學(xué)概念。

就學(xué)生的學(xué)習(xí)情況來(lái)說(shuō)，本節(jié)課中，學(xué)生表現(xiàn)出較高的學(xué)習(xí)積極性，積極參與討論，思考問(wèn)題。在我的引導(dǎo)下，學(xué)生能夠主動(dòng)發(fā)現(xiàn)和探究數(shù)學(xué)知識(shí)，展示了良好的學(xué)習(xí)態(tài)度和數(shù)學(xué)思維能力。另外，通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生掌握了圓的定義、方程表示方法以及圓與圓的位置關(guān)系的判斷方法。在教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生能夠運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，說(shuō)明學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的掌握程度較好。

就教學(xué)過(guò)程而言，我對(duì)本節(jié)課的教學(xué)節(jié)奏把握得當(dāng)，話題引入自然，探討環(huán)節(jié)有針對(duì)性，循序漸進(jìn)，符合學(xué)生對(duì)知識(shí)的認(rèn)知與內(nèi)化過(guò)程。但在教學(xué)過(guò)程中，部分環(huán)節(jié)的時(shí)間安排略顯緊張，導(dǎo)致學(xué)生在討論和思考問(wèn)題時(shí)稍顯倉(cāng)促。另外，雖然本節(jié)課中學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性較高，但部分學(xué)生在討論和思考問(wèn)題時(shí)仍顯得有些拘束，思維不夠開(kāi)闊。

通過(guò)本節(jié)課的教學(xué)，學(xué)生掌握了圓的定義、方程、表示方法以及圓與圓的位置關(guān)系的判斷方法。在教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生積極參與討論，思考問(wèn)題，展示了良好的學(xué)習(xí)態(tài)度和數(shù)學(xué)思維能力。一定程度而言，本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)基本實(shí)現(xiàn)。但是這一系列教學(xué)活動(dòng)的實(shí)施也存在一些問(wèn)題需要改進(jìn)。具體包括以下方面：（1）加強(qiáng)課堂互動(dòng)。為了提高學(xué)生的參與度，我們應(yīng)加強(qiáng)課堂互動(dòng)，鼓勵(lì)學(xué)生積極提問(wèn)和回答問(wèn)題。同時(shí)，應(yīng)注意傾聽(tīng)學(xué)生的意見(jiàn)，及時(shí)給予反饋，調(diào)整教學(xué)策略。（2）注重學(xué)生個(gè)體差異。學(xué)生之間存在明顯的個(gè)體差異，教師應(yīng)采用不同的方式激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生的參與度。例如，對(duì)于學(xué)習(xí)能力較強(qiáng)的學(xué)生，我們可以提出更高層次的問(wèn)題或者挑戰(zhàn)任務(wù)，引導(dǎo)他們進(jìn)行深入思考;對(duì)于學(xué)習(xí)能力較弱的學(xué)生，我們應(yīng)給予更多的關(guān)心和幫助，鼓勵(lì)他們克服困難，提高學(xué)習(xí)效果。（3）合理安排教學(xué)時(shí)間。我應(yīng)更加注重把握教學(xué)節(jié)奏，確保學(xué)生有足夠的時(shí)間進(jìn)行思考和討論。具體而言，可以適當(dāng)調(diào)整教學(xué)環(huán)節(jié)的時(shí)間安排，確保教學(xué)過(guò)程既緊湊又不失輕松。（4）結(jié)合實(shí)際生活案例展開(kāi)教學(xué)。為了提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和應(yīng)用能力，我們應(yīng)多結(jié)合實(shí)際生活案例進(jìn)行教學(xué)，通過(guò)讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)知識(shí)在生活中的應(yīng)用價(jià)值，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效果。

總之，教師在教學(xué)過(guò)程中要注重啟發(fā)式教學(xué)法的運(yùn)用，關(guān)注學(xué)生的個(gè)體差異，加強(qiáng)課堂互動(dòng)，合理安排教學(xué)時(shí)間，結(jié)合生活案例進(jìn)行教學(xué)等。我相信通過(guò)不斷改進(jìn)教學(xué)方法和手段，能夠進(jìn)一步提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)效果，引導(dǎo)學(xué)生走進(jìn)更廣闊、多彩的數(shù)學(xué)世界。

（作者單位：泗洪縣第一高級(jí)中學(xué)）

編輯：常超波

作者簡(jiǎn)介：王科學(xué)（1981—），男，漢族，安徽淮北人，中學(xué)一級(jí)教師，研究方向：高中數(shù)學(xué)。