高中數(shù)學(xué)“橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程”教學(xué)設(shè)計

一、教材分析

對于本課內(nèi)容，新課標(biāo)提出要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷具體情境，并從中抽象出橢圓產(chǎn)生過程，概括并理解橢圓定義，并掌握標(biāo)準(zhǔn)方程。橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程的研究方法和之后需要學(xué)習(xí)的雙曲線、拋物線并沒有什么區(qū)別，而且教材對橢圓研究也非常重視，所以本部分知識起著承上啟下的作用。此外，本節(jié)內(nèi)容還涉及數(shù)形結(jié)合意識、轉(zhuǎn)化思想等，因此教師在對這部分內(nèi)容進(jìn)行教學(xué)時需要將這些數(shù)學(xué)思想融入其中。

二、教學(xué)目標(biāo)

1.理解橢圓概念，掌握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，能夠運(yùn)用坐標(biāo)法解決幾何問題。

2.用坐標(biāo)法推導(dǎo)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，鍛煉發(fā)現(xiàn)、概括、認(rèn)知規(guī)律以及解決實(shí)際問題的能力。

3.感受橢圓具有的對稱美和簡潔美，并增強(qiáng)數(shù)形結(jié)合思想。

4.培養(yǎng)直觀想象、數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)。

三、教學(xué)重點(diǎn)

橢圓定義和橢圓兩種形式標(biāo)準(zhǔn)方程的理解、掌握，能夠運(yùn)用坐標(biāo)法解決幾何問題。

四、教學(xué)難點(diǎn)

引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)過程，培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象、數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)。

五、學(xué)情分析

高二學(xué)生在之前的學(xué)習(xí)中已經(jīng)接觸過一些圓錐曲線概念，如圓、橢圓等，但他們的抽象思維能力和數(shù)形結(jié)合意識還不太強(qiáng)，而橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程這部分內(nèi)容涉及的概念較為抽象，需要學(xué)生具備較強(qiáng)的抽象思維能力，而且本章學(xué)習(xí)重點(diǎn)是數(shù)形結(jié)合，需要學(xué)生建立代數(shù)方程與橢圓之間的聯(lián)系，所以在本節(jié)教學(xué)中教師一定要注意這一點(diǎn)。

根據(jù)教材內(nèi)容、學(xué)生實(shí)際情況以及課本要求，本課教學(xué)可采用如下策略：

1.用問題探索活動引起學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，促使學(xué)生主動思考。

2.借助實(shí)驗(yàn)探究活動讓學(xué)生親身感受橢圓畫圖過程，幫助學(xué)生更好地理解橢圓定義。

3.引導(dǎo)學(xué)生動手、動腦推導(dǎo)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，幫助學(xué)生更深刻地理解概念，掌握其標(biāo)準(zhǔn)方程。

4.引導(dǎo)學(xué)生回憶圓方程求解步驟，通過知識遷移建立橢圓直角坐標(biāo)系，通過列式運(yùn)算推導(dǎo)出橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程。

5.對典型求解橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程例題進(jìn)行變式，引導(dǎo)學(xué)生采用不同的求解方法和思路，幫助學(xué)生掌握這類習(xí)題本質(zhì)。

六、教學(xué)過程

第一課時

（一）復(fù)習(xí)舊知

教師：什么是圓？圓的定義是什么？

大屏幕展示圓圖片。

學(xué)生思考并回答：平面內(nèi)到一定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的軌跡叫作圓。

教師：大家回答得非常棒，那么大屏幕上圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么呢？

學(xué)生齊聲回答：（x-a）2+（y-b）2=r2

教師：大家的回答非常正確。

（二）構(gòu)建情境，引入橢圓內(nèi)容

多媒體播放嫦娥探月軌道圖，教師提問：軌道圖是什么圖形？

學(xué)生齊聲回答：橢圓形。

引入橢圓形狀。

大屏幕展示鳥巢圖片。

教師：認(rèn)真觀察一下大屏幕上的鳥巢，誰來說說它是什么形狀的？

學(xué)生回答：橢圓形。

引導(dǎo)學(xué)生直觀感受橢圓具有的美感，知道橢圓具有對稱美和簡潔美。

教師：生活中還有哪些物體是橢圓形？

學(xué)生思考并回答：排球、雞蛋……老師，我們今天是不是學(xué)習(xí)橢圓？

教師：大家猜得非常正確，我們剛才尋找了生活中的橢圓，本課我們重點(diǎn)學(xué)習(xí)橢圓定義以及如何用數(shù)學(xué)公式表達(dá)橢圓。

（三）合作探究，理解概念

教師：平面內(nèi)有一個固定的點(diǎn)，到這個定點(diǎn)的距離始終是一個定值的軌跡可以形成什么圖形呢？

實(shí)驗(yàn)探究1：選擇一條定長細(xì)繩，將其一端固定在圖板某點(diǎn)處，套上鉛筆，拉緊繩子，用鉛筆畫圖能夠畫出什么曲線？

學(xué)生動手操作。

教師對學(xué)生的操作進(jìn)行指導(dǎo)，并對結(jié)果進(jìn)行歸納總結(jié)。

教師：如果一個平面內(nèi)有兩個確定的點(diǎn)，這兩點(diǎn)之間存在一定距離，到這兩個定點(diǎn)距離的和始終是一個定值的軌跡可以形成什么圖形呢？

實(shí)驗(yàn)探究2：選擇一條定長細(xì)繩，將其兩端固定在圖板上存在一定距離的兩點(diǎn)處，套上鉛筆，拉緊繩子，用鉛筆畫圖能夠畫出什么曲線？

學(xué)生動手畫圖。

教師對學(xué)生的操作進(jìn)行指導(dǎo)并提問學(xué)生：若兩點(diǎn)之間的距離發(fā)生改變，畫出的軌跡是否相同？形成的曲線是否相同？

學(xué)生動手操作并回答：如果兩點(diǎn)間距離發(fā)生改變，畫出的軌跡也會不同，形成的曲線也不相同。

教師總結(jié)：如果細(xì)繩長度超過兩點(diǎn)間距離，畫出的軌跡是橢圓;如果細(xì)繩長度和兩點(diǎn)間距離相等，畫出的軌跡是以兩點(diǎn)為端點(diǎn)的線段;如果細(xì)繩長度小于兩點(diǎn)間距離，則畫不出軌跡。

教師：在剛才畫橢圓的過程中，有哪些量沒有發(fā)生變化？

選擇學(xué)生回答：橢圓到兩個固定點(diǎn)的距離和沒有發(fā)生變化。老師，我知道橢圓應(yīng)該如何定義了。

教師：好的，那誰可以根據(jù)圓的定義和剛才的實(shí)驗(yàn)過程，概括一下什么是橢圓呢？

指定學(xué)生闡述橢圓概念：老師，我明白了，如果平面內(nèi)一個動點(diǎn)到兩個定點(diǎn)的距離之和等于固定的數(shù)，那么這個動點(diǎn)的軌跡就是橢圓。

教師總結(jié)：平面上到兩個定點(diǎn)F1和F2的距離之和等于定值的點(diǎn)的軌跡就是橢圓。F1和F2是橢圓的焦點(diǎn)，這兩點(diǎn)之間的距離是橢圓的焦距。

多媒體播放橢圓畫法視頻，要求學(xué)生課后嘗試手動畫橢圓。

第二課時

（一）回顧圓標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)過程

教師：上節(jié)課我們已經(jīng)得出了橢圓概念，但是橢圓如何用數(shù)學(xué)公式進(jìn)行表示呢？下面我們就來研究一下橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程。

教師：大家想一想圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是怎樣得到的？

學(xué)生思考并回答：建立坐標(biāo)系，然后尋找限制條件列出方程，并進(jìn)行簡化后得到的。老師，我們是否可以用這種方法推導(dǎo)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程呢？

教師總結(jié)：這個問題提得非常好。至于是否可以根據(jù)圓標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)過程進(jìn)行橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)就需要我們大家一起嘗試了。

（二）推導(dǎo)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程

建立直角坐標(biāo)系：將橢圓兩個焦點(diǎn)F1、F2相連作為x軸，尋找F1、F2中垂線作為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，x軸、y軸交點(diǎn)為中心點(diǎn)O，橢圓和y軸交點(diǎn)為M。

大屏幕展示平面直角坐標(biāo)系。

設(shè)未知數(shù)：將橢圓焦距設(shè)為2c，橢圓上任一點(diǎn)到兩個焦點(diǎn)的距離之和設(shè)為2a（agt;c），橢圓上任一點(diǎn)P坐標(biāo)設(shè)為（x，y），F(xiàn)1和F2的坐標(biāo)分別為（-c，0）和（c，0）。

設(shè)置限制條件列方程：根據(jù)橢圓概念可以得出：|PF1|+|PF2|=2a（agt;c）

替代限制條件：得出方程：+=2a，化簡得出橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為：+=1

教師：這個方程還需進(jìn)行變形，不夠簡潔。大家再認(rèn)真觀察一下大屏幕上的直角坐標(biāo)系，找出長度為c、a的線段，想一想a2-c2有什么特殊性？

學(xué)生討論并回答：F1F2=2c，O是中點(diǎn)，所以O(shè)F1=OF2=c，根據(jù)橢圓概念，如果點(diǎn)P位于y軸上，則PF1=PF2，都等于a，在直角三角形POF2中，運(yùn)用勾股定理可得PO2=a2-c2。

教師：回答得非常好。那么如果令b2=a2-c2，上述方程可以簡化為什么呢？

指定學(xué)生回答：+=1，老師，這個方程有什么限制條件嗎？

教師：這名同學(xué)提出的問題非常重要，+=1就是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，但這個方程必須是在agt;bgt;0的前提下。

學(xué)生提出疑問：我們剛才推導(dǎo)出來的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程是焦點(diǎn)在x軸上，如果焦點(diǎn)在y軸上，標(biāo)準(zhǔn)方程還是這個嗎？如果改變，會變成什么呢？

教師：這個問題大家不妨嘗試按照剛才的步驟親自進(jìn)行推導(dǎo)。

學(xué)生嘗試進(jìn)行推導(dǎo)，最終得出焦點(diǎn)在y軸的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為：+=1（agt;bgt;0）。

教師：大家做得非常棒。其實(shí)除了這種推導(dǎo)方法外，教材中還提到了對稱法推導(dǎo)，大家觀看一下對稱法推導(dǎo)微視頻，想想這種推導(dǎo)的核心思路。

播放對稱法推導(dǎo)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的過程。

教師：通過推導(dǎo)我們已經(jīng)知道了焦點(diǎn)在x軸和y軸的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，那么這兩個標(biāo)準(zhǔn)方程又有什么相同點(diǎn)和不同點(diǎn)呢？大家討論一下并完成下列表格。

（三）課堂練習(xí)

教師：我們已經(jīng)用數(shù)學(xué)語言表述了橢圓，下面我們要嘗試用數(shù)學(xué)思維來解決橢圓問題。

例題1：已知橢圓兩焦點(diǎn)F1、F2的坐標(biāo)分別為（2，0），（-2，0），而且橢圓上任意一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離和為8，請列出橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程。

師生互動：教師引導(dǎo)學(xué)生用所學(xué)知識解決問題。

等到學(xué)生得出答案后，教師可出示例題1的變式。

變式：已知橢圓兩焦點(diǎn)F1、F2的坐標(biāo)分別為（2，0），（-2，0），而且橢圓過點(diǎn)（2，-3），請列出橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程。

學(xué)生獨(dú)立解答并匯報結(jié)果，教師演示、講解，并概括總結(jié)求解橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的方法。

大屏幕展示求解橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的方法：定義法、待定系數(shù)法。

例題2：請根據(jù)下列條件，列出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。

（1）已知橢圓以坐標(biāo)軸為對稱軸，且經(jīng)過點(diǎn)A（0，2），點(diǎn)B（1/2，）;

（2）橢圓經(jīng)過點(diǎn)（2，-3），且和橢圓9x2+4y2=36存在共同焦點(diǎn)。

學(xué)生獨(dú)立完成問題解答，教師講解。

（四）布置作業(yè)

基礎(chǔ)性作業(yè)：完成練習(xí)1、2。

提升性作業(yè)：兩人組隊相互設(shè)計關(guān)于求解橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的習(xí)題，并進(jìn)行解答。

拓展性作業(yè)：聯(lián)系以往學(xué)過的圓相關(guān)知識，對圓概念、標(biāo)準(zhǔn)方程和橢圓概念、標(biāo)準(zhǔn)方程的異同進(jìn)行分析，并將分析結(jié)果列表展示。

七、教學(xué)小結(jié)

在本次教學(xué)中，教師要求學(xué)生親自動手、動腦推導(dǎo)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，還讓學(xué)生觀看微視頻了解對稱法推導(dǎo)過程，闡述推導(dǎo)過程中的核心思路。這樣的教學(xué)方式不僅可以幫助學(xué)生更加扎實(shí)地掌握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)過程和方法，同時鍛煉了他們的多項能力，如思維能力、推導(dǎo)能力、分析能力等，為學(xué)生以后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)奠定了良好基礎(chǔ)。此外，在本次教學(xué)中，教師還非常注重課堂練習(xí)，有效鍛煉了學(xué)生的知識遷移能力和知識運(yùn)用能力。之后布置的作業(yè)則屬于分層作業(yè)，不僅有難度比較低的基礎(chǔ)性作業(yè)，還有具有一定難度的提升性作業(yè)，更有涉及以往學(xué)過知識的拓展性作業(yè)。這種分層作業(yè)不僅可以讓各個層次的學(xué)生找到適合自己的作業(yè)，還能讓他們在完成作業(yè)的過程中有所收獲，加深對本課和以往數(shù)學(xué)知識的記憶。

（作者單位：甘肅省蘭州市永登縣第二中學(xué)）

編輯：趙飛飛