中學(xué)數(shù)列的數(shù)學(xué)思想及其教學(xué)啟示

歐慧謀，黃紅梅，曹廣福

中學(xué)數(shù)列的數(shù)學(xué)思想及其教學(xué)啟示

歐慧謀1，2，黃紅梅1，曹廣福1

（1．廣州大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，廣東 廣州 510006；2．韓山師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，廣東 潮州 521041）

數(shù)學(xué)思想對學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與未來發(fā)展具有深遠(yuǎn)影響．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)在強調(diào)知識的同時，充分挖掘蘊藏在知識背后的數(shù)學(xué)思想，并在教學(xué)中通過針對性問題促使學(xué)生領(lǐng)會．中學(xué)數(shù)列的數(shù)學(xué)思想包括函數(shù)思想、遞歸思想、由特殊到一般、數(shù)學(xué)歸納法、消項求和思想以及極限思想等方面．基于中學(xué)數(shù)列的數(shù)學(xué)思想，提出如下教學(xué)啟示：問題驅(qū)動概念教學(xué)，促進(jìn)數(shù)列概念本質(zhì)理解；從函數(shù)的角度審視數(shù)列，揭示兩者的內(nèi)在關(guān)系；重視遞推公式教學(xué)，培養(yǎng)遞歸思維與發(fā)現(xiàn)能力；強化數(shù)學(xué)歸納法，拓展數(shù)學(xué)論證能力；誘發(fā)數(shù)列求和“好念頭”，滲透消項求和思想．

數(shù)列；數(shù)學(xué)思想；教學(xué)啟示

1 研究背景

什么是教育？愛因斯坦認(rèn)為：“把在學(xué)校里學(xué)到的所有東西全部忘光之后留下來的東西才叫教育．”他的意思是，教育的核心價值并非知識的傳授，而在于思想與方法的領(lǐng)悟以及觀念與能力的提升．愛因斯坦的觀點在數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域有極大的共鳴，R·柯朗在批評過分強調(diào)數(shù)學(xué)公理化風(fēng)氣時曾指出：“創(chuàng)造發(fā)明的要素以及起指導(dǎo)和推進(jìn)作用的直觀要素，雖然常常不能用簡單的公式來表述，但是它們卻是任何數(shù)學(xué)成就的核心．”[1]米山國藏則認(rèn)為：“作為知識的數(shù)學(xué)出校門不到兩年就忘了，唯有深深銘記在頭腦中的數(shù)學(xué)精神、數(shù)學(xué)思想、研究方法和著眼點等，這些會隨時隨地發(fā)生作用，使人終身受益．”[2]中國學(xué)者鄭毓信持類似觀點，認(rèn)為：“數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)當(dāng)努力提升學(xué)生的思維品質(zhì)，由理性思維逐步培養(yǎng)學(xué)生的理性精神．”[3]這些觀點無不說明，數(shù)學(xué)教學(xué)不能一味地追求數(shù)學(xué)知識，而應(yīng)在強調(diào)數(shù)學(xué)知識的同時，促使學(xué)生獲得相應(yīng)的、對未來數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與自我發(fā)展影響深遠(yuǎn)的數(shù)學(xué)思想．

作為數(shù)學(xué)的重要概念，數(shù)列在現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展過程中發(fā)揮了重要作用．它既是數(shù)的拓展，又與函數(shù)關(guān)聯(lián)；既是極限的載體，又是級數(shù)的基礎(chǔ)；既在微積分中具有舉足輕重的作用，又對實分析與泛函分析產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響．弗賴登塔爾曾言：“無論從歷史的、發(fā)生的還是從系統(tǒng)的角度看，數(shù)的序列都是數(shù)學(xué)的基石，沒有數(shù)的序列就沒有數(shù)學(xué)．”[4]數(shù)列“基石”的意義不僅體現(xiàn)在知識層面，還應(yīng)包括蘊含在知識背后的數(shù)學(xué)思想．中學(xué)數(shù)列主要涉及等差數(shù)列與等比數(shù)列兩類重要數(shù)列，內(nèi)容雖然不多，但它們及其蘊含的數(shù)學(xué)思想，卻是研究一般數(shù)列、級數(shù)以及大學(xué)相關(guān)數(shù)學(xué)知識的基礎(chǔ)，也是進(jìn)一步提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要載體．因此，教師不僅要關(guān)注數(shù)列知識，更要深刻認(rèn)識數(shù)列的數(shù)學(xué)思想，這樣才能批判性地分析教材，合理設(shè)計教學(xué)．

2 中學(xué)數(shù)列內(nèi)容的編排特點

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（簡稱《課標(biāo)》）將數(shù)列內(nèi)容安排在選擇性必修課程“函數(shù)主題”部分．《課標(biāo)》要求[5]，教學(xué)應(yīng)幫助學(xué)生通過對日常生活中實際問題的分析，了解數(shù)列的概念；探索并掌握等差數(shù)列和等比數(shù)列的變化規(guī)律，建立通項公式和前項和公式；能運用等差數(shù)列、等比數(shù)列解決簡單的實際問題和數(shù)學(xué)問題，感受數(shù)學(xué)模型的現(xiàn)實意義與應(yīng)用；了解等差數(shù)列與一元一次函數(shù)、等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的聯(lián)系，感受數(shù)列與函數(shù)的共性與差異，體會數(shù)學(xué)的整體性．至于數(shù)學(xué)歸納法，《課標(biāo)》則降低要求，僅把其列為選學(xué)不考內(nèi)容．

各個版本教材根據(jù)《課標(biāo)》要求編寫，體現(xiàn)較大共性，這里僅以人教版為例分析[6]．在內(nèi)容安排上，教材首先介紹數(shù)列的概念及其表示方法，接著把重點放在等差數(shù)列與等比數(shù)列，最后介紹數(shù)學(xué)歸納法，體現(xiàn)由特殊到一般、循序漸進(jìn)、主次分明的編排特點．在情境創(chuàng)設(shè)上，教材在概念的學(xué)習(xí)中創(chuàng)設(shè)了豐富的生活實例，包括年齡身高、月亮可見數(shù)、天壇石板、衣服尺碼、海拔氣溫、細(xì)胞分裂、銀行貸款等，這為學(xué)生認(rèn)識數(shù)列提供了良好的條件．在邏輯推導(dǎo)上，非特殊數(shù)列（即非等差數(shù)列或者等比數(shù)列）的通項公式與遞推公式主要由特殊到一般地觀察發(fā)現(xiàn)，而特殊數(shù)列（即等差數(shù)列與等比數(shù)列）的通項公式與求和公式則通過推導(dǎo)得到．特別地，教材尤其注重從函數(shù)角度認(rèn)識數(shù)列，不僅從離散函數(shù)的角度介紹數(shù)列，甚至通過解析式（即通項公式）、列表以及圖象等方式表征數(shù)列；在等差數(shù)列與等比數(shù)列章節(jié)，教材還分別詳細(xì)介紹了各自通項公式與一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的關(guān)系．?dāng)?shù)學(xué)歸納法則作為證明數(shù)列命題的工具被引入，安排在數(shù)列最后一節(jié)．

顯然，《課標(biāo)》作為教學(xué)指導(dǎo)性文件，側(cè)重數(shù)列知識的目標(biāo)要求與教學(xué)指導(dǎo)，沒有明確提出數(shù)列知識蘊含哪些數(shù)學(xué)思想，更沒有告訴教師教學(xué)中如何滲透這些思想．而教材出于知識系統(tǒng)性、嚴(yán)謹(jǐn)性以及簡潔性的考量，同樣沒有告知數(shù)學(xué)思想．例如教材在推導(dǎo)數(shù)列通項公式時，盡管遵循“由特殊到一般”的發(fā)現(xiàn)路徑，但教材對此沒有明說；類似地，教材雖然介紹了遞推公式，但僅是蜻蜓點水，學(xué)生難以體會蘊含其中的遞推思想．《課標(biāo)》與教材的分析無不說明，與顯性的數(shù)列知識相比，數(shù)列蘊含的數(shù)學(xué)思想具有隱性特征．這意味著，教師在備課與教學(xué)過程中，不應(yīng)局限于《課標(biāo)》，更不應(yīng)把教材奉為“圣書”，而要深入數(shù)列知識的本質(zhì)與來龍去脈，精準(zhǔn)挖掘相關(guān)的數(shù)學(xué)思想，并在教學(xué)中加以滲透，這是實現(xiàn)真正數(shù)學(xué)教育的條件．

3 中學(xué)數(shù)列蘊含的數(shù)學(xué)思想

在梳理數(shù)列發(fā)展歷史的基礎(chǔ)上，綜合分析數(shù)列概念、遞歸特點、通項推導(dǎo)、求和思維、變化趨勢以及這些因素的內(nèi)在邏輯關(guān)系，歸納出如下6個數(shù)列數(shù)學(xué)思想：函數(shù)思想、遞歸思想、由特殊到一般、數(shù)學(xué)歸納法、消項求和思想以及極限思想．

3.1 函數(shù)思想

3.2 遞歸思想

遞歸思想指在某個推導(dǎo)過程中，后續(xù)的每一步都需要前一步或前幾步的信息與結(jié)果，這是一個從初始值開始，按照某種規(guī)律推導(dǎo)任意項的基本方法．遞歸思想并不遙遠(yuǎn)，項武義曾指出：“自然數(shù)系的本質(zhì)就是一個按順序排列的體系，起始者為1，往后每個數(shù)比其前一個數(shù)多加1，如此逐個加1以至于無窮；自然數(shù)系的加、乘和乘方運算都是由最原始的‘+1’運算逐步復(fù)合得到的．”[8]

3.3 由特殊到一般

圖1 正方形數(shù)

伽利略曾在長期觀察行星運行的基礎(chǔ)上，依靠天文數(shù)據(jù)近似得到橢圓運動定律．牛頓與萊布尼茲所創(chuàng)立的微積分則是前人關(guān)于切線、最值、速度以及面積等具體問題的一般化結(jié)果．凸多面體的歐拉定理、費馬大定理、哥德巴赫猜想等同樣源于對特殊情況的考察．正如拉普拉斯所言：“即使在數(shù)學(xué)里，發(fā)現(xiàn)真理的主要工具也是歸納和類比．”由特殊到一般甚至可以延伸到日常生活，所謂經(jīng)驗無非是在多次實踐后的反思性認(rèn)識．從這個角度看，由特殊到一般的思維方法是每個人必備的基本素養(yǎng)．

3.4 數(shù)學(xué)歸納法

數(shù)學(xué)歸納法從其誕生起就與數(shù)列命題結(jié)下不解之緣．前述“正方形數(shù)”的研究可看成數(shù)學(xué)歸納法思想的源泉，但其本質(zhì)上屬于不完全歸納，缺乏嚴(yán)謹(jǐn)性．1575年，莫羅利科巧妙利用遞推關(guān)系證明“正方形數(shù)”，即

并總結(jié)出證明類似命題的步驟．因這種方法與通常的歸納程序相似，且主要用于證明數(shù)學(xué)命題，后來奧古斯塔斯·德摩根把其稱為數(shù)學(xué)歸納法．

數(shù)學(xué)歸納法源于數(shù)列但超越數(shù)列，它在證明恒等式、不等式、數(shù)的整除、楊輝三角數(shù)、凸多邊形內(nèi)角和公式、凸多面體歐拉定理等與正整數(shù)有關(guān)的命題時，發(fā)揮著無可代替的作用，因而是一種重要的數(shù)學(xué)論證方法．正如R·柯朗所言：“與亞里士多德的基本邏輯規(guī)則（即演繹推理‘三段論’）那樣，數(shù)學(xué)歸納法是數(shù)學(xué)的基本邏輯原則，每個學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的人，都應(yīng)該掌握這種證明方法．”[1]這充分說明，新版教材增加數(shù)學(xué)歸納法是正確的．

3.5 消項求和

“消項求和”實際上是“降維思想”的一種具體形式，后者指把高維空間、高次方程、多元方程組、高維數(shù)據(jù)問題分別轉(zhuǎn)化為低維空間、低次方程、一元方程、低維數(shù)據(jù)問題從而解決問題的一種基本思想．“降維思想”在高維、多元、多變量等復(fù)雜問題中具有重要意義．以數(shù)據(jù)分析領(lǐng)域為例，人們經(jīng)常要在不改變高維數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的前提下對數(shù)據(jù)作降維處理，以建構(gòu)更具擴展性、通用性的數(shù)據(jù)模型．在數(shù)列教學(xué)中，教師應(yīng)通過“消項求和”的學(xué)習(xí)促使學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識“降維思想”．

當(dāng)然，數(shù)列求和的途徑并不是唯一的，還有其它途徑可循，“數(shù)形結(jié)合”就是其中之一．前述畢達(dá)哥拉斯學(xué)派利用“形數(shù)”求解數(shù)列之和就是其中代表，中國數(shù)學(xué)家沈括、楊輝、朱世杰同樣通過“垛積術(shù)”得到了諸如

等數(shù)列求和公式[12]．因為“數(shù)形結(jié)合”不是中學(xué)數(shù)列求和的主流，這里暫且不做過多討論．

3.6 極限思想

4 教學(xué)啟示

數(shù)學(xué)思想具有潛在的、隱性的特征，把這種潛在的、隱性的數(shù)學(xué)思想轉(zhuǎn)化為學(xué)生內(nèi)在的個性素質(zhì)還需要通過教與學(xué)活動來實現(xiàn)[14]．而問題是溝通數(shù)學(xué)知識與數(shù)學(xué)思想的橋梁，在數(shù)列教學(xué)中，教師應(yīng)立足數(shù)列教學(xué)思想，設(shè)計針對性問題，激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)思考，促使學(xué)生領(lǐng)會數(shù)學(xué)思想魅力．

4.1 問題驅(qū)動概念教學(xué) 促進(jìn)數(shù)列概念本質(zhì)理解

教材在引入數(shù)列、等差數(shù)列與等比數(shù)列概念時，雖然創(chuàng)設(shè)了豐富的生活實例，但缺乏具體的、指向性的問題．以數(shù)列的概念為例，教材提供了表1所示3個情境，但情境并沒有嵌入任何具體問題，而是給出各自數(shù)據(jù)的關(guān)鍵信息——按照確定順序排列，供學(xué)生分析學(xué)習(xí)，并通過問題“上述例子的共同特征是什么”引導(dǎo)學(xué)生抽象概括，得到數(shù)列的概念．從概念抽象的角度看，這種安排具有一定的合理性．但是，教材直接羅列與分析數(shù)據(jù)，替代了本可以由教師在課堂上引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行的分析與思考，這將削弱培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的效率，不利于學(xué)生深度認(rèn)識數(shù)列概念的函數(shù)本質(zhì)．類似的情況同樣存在于等差數(shù)列與等比數(shù)列概念，例如教材雖然通過4個具體情境引入等差數(shù)列概念，卻沒有設(shè)計合適的問題引導(dǎo)讀者進(jìn)一步思考其本質(zhì)（等差遞推關(guān)系），而且某些數(shù)列有人為編造痕跡，缺少一定的真實性．

表1 數(shù)列概念學(xué)習(xí)情境

問題是數(shù)學(xué)概念與原理的源泉，應(yīng)是數(shù)學(xué)概念與原理的教學(xué)起點．張奠宙認(rèn)為：“問題驅(qū)動的本質(zhì)是暴露數(shù)學(xué)的本質(zhì)，把數(shù)學(xué)‘冰冷的美麗’轉(zhuǎn)化為‘火熱的思考’．教師在介紹基本概念、基本理論、基本定理時，不能滿足于形式地、演繹地給出，而要把數(shù)學(xué)本質(zhì)用問題的形式揭露出來．”[15]在數(shù)列概念教學(xué)中，教師不妨結(jié)合數(shù)列歷史、本質(zhì)以及學(xué)生經(jīng)驗，尋找促使數(shù)列概念產(chǎn)生的本原性問題，以激發(fā)學(xué)生火熱的思考，促進(jìn)數(shù)列概念本質(zhì)的理解[16–17]．例如，在引入數(shù)列概念與等差數(shù)列概念時，教師可分別創(chuàng)設(shè)如下問題．

問題1 劉徽的割圓術(shù)是說用圓的內(nèi)接正多邊形去逐步逼近圓，他從圓內(nèi)接正六邊形出發(fā)，將邊數(shù)逐次加倍，邊數(shù)越多，正多邊形面積越接近圓面積．求半徑為的圓內(nèi)接正6邊形的面積？當(dāng)分別取1，2，3，…時，得到什么結(jié)論？

數(shù)學(xué)概念或原理的形成可以是源于現(xiàn)實生活、自然與工程或數(shù)學(xué)本身的問題，只要是具有啟發(fā)性、本原性、觸及數(shù)學(xué)本質(zhì)、能夠在教學(xué)中起統(tǒng)帥作用的問題都是好問題、真問題[18]．既然學(xué)生在“數(shù)列的概念”一節(jié)已初步學(xué)習(xí)遞推公式，而它又是刻畫等差數(shù)列的工具，教師不妨在此基礎(chǔ)上創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)情境，通過遞推公式引入等差數(shù)列．

當(dāng)然，為豐富學(xué)生對數(shù)列概念的認(rèn)識，教師可以在以上問題的基礎(chǔ)上，適當(dāng)補充生活實例．

4.2 從函數(shù)的角度審視數(shù)列 揭示兩者的內(nèi)在關(guān)系

教材通過解析式、圖象、表格等多元表征介紹了數(shù)列與函數(shù)、等差數(shù)列與一次函數(shù)以及等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的內(nèi)在關(guān)系，但缺乏深層次內(nèi)在關(guān)系的探討，例題或者習(xí)題也甚少涉及函數(shù)思想．由此導(dǎo)致的可能結(jié)果是，學(xué)生盡管知道數(shù)列是一類特殊的函數(shù)，卻不清楚為什么要把數(shù)列看成函數(shù)，更不清楚尋找兩者關(guān)系的真正價值．事實上，連續(xù)函數(shù)離散化是從抽象到機械化實現(xiàn)的必經(jīng)之路，數(shù)值計算的前提便是離散化．將數(shù)列看成特殊的函數(shù)以及在函數(shù)的定義域中取特殊的點從而形成一個數(shù)列（大多數(shù)情況下是根據(jù)節(jié)點數(shù)確定步長），進(jìn)而將連續(xù)函數(shù)離散化以便機械化處理，此重要思想方法是人機對話得以實現(xiàn)的基礎(chǔ)．

從理論角度介紹數(shù)列與函數(shù)的內(nèi)在關(guān)系是必要的，但理論有余、實踐缺乏的教學(xué)不利于學(xué)生深入認(rèn)識二者關(guān)系．教師需要適時引導(dǎo)學(xué)生從函數(shù)的角度審視數(shù)列問題，尋找數(shù)列與函數(shù)之間的關(guān)系，進(jìn)而借助函數(shù)模型的性質(zhì)解決問題，體會函數(shù)思想在數(shù)列問題解決中的魅力．

圖2 問題1函數(shù)圖象

結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)（如圖3所示），易可得的最大值為．

需要指出的是，教材從函數(shù)的角度介紹了數(shù)列的概念以及等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式，但沒有明確等差數(shù)列與等比數(shù)列前項公式的函數(shù)屬性．?dāng)?shù)列求和是數(shù)列應(yīng)用的焦點，數(shù)列和的最值、單調(diào)性等是人們經(jīng)常需要解決的問題，這也是函數(shù)的重要問題，這些問題可以統(tǒng)一起來，利用函數(shù)的性質(zhì)加以解決．因此，在介紹等差數(shù)列與等比數(shù)列前項公式時，教師不妨分別從二次函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的角度加深認(rèn)識．

4.3 重視遞推公式教學(xué) 培養(yǎng)遞歸思維與發(fā)現(xiàn)能力

但是，遞推公式是教學(xué)難點，教學(xué)很容易陷入復(fù)雜的細(xì)節(jié)與技巧的糾纏，導(dǎo)致學(xué)生產(chǎn)生恐懼心理．通項公式與遞推公式是表示數(shù)列的兩個重要工具，二者最大的不同在于，前者是數(shù)列的函數(shù)解析式，后者則是從遞推角度表示數(shù)列的模型．遞推公式本身具有很好的生活化情境認(rèn)知基礎(chǔ)，教師給出遞推公式定義后，可以適當(dāng)創(chuàng)設(shè)生活情境，豐富學(xué)生對遞推公式的認(rèn)識，體會遞歸思想．由遞推公式推導(dǎo)通項公式時，宜引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會由特殊到一般地發(fā)現(xiàn)規(guī)律，提升歸納與猜想的數(shù)學(xué)能力．

問題1 階梯形劇場第一排有20個座椅，后面每排比前排多1個座椅，劇場共有20排座椅，劇場各排座椅數(shù)構(gòu)成的數(shù)列能否用遞推公式表示？

問題2 數(shù)學(xué)家斐波那契在觀察兔子繁殖時，提出一個有趣的問題：如果1對兔子每月生1對小兔子（一雄一雌），而每對小兔子在它出生后的第3個月里，又生1對小兔子，假定在不發(fā)生死亡的情況下，由1對初生的小兔子開始，50個月后會有多少對兔子？

當(dāng)然，依據(jù)遞推公式推導(dǎo)通項公式，除由特殊到一般途徑外，還有其它方法．例如，由斐波那契數(shù)列的遞推公式推導(dǎo)其通項公式的方法有多種，而適合中學(xué)生的初等方法是利用遞推關(guān)系構(gòu)造一個新的等比數(shù)列[20]．

4.4 強化數(shù)學(xué)歸納法 拓展數(shù)學(xué)論證能力

數(shù)學(xué)歸納法屬于選修不考內(nèi)容，但鑒于它的重要性，高中生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法是必要的．一方面，高中生無論是辯證思維還是知識儲備都有了長足的發(fā)展，完全有能力學(xué)好、用好數(shù)學(xué)歸納法．另一方面，介紹數(shù)學(xué)歸納法是國際數(shù)學(xué)課程的普遍要求[21]，新加坡H2數(shù)學(xué)考試（相當(dāng)于中國理科高考數(shù)學(xué)）甚至經(jīng)?？疾閷W(xué)生利用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列命題的能力[22]．中國雖然對此沒有考試要求，但如果學(xué)生了解數(shù)學(xué)歸納法，在遇到數(shù)列等與正整數(shù)有關(guān)的問題時，至少可以減少直覺錯誤，甚至多一種求解選擇．

與其探討要不要介紹數(shù)學(xué)歸納法，不如探討怎么教授數(shù)學(xué)歸納法．教材在給出等差數(shù)列通項公式后，沒有直接證明公式，而是通過分析多米諾骨牌游戲類比介紹數(shù)學(xué)歸納法，最后才回頭利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明．?dāng)?shù)學(xué)歸納法主要源于數(shù)學(xué)問題，而不是多米諾骨牌游戲，教材通過多米諾骨牌游戲直接介紹數(shù)學(xué)歸納法是否合理，有待商榷．弗賴登塔爾在批評數(shù)學(xué)歸納法教學(xué)時就曾指出：“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法的正確途徑是向?qū)W生提出一些必須用數(shù)學(xué)歸納法才能解決的問題，迫使學(xué)生直觀地使用這個方法，從而發(fā)現(xiàn)這個方法．”[4]依其觀點，通過數(shù)列問題介紹數(shù)學(xué)歸納法或許更合適．當(dāng)然，這并非否定多米諾骨牌游戲的意義，事實上，給出數(shù)學(xué)歸納法定義后，教師有必要把其基本步驟與多米諾骨牌游戲進(jìn)行類比．

問題2 數(shù)學(xué)歸納法可靠嗎？你能否類比多米諾骨牌游戲說一說其可靠性？

問題3 歸納推理與數(shù)學(xué)歸納法有何異同與關(guān)聯(lián)？

以上問題層層遞進(jìn)，共同促進(jìn)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、認(rèn)識、應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法．其中，問題1可以促使學(xué)生在通項公式的證明中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)歸納法，同時揭示學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法的緣由．問題2意在引導(dǎo)學(xué)生類比多米諾骨牌游戲，直觀認(rèn)識數(shù)學(xué)歸納法，消除可靠性疑慮．問題3有助于啟發(fā)學(xué)生厘清歸納推理與數(shù)學(xué)歸納法的關(guān)系，凸顯數(shù)學(xué)歸納法的演繹推理屬性．另外，教材關(guān)于數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用僅限于數(shù)列命題，這容易使學(xué)生產(chǎn)生“數(shù)學(xué)歸納法只能證明與數(shù)列有關(guān)命題”的錯覺，問題4恰好可以彌補教材遺憾．

4.5 誘發(fā)數(shù)列求和“好念頭” 滲透消項求和思想

教材分別通過“倒序相加法”與“錯位相減法”推導(dǎo)等差數(shù)列與等比數(shù)列前項和公式，從純數(shù)學(xué)推導(dǎo)的角度看，學(xué)生對這些方法不存在認(rèn)知上的困難，他們甚至對方法之巧妙贊嘆不已[24]．但這樣的方法是如何想到的？學(xué)生往往不明所以．在他們眼里，這些方法猶如從帽子里跳出來的兔子，突兀得讓人不知所以然．如果教師對此沒有足夠的思考與措施，教學(xué)容易糾纏于技巧與細(xì)節(jié)．波利亞認(rèn)為，數(shù)學(xué)解題的關(guān)鍵在于誘發(fā)“好念頭”[25]．教師不妨從數(shù)列求和的矛盾與思想出發(fā)，誘發(fā)學(xué)生對數(shù)列求和產(chǎn)生“好念頭”．

問題1 這是一個什么問題？怎么求解？

問題2 前面用什么方法推導(dǎo)等差數(shù)列的前項求和公式？它可以用來計算該問題嗎？

問題3 雖然“倒序相加法”無法直接計算該問題，但從中能否得到什么啟發(fā)？

5 結(jié)束語

教育的全部目的就是使人具有活躍的智慧[26]．?dāng)?shù)學(xué)知識并非不重要，事實上它是學(xué)生發(fā)展必不可少的基礎(chǔ)．然而，停留在數(shù)學(xué)知識傳授的教學(xué)不是真正的數(shù)學(xué)教育，那種只灌輸數(shù)學(xué)知識、忽略數(shù)學(xué)思想的教學(xué)，既不利于學(xué)生理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)，也無法激發(fā)對數(shù)學(xué)火熱的思考，更無助于學(xué)生的自我發(fā)展．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)揭示發(fā)現(xiàn)、建構(gòu)數(shù)學(xué)知識的一般策略與方法，增強學(xué)生主動建構(gòu)、創(chuàng)造數(shù)學(xué)知識的意識與能力，這樣才能使數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)落到實處[27]．

但是，數(shù)學(xué)思想的隱性特征要求教師深入認(rèn)識數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)與來龍去脈，精準(zhǔn)挖掘數(shù)學(xué)知識背后的數(shù)學(xué)思想，這樣才能設(shè)計科學(xué)合理的教學(xué)方案，引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)學(xué)知識的形成與發(fā)展過程中領(lǐng)會相關(guān)的數(shù)學(xué)思想．另一方面，學(xué)生對數(shù)學(xué)思想的領(lǐng)會是一個循序漸進(jìn)的過程，不可能一蹴而就，教師需要通過不同數(shù)學(xué)知識的教學(xué)有意識地加以滲透．顯而易見，數(shù)學(xué)思想對學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與未來發(fā)展的影響是一個長期的、潛移默化的過程．

[1] R·柯朗，H·羅賓．什么是數(shù)學(xué)[M]．左平，張飴慈，譯．上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，1995：3．

[2] 米山國藏．?dāng)?shù)學(xué)的精神、思想和方法[M]．毛正中，吳素華，譯．上海：華東師范大學(xué)出版社，2019：序1–2．

[3] 鄭毓信．?dāng)?shù)學(xué)思維教學(xué)的“兩階段理論”[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報，2022，31（1）：1–6，78．

[4] 弗賴登塔爾．作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)[M]．陳昌平，唐瑞芬，譯．上海：上海教育出版社，1995：160．

[5] 中華人民共和國教育部．普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）[M]．北京：人民教育出版社，2020：38．

[6] 人民教育出版社課程教材研究所．普通高中教科書·數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊[M]．北京：人民教育出版社，2020：1–57．

[7] 莫里斯·克萊因．古今數(shù)學(xué)思想（第一冊）[M]．張理京，譯．上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，2014：308–309．

[8] 項武義．基礎(chǔ)代數(shù)學(xué)[M]．北京：人民教育出版社，2004：5–8．

[9] 李昌官．遞推：數(shù)列的靈魂[J]．?dāng)?shù)學(xué)通報，2018，57（10）：22–25．

[10] 胡國定．簡明數(shù)學(xué)詞典[M]．北京：科學(xué)出版社，2000：557．

[11] 涂榮豹．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計原理的建構(gòu)——教學(xué)生學(xué)會思考[M]．北京：科學(xué)出版社，2018：130．

[12] 李文林．?dāng)?shù)學(xué)史概論[M]．3版．北京：高等教育出版社，2012：100–102．

[13] 卡茨．?dāng)?shù)學(xué)史通論[M]．李文林，譯．北京：高等教育出版社，2018：88–89．

[14] 王道?。R的教育價值及其實現(xiàn)方式問題初探——兼談對杜威教育思想的某些認(rèn)識[J]．課程·教材·教法，2011，31（1）：14–32，43．

[15] 張奠宙，張蔭南．新概念：用問題驅(qū)動的數(shù)學(xué)教學(xué)[J]．高等數(shù)學(xué)研究，2004（3）：8–10．

[16] 曹廣福，張蜀青．論數(shù)學(xué)課堂教學(xué)與評價的核心要素——以高中導(dǎo)數(shù)概念課為例[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報，2016，25（4）：17–20．

[17] 呂松濤，曹廣福．高中向量教學(xué)中數(shù)學(xué)思想的滲透[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報，2021，30（4）：19–24．

[18] 王海青，曹廣福．問題驅(qū)動數(shù)學(xué)教學(xué)的基本原則與思想及其實施步驟[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報，2022，31（1）：24–27．

[19] 李子瞻，胡典順．基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的新舊高考比較分析——以2021年新高考Ⅰ卷與2020年全國Ⅰ卷為例[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報，2022，31（3）：26–31．

[20] 曹廣福，張蜀青，歐慧謀．問題驅(qū)動的中學(xué)數(shù)學(xué)課題教學(xué)（函數(shù)與微積分卷）[M]．北京：清華大學(xué)出版社，2022：35．

[21] 王科，汪曉勤．“中美日新”四國高中教材中的數(shù)學(xué)歸納法比較研究[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報，2015，24（2）：40–45．

[22] Singapore ASIA Education. Past examination papers arranged by year 2011—2020: A level h2 mathematics yearly edition [M]. Singapore: Singapore Asia Publishers Pte Ltd, 2021: 不詳.

[23] 張雄，李得虎．?dāng)?shù)學(xué)方法論與解題研究[M]．2版．北京：高等教育出版社，2003：54．

[24] 張蜀青．?dāng)?shù)列教學(xué)中的數(shù)學(xué)思想之光[J]．?dāng)?shù)學(xué)通報，2021，60（2）：45–48．

[25] 涂榮豹．?dāng)?shù)學(xué)解題學(xué)習(xí)中的元認(rèn)知[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報，2002，11（4）：6–11．

[26] 懷海特．教育的目的[M]．徐汝舟，譯．北京：生活·讀書·新知三聯(lián)書店，2022：66．

[27] 李昌官．?dāng)?shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)與發(fā)明關(guān)系新說[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報，2022，31（1）：97–102．

The Mathematical Thoughts of Number of Sequence in Middle School and Its Teaching Enlightenment

OU Hui-mou1, 2, HUANG Hong-mei1, CAO Guang-fu1

(1. School of Mathematics and Information Science, Guangzhou University, Guangdong Guangzhou 510006, China;2. School of Mathematics and Statistics, Hanshan Normal University, Guangdong Chaozhou 521041, China)

Mathematical thoughts have a profound impact on students’ mathematical learning and future development. Mathematics teaching should not only emphasize knowledge, but also fully excavate the mathematical thoughts behind knowledge, and promote students’ understanding through targeted questions during teaching. The mathematical thoughts of number of sequence in middle school include function thought, recursion thought, from special to general, mathematical induction, elimination and summation thought, limit thought, etc. Based on the mathematical thoughts, the following teaching implications of number of sequence are proposed:problem-driven concept teaching promotes understanding of the essence of sequence concept; examines the sequence of numbers from the perspective of function to reveal the internal relationship between them; pays attention to the teaching of recursive formulas to cultivate recursive thinking and discovery abilities; emphasize mathematical induction to expand mathematical argumentation capabilities; and induces the good idea of summation of the sequence to infiltrate the elimination and summation thought.

sequence of number; mathematical thoughts; teaching enlightenment

G632.0

A

1004–9894（2024）01–0001–07

歐慧謀，黃紅梅，曹廣福．中學(xué)數(shù)列的數(shù)學(xué)思想及其教學(xué)啟示[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報，2024，33（1）：1-7．

2023–10–02

國家“萬人計劃”人才項目——問題驅(qū)動的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)理論與實踐；“粵港澳大亞灣國家應(yīng)用數(shù)學(xué)中心”項目——問題驅(qū)動的中小學(xué)數(shù)學(xué)教育研究（2020B1515310020）；韓山師范學(xué)院教育教學(xué)改革項目——問題驅(qū)動視角下的數(shù)學(xué)教學(xué)研究（0006/E22110）

歐慧謀（1982—），男，廣西玉林人，講師，博士生，主要從事數(shù)學(xué)課程與教學(xué)論研究．曹廣福為本文通訊作者．

[責(zé)任編校：周學(xué)智、陳漢君]