數(shù)學(xué)的眼光：指向“三會(huì)”素養(yǎng)目標(biāo)的數(shù)學(xué)抽象思想

鄭義富，黃甫全

數(shù)學(xué)的眼光：指向“三會(huì)”素養(yǎng)目標(biāo)的數(shù)學(xué)抽象思想

鄭義富1，2，黃甫全2

（1．中山市西區(qū)中心小學(xué)，廣東 中山 528400；2．華南師范大學(xué)，廣東 廣州 510631）

“數(shù)學(xué)的眼光”是人類(lèi)理性認(rèn)識(shí)手段的必然選擇，是科學(xué)思維的最實(shí)用的一般方法，是數(shù)學(xué)教育價(jià)值的核心體現(xiàn)．“數(shù)學(xué)的眼光”不僅可引導(dǎo)人們?nèi)绾慰创澜?、認(rèn)識(shí)世界，更重要的是能形成主體的認(rèn)識(shí)取向或價(jià)值觀(guān)念．中小學(xué)教學(xué)中，教師首先要深刻認(rèn)識(shí)“數(shù)學(xué)抽象”的本質(zhì)，并要能準(zhǔn)確把握“數(shù)學(xué)抽象”的一般特征，還要精準(zhǔn)掌握數(shù)學(xué)抽象的基本方法，從而有的放矢地開(kāi)展思維能力的提升、抽象思想的培育，并逐步使學(xué)生形成“數(shù)學(xué)的眼光”．

數(shù)學(xué)眼光；抽象思想；抽象方法；抽象特征；理性精神

1 問(wèn)題提出

2022年新修訂的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》中明確把數(shù)學(xué)學(xué)科培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的目標(biāo)定位為“會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀(guān)察現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界”．史寧中認(rèn)為“三會(huì)”的概述基于數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)邏輯、數(shù)學(xué)建模這三大數(shù)學(xué)基本思想，又高于這些數(shù)學(xué)思想[1]．

“三會(huì)”作為高度精煉概括的數(shù)學(xué)學(xué)科育人總目標(biāo)，對(duì)中小學(xué)一線(xiàn)教師來(lái)講尚顯“新穎”且“神秘”，迫切需要更為深入地探究．特別是對(duì)“數(shù)學(xué)的眼光”，也就是“數(shù)學(xué)抽象思想”更應(yīng)多角度、多層面深入剖析．教育部中小學(xué)教材審定委員會(huì)委員孫曉天在解釋用“數(shù)學(xué)的眼光”而不是“抽象思想”表達(dá)核心素養(yǎng)目標(biāo)的原因時(shí)，這樣闡述：數(shù)學(xué)的眼光可以看作數(shù)學(xué)抽象的門(mén)檻，更接近一種從數(shù)學(xué)出發(fā)看問(wèn)題的角度，用“眼光”而不用“數(shù)學(xué)抽象”這種人人都理解的說(shuō)法，比較容易讓學(xué)習(xí)者產(chǎn)生親近感，有利于引導(dǎo)教師站在學(xué)習(xí)者的立場(chǎng)思考教學(xué)問(wèn)題，也能啟發(fā)教材編寫(xiě)者認(rèn)真對(duì)待內(nèi)容題材的真實(shí)性問(wèn)題．用“數(shù)學(xué)的眼光”作為未來(lái)公民的“社會(huì)責(zé)任、必備品格和關(guān)鍵能力”，完全滿(mǎn)足核心素養(yǎng)的要求，也容易被大眾接受[2]．這一“用詞”風(fēng)格的轉(zhuǎn)換，體現(xiàn)出課標(biāo)修訂組專(zhuān)家面向中小學(xué)教師群體，以生為本的“良苦用心”．

“新課標(biāo)”進(jìn)一步明確：（學(xué)生）通過(guò)數(shù)學(xué)的眼光，可以從現(xiàn)實(shí)世界的客觀(guān)現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系與空間形式，提出有意義的數(shù)學(xué)問(wèn)題；能夠抽象出數(shù)學(xué)的研究對(duì)象及其屬性，形成概念、關(guān)系與結(jié)構(gòu)；能夠理解自然現(xiàn)象背后的數(shù)學(xué)原理，感悟數(shù)學(xué)的審美價(jià)值；形成對(duì)數(shù)學(xué)的好奇心與想象力，主動(dòng)參與數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，發(fā)展創(chuàng)新意識(shí)．課標(biāo)修訂后，數(shù)學(xué)眼光實(shí)際上成為一個(gè)“硬”杠杠，也就是每一個(gè)學(xué)生都要有“剝離”或“去掉”真實(shí)對(duì)象中的“真實(shí)”，發(fā)現(xiàn)抽象數(shù)量關(guān)系和空間形式的經(jīng)歷[2]．這就亟待在基礎(chǔ)教育中加強(qiáng)“抽象思想的培育”，包括抽象意識(shí)的培養(yǎng)、抽象能力的提升、抽象觀(guān)念的形成等，雖然在不同的學(xué)段培養(yǎng)任務(wù)重點(diǎn)不同，但指向終點(diǎn)一致．其核心的作用就是增強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)力．史寧中認(rèn)為：“在基礎(chǔ)教育階段，一個(gè)好的數(shù)學(xué)教育，應(yīng)當(dāng)更多地傾向于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的習(xí)慣，（通過(guò)數(shù)學(xué)教育使學(xué)生）會(huì)在錯(cuò)綜復(fù)雜的事物中把握本質(zhì)，進(jìn)而增強(qiáng)抽象能力．”[3]“數(shù)學(xué)眼光”作為核心素養(yǎng)目標(biāo)，有助于彌補(bǔ)中國(guó)數(shù)學(xué)教育長(zhǎng)期以來(lái)的弱項(xiàng)，這個(gè)弱項(xiàng)就是抽象．?dāng)?shù)學(xué)課程的內(nèi)容一般與3個(gè)要素相關(guān)：抽象、推理和模型．它們通常以具體的定義、方法和技能的形式存在，推理和模型有規(guī)律可循，通過(guò)訓(xùn)練能迅速提高，已成為中國(guó)學(xué)生的強(qiáng)項(xiàng)．相比之下，抽象則是中國(guó)學(xué)生明顯的弱項(xiàng)[2]．

“數(shù)學(xué)抽象”既是數(shù)學(xué)閃亮的寶藏，又是數(shù)學(xué)教育價(jià)值核心體現(xiàn)．然而不可否認(rèn)的是，數(shù)學(xué)一直以來(lái)被人詬病的一點(diǎn)恰恰也是“抽象性”過(guò)強(qiáng)，因此數(shù)學(xué)教育的難點(diǎn)和痛點(diǎn)就必然聚焦于對(duì)數(shù)學(xué)抽象“過(guò)程”的認(rèn)識(shí)和理解．中小學(xué)教學(xué)中，教師首先要深刻認(rèn)識(shí)“數(shù)學(xué)抽象”的本質(zhì)，并能準(zhǔn)確把握“數(shù)學(xué)抽象”的一般特征，還要精準(zhǔn)掌握數(shù)學(xué)抽象的基本方法，從而才可以有的放矢地開(kāi)展思維能力的提升、抽象思想的培育，并逐步使學(xué)生形成“數(shù)學(xué)的眼光”．

2 “數(shù)學(xué)的眼光”的本質(zhì)——“抽象”的理性認(rèn)識(shí)

2.1 抽象

對(duì)“抽象”這一概念進(jìn)行界定，恐怕會(huì)如同其內(nèi)涵本身一樣顯得很“抽象”．當(dāng)人們把“抽象”作為形容詞使用時(shí)，它與直觀(guān)和形象相對(duì)，表示客觀(guān)事物很難直接感悟領(lǐng)會(huì)．有學(xué)者這樣描述：“抽象即以其抽象性而與具體事物的具體性相對(duì)立．”[4]當(dāng)抽象作為動(dòng)詞時(shí)則指向思維運(yùn)動(dòng)的形式，屬于基本智力操作之一，是在思想上把各種對(duì)象或現(xiàn)象的共同屬性、本質(zhì)特征抽取出來(lái)，舍棄其它屬性的過(guò)程．《實(shí)用百科全書(shū)》中定義：抽象有肯定與否定兩個(gè)方面，所肯定的是從各種事物中抽取出來(lái)的共同屬性，這種肯定是通過(guò)概括實(shí)現(xiàn)的，是在思想上把抽象出來(lái)的各種對(duì)象或現(xiàn)象的共同屬性、本質(zhì)特征結(jié)合起來(lái)；初級(jí)形式是把對(duì)象或現(xiàn)象的共同屬性按照其偶然的共同特點(diǎn)聯(lián)合起來(lái)的過(guò)程；高級(jí)形式則是把對(duì)象或現(xiàn)象的次要特征與非本質(zhì)特征舍棄，而確定其共同本質(zhì)特征的過(guò)程．所否定的是事物的具體特征．人們通過(guò)抽象，可以從具體中把握一般，從個(gè)性中把握共性，透過(guò)現(xiàn)象把握本質(zhì)[5]．

在科學(xué)發(fā)展進(jìn)程中，“抽象”則作為一種認(rèn)識(shí)手段，也即從感性認(rèn)識(shí)飛躍到理性認(rèn)識(shí)的一種方法．主要指在思維中拋開(kāi)客體的個(gè)別的、表面的、非本質(zhì)的方面而抽取出一般的、內(nèi)部的、本質(zhì)的方面的過(guò)程．這是以感性直觀(guān)為基礎(chǔ)的一種高級(jí)的、創(chuàng)造性的思維認(rèn)識(shí)過(guò)程，是達(dá)到思維具體，即在思維中從整體上再現(xiàn)客體的必經(jīng)階段．科學(xué)抽象在人類(lèi)認(rèn)識(shí)過(guò)程中具有重大的作用，人們只有運(yùn)用科學(xué)抽象，才能創(chuàng)立并不斷地豐富和發(fā)展各門(mén)科學(xué)理論，以有效地指導(dǎo)改造世界的實(shí)踐活動(dòng)[5]．列寧說(shuō)：“物質(zhì)的抽象，自然規(guī)律的抽象，價(jià)值的抽象及其它等，一句話(huà)，那一切科學(xué)的（正確的、鄭重的、不是荒唐的）抽象，都更深刻、更正確、更完全地反映著自然．”[6]

2.2 數(shù)學(xué)抽象

人們一提到“數(shù)學(xué)”，總是會(huì)自然而然地關(guān)聯(lián)到“抽象”．的確，數(shù)學(xué)所呈現(xiàn)出來(lái)的、以及數(shù)學(xué)所要研究的無(wú)一不是“抽象”了的東西．徐利治認(rèn)為：凡“數(shù)學(xué)事物”（如數(shù)量關(guān)系、空間形式以及與之關(guān)聯(lián)的數(shù)學(xué)公理、概念、命題、公式、方法等），都是符合科學(xué)抽象規(guī)律的經(jīng)由人腦對(duì)實(shí)在關(guān)系的反映形式[7]．?dāng)?shù)學(xué)的發(fā)展所依賴(lài)的最重要的基本思想也是抽象．孫曉天在接受浙江教學(xué)月刊社訪(fǎng)談時(shí)指出：“數(shù)學(xué)并不以真實(shí)為研究對(duì)象，而是以真實(shí)世界里并不存在的抽象的數(shù)量關(guān)系和空間形式為研究對(duì)象．?dāng)?shù)學(xué)通過(guò)一種間接的方式，達(dá)到認(rèn)識(shí)真實(shí)世界、解決真實(shí)問(wèn)題的目的．”[2]

若說(shuō)“數(shù)學(xué)即抽象”可能并十分不準(zhǔn)確，但“抽象”對(duì)于數(shù)學(xué)來(lái)講具有其它任何詞匯無(wú)法比擬的意義．馬克思就講過(guò)，全部所謂純數(shù)學(xué)都是研究抽象的，它的一切數(shù)量嚴(yán)格來(lái)說(shuō)都是想象的數(shù)量[8]．鄭毓信等也曾斷言：一切數(shù)學(xué)對(duì)象都是抽象思維的產(chǎn)物，數(shù)學(xué)抽象就是由具體事物中抽取其量的方面、屬性或關(guān)系[4]．亞歷山大洛夫說(shuō)：“數(shù)學(xué)的第一特征就是它的抽象性，全部數(shù)學(xué)都具有抽象的特征，數(shù)學(xué)本身幾乎完全周旋于抽象概念和它們的相互關(guān)系的圈子之中．”[9]

在數(shù)學(xué)教育以及數(shù)學(xué)研究中，人們通常將數(shù)學(xué)抽象與抽象思維等同使用．這是從思維形式或認(rèn)知心理活動(dòng)角度對(duì)數(shù)學(xué)抽象的一種概括．《實(shí)用百科全書(shū)》對(duì)“抽象思維”的定義是：指與形象思維相對(duì)的抽象思維，是運(yùn)用概念進(jìn)行判斷、推理的思維活動(dòng)．這種思維需要遵循邏輯規(guī)律，故又稱(chēng)為邏輯思維，這是人類(lèi)所特有的高度發(fā)達(dá)的思維．抽象思維的特點(diǎn)包括：以概念為思維活動(dòng)的首要因素，所提出的任務(wù)具有理論性，解決任務(wù)必須依賴(lài)抽象概念與理論知識(shí)．抽象思維在人們認(rèn)識(shí)事物的本質(zhì)和規(guī)律的過(guò)程中起著特別重要的作用，發(fā)展規(guī)律、形成科學(xué)假設(shè)等是抽象思維的高級(jí)形式[5]．

“抽象”在數(shù)學(xué)中到底是怎樣體現(xiàn)的呢？著名數(shù)學(xué)家亞歷山大洛夫認(rèn)為：“抽象性在簡(jiǎn)單的計(jì)算中就已經(jīng)表現(xiàn)出來(lái)，我們運(yùn)用抽象的數(shù)字，卻并不打算每次都把它們同具體的對(duì)象聯(lián)系起來(lái)，我們?cè)趯W(xué)校中學(xué)的是抽象的數(shù)字乘法表，而不是蘋(píng)果的數(shù)目相乘，或者蘋(píng)果的數(shù)目乘上蘋(píng)果的價(jià)錢(qián)等．”“同樣地，在幾何中研究的是直線(xiàn)，而不是拉緊了的繩子，并且在幾何線(xiàn)的概念中舍棄了所有性質(zhì)，只留下在一定方向上可延伸的屬性．”[9]數(shù)學(xué)抽象的特點(diǎn)在于：第一，在數(shù)學(xué)的抽象中首先保留量的關(guān)系和空間形式而舍棄了其它一切；第二，數(shù)學(xué)的抽象是經(jīng)過(guò)一系列階段而產(chǎn)生的，它們達(dá)到的抽象程度大大超過(guò)了自然科學(xué)中一般的抽象[9]．從數(shù)學(xué)抽象的對(duì)象來(lái)看，既有對(duì)數(shù)量與數(shù)量關(guān)系的抽象，也有對(duì)圖形與圖形關(guān)系的抽象；從數(shù)學(xué)抽象的形式來(lái)看，既有概括定義形式的抽象，也有邏輯論證形式的抽象，還有關(guān)系模型形式的抽象．

當(dāng)然，作為數(shù)學(xué)的眼光的抽象并不僅為數(shù)學(xué)所特有，但是沒(méi)有哪一個(gè)學(xué)科如數(shù)學(xué)這樣是從始至終都依賴(lài)于抽象的建構(gòu)．抽象是數(shù)學(xué)的靈魂．其它科學(xué)感興趣的首先是自己的抽象公式同某個(gè)完全確定的現(xiàn)象領(lǐng)域的對(duì)應(yīng)問(wèn)題，研究已經(jīng)形成的概念系統(tǒng)對(duì)給定現(xiàn)象領(lǐng)域的運(yùn)用界限問(wèn)題和所采用的抽象系統(tǒng)的相應(yīng)更換問(wèn)題，并把這些作為最重要的任務(wù)之一．而數(shù)學(xué)則完全舍棄了具體現(xiàn)象去研究一般性質(zhì)，在抽象的共性中考察這些抽象系統(tǒng)本身，而不管它們對(duì)個(gè)別具體現(xiàn)象的應(yīng)用界限，可以說(shuō)，數(shù)學(xué)抽象的這樣絕對(duì)化才是數(shù)學(xué)所特有的[9]．

3 “數(shù)學(xué)的眼光”的特征——“抽象”的基本特征（性）

3.1 一般化特征

克萊因在闡述“數(shù)學(xué)精神的誕生”時(shí)講到：“顯然，思考抽象事物要比思考具體事物困難得多，但可以獲得一個(gè)最突出的優(yōu)點(diǎn)——獲得了一般性．”這促使人們追求最普遍和最永恒的東西，而不是個(gè)別的轉(zhuǎn)瞬即逝的東西[10]．?dāng)?shù)學(xué)抽象活動(dòng)的目的絕不是對(duì)事物個(gè)體的摹寫(xiě)，也不是為了某個(gè)個(gè)例問(wèn)題的解決，而是為了一類(lèi)事物的本質(zhì)的概括，為了一類(lèi)問(wèn)題的解決，甚至是為了有可能與此相關(guān)的它者的或未來(lái)的那些事物的探究和問(wèn)題的解決．所以，所有抽象活動(dòng)以及抽象活動(dòng)的結(jié)果都具有一般化的特征．正因?yàn)榇?，人?lèi)探索自然的能力得到充分的激發(fā)，觀(guān)察世界、認(rèn)識(shí)世界的手段和途徑前所未有地變得高效，使得人類(lèi)智慧得到超乎想象的升華．?dāng)?shù)學(xué)抽象的一般化既有數(shù)學(xué)概念的一般化，又有數(shù)學(xué)定理、法則的一般化，還包括數(shù)學(xué)模型、數(shù)學(xué)分支學(xué)科的一般化等．

3.2 理想化特征

數(shù)學(xué)的眼光——即“數(shù)學(xué)抽象”的對(duì)象來(lái)源于感性具體，但抽象不是對(duì)具體的原樣復(fù)制，而是經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)化、剝離、調(diào)整等活動(dòng)，使得抽象對(duì)象對(duì)于接下來(lái)的抽象進(jìn)程來(lái)講非常的“理想”，這就是數(shù)學(xué)抽象的理想化特征．比如現(xiàn)實(shí)世界中的“正午太陽(yáng)、十五的月亮、葉片上的水滴、水中的漣漪”等都有著類(lèi)似的“圓”的形狀，人們就把對(duì)這些事物的感知以“一中同長(zhǎng)”的“理想化”的圓形作為抽象的圖形代表所有圓狀物的空間形式，盡管現(xiàn)實(shí)中根本不可能存在絕對(duì)的圓，但是這并不影響人們進(jìn)一步地以“數(shù)學(xué)的眼光”進(jìn)行探究，這就是“理性化”給“抽象認(rèn)識(shí)”帶來(lái)的便利．所以，數(shù)學(xué)中的很多概念、定理和模型都是理想化的，特別是幾乎所有幾何概念都是理想化的產(chǎn)物．如沒(méi)有長(zhǎng)短、不占空間的幾何端點(diǎn)，只有長(zhǎng)度、沒(méi)有寬度的直線(xiàn)、曲線(xiàn)，以及永不相交的平行線(xiàn)……

3.3 模式化特征

“數(shù)學(xué)的眼光”視閾中的世界不是雜亂無(wú)章的，而是要按照數(shù)學(xué)的樣子以各種抽象的模式存在．平面幾何、立體幾何、解析幾何，函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、微分、方程……所見(jiàn)的任一數(shù)學(xué)知識(shí)、方法或思想，都是以某種“模式”呈現(xiàn)．這是因?yàn)閿?shù)學(xué)家在探索世界時(shí)無(wú)一例外地要以“模式”作為最終的結(jié)論呈現(xiàn)方式．?dāng)?shù)學(xué)抽象的這種“模式化”的傾向，則要?dú)w功于“模式化”的高度概括、精準(zhǔn)表達(dá)、簡(jiǎn)捷高效等特性．徐利治等認(rèn)為：“在純粹數(shù)學(xué)的研究中，應(yīng)當(dāng)借助于明確的定義去構(gòu)造出相應(yīng)的量化模式，并以此為直接對(duì)象從事純形式的研究；也正因?yàn)榇?，作為?shù)學(xué)抽象物的量化模式在概念意義上就應(yīng)具有一定層次上的普遍性和概括性，在表述形式上則應(yīng)具有無(wú)歧義的邏輯精確性和簡(jiǎn)潔性．”[4]

3.4 廣泛應(yīng)用性

“數(shù)學(xué)的眼光”始終都要面向?qū)嵺`與應(yīng)用，否則無(wú)論建立了多么美輪美奐的數(shù)學(xué)大廈，都將因?yàn)闆](méi)有實(shí)踐和應(yīng)用的滋養(yǎng)而枯萎消亡．林夏水認(rèn)為：“各種其它科學(xué)也存在抽象性和理想性，但是在那里沒(méi)有給它們以獨(dú)立自在的意義，它們是始終離不開(kāi)現(xiàn)實(shí)的．而數(shù)學(xué)的抽象是無(wú)條件的；它的概念，一經(jīng)產(chǎn)生和定義之后，就穩(wěn)定下來(lái)并且被看作是已知的，它們與現(xiàn)實(shí)的比較不是數(shù)學(xué)本身，而是它的應(yīng)用問(wèn)題．?dāng)?shù)學(xué)的威力就在于它的抽象性，越撇開(kāi)內(nèi)容，就越有廣泛應(yīng)用的可能．”[11]歸根到底，數(shù)學(xué)生命力的源泉在于它的概念和結(jié)論盡管極為抽象，但卻如人們所堅(jiān)信的那樣，它們是從現(xiàn)實(shí)中來(lái)的，并且在其它科學(xué)中、在技術(shù)中、在全部生活實(shí)踐中都有廣泛的應(yīng)用；這一點(diǎn)，對(duì)于了解數(shù)學(xué)是最主要的[9]．

4 “數(shù)學(xué)的眼光”的方式——“抽象”的基本方法

“數(shù)學(xué)的眼光”可不是感性層面的“觀(guān)察”．作為數(shù)學(xué)的眼光的核心——“數(shù)學(xué)抽象”，其運(yùn)行的方式實(shí)質(zhì)是人類(lèi)心智的一種運(yùn)算．應(yīng)該說(shuō)“抽象”是迄今為止人類(lèi)所擁有的最有用的思考方式．這種思考方式最高要求和最突出的作用就是“理性”，為了實(shí)現(xiàn)理性，就要形成一系列的良好的思維機(jī)制或思考習(xí)慣．人是依靠什么來(lái)達(dá)到這個(gè)目的呢？就是一種穩(wěn)定的神經(jīng)回路，也即心智計(jì)算模塊系統(tǒng)．?dāng)?shù)學(xué)抽象則是人類(lèi)心智計(jì)算系統(tǒng)中最為簡(jiǎn)約高效的一種運(yùn)算功能．“心智”不是大腦，而是大腦所做的事情．“心智”是指向人類(lèi)基因繁殖的自然選擇的結(jié)果．心智系統(tǒng)的“原件”大部分區(qū)別不是很大，這些心智系統(tǒng)組塊來(lái)自于基因圖譜．?dāng)?shù)學(xué)抽象的發(fā)生過(guò)程是否有跡可循？沒(méi)有暢通無(wú)阻適用一切的“抽象大法”，但可概括梳理基本的“抽象”方法，作為“數(shù)學(xué)的眼光”的一般方式．

4.1 剝離與簡(jiǎn)化——數(shù)學(xué)抽象運(yùn)行前的準(zhǔn)備

數(shù)學(xué)研究的對(duì)象并非是直接的客觀(guān)世界實(shí)體，而是經(jīng)過(guò)抽絲剝繭式的解構(gòu)與取舍．剝離、去掉并簡(jiǎn)化客觀(guān)實(shí)體的“眾多屬性”，找到并留取與數(shù)學(xué)研究相關(guān)的、客觀(guān)事物所屬的本質(zhì)性的東西，構(gòu)成數(shù)學(xué)的研究對(duì)象．這“對(duì)象”不是憑空產(chǎn)生的，它必然建立在對(duì)客觀(guān)事物的觀(guān)察并產(chǎn)生直觀(guān)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，由直觀(guān)表象轉(zhuǎn)化為“抽象”的對(duì)象，這一過(guò)程就是“剝離與簡(jiǎn)化”，如果沒(méi)有“抽絲剝繭”的這一過(guò)程，人腦將無(wú)法應(yīng)對(duì)客觀(guān)現(xiàn)實(shí)紛繁復(fù)雜的海量信息．

“剝離與簡(jiǎn)化”還可以是對(duì)紛繁復(fù)雜的信息進(jìn)行分離和精簡(jiǎn)，摒棄那些與問(wèn)題解決無(wú)關(guān)的或非主要關(guān)聯(lián)的信息，保留關(guān)鍵的信息．針對(duì)問(wèn)題解決的思考過(guò)程亦是由“剝離與簡(jiǎn)化”開(kāi)啟抽象思考的進(jìn)程．如客觀(guān)世界中含有“3個(gè)的量”的屬性的事物千千萬(wàn)萬(wàn)，3個(gè)人、3只羊、3個(gè)蘋(píng)果……但為了計(jì)量，就要把所有非必要的屬性都剝離，并簡(jiǎn)化到只用一個(gè)數(shù)字“3”來(lái)解釋這些事物共同的“量”的本質(zhì)的屬性．同樣地，自然世界中具有“三角形”這一特性的事物俯拾皆是，但如果要研究形狀與空間的問(wèn)題，那就將所有的顏色、質(zhì)地等非必要的屬性，剝離簡(jiǎn)化到用“三條邊首尾相連”這一本質(zhì)屬性來(lái)表征這一類(lèi)物體的性質(zhì)．再如小學(xué)數(shù)學(xué)“沏茶問(wèn)題”的解決策略探究中，面對(duì)“問(wèn)題情境”中諸如“人物、事件、條件、問(wèn)題”等眾多的信息，首先要把非“數(shù)學(xué)”的信息剝離掉．比如，來(lái)的客人是誰(shuí)、為什么來(lái)、什么時(shí)候來(lái)、要喝什么茶等．留下什么呢？與問(wèn)題解決息息相關(guān)的信息，如喝茶的工序、每道工序的時(shí)間、具體的問(wèn)題等．這些都是與問(wèn)題解決相關(guān)的信息，接下來(lái)還要再對(duì)這些“相關(guān)”的信息進(jìn)行篩選，根據(jù)解決問(wèn)題的方向和思路選取有用的信息進(jìn)行整理．這一步就是數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的“抽象”的發(fā)端．

腦科學(xué)研究表明，人的“抽象”活動(dòng)是大腦神經(jīng)細(xì)胞集群對(duì)數(shù)量以及空間信息的選擇性、簡(jiǎn)約化的激活反應(yīng)．通常情況下，人們會(huì)將“剝離與簡(jiǎn)化”這一“激活反應(yīng)”直接等同為“抽象”全過(guò)程，然而這只是抽象的準(zhǔn)備，真正體現(xiàn)抽象神奇作用的還在于這之后的一系列心智操作．

4.2 符號(hào)與命名——為數(shù)學(xué)抽象高效運(yùn)行蓄力

任何事物在進(jìn)入人的頭腦中參與思維運(yùn)作前都會(huì)被“命名”，對(duì)任一事物命名的行為基本上都屬于抽象化，只不過(guò)這一抽象的過(guò)程往往是自動(dòng)化了的，極易忽略．但若沒(méi)有“命名”，接下來(lái)的思維就無(wú)法實(shí)現(xiàn)．若要使“抽象”高效運(yùn)行，必須對(duì)這些“信息”進(jìn)行概括性地命名，并以“符號(hào)”的形式進(jìn)行表達(dá)，以便在語(yǔ)言的運(yùn)載下進(jìn)行思維，這是“抽象”繼續(xù)運(yùn)轉(zhuǎn)起來(lái)的前提，也是抽象的鮮明特征之一，是抽象發(fā)生的較早期的行為．在此意義上，幾乎所有數(shù)學(xué)詞匯和符號(hào)都是抽象進(jìn)程中“符號(hào)與命名”的產(chǎn)物，如“和、差、倍、比”以及“5、0.5、＋、－、×、÷、m3、cos、∈、Δ”等．同樣地，任何圖形的命名也都毫無(wú)例外是抽象了的產(chǎn)物．就如“圓形”，生活中并沒(méi)有叫做“圓形”的實(shí)物存在，它只是一類(lèi)有著共同幾何意義上的特性的抽象概念．有學(xué)者指出：命名是不可或缺的步驟和條件，科學(xué)的獨(dú)特工作就是建立在這種明確限定的行為基礎(chǔ)之上[12]．“命名”是數(shù)學(xué)想象與創(chuàng)造性的體現(xiàn)，充分地展現(xiàn)了思考的自由．在思維的進(jìn)程中“命名”，是為思維高效運(yùn)行蓄力，也是為后續(xù)深入抽象中的概括與定義奠定基礎(chǔ)．

4.3 一一對(duì)應(yīng)——開(kāi)啟數(shù)學(xué)抽象認(rèn)識(shí)的大門(mén)

丹齊克在《數(shù)——科學(xué)的語(yǔ)言》一書(shū)中描述：“我們走進(jìn)會(huì)堂，面前兩個(gè)集合，一個(gè)是會(huì)堂的座位，一個(gè)是出席的人．我們不用計(jì)數(shù)，就可以知道兩個(gè)集合是否相等，以及哪個(gè)大些．這種能力就是從一個(gè)支配著全部數(shù)學(xué)的稱(chēng)為一一對(duì)應(yīng)的方法推演而來(lái)．”[13]實(shí)際上，人類(lèi)原初數(shù)覺(jué)之所以比鳥(niǎo)類(lèi)的最多3個(gè)或4個(gè)的數(shù)覺(jué)要多一些，也是得益于人類(lèi)有比“3”“4”的量多的10個(gè)手指，而這種原始的數(shù)覺(jué)依靠的就是手指集合與所要計(jì)數(shù)集合的一一對(duì)應(yīng)，并由此建立起數(shù)概念．在隨后的千百年數(shù)學(xué)演化史中，“一一對(duì)應(yīng)”也是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的基本保障，一方面使得思考具有確定性，另一方面也成功實(shí)現(xiàn)了具象與抽象的“同構(gòu)”及轉(zhuǎn)換．一一對(duì)應(yīng)幾乎在每一處數(shù)學(xué)知識(shí)或數(shù)學(xué)活動(dòng)中都能找到影子，有些思維活動(dòng)已經(jīng)成為心智自動(dòng)化的部分，而更多的則是確定無(wú)疑的思考過(guò)程，甚至依然需要明確地表達(dá)出來(lái)．

其實(shí)早在洞穴中生活的古人類(lèi)就已經(jīng)會(huì)使用抽象的幾何圖形來(lái)記事和傳遞信息．一種圖形與其所記錄的事件和傳遞的信息應(yīng)是一一對(duì)應(yīng)的，絕不能是混亂的、不確定的，否則這一“創(chuàng)造”就不會(huì)存續(xù)．時(shí)至今日，任一圖形或幾何概念依然都有其確定的含義與之一一對(duì)應(yīng)．如歐幾里得關(guān)于二維圖形點(diǎn)、線(xiàn)、面的定義：“點(diǎn)”是不可再分為部分的圖形；“線(xiàn)”是只有長(zhǎng)度而沒(méi)有寬度的圖形，“面”是只有長(zhǎng)度和寬度的圖形．

掌握“一一對(duì)應(yīng)”方法對(duì)于人類(lèi)自身抽象能力的獲得與心智發(fā)展的重要意義也許遠(yuǎn)超人們現(xiàn)在的認(rèn)知．正是因?yàn)樵谧匀贿x擇的進(jìn)化中，人類(lèi)獲得了以10個(gè)手指或用石子畫(huà)出的線(xiàn)條來(lái)一一地對(duì)應(yīng)各種所需計(jì)數(shù)的物品，還可用圖形來(lái)對(duì)應(yīng)不同的物品，從而把這種“對(duì)應(yīng)”從無(wú)數(shù)次“計(jì)數(shù)”中剝離出來(lái)，成為恒定的“參照”，進(jìn)而開(kāi)始了漫長(zhǎng)而無(wú)窮無(wú)盡的“抽象”歷程，抽象以及由此建立的數(shù)學(xué)大廈便一點(diǎn)一點(diǎn)搭建起來(lái)了．可以說(shuō)，一一對(duì)應(yīng)既是“抽象”活動(dòng)的發(fā)端，亦是數(shù)學(xué)史的序幕．

不同于集合運(yùn)算中的“一一映射”，兒童所要建立起的“一一對(duì)應(yīng)”意識(shí)是能將觀(guān)察到的客觀(guān)事物與其抽象后的形式對(duì)應(yīng)起來(lái)，從而開(kāi)啟初步的數(shù)學(xué)化的思考，這種思考顯然不是混沌的，也不是高度綜合的或者是系統(tǒng)化的，但卻是開(kāi)啟有條理的理性認(rèn)識(shí)大門(mén)的關(guān)鍵一環(huán)．皮亞杰曾指出：“最基本的心理學(xué)觀(guān)察揭示一一對(duì)應(yīng)是一種最原始的運(yùn)算．”[14]

4.4 有序排列——數(shù)學(xué)抽象精密化的手段

數(shù)學(xué)的發(fā)展實(shí)在應(yīng)歸功于人類(lèi)知道了數(shù)的一一對(duì)應(yīng)原則與數(shù)的有序原則的可統(tǒng)一性．根據(jù)“對(duì)應(yīng)原則”產(chǎn)生了基數(shù)概念，基于“有序原則”生成了“序數(shù)”概念．序數(shù)原則實(shí)際上是一種抽象的假定，即假定總是可以由一個(gè)數(shù)數(shù)到它的后繼數(shù)，這個(gè)假定就是序數(shù)概念的本質(zhì)．丹齊克認(rèn)為：“若不是我們能夠?qū)⑹挛锱帕谐捎许樞虻拇蔚冢M(jìn)步就是不大可能的．”

有序排列在圖形研究中體現(xiàn)為構(gòu)成圖形元素的有序性．希爾伯特提出的幾大幾何公理都反映了圖形的有序性，如“順序公理”就規(guī)定了直線(xiàn)上點(diǎn)的位置順序關(guān)系，“關(guān)聯(lián)公理”規(guī)定了概念范疇的順序關(guān)系，“合同公理”核心就是概念的相等（順序）關(guān)系．史寧中認(rèn)為：幾乎在現(xiàn)代數(shù)學(xué)的各個(gè)分支中，順序關(guān)系（包括大小關(guān)系、前后關(guān)系）都是非常重要的，這是數(shù)學(xué)研究對(duì)象的一個(gè)根本性的關(guān)系[15]．

對(duì)應(yīng)和序列，這兩大原理已經(jīng)深深滲透進(jìn)全部數(shù)學(xué)．不只是數(shù)學(xué)，實(shí)際上已然進(jìn)入精密思想的全部領(lǐng)域之中，交錯(cuò)地編織在數(shù)系的錦繡天衣之上[13]．“次序化和序列化思維”或者稱(chēng)之為“有序思考”，是優(yōu)秀思維品質(zhì)必不可少的要素．抽象思維之所以能充分體現(xiàn)出全面性、嚴(yán)謹(jǐn)性，與序列化的處理信息以及有序思考的思維習(xí)慣密切相關(guān)．皮亞杰認(rèn)為：“在兒童思維中有一種非常原始的關(guān)于次序的結(jié)構(gòu)——序列化結(jié)構(gòu)，它像分類(lèi)結(jié)構(gòu)一樣原始．”[14]

4.5 比較與分類(lèi)——數(shù)學(xué)抽象深化的關(guān)鍵環(huán)節(jié)

“比較”是“抽象”過(guò)程中必不可少的一環(huán)，通過(guò)比較才能找出“異同”，才能認(rèn)識(shí)到“共性”，才有抽取共同性質(zhì)后發(fā)現(xiàn)的“本質(zhì)”特征的可能，“抽象”也就因此而有了“意義”．在比較之后進(jìn)行的區(qū)分其實(shí)就是“分類(lèi)”，有學(xué)者認(rèn)為：“邏輯分組和分類(lèi)是數(shù)學(xué)的核心組成部分．”分類(lèi)也是“集合”思維的基礎(chǔ)，集合又是最基本的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)之一．分類(lèi)的依據(jù)則是抽象集合的物體所共有的性質(zhì)．皮亞杰認(rèn)為：“分類(lèi)既為邏輯概念也為數(shù)學(xué)概念的發(fā)展提供了基礎(chǔ)．”“一個(gè)類(lèi)不能由知覺(jué)構(gòu)造而只能由邏輯構(gòu)造，因?yàn)楸仨氁砸幌盗谐橄蠛透爬榍疤幔?lèi)的意義才從哲學(xué)抽象和概括中得出．”[16]

比較與分類(lèi)是抽象的進(jìn)程得以深化的保障，無(wú)論是對(duì)數(shù)量的研究，還是對(duì)圖形的研究，沒(méi)有比較與分類(lèi)的這一關(guān)鍵環(huán)節(jié)，深度的抽象將寸步難行．事實(shí)上，很多兒童之所以對(duì)數(shù)學(xué)難以有“感覺(jué)”，甚至經(jīng)常深陷困境，大部分是緣于他們頭腦中始終無(wú)法清晰地進(jìn)行分類(lèi)，難以發(fā)現(xiàn)事物之間的共性與區(qū)別．因此，作為“抽象”的重要環(huán)節(jié)，教師還是應(yīng)該適時(shí)提醒學(xué)生有意識(shí)地進(jìn)行“比較與分類(lèi)”的數(shù)學(xué)抽象化思考，從而強(qiáng)化“抽象”意識(shí)與能力．

4.6 數(shù)量刻畫(huà)——數(shù)學(xué)抽象的獨(dú)特標(biāo)簽

數(shù)學(xué)抽象思想最為鮮明的特征就是對(duì)客觀(guān)事物或直觀(guān)表象進(jìn)行“數(shù)量刻畫(huà)”．將具體的事物用相應(yīng)的“數(shù)據(jù)”或“數(shù)量”進(jìn)行抽象的表達(dá)，繼而進(jìn)行符號(hào)化、形式化的分析，以便更進(jìn)一步進(jìn)行邏輯推理．即包括用“數(shù)”來(lái)刻畫(huà)具體對(duì)象的量的多少，如3米、4噸、5升、6公頃等；也包括用“數(shù)”來(lái)刻畫(huà)“圖形”的長(zhǎng)短與大?。纭皥A的直徑長(zhǎng)度是半徑的2倍”“三角形內(nèi)角和是180度”，又如用勾股定理刻畫(huà)直角三角形三邊關(guān)系等．笛卡兒和費(fèi)馬創(chuàng)造性地以數(shù)量刻畫(huà)的形式對(duì)圖形進(jìn)行研究，從而發(fā)明了解析幾何，開(kāi)啟了近代數(shù)學(xué)研究的神圣之門(mén)，這其中“數(shù)量刻畫(huà)”功不可沒(méi)．

以上“方法”既是抽象的基本方法，又是抽象的一般運(yùn)行過(guò)程．當(dāng)然，“抽象”的各種方法不是嚴(yán)格區(qū)分開(kāi)來(lái)的，也并非一成不變地按步驟進(jìn)行的，有時(shí)可能是多種方法交替或同時(shí)運(yùn)行，對(duì)此大腦是完全可以輕松應(yīng)對(duì)并操作的．在上面“六道工序”之后，抽象也并沒(méi)有停止，只不過(guò)進(jìn)入到更具推理意義和模型意義的深度抽象之中．如將抽象出來(lái)的各種對(duì)象或現(xiàn)象的共同屬性、本質(zhì)特征結(jié)合起來(lái)，歸納提煉并形成概念、定義；通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)研究對(duì)象之間關(guān)系的“抽象”，并以表示邏輯關(guān)系的術(shù)語(yǔ)得到科學(xué)合理的結(jié)論，形成相關(guān)的判斷、定義、法則、定理等；通過(guò)構(gòu)造“模型”將高度綜合的“抽象對(duì)象”進(jìn)行具體化運(yùn)用……可以想見(jiàn)，對(duì)于完整的“抽象”活動(dòng)而言，數(shù)學(xué)模型才應(yīng)該是一段數(shù)學(xué)抽象旅程的終點(diǎn)和歸宿．

“會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀(guān)察世界”是數(shù)學(xué)抽象思想所承載的學(xué)生素養(yǎng)發(fā)展的主旨、內(nèi)涵和目標(biāo)．“數(shù)學(xué)的眼光”是人類(lèi)理性認(rèn)識(shí)手段的必然選擇，是科學(xué)思維的最實(shí)用的一般方法，是數(shù)學(xué)教育價(jià)值的核心體現(xiàn)．正如鄭毓信所指出的：無(wú)論是數(shù)學(xué)教育或是其它各科的教育，都是整個(gè)教育事業(yè)的組成成分，應(yīng)很好地落實(shí)“立德樹(shù)人”這一教育的根本任務(wù)，也即應(yīng)當(dāng)“通過(guò)核心素養(yǎng)來(lái)落實(shí)立德樹(shù)人根本任務(wù)”[17]．“數(shù)學(xué)的眼光”所“擔(dān)負(fù)”的立德樹(shù)人使命，不僅在于可引導(dǎo)人們?nèi)绾慰创澜纭⒄J(rèn)識(shí)世界，更重要的是能形成主體的認(rèn)識(shí)取向或價(jià)值觀(guān)念[18-21]．“數(shù)學(xué)的眼光”的涵育促進(jìn)學(xué)生抽象思維的發(fā)展，增強(qiáng)思維的清晰性、合理性、有效性、深刻性、嚴(yán)密性，甚至還可增強(qiáng)靈活性、綜合性與創(chuàng)新性等，而最重要的則是逐步樹(shù)立起理性精神．

[1] 洪燕君．基于義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的核心素養(yǎng)的理解與實(shí)施——訪(fǎng)談史寧中教授[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2023，32（3）：64-67．

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[19] 張輝蓉，唐佳欣．三年級(jí)學(xué)生“數(shù)學(xué)問(wèn)題提出能力”“態(tài)度”與“學(xué)業(yè)水平”關(guān)系研究[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2023，32（1）：31-37．

[20] 拉毛草，董連春，何偉．少數(shù)民族數(shù)學(xué)文化融入小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)踐與探索——以藏族數(shù)學(xué)文化為例[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2023，32（1）：38-46．

[21] 張莉，伊?xí)悦溃率兰o(jì)以來(lái)小學(xué)數(shù)學(xué)教科書(shū)中“分?jǐn)?shù)”習(xí)題難度分析——以3套人教版為例[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2023，32（1）：47-54．

Mathematical Vision: Mathematical Abstract thought Pointing to the Goal of “Three Learn”

ZHENG Yi-fu1, 2, HUANG Pu-quan2

(1. West District of ZhongshanCentral Primary School, Guangdong Zhongshan 528400, China;2. South China Normal University, Guangdong Guangzhou 510631, China)

“Mathematical vision” is the inevitable choice of human rational understanding means, the most practical general method of scientific thinking, and the core embodiment of the value of mathematics education. “Mathematical vision” can not only guide people how to view the world and understand the world, but more importantly, it can form the subject’s cognitive orientation or values. Mathematical teaching in Primary and secondary schools, teachers must first deeply understand the nature of “mathematical abstract”, and be able to accurately grasp the general characteristics of “mathematical abstract”, and accurately master the basic methods of mathematical abstract, so as to carry out targeted improvement of thinking ability, the cultivation of abstract thoughts, and gradually enable the students to form a “mathematical vision”.

mathematical vision; abstract thought; abstract method; abstract characteristics; rational spirit

G623.5

A

1004–9894（2024）01–0059–05

鄭義富，黃甫全．?dāng)?shù)學(xué)的眼光：指向“三會(huì)”素養(yǎng)目標(biāo)的數(shù)學(xué)抽象思想[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2024，33（1）：59-63．

2023–10–01

2022年廣東省哲學(xué)社會(huì)科學(xué)規(guī)劃一般項(xiàng)目——新唯物主義智能化學(xué)習(xí)技術(shù)代理主體論（GD22CJY13）

鄭義富（1974—），男，山東棗莊人，正高級(jí)教師，中山市西區(qū)中心小學(xué)校長(zhǎng)，華南師范大學(xué)博士生，主要從事數(shù)學(xué)教育研究．

[責(zé)任編校：陳漢君、張楠]