高中生數(shù)學(xué)思維能力的訓(xùn)練與培養(yǎng)

高中階段的數(shù)學(xué)知識具有綜合性和復(fù)雜性的特征，雖然學(xué)生已經(jīng)有了一定的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，但仍舊面臨較大的學(xué)習(xí)壓力。以往的課堂教學(xué)中，學(xué)生的主體地位常常被忽略，這使得學(xué)生長期處于被動學(xué)習(xí)的狀態(tài)，數(shù)學(xué)思維能力的發(fā)展也受到一定限制，很多學(xué)生只會機(jī)械地學(xué)習(xí)，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)也常處于淺顯層面，學(xué)習(xí)活動低效化。數(shù)學(xué)思維能力可以強(qiáng)化學(xué)生的問題解決能力，感受數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂趣，并且在課堂互動中也能掌握主動權(quán)，以活躍的思維提高學(xué)習(xí)效率。

一、教學(xué)內(nèi)容和目標(biāo)

（一）教學(xué)內(nèi)容

“空間幾何體的結(jié)構(gòu)”是高中立體幾何部分的基礎(chǔ)章節(jié)，從構(gòu)成空間幾何體的點(diǎn)、線、面三個角度入手帶領(lǐng)學(xué)生掌握空間幾何體的形態(tài)和結(jié)構(gòu)性質(zhì)。從教材內(nèi)容安排的角度來看，教材設(shè)計的主旨為循序漸進(jìn)地讓學(xué)生從實(shí)物代入數(shù)學(xué)幾何世界，將觀察到的物體進(jìn)行歸納、抽象、概括等，從而了解柱體、椎體、臺體等幾何體的結(jié)構(gòu)。

（二）教學(xué)目標(biāo)

★通過本章節(jié)的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生觀察棱柱、棱錐、棱臺等結(jié)構(gòu)，通過類比分析等過程歸納空間幾何體的構(gòu)造和特征，掌握關(guān)鍵知識點(diǎn)。

★在幾何體概念形成過程中，培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力、分析能力、類比思維能力、抽象思維能力、邏輯思維能力等，逐漸培養(yǎng)學(xué)生善于探索和合作學(xué)習(xí)的能力。

★通過貼近現(xiàn)實(shí)的新課導(dǎo)入以及開放性的探究環(huán)節(jié)，激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，并在合作交流的過程中促進(jìn)創(chuàng)新思維的形成。

二、教學(xué)實(shí)施過程

（一）創(chuàng)設(shè)情境，趣味導(dǎo)入

一節(jié)成功的數(shù)學(xué)課首先要做的就是新課的有效導(dǎo)入，而判斷導(dǎo)入過程是否有效，則要從學(xué)生的表現(xiàn)與反饋入手。在傳統(tǒng)教學(xué)模式下，很多教師都會以“開門見山”的方式導(dǎo)入新課，這使得學(xué)生難以快速進(jìn)入學(xué)習(xí)狀態(tài)，一開始就面臨著較大的壓力。因此在本節(jié)課的導(dǎo)入環(huán)節(jié)，教師先通過多媒體課件為學(xué)生創(chuàng)設(shè)新奇有趣的新課情境，提前準(zhǔn)備好關(guān)于世界經(jīng)典建筑物的圖片，包括金字塔、圣索菲亞大教堂、泰姬陵、布達(dá)拉宮等，并詢問學(xué)生：“這些建筑物美嗎？美在哪里？”有的學(xué)生說這些建筑宏偉壯觀，設(shè)計也十分巧妙。之后再提出一個引起學(xué)生好奇的觀點(diǎn)：“老師和你們看的角度不一樣，老師從這些建筑中看到了數(shù)學(xué)之美?！焙芏鄬W(xué)生對數(shù)學(xué)之美這一概念感到陌生，雖然能猜到建筑與本節(jié)課所要學(xué)的空間幾何知識有聯(lián)系，但對于數(shù)學(xué)在建筑中的體現(xiàn)卻并不了解。接著，教師為學(xué)生科普數(shù)學(xué)和建筑學(xué)的文化知識，例如，在17世紀(jì)之前，建筑學(xué)就是數(shù)學(xué)領(lǐng)域的一部分，大多數(shù)建筑都是由數(shù)學(xué)中的幾何體為模型而建造的，之后讓學(xué)生試著從課件展示的世界著名建筑物中進(jìn)行觀察，看一看都能找到哪些幾何圖形。經(jīng)過觀察，學(xué)生很快就能發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的影子。例如，金字塔從結(jié)構(gòu)上來看就是一個大型的三角體，其他建筑中也有許多立體幾何結(jié)構(gòu)。

趣味性的情境導(dǎo)入環(huán)節(jié)，不僅激發(fā)了學(xué)生對空間幾何體的興趣，同時也使其了解了一定的數(shù)學(xué)文化知識，感受到數(shù)學(xué)在建筑領(lǐng)域的應(yīng)用與體現(xiàn)，認(rèn)識到數(shù)學(xué)知識的實(shí)用價值。

（二）問題驅(qū)動，培養(yǎng)分類思維

在課堂教學(xué)中，當(dāng)學(xué)生的興趣成功調(diào)動后，教師要做的便是“趁熱打鐵”，通過問題與學(xué)生互動，使學(xué)生對新課學(xué)習(xí)保持熱情，在教師的引導(dǎo)下進(jìn)入學(xué)習(xí)狀態(tài)。由于學(xué)生的空間想象思維尚不夠成熟，若教師將空間幾何體知識直接引入會增加學(xué)生的學(xué)習(xí)壓力。因此在這一環(huán)節(jié)教師仍然使用多媒體課件，并與問題進(jìn)行聯(lián)動設(shè)計，讓學(xué)生帶著問題去觀察課件中的圖像。首先，在課件中展示若干個空間幾何體，如圖1所示。之后提出問題：“課件中有很多空間幾何體，哪位同學(xué)能將它們簡單分類？”并引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)空間幾何體的結(jié)構(gòu)與特征進(jìn)行區(qū)分，將學(xué)生的思維牽引到多面體與旋轉(zhuǎn)體這兩個定義，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分類、概括的能力。

在學(xué)生完成基本的分類后，教師還要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行細(xì)致分類，分類越細(xì)，越能突出空間幾何體的共性，從而加深學(xué)生對集合概念的理解。教師可以展示幾個空間幾何體，讓學(xué)生觀察其特點(diǎn)，如圖2所示。

展示之后，教師要求學(xué)生根據(jù)這三個幾何體進(jìn)行特征的分析與概括，包括都有兩個面互相平行;其他各個面均為四邊形;每相鄰兩個四邊形，公共邊都互相平行等，對學(xué)生的概括結(jié)果進(jìn)行總結(jié)，同時具備這三個特征的幾何體叫做棱柱。之后根據(jù)這一概念繼續(xù)提出問題：“同學(xué)們看一下這個長方體，長方體被整齊削掉了一部分，剩下的幾何體是什么？被削掉的幾何體是什么？”（如圖3）有的學(xué)生認(rèn)為，在長方體削掉一部分前是一個棱柱，而削掉一部分后就不是棱柱了。但實(shí)際上判斷幾何體是不是棱柱，可以先選擇一組平行平面，之后根據(jù)剛剛總結(jié)出的定義進(jìn)行觀察，如果能滿足定義則是棱柱，所以這個長方體在削掉一部分后，成為一個五棱柱，被削下去的部分則是一個三棱柱。

（三）提煉結(jié)構(gòu)模型，培養(yǎng)直觀思維

“空間幾何體的結(jié)構(gòu)”章節(jié)并非單純地認(rèn)識圖形，而是根據(jù)圖形的特征進(jìn)行觀察、分析、歸納等，在經(jīng)歷了上述教學(xué)環(huán)節(jié)后，學(xué)生對棱柱這一概念有了基本的認(rèn)知，也學(xué)會了判斷棱柱的步驟和方法。之后教師可以為學(xué)生展示一個相對復(fù)雜的幾何體，讓學(xué)生根據(jù)現(xiàn)有的知識進(jìn)行觀察與判斷，如圖4所示。

學(xué)生在有了剛剛的經(jīng)驗(yàn)后，首先會觀察圖片中的幾何體是否存在兩個平行的面，之后判斷幾何體其他構(gòu)成面是否為平行四邊形，思考在滿足這兩個條件后是否就能判斷為棱柱？還需要具備哪些條件？學(xué)生的觀察和歸納過程就是提煉結(jié)構(gòu)模型的過程，將學(xué)習(xí)到的概念和知識點(diǎn)代入模型中，引發(fā)學(xué)生的深度思考，促進(jìn)學(xué)生直觀思維的提升。

（四）合作交流，培養(yǎng)類比思維

上述教學(xué)環(huán)節(jié)旨在幫助學(xué)生掌握棱柱的相關(guān)知識，并且了解空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征以及判斷方法。而后續(xù)的棱錐和棱臺兩部分可以讓學(xué)生根據(jù)學(xué)習(xí)棱柱的經(jīng)驗(yàn)和方法來探究棱錐與棱臺。教師通過多媒體課件為學(xué)生提供圖片，讓學(xué)生通過小組合作的方式完成自主探索，得到棱錐與棱臺的結(jié)構(gòu)名稱、分類方法、歸納方法等。學(xué)生在小組合作基本完成后，可以通過問題檢驗(yàn)合作成果。例如，教師展示若干個圖形，讓學(xué)生從中找出哪個為棱錐，哪個為棱臺，并以小組為單位總結(jié)棱錐與棱臺的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)與分類標(biāo)準(zhǔn)。關(guān)于棱臺可以歸納以下幾點(diǎn)：第一，棱臺的下底面大于上底面;第二，棱臺的側(cè)棱如果無限延長，則會交匯于一點(diǎn)，并且此時棱臺會變成一個棱錐。為了深化類比思維的培養(yǎng)，教師應(yīng)重視問題情境的設(shè)計，使之既具有挑戰(zhàn)性，又與學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)相聯(lián)系。教授多面體的概念時，教師可以引導(dǎo)學(xué)生將其與其他已知的幾何體（如圓柱、圓錐）進(jìn)行比較，分析它們在頂點(diǎn)、邊、面的數(shù)量及排列方式上的異同。通過這種方法，學(xué)生不僅能夠加深對幾何體特征的認(rèn)識，還能在比較和分析的過程中鍛煉其類比思維能力。在解決這些問題的過程中，學(xué)生需要運(yùn)用他們對空間幾何體屬性的了解，通過類比思維將學(xué)到的知識遷移到新的情境中。

（五）綜合實(shí)踐，培養(yǎng)創(chuàng)新思維

陶行知生活教育理論提出“教學(xué)做合一”的教學(xué)方向，指出教學(xué)的本質(zhì)不單單在于教師的“教”，也在于學(xué)生的“學(xué)”和“做”，在“學(xué)”的過程中掌握理論知識，在“做”的過程中不斷鞏固、創(chuàng)新。這一教學(xué)思想更加關(guān)注學(xué)生的個性成長和綜合素質(zhì)的提升，對此我們可以采用項(xiàng)目式教學(xué)的方法，在數(shù)學(xué)課堂中指導(dǎo)學(xué)生展開綜合實(shí)踐探究，讓學(xué)生在學(xué)與做中體會學(xué)習(xí)的參與感、獲得感、成就感，讓學(xué)生能夠活學(xué)活用，打破教材的局限性，培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力。在本章節(jié)教學(xué)中，棱錐與棱臺部分可以設(shè)計項(xiàng)目式學(xué)習(xí)，首先，教師為學(xué)生確定項(xiàng)目主題——探究棱柱、棱錐、棱臺的相同點(diǎn)與不同點(diǎn)，引出環(huán)節(jié)可以設(shè)計問題：“通過剛剛的學(xué)習(xí)我們知道棱柱和棱臺、棱錐都是多面體，那么它們的結(jié)構(gòu)都有哪些相同點(diǎn)和不同點(diǎn)？能不能相互轉(zhuǎn)化呢？”之后教師讓學(xué)生以小組為單位動手做一做，利用紙張和剪刀等工具制作棱柱、棱錐、棱臺模型，并根據(jù)制作的模型進(jìn)行探究。學(xué)生在探究棱錐與棱臺時就能發(fā)現(xiàn)，棱臺的側(cè)棱如果不斷延伸，就可以構(gòu)成一個棱錐，再結(jié)合項(xiàng)目學(xué)習(xí)的主題，細(xì)心的小組可能會選擇同時制作兩個棱錐，將其中一個棱錐從上半部位剪下一部分，再進(jìn)行封口就可以得到一個棱臺和一個小棱錐。而在項(xiàng)目總結(jié)階段，基本所有小組都能得出以下結(jié)論：棱臺的上底面擴(kuò)大到與下底面相等時，就可以成為一個棱柱;棱柱的上底縮小成一個點(diǎn)，就可以得到棱錐;棱錐從某一點(diǎn)截去一部分，就可以得到一個棱臺和一個棱錐。還有的小組可能會在截棱錐的時候發(fā)現(xiàn)這樣一個規(guī)律：在底面相同的情況下，側(cè)棱和底面形成的角度不同，可以分別構(gòu)成棱柱、棱錐和棱臺。項(xiàng)目式學(xué)習(xí)能夠讓學(xué)生發(fā)揮個性思維，在相互幫助和討論中可以轉(zhuǎn)化為創(chuàng)新性思維，讓學(xué)生學(xué)會從不同的角度去觀察和思考，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的本質(zhì)與規(guī)律。

三、教學(xué)反思

培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力是一個長久的過程，但傳統(tǒng)教學(xué)模式會限制學(xué)生思維能力的發(fā)展，而原因則表現(xiàn)在多個方面，例如，教學(xué)過程開放程度不足，學(xué)生缺乏參與學(xué)習(xí)的機(jī)會;師生對話問答和同學(xué)討論等。而在新課程背景下，高中數(shù)學(xué)教學(xué)中教師起到指導(dǎo)和牽引的作用，首先為學(xué)生的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)，也就是興趣與好奇心，之后再指出正確的學(xué)習(xí)方向，以循序漸進(jìn)的方式探索數(shù)學(xué)。因此，本節(jié)課通過學(xué)生感興趣的世界建筑入手，再引出一個學(xué)生感興趣的問題，強(qiáng)調(diào)建筑與數(shù)學(xué)的聯(lián)系點(diǎn)也就是空間幾何體，順利引出教學(xué)內(nèi)容，讓學(xué)生帶著興趣與熱情參與后續(xù)的學(xué)習(xí)。而后續(xù)的問題驅(qū)動和提煉模型同樣需要循序漸進(jìn)，保證教學(xué)的開放性與互動性，讓學(xué)生在簡單有趣的學(xué)習(xí)中掌握數(shù)學(xué)知識，培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)的興趣。項(xiàng)目式學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)也為學(xué)生提供了充足的自主發(fā)揮空間，棱柱部分由教師主導(dǎo)學(xué)習(xí)，棱錐與棱臺則交給學(xué)生，教師通過多媒體課件和現(xiàn)場指導(dǎo)的方式幫助學(xué)生解決問題，最后則根據(jù)學(xué)生的項(xiàng)目學(xué)習(xí)成果進(jìn)行總結(jié)和深入，這不僅為學(xué)生提供了新穎有趣的小組互動，也體驗(yàn)到自主學(xué)習(xí)帶來的成就感。

作為教師，我們要學(xué)會從學(xué)生的角度出發(fā)，貫徹以生為本的教學(xué)理念，考慮學(xué)生喜歡什么樣的數(shù)學(xué)課，適當(dāng)?shù)貙υ械慕虒W(xué)方法做出一些改變。當(dāng)學(xué)生從學(xué)習(xí)中收獲了喜悅與成就感時，學(xué)習(xí)熱情也會持續(xù)高漲。同時課堂中的互動同樣重要，不管是師與生還是生與生，互動能夠讓學(xué)生快速進(jìn)入學(xué)習(xí)狀態(tài)，理解教師的教學(xué)理念以及教學(xué)方向，這就需要教師為學(xué)生提供充足的思考與交流空間，讓學(xué)生在觀察、思考、討論、反思等活動中實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)思維能力的不斷提高。

（作者單位：陜西省安康市第二中學(xué)）

編輯：溫雪蓮