基于新課程標(biāo)準(zhǔn)的高中數(shù)學(xué)教學(xué)

高中數(shù)學(xué)教學(xué)改革持續(xù)推進(jìn)，并于最新修訂的課程標(biāo)準(zhǔn)中提出了一系列新的教學(xué)要求。為了更好地實(shí)施新課程標(biāo)準(zhǔn)中的教學(xué)要求，文章以“總體百分位數(shù)的估計(jì)”這一內(nèi)容為例進(jìn)行說明。

一、知識(shí)介紹

“總體百分位數(shù)的估計(jì)”是高中數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)中的一項(xiàng)重要知識(shí)點(diǎn)，用于估計(jì)總體數(shù)據(jù)的百分位數(shù)的取值。百分位數(shù)是用來描述一組數(shù)據(jù)中某個(gè)特定百分比處于該值以下的數(shù)據(jù)的位置。例如，第50百分位數(shù)（即中位數(shù)）是將數(shù)據(jù)按大小排序后，處于中間位置的數(shù)值。對(duì)于總體百分位數(shù)的估計(jì)，常用的方法為線性插值法。線性插值是指將數(shù)據(jù)按大小排序后，通過對(duì)相鄰兩個(gè)數(shù)值之間的線性插值來估計(jì)指定百分位數(shù)的取值。具體來說，線性插值根據(jù)指定的百分位數(shù)在有序數(shù)據(jù)中的位置，將其與相鄰兩個(gè)數(shù)值之間的間隔進(jìn)行比例劃分，從而得到一個(gè)估計(jì)值。總體百分位數(shù)的估計(jì)在實(shí)際應(yīng)用中具有重要意義，可以更準(zhǔn)確地了解總體數(shù)據(jù)的分布情況，進(jìn)行有效的數(shù)據(jù)分析和決策。然而，需要注意的是，總體百分位數(shù)的估計(jì)僅僅是對(duì)總體數(shù)據(jù)的估計(jì)，可能存在一定的誤差，因此在實(shí)際應(yīng)用中需要綜合考慮其他因素，如數(shù)據(jù)的分布特點(diǎn)、樣本大小等，進(jìn)行合理的解釋和推斷。

二、“教學(xué)目標(biāo)

首先，理解總體百分位數(shù)的概念和意義。學(xué)生應(yīng)該明白百分位數(shù)是用來描述數(shù)據(jù)在一定位置上的相對(duì)大小，了解其在統(tǒng)計(jì)學(xué)中的應(yīng)用，并能夠?qū)⑵渑c實(shí)際問題相聯(lián)系。其次，掌握總體百分位數(shù)的估計(jì)方法，理解公式：i=n×p%的意義，能夠?qū)⑵潇`活運(yùn)用于實(shí)際問題中，準(zhǔn)確地估計(jì)總體百分位數(shù)的取值。再次，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)據(jù)分析和決策的能力。通過解決實(shí)際問題和應(yīng)用案例，學(xué)生應(yīng)該具備分析數(shù)據(jù)的能力，從中提取有用的信息，并能夠根據(jù)百分位數(shù)的估計(jì)結(jié)果進(jìn)行合理的決策。最后，發(fā)展數(shù)學(xué)思維和解決問題的能力。學(xué)生能夠運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法解決復(fù)雜的實(shí)際問題，在解決問題的過程中展示出良好的邏輯推理和數(shù)學(xué)推導(dǎo)能力。

三、教學(xué)過程

（一）引入——注重知識(shí)的連貫性

在初中的時(shí)候?qū)W生已經(jīng)掌握了中位數(shù)的概念，運(yùn)用初中數(shù)學(xué)中位數(shù)的知識(shí)引出高中數(shù)學(xué)中總體百分位數(shù)的概念，有利于加強(qiáng)初中與高中知識(shí)的聯(lián)系。初中數(shù)學(xué)中位數(shù)是數(shù)據(jù)中的一個(gè)特殊值，處于數(shù)據(jù)集合中間位置的數(shù)值。通過學(xué)習(xí)中位數(shù)，學(xué)生理解了數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)和分布，知道如何找出一組數(shù)據(jù)的中間值。在高中數(shù)學(xué)中，引入總體百分位數(shù)的概念是對(duì)中位數(shù)概念的拓展和深化?？傮w百分位數(shù)是用來描述一組數(shù)據(jù)中某個(gè)特定百分比處于該值以下的數(shù)據(jù)的位置。一般情況下，中位數(shù)可以理解為總體百分位數(shù)的特殊情況，即總體百分位數(shù)為50%。

教師：同學(xué)們，我們?cè)诔踔幸呀?jīng)學(xué)習(xí)了中位數(shù)這個(gè)概念，你們還記得嗎？

學(xué)生：是的，中位數(shù)是一組數(shù)據(jù)排序后處于中間位置的值。

教師：很好，那你們覺得在生活中中位數(shù)有哪些應(yīng)用呢？

學(xué)生：可以用中位數(shù)來代表一組數(shù)據(jù)的典型值，如用中位數(shù)來描述某個(gè)班級(jí)學(xué)生的考試成績(jī)。

教師：非常好。既然說到了班級(jí)的考試成績(jī)，那么，假如某個(gè)班級(jí)有100名學(xué)生，學(xué)生的成績(jī)分別為1～100分，50分的學(xué)生則是考試成績(jī)的中位數(shù)，成績(jī)?yōu)?0分及以下的學(xué)生該如何表示呢？

學(xué)生：……

教師：現(xiàn)在我要帶領(lǐng)大家拓展一下，除了中位數(shù)，還有一個(gè)概念叫做總體百分位數(shù)。它其實(shí)是中位數(shù)的延伸，用來描述一組數(shù)據(jù)中某個(gè)特定百分比處于該值以下的數(shù)據(jù)的位置。上述60分及其以下的學(xué)生，就可以用第60百分位數(shù)來表示，即60%的學(xué)生成績(jī)?cè)谶@個(gè)分?jǐn)?shù)以下;70分及以下的學(xué)生則可以用第70百分位數(shù)來表示。

通過初中與高中知識(shí)的聯(lián)系，可以引導(dǎo)學(xué)生回顧中位數(shù)的知識(shí)，還可以降低學(xué)生對(duì)總體百分位數(shù)的理解難度，并為后續(xù)總體百分位數(shù)估計(jì)的計(jì)算奠定基礎(chǔ)。

（二）教學(xué)——探究與互動(dòng)的深度學(xué)習(xí)模式

高中數(shù)學(xué)課標(biāo)強(qiáng)調(diào)，數(shù)學(xué)教學(xué)必須以學(xué)生為主體，注重學(xué)生自學(xué)能力的培養(yǎng)，而探究與互動(dòng)則是培養(yǎng)學(xué)生自學(xué)習(xí)慣的重要方式。探究與互動(dòng)的教學(xué)方式強(qiáng)調(diào)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)和發(fā)現(xiàn)，培養(yǎng)了學(xué)生的探究精神和學(xué)習(xí)能力。通過自主思考、合作討論和實(shí)踐嘗試，學(xué)生能夠充分運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)主動(dòng)解決問題，形居了獨(dú)立思考和解決問題的能力。對(duì)總體百分位數(shù)的計(jì)算是本課時(shí)的重難點(diǎn)，總體百分位數(shù)的計(jì)算方法有多種多樣，教材主要講述了i=n×p%的計(jì)算方式。通過探究與互動(dòng)的方式，學(xué)生能夠深入理解數(shù)學(xué)概念與原理。學(xué)生通過自己的探索和發(fā)現(xiàn)，能夠全面地理解數(shù)學(xué)概念背后的思想，提高對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的抽象理解能力。

師：上面用了解學(xué)生成績(jī)的方式介紹了百分位數(shù)的概念，但是在現(xiàn)實(shí)中一個(gè)班級(jí)很少有100名學(xué)生，而學(xué)生的成績(jī)幾乎不會(huì)是1～100。我們以本班為例，計(jì)算一下本班數(shù)學(xué)成績(jī)的75%分位數(shù)，需要哪些條件？有哪些方法呢？

生1：我認(rèn)為必須了解班級(jí)的人數(shù)，還要統(tǒng)計(jì)班級(jí)學(xué)生的分?jǐn)?shù)。

生2：我統(tǒng)計(jì)了一下我們班級(jí)的人數(shù)為32名。

生3：我統(tǒng)計(jì)了本班所有學(xué)生的成績(jī)，從低到高如表1所示。

師：很好，在知道了學(xué)生人數(shù)和學(xué)生成績(jī)后，如何計(jì)算75%分位數(shù)呢？它大致處于什么區(qū)間呢？

生：從表1可以發(fā)現(xiàn)，學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)為（72+74）÷2=73，而中位數(shù)為50%分位數(shù)。因此可以推斷75%分位數(shù)肯定大于中位數(shù)，即75%分位數(shù)位于74～98之間。

師：很好，但是這個(gè)區(qū)間仍然太大，還應(yīng)該再縮小一下，誰有辦法再縮小一下范圍？

生：75%分位數(shù)恰好處于50%分位數(shù)和100%分位數(shù)中間，因此，可以將75%分位數(shù)當(dāng)作50%分位數(shù)和100%分位數(shù)的中位數(shù)，即處于84、85、88中間。（84+85+88）÷3≈85.7。

師：很好，上述方法通過兩次分割的方式計(jì)算出了75%分位數(shù)，但是還有一種直觀的計(jì)算方法，一共有32名學(xué)生，其75%為：32×75%=24。因此，可以認(rèn)為75%分位數(shù)為第24名學(xué)生的成績(jī)，即85，有了這個(gè)公式，我們就可以計(jì)算任意百分位數(shù)的值。

（三）作業(yè)——基于實(shí)踐調(diào)查的作業(yè)設(shè)計(jì)

新課程標(biāo)準(zhǔn)強(qiáng)調(diào)在教學(xué)中要強(qiáng)化學(xué)生的知識(shí)應(yīng)用能力，因此，在設(shè)計(jì)總體百分位數(shù)作業(yè)時(shí)可以通過實(shí)踐調(diào)查的方式，提高學(xué)生的知識(shí)應(yīng)用能力。（1）確定調(diào)查主題。先選擇一個(gè)與學(xué)生所學(xué)知識(shí)相關(guān)的主題或問題，如學(xué)校不同教師年齡段的分布、學(xué)校中不同班級(jí)的學(xué)生身高分布等。（2）制訂調(diào)查計(jì)劃。設(shè)計(jì)合適的調(diào)查方法和樣本，先選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)據(jù)收集方式，如問卷調(diào)查、實(shí)地測(cè)量等。（3）收集數(shù)據(jù)。組織學(xué)生進(jìn)行實(shí)踐調(diào)查，收集相關(guān)的數(shù)據(jù)。根據(jù)調(diào)查計(jì)劃，學(xué)生可以采用不同的方法去收集數(shù)據(jù)，如測(cè)量身高、統(tǒng)計(jì)人口數(shù)據(jù)等。（4）整理和處理數(shù)據(jù)。學(xué)生需要將采集到的數(shù)據(jù)進(jìn)行整理和處理，如整理數(shù)據(jù)表格、計(jì)算數(shù)據(jù)的均值、中位數(shù)等統(tǒng)計(jì)量。（5）計(jì)算總體百分位數(shù)。通過計(jì)算總體百分位數(shù)幫助學(xué)生理解和應(yīng)用知識(shí)。學(xué)生可以根據(jù)自己收集的數(shù)據(jù)，計(jì)算不同百分位數(shù)所對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)值，比如50%的身高位于多少厘米以下，75%的教師年齡在多少歲。（6）分析和解釋結(jié)果。學(xué)生需要對(duì)所得到的結(jié)果進(jìn)行分析和解釋，根據(jù)計(jì)算的總體百分位數(shù)，對(duì)數(shù)據(jù)的分布和特征進(jìn)行說明。學(xué)生可以比較不同群體之間的差異，探討可能的原因等。

我班打算選取部分學(xué)生加入籃球隊(duì)，籃球隊(duì)成員必須有身高優(yōu)勢(shì)，已知我班男生有28名?；@球隊(duì)成員的身高不能低于180 cm，如果打算選取我班男生身高的前25%加入籃球隊(duì)，請(qǐng)通過調(diào)查和計(jì)算的方式，列出我班前25%分位數(shù)男生的身高和畫出身高趨勢(shì)，請(qǐng)問能否組建籃球隊(duì)？

解析：要求每位學(xué)生提供自己的身高數(shù)據(jù)，可以采用以下方式進(jìn)行數(shù)據(jù)收集，其數(shù)據(jù)如表2所示。

1.在班級(jí)群或紙質(zhì)調(diào)查表中，要求學(xué)生填寫身高并匿名提交。

2.組織學(xué)生進(jìn)行實(shí)地調(diào)查，讓每個(gè)學(xué)生互相測(cè)量身高，并進(jìn)行記錄。

3.在班級(jí)中設(shè)置一個(gè)測(cè)量身高的站點(diǎn)，每個(gè)學(xué)生輪流測(cè)量并記錄下來。

想要得到前25%學(xué)生的身高，即計(jì)算75%分位數(shù)學(xué)生的身高。通過總體百分位數(shù)的計(jì)算公式，i=n×p%可得，i=28×75%=21，即第21位學(xué)生的身高是180 cm，因此可以發(fā)現(xiàn)，前25%學(xué)生的身高滿足要求。圖1形象地展示了學(xué)生的身高排列曲線，可以明顯發(fā)現(xiàn)第21名學(xué)生的身高是180 cm，因此能夠滿足要求。

通過以上步驟的實(shí)踐調(diào)查作業(yè)設(shè)計(jì)，學(xué)生可以以真實(shí)的數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)進(jìn)行實(shí)際問題的解決。這樣的作業(yè)可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和動(dòng)力，提高他們的知識(shí)應(yīng)用能力和統(tǒng)計(jì)分析能力。

（四）評(píng)價(jià)——成績(jī)、實(shí)踐、社交多維評(píng)價(jià)體系

成績(jī)?cè)u(píng)價(jià)：設(shè)計(jì)與“總體百分位數(shù)的估計(jì)”相關(guān)的問題，如對(duì)百分位數(shù)的定義和計(jì)算方法的理解，以及在給定數(shù)據(jù)中估計(jì)總體百分位數(shù)的能力。查看學(xué)生在計(jì)算總體百分位數(shù)時(shí)是否正確使用了相應(yīng)的計(jì)算方法、公式。學(xué)生的計(jì)算準(zhǔn)確性和技巧能夠反映其對(duì)總體百分位數(shù)估計(jì)的熟練程度。通過與其他學(xué)生的比較以及排名情況展示其對(duì)總體百分位數(shù)估計(jì)的掌握程度。如果學(xué)生的成績(jī)高于平均水平，說明在總體百分位數(shù)估計(jì)方面的掌握程度較好。

實(shí)踐評(píng)價(jià)：實(shí)踐能力主要考查學(xué)生在實(shí)踐中對(duì)總體百分位數(shù)的估計(jì)的運(yùn)用能力。如，設(shè)計(jì)實(shí)際問題或案例來評(píng)估學(xué)生對(duì)總體百分位數(shù)的估計(jì)的掌握程度，通過模擬真實(shí)世界中的數(shù)據(jù)分布情況，要求學(xué)生根據(jù)所給數(shù)據(jù)進(jìn)行總體百分位數(shù)的估計(jì)。學(xué)生需要運(yùn)用所學(xué)的方法和技巧，結(jié)合實(shí)際情況進(jìn)行分析和判斷，并給出合理的估計(jì)結(jié)果。通過評(píng)估學(xué)生對(duì)實(shí)際問題的解決能力，可以更準(zhǔn)確地評(píng)價(jià)其對(duì)總體百分位數(shù)估計(jì)的掌握程度。

社交評(píng)價(jià)：社交評(píng)價(jià)是評(píng)估學(xué)生與他人合作、溝通和交流能力的指標(biāo)。具體評(píng)價(jià)可以以小組的方式進(jìn)行，要求學(xué)生設(shè)計(jì)并實(shí)施總體百分位數(shù)估計(jì)的實(shí)驗(yàn)或調(diào)查。學(xué)生需要自主選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)據(jù)進(jìn)行收集，采取合適的方法進(jìn)行總體百分位數(shù)的估計(jì)。設(shè)計(jì)小組合作項(xiàng)目，要求學(xué)生在小組中合作完成實(shí)踐調(diào)查任務(wù)，并展示調(diào)查結(jié)果。評(píng)價(jià)的依據(jù)可以是學(xué)生在小組合作中的表現(xiàn)、溝通交流的能力等。這種實(shí)踐能力的評(píng)估方法可以更好地考查學(xué)生在實(shí)際情境中應(yīng)用總體百分位數(shù)估計(jì)的能力，包括數(shù)據(jù)收集、數(shù)據(jù)處理和結(jié)果解釋等方面的能力。

通過將成績(jī)、實(shí)踐和社交評(píng)價(jià)相結(jié)合，可以全面評(píng)估學(xué)生在“總體百分位數(shù)的估計(jì)”教學(xué)中的表現(xiàn)和能力。這樣的多維評(píng)價(jià)體系可以激發(fā)學(xué)生的積極性和主動(dòng)性，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效果和綜合素質(zhì)。教師可以根據(jù)評(píng)價(jià)結(jié)果對(duì)學(xué)生進(jìn)行個(gè)別指導(dǎo)，并幫助學(xué)生進(jìn)一步提升知識(shí)應(yīng)用能力。

（作者單位：吳忠市紅寺堡區(qū)紅寺堡中學(xué)）

編輯：曾彥慧